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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 18: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA –TRABAJO Y ENERGÍA (II)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1







Temas
Introducción
Energía potencial: fuerzas conservativas
Análisis de la curva de energía potencial
Conservación de la energía mecánica
Una discusión sobre el concepto de energía
Protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema utilizando el método TE
Ejemplos
Introducción
En el módulo 17 se trataron los siguientes temas:

Trabajo

Potencia

Máquinas simples

Energía cinética: principio del trabajo y la energía
El tema central de este módulo corresponde al denominado principio o teorema TE (Trabajo-Energía).
Este es un método muy poderoso para realizar el análisis dinámico de una partícula.
Energía potencial: fuerzas conservativas
Teorema de la energía potencial;
Hay determinadas fuerzas para las cuales la integral de trabajo no depende de la trayectoria seguida por
la partícula y éste SOLO depende de la posición inicial y de la posición final de ésta. Este tipo de fuerzas
se denomina FUERZAS CONSERVATIVAS y la integral del trabajo realizado por éstas se puede expresar
como MENOS en el cambio de una función escalar entre la posición inicial y la posición final de la partícula.
A esta función escalar se le denomina ENERGÍA POTENCIAL U. esto es,
B
conservativa
WAFuerza
=  Fconservativa  dr = U A - U B
B
A
o equivalente
[1a]
conservativas
WAFzas.
= - ΔU
B
[1b]
Ejemplos de estas fuerzas son: la fuerza elástica, la fuerza gravitacional y la fuerza electrostática. En
este curso se tratarán las dos primeras. La energía potencial es la energía asociada a la posición de la
partícula
y en general a la configuración de los sistemas.
Se puede interpretar como la energía
almacenada, la cual fue obtenida del trabajo que una fuerza conservativa realizó sobre la partícula.
2
Teorema de la energía potencial aplicado al PESO:
Sea una partícula de masa m que se mueve desde una posición A hasta una posición B, Figura 1.
Figura 1
El trabajo realizado por el peso para desplazar la partícula desde la posición A hasta la posición B es,
peso
A B
W
B
  - mg ˆj   dx ˆi + dy ˆj + dz kˆ 
A
A
=  P  dr =
B
yB
peso
A B
W
= -  mg dy
yA
WApeso
 B = mgy A - mgy B
WApeso
 B = U A - U B   ΔU
Se define entonces la ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONALl asociada a la fuerza conservativa PESO
como,
Ug = m g y
[2]
con el eje y vertical, positivo hacia arriba. La energía potencial gravitacional vale cero donde y=0. Esta
condición define un plano horizontal de referencia o nivel de referencia para la energía potencial
gravitacional asociada al peso. El nivel de referencia es arbitrario y puede elegirse según la conveniencia en
las aplicaciones concretas. Se acostumbra llamar h a la altura sobre el nivel de referencia por lo que
entonces,
3
U g = mgh
Ver Figura 2.
Figura 2
Por lo tanto el teorema de la energía potencial aplicado al trabajo realizado por el peso es,
WApeso
 B = U A - U B   ΔU
WApeso
 B = mgh A - mgh B
[3]
Observar que el nivel de referencia no importa. Supóngase que se escoge otro nivel más bajo que el de la
Figura 2, por ejemplo una cantidad C por debajo. Aplicando de nuevo el teorema de la energía potencial se
obtiene,
WApeso
B = mg  h A + C  - mg  h B + C 
Expresión que se reduce de nuevo a,
WApeso
 B = mgh A - mgh B
Observar que independientemente de la trayectoria elegida en la Figura 1 y desde que se mantengan las
mismas posiciones inicial y final el cálculo del trabajo del peso da igual. Adicionalmente si la trayectorias es
cerrada, es decir si la posición inicial y la final coinciden, el trabajo realizado por el peso es NULO.
En general:

El trabajo realizado por una fuerza conservativo es independiente de la trayectoria seguida y sólo
depende de la posición inicial y de la posición final.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una trayectoria cerrada es NULO.
Teorema de la energía potencial aplicado a la fuerza elástica:
En el módulo 17 se calculó el trabajo realizado por la fuerza elástica. A continuación se repite el cálculo
para complementarlo con el teorema de la energía potencial.
Una fuerza variable de mucha aplicación es la ejercida por un resorte, Figura 3. Para realizar bien este
análisis se ilustra también en la figura, el eje coordenado elegido y el diagrama de fuerzas: N es la fuerza
normal, P es el peso del bloque, f la fuerza de rozamiento, Fr la fuera que ejerce el resorte sobre el bloque
y Fs la fuerza que ejerce el señor sobre el bloque. La idea es calcular el trabajo realizado por la fuerza del
resorte para desplazar el bloque desde la posición A hasta la posición B.
Figura 3
La fuerza Fr obedece la ley de Hooke y por lo tanto se cumple que,
Fr = kx
Fr = - kx ˆi
4
En donde k corresponde a la constante de rigidez del resorte. Por lo tanto su trabajo es,
  - kx ˆi   dx ˆi 
xB
Fr
W =
xA
xB
W = -  kx dx
Fr
5
xA
W Fr =
1 2 1 2
kx A - kx B
2
2
[4]
En la Figura 4 se ilustra la interpretación gráfica de este resultado (se ilustra en valor absoluto, es decir
Fr = kx ).
Figura 4
Con base en lo anterior, y siguiendo el enunciado del teorema de la energía potencial, se define ENERGÍA
POTENCIAL ELÁSTICA asociada a la fuerza elástica a,
Ue =
1 2
kx
2
[5]
Siendo k la constante de rigidez del resorte y x la elongación de éste, la cual se mide desde su longitud
original.
Análisis de la curva de energía potencial
En la Figura 5 se ilustra un caso muy general de una curva de energía potencial. El ejemplo que se presenta
corresponde a una partícula que se mueve en línea recta en un eje x, exclusivamente bajo la acción de una
fuerza conservativa, función de la posición, F(x). La energía potencial asociada es U(x), también función de
la posición x. Según el teorema del trabajo y la energía,
B
F
A B
W
=  F(x)dx = - ΔU
A
Que según el teorema fundamental del cálculo equivale a,
Fx = -
dU
dx
6
[6]
Es decir,
Si F es una fuerza conservativa y U es la energía potencial asociada a ésta, la fuerza F es igual a
MENOS la derivada de la energía potencial respecto a la posición.
Figura 5
Observando la gráfica U vx x de la Figura 5 se concluye:

En la posición P1
es
hay un mínimo y por lo tanto,
dU
= 0 , lo que implica que en esa posición la fuerza F
dx
cero y la posición es de equilibrio. Es decir si una partícula se coloca sin velocidad en P1,
permanecerá en reposo. Si luego se le da un leve desplazamiento hacia la derecha,
dU
> 0, y F< 0
dx
cuyo efecto es empujar la partícula hacia la izquierda. Ahora si el leve desplazamiento es hacia la
izquierda,
dU
< 0 , y F > 0 cuyo efecto es empujar la partícula hacia la derecha. En definitiva al
dx
desplazar la partícula de la posición de equilibrio siempre aparece la fuerza que trata de llevarla
nuevamente a esta posición. Por esto es que a una posición de mínima energía potencial se le denomina
posición de equilibrio ESTABLE. La curva alrededor de P1 se le denomina POZO de POTENCIAL

En la posición P2 hay un máximo y por lo tanto,
es
dU
= 0 , lo que implica que en esa posición la fuerza F
dx
cero y la posición es de equilibrio. Es decir si una partícula se coloca sin velocidad en P 2,
permanecerá en reposo. Si luego se le da un leve desplazamiento hacia la derecha,
dU
< 0, y F>0
dx
cuyo efecto es empujar la partícula hacia la derecha. Ahora si el leve desplazamiento es hacia la
izquierda,
dU
> 0 , y F < 0 cuyo efecto es empujar la partícula hacia la iquierda. En definitiva al
dx
desplazar la partícula de la posición de equilibrio siempre aparece la fuerza que trata de alejarla aún
más de esta posición. Por esto es que a una posición de máxima energía potencial se le denomina
posición de equilibrio INESTABLE.

En el intervalo comprendido entre las posiciones P3 y P4 el equilibrio se dice que es INDIFERENTE. Si
se desplaza la partícula de la posición de equilibrio queda de nuevo en otra posición de equilibrio. En
este intervalo no hay ni máximo ni mínimo en la energía potencial.
Conservación de la energía mecánica
Según el principio del trabajo y la energía el trabajo total, es decir el trabajo de todas las fuerzas que
actúan sobre una partícula para desplazarla desde una posición inicial A hasta una posición final B es igual
al cambio en su energía cinética, ecuación [7] del módulo 17,
WATotal
 B = ΔK
Adicionalmente el trabajo realizado por una fuerza conservativa para desplazar la partícula desde una
posición inicial A hasta una posición final B es igual a MENOS el cambio en su energía potencial asociada,
conservativa
WAFuerza
= - ΔU
B
Agrupando las fuerzas en conservativas y otras el trabajo total se puede escribir también como,
Fuerzas conservativas
WATotal
 WAOtras
 B = WA  B
B
Combinando estas tres últimas ecuaciones se obtiene,
ΔK = - U + WAOtras
B
Otras
KB - KA = -  UB - UA  + WA®B
WAOtras
 B =  K B + UB  -  K A + UA 
Se define la ENERGÍA MECÁNICA E como la suma de la energía cinética con la energía potencial,
E=K+U
Por lo tanto,
7
WAOtras
 B = EB - EA
[7a]
o equivalente
WAOtras
 B = E
[7b]
Que en palabras dice,
El trabajo realizado por las fuerzas que no son agrupadas dentro de las conservativas es igual al cambio en
la energía mecánica de la partícula.
8
Este a veces es conocido como el TEOREMA DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
Si todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservativas, la energía mecánica del sistema se
mantiene constante,
EB = EA
[8]
A esta expresión se le conoce con el nombre de CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.
Estas expresiones, [7] y [8] serán las que normalmente se emplearán para realizar la mayor parte de los
análisis mecánicos de las partículas desde el punto de vista energético. Al final de este módulo se mostrará
la fortaleza de su aplicación. Observar que estas expresiones salen de juntar el principio del trabajo y la
energía con el teorema de la energía potencial.
Una discusión sobre el concepto de energía
Como lo dijo R. P. Feynman (1918-1988), premio Nobel de Física en 1965: “Es importante constatar que en
la física de hoy, no sabemos lo que es energía”
Realmente lo que quería decir Feynman es que el concepto de energía es tan básico que su definición es
esencialmente operacional: si se detalla en lo desarrollado en este módulo y en el anterior, las energías
cinética y potenciales se definen a través de fórmulas que salen de los resultados de la integral de trabajo
al aplicar tanto en el teorema del trabajo y la energía, como el teorema de la energía potencial; así se
definen: energía cinética como, K =
potencial elástica como, U e =
1
mV 2 , energía potencial gravitacional como, U g = mgh y energía
2
1 2
kx . Sin embargo cuando se pide dar una definición que no sea la
2
operacional (o sea la propia fórmula) el reto ya es MUY complicado: lo mejor es conformarse con hacer una
descripción de la energía con base en sus manifestaciones así:

La energía cinética es la que poseen los cuerpos debido a su movimiento.

La energía potencial es la que poseen los cuerpos debido a su posición o configuración. Esta se
considera almacenada.
Pero el asunto se complica cuando se hace una lista de términos que
están asociados al concepto de
energía, como los siguientes (solo se citan algunos): energía química, energía térmica, trabajo, calor,
energía atómica, energía nuclear, energía molecular, energía magnética, energía eléctrica, energía
electromagnética, energía gravitacional, energía eólica, energía maremotriz, energía electrostática, energía
radiante, energía elástica, energía mecánica ¿Dónde ubicamos estos términos si en la esencia sólo hay
energía cinética y energía potencial?
Para ubicar estos términos que se refieren al concepto de energía es necesario indagar en el fondo del
fenómeno con cuál de los dos tipos base de energía se identifican más: si con la energía cinética (…
movimiento, y se dirá es de naturaleza de energía cinética) o con la energía potencial (… posición o
configuración y se dirá es de naturaleza de energía potencial), ver tabla 1. Esto significa que en su aspecto
primario o fundamental la energía sólo es cinética o potencial.
Tabla 1
Tipo de energía
Energía química
Energía térmica
Trabajo
Calor
Energía atómica
Energía nuclear
Energía molecular
Energía magnética (Energía debido al movimiento de las
cargas eléctricas)
Energía eléctrica
Energía electromagnética
Energía gravitacional
Energía eólica (energía obtenida de los vientos)
Energía maremotriz (energía obtenida debido a las
mareas)
Energía electrostática
Energía
radiante
(es
la
misma
energía
electromagnética)
Energía elástica
Energía mecánica
Energía de los alimentos (es energía química)
Naturaleza
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética
Ni la una, ni la otra
Ni la una ni la otra.
Energía potencial (eléctrica o nuclear)
Energía potencial (nuclear)
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética y energía potencial (eléctrica)
Energía potencial (gravitacional)
Energía cinética
Energía cinética
Energía potencial (eléctrica)
Energía cinética y energía potencial (eléctrica)
Energía potencial (elástica)
Energía cinética y energía potencial.
Energía potencial eléctrica
Se observa que en la tabla 1 se dice que el calor y el trabajo no son ni energía cinética ni energía potencial.
Esto es cierto, es que el trabajo y el calor aunque se miden en unidades de energía no son energía. Estos
dos conceptos son realmente PROCESOS para intercambiar energía. Para intercambiar energía entre dos
sistemas lo pueden hacer sólo a través de dos procesos que son: o por TRABAJO o por CALOR. LOS
CUERPOS NO TIENEN CALOR NI TIENEN TRABAJO; ESTOS SOLO TIENEN ENERGÍA.
El TRABAJO es el intercambio de energía a través de desplazamientos macroscópicos que se pueden medir
individualmente. En cambio el CALOR es el intercambio de energía a través de innumerables
desplazamientos microscópicos y muy al azar (movimientos a escala atómica y molecular) que no es posible
medirlos individualmente: el CALOR es un concepto macroscópico que representa todos esos efectos
microscópicos, es decir, representa esos innumerable efectos de desplazamientos microscópicos generados
9
por los choques de los átomo y las moléculas de los sistemas que están intercambiando energía; es una suma
muy grande de “trabajitos microscópicos” que no son posibles de determinar individualmente.
No se entrará a detallar más sobre la diferencia de estos dos conceptos. Esto corresponde a la
TERMODINÁMICA que no es objeto de este curso.
De todas formas si es muy interesante saber que hay una equivalencia entre la unidad de calor (caloría) y la
unidad de energía (J): a esta equivalencia se le denomina EQUIVALENTE MEC’NICO DEL CALOR y fue
medida por J.P. Joule (1818-1889):
1 caloría = 4,186 J
Recordar que el J es la unidad de energía en el SI
Al que esté interesado en profundizar sobre esto se recomienda visitar este sitio:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/joule/joule.htm
Protocolo a seguir para realizar un análisis mecánico de un sistema utilizando el método TE
A continuación se presenta un protocolo para estudiar el movimiento de un cuerpo, idealizado como una
partícula, mediante los conceptos de trabajo y energía. Esto sólo son pasos que permiten un adecuado
análisis, pero no se debe tomar como una receta en la cual no se puedan juntar pasos o cambiar el orden.
1.
Hacer una representación clara y simple (es decir, muy esquemática) de la escena física.
2. Elegir el sistema mecánico, es decir, cuál es la partícula que va a estudiarse.
3. Es muy importante definir con precisión y graficar con claridad las situaciones inicial y final.
4. Definir el marco de referencia inercial. Con mucha frecuencia es un marco localmente ligado a la tierra.
5. Realizar el diagrama de fuerzas en una posición o situación general,
6. Hacer un análisis de las fuerzas actuantes desde el punto de vista del trabajo que efectúan. En primer
lugar, hay que determinar cuáles no realizan trabajo. Después, cuáles son conservativas: en este curso
sólo se presentan la gravitacional (el peso) y la elástica. Por último, debe determinarse si hay otras
fuerzas que realizan trabajo, como pueden ser las fuerzas de fricción (que son disipativas), pero
también fuerzas como tensiones en cuerdas, etc.
7. Aplicar el teorema del trabajo y la energía. Se sugiere en su última versión, ecuación [7] de este
módulo,
WAOtras
 B = EB - EA
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
La energía potencial U es la suma de todas las energías potenciales presentes asociadas a las fuerzas
conservativas. Para los cálculos de éstas se requiere definir la posición de referencia, que en el caso de
la elástica es la posición sin deformar y para la gravitacional un plano horizontal llamado nivel de
referencia.
10
El trabajo de las otras fuerzas debe calcularse apelando a la definición de trabajo.
8. Resolver algebraicamente las ecuaciones.
9. Encontrar las soluciones numéricas con sus unidades.
10. Analizar la coherencia del resultado
Se observa que en el protocolo no se insiste en la elección de ejes coordenados, ya que cuando sólo se
involucra el método del trabajo y la energía, y no la aplicación directa de las leyes de Newton, esto no es
necesario.
Ejemplos
Ejemplo 1
Se deja caer un cuerpo desde una altura h, Figura 6. Calcular la velocidad con que llega al piso (esto es, un
instante antes de colisionar con el piso). Despreciar la resistencia del aire.
Figura 6
Solución:
En la Figura 6 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el diagrama de fuerzas
en situación general, las posiciones inicial A, la posición final B. El marco de referencia elegido es el piso y
es inercial.
La única fuerza que actúa es el peso P y es conservativa, por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
0 =  K + U B -  K + U A
 K + U A
=  K + U B
K A + UA = K B + UB
Es decir se conserva la energía mecánica. Continuando,
11
0 + mgh =
1
mVB2 + 0
2
VB = 2gh
El mismo resultado que si se hace el análisis cinemático de la “caída libre”.
Ejemplo 2
12
Se deja deslizar un bloque por un tobogán de fricción despreciable, Figura 7. Si el bloque se suelta desde
un punto A cuya altura es h respecto a la base del tobogán, calcular la velocidad con que llega el bloque a la
base. Despreciar la resistencia del aire.
Figura 7
Solución:
En la Figura 7 se ilustra una representación de la escena física (izquierda). También se ilustra el diagrama
de fuerzas en situación general, las posiciones inicial A, la posición final B (derecha). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P que es una fuerza conservativa y la fuerza normal N (esta última está
dentro de la lista de OTRAS). El trabajo de la normal es nulo ya que en toda la trayectoria del bloque es
perpendicular al desplazamiento (y obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
0 =  K + U B -  K + U A
 K + U A
=  K + U B
K A + UA = K B + UB
Es decir se conserva la energía mecánica. Continuando,
0 + mgh =
1
mVB2 + 0
2
VB = 2gh
Ejemplo 3
Se tiene un péndulo simple (masa puntual atada a un hilo inextensible), Figura 8. Si la masa se suelta desde
una posición A una altura h respecto al nivel más bajo de la oscilación del péndulo, posición B, calcular la
velocidad con la cual pasa por ésta. Despreciar la resistencia del aire.
Figura 8
Solución:
En la Figura 8 se ilustra una representación de la escena física (izquierda). También se ilustra el diagrama
de fuerzas en situación general, las posiciones inicial A, la posición final B (derecha). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso que es una fuerza conservativa y la fuerza de tensión F (esta última está
dentro de la lista de OTRAS). El trabajo de la fuerza F es nulo ya que en toda la trayectoria de la masa
pendular es perpendicular al desplazamiento (y obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
0 =  K + U B -  K + U A
 K + U A
=  K + U B
K A + UA = K B + UB
Es decir se conserva la energía mecánica. Continuando,
0 + mgh =
VB = 2gh
1
mVB2 + 0
2
13
Observar que en estos tres ejemplos el resultado es el mismo,
VB = 2gh
Esto es en cuanto a la rapidez. Obviamente la velocidad es diferente en cada caso así h sea la misma,
debido a que las direcciones son diferentes. En el método de trabajo y energía sólo se involucra la magnitud
de la velocidad, o sea la rapidez, no se proporciona información sobre la dirección. Este método es
ESCALAR.
Ejemplo 4
Con un bloque de masa m se da una compresión inicial a un resorte y se suelta ¿con qué velocidad pasa por la
longitud original, si el bloque desliza por una mesa de fricción despreciable, Figura 9?
Figura 9
Solución:
En la Figura 9 se ilustra una representación de la escena física y la situación inicial A (arriba). También se
ilustra el diagrama de fuerzas en situación general (intermedia) y la posición final B (abajo). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P y la fuerza que ejerce el resorte Fr que son fuerzas conservativas, y
la fuerza de normal N (esta última está dentro de la lista de OTRAS). El trabajo de la fuerza N y por el
peso P
es nulo ya que en toda la trayectoria del bloque son perpendiculares al desplazamiento (y
obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
0 =  K + U B -  K + U A
 K + U A
=  K + U B
14
K A + UA = K B + UB
Es decir se conserva la energía mecánica. Continuando,
0+
1 2
1
kd = mVB2 + 0
2
2
VB =
15
k
d
m
El resorte ideal termina su acción en la longitud original y el bloque, que está simplemente apoyado en el
resorte, continúa su movimiento con velocidad constante por la mesa de fricción despreciable.
Ejemplo 5
Repetir el ejemplo anterior pero considerando mesa con fricción con un coeficiente de rozamiento entre el
bloque la mesa igual a µk, Figura 10.
Figura 10
Solución:
En la Figura 9 se ilustra una representación de la escena física y la situación inicial A (arriba). También se
ilustra el diagrama de fuerzas en situación general (intermedia) y la posición final B (abajo). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P y la fuerza que ejerce el resorte Fr que son fuerzas conservativas, la
fuerza de normal N y la fuerza de rozamiento f (estas dos últimas están dentro de la lista de OTRAS). El
trabajo realizado por la fuerza N y por el peso P es nulo ya que en toda la trayectoria del bloque son
perpendiculares al desplazamiento (y obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
WAf  B + WAN B =  K + U B -  K + U A
 K + U A
+ WAf  B + WAN B =  K + U B
KA + UA + WAf  B + WAN B = KB + UB
16
Es decir no se conserva la energía mecánica (la fuerza de fricción disipa energía mecánica en forma de
calor). Continuando,
0+
1 2
1
kd - f d + 0 = mVB2 + 0
2
2
Pero de la fórmula de fuerza de fricción y de la primera ley de Newton en dirección vertical se obtiene,
f = μ k N = μ k mg
Combinando las dos últimas ecuaciones,
1
k
2
VB =  d 2 - 2μ k gd 
m

Ejemplo 6
Se lanza un bloque con velocidad Vo por una mesa horizontal rugosa. El coeficiente dinámico de rozamiento
entre el bloque y la mesa es µk. Usando el método de trabajo y energía, hallar a qué distancia d se detiene,
Figura 11.
Figura 11
Solución:
En la Figura 11 se ilustra una representación de la escena física y la situación inicial A (arriba). También se
ilustra el diagrama de fuerzas en situación general (intermedia) y la posición final B (abajo). El marco de
referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P que es una fuerza conservativa, la fuerza de normal N y la fuerza de
rozamiento f (estas dos últimas están dentro de la lista de OTRAS). El trabajo realizado por la fuerza N y
por el peso P es nulo ya que en toda la trayectoria del bloque son perpendiculares al desplazamiento (y
obviamente a la velocidad), por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
WAf  B + WAN B =  K + U B -  K + U A
 K + U A
+ WAf  B + WAN B =  K + U B
KA + UA + WAf  B + WAN B = KB + UB
Es decir no se conserva la energía mecánica (la fuerza de fricción disipa energía mecánica en forma de
calor). Continuando,
1
m VA2 + 0 - f d + 0 = 0 + 0
2
Pero de la fórmula de fuera de fricción y de la primera ley de Newton en dirección vertical se obtiene,
f = μ k N = μ k mg
Combinando las dos últimas ecuaciones y teniendo en cuenta que
VA = Vo ,
Vo2
d=
2μ k g
Ejemplo 7
Un cuerpo está cayendo y sobre éste está actuando una fuerza fricción del aire promedio igual a
f.
Calcular la velocidad con la cual llega al piso (inmediatamente antes de colisionar con éste), Figura 12.
Solución:
En la Figura 12 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el diagrama de fuerzas
en situación general y las posiciones inicial A y final B. El marco de referencia elegido es el piso y es
inercial.
17
18
Figura 12
Las fuerzas que actúa son el peso P que es una fuerza conservativa y la fuerza de rozamiento f (esta
última están dentro de la lista de OTRAS). Por lo tanto,
WAOtras
-  K + U A
 B =  K + U
B
WAf  B =  K + U B -  K + U A
 K + U A
+ WAf  B =  K + U B
K A + U A + WAf  B = K B + U B
Es decir no se conserva la energía mecánica (la fuerza de fricción disipa energía mecánica en forma de
calor). El trabajo realizado por la fuerza de fricción, considerada constante es,
WAf  B = - f h
y por lo tanto, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene,
0 + mgh - f h =
VB =
1
mVB2 + 0
2
2
 mgh - f h 
m
Ejemplo 8
Con un bloque de masa m se da una compresión inicial x a un resorte y se suelta. Una vez abandona el
resorte, continúa el bloque moviéndose por un plano horizontal con coeficiente de rozamiento cinético µk
una distancia s y después comienza el ascenso por un tobogán con fricción despreciable ¿cuál es la altura
h que logra ascender sobre el tobogán, Figura 13?
19
Figura 13
Solución:
En la Figura 13 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el diagrama de fuerzas
en situación general en los diferentes tramos de interés de la trayectoria. Adicionalmente se ilustran las
posiciones inicial A y final D. El marco de referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P y la fuerza del resorte Fr que son fuerzas conservativas. Esta última
solo actúa en el tramo AB. La fuerza normal N y la de fricción f (que están dentro de la lista de OTRAS); la
normal actúa en todo el tramo y no realiza trabajo debido a que es perpendicular al desplazamiento
(obviamente también a la velocidad) en toda la trayectoria AD; la fricción solo actúa en el tramo BC y su
trabajo es,
WBf  C = - μ k mg s
Aplicando el teorema de la energía mecánica,
WAOtras
-  K + U A
 D =  K + U
D
20
WAf  D + WAN D =  K + U D -  K + U A
 K + U A
+ WAf  D + WAN D =  K + U D
KA + UA + WAf  D + WAN D = K D + UD
0+
1 2
kx - μ k mg s + 0 = 0 + mgh
2
h=
kx 2 - 2μ k mgs
2mg
Ejemplo 9
(a)
¿Cuál debe ser la altura mínima desde la cual un bloque de masa
m
debiera empezar a caer de
manera que pueda completar el movimiento circular de radio R mostrado en la Figura 14. (b) Si el bloque
se suelta desde
h  3R ,
hallar la fuerza de contacto en el punto más alto del círculo. Suponer fricción
despreciable.
Solución:
En la Figura 14 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el diagrama de fuerzas
en situación general en los diferentes tramos de interés de la trayectoria. Adicionalmente se ilustran las
posiciones inicial A y final C. El marco de referencia elegido es el piso y es inercial.
Las fuerzas que actúa son el peso P que es fuera conservativa y la fuerza normal N (esta última está en la
lista de OTRAS). La normal no realiza trabajo debido a que es perpendicular al desplazamiento (obviamente
también a la velocidad) en toda la trayectoria.
Aplicando el teorema de la energía mecánica,
WAOtras
-  K + U A
 C =  K + U
C
WAN C =  K + U C -  K + U A
21
Figura 14
 K + U A
+ WAN C =  K + U C
KA + UA + WAN C = KC + UC
0 + mgh + 0 =
1
mVC2 + mg  2R 
2
1
mVC2 + mg  2R 
2
mgh =
[1]
Para poder responder la pregunta se necesita recurrir adicionalmente a la aplicación directa de la segunda
ley de Newton aplicada en la posición C. En la Figura 15 se ilustra el diagrama de fuerzas y los ejes de
coordenados elegidos para esto.
Figura 15
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección del eje normal se obtiene,
  FN = ma N
mVC2
 N + mg =
R
[2]
Para calcular la velocidad mínima que debe llevar el cuerpo en C para lograr completar la trayectoria
circular, se debe hacer N=0,
mg =
2
mVC,min
R
Por lo tanto,
VC,min =
gR
[3]
Reemplazando este resultado en la ecuación [1] se obtiene,
h=
5
R
2
22
Se pide también hallar la fuerza de contacto N cuando
VC2 = 2gR
h = 3R . Reemplazando en [1] se obtiene,
[4]
Reemplazando en la ecuación [2] se obtiene,
N = mg
23
Taller
Con los ejercicios siguientes el objetivo es adquirir la destreza para analizar de forma
ordenada y metódica sistemas mecánicos usando el método la energía. En cada una de las
soluciones se deberá:
1. Hacer una representación clara y simple (es decir, muy esquemática) de la escena
física.
2. Elegir el sistema mecánico, es decir, cuál es la partícula que va a estudiarse.
3. Es muy importante definir con precisión y graficar con claridad las situaciones inicial
y final.
4. Definir el marco de referencia inercial. Con mucha frecuencia es un marco
localmente ligado a la tierra.
5. Realizar el diagrama de fuerzas en una posición o situación general,
6. Hacer un análisis de las fuerzas actuantes desde el punto de vista del trabajo que
efectúan. En primer lugar, hay que determinar cuáles no realizan trabajo.Después,
cuáles son conservativas: en este curso sólo se presentan la gravitacional (el peso) y
la elástica. Por último, debe determinarse si hay otras fuerzas que realizan
trabajo, como pueden ser las fuerzas de fricción (que son disipativas), pero también
fuerzas como tensiones en cuerdas, etc.
7. Aplicar el teorema del trabajo y la energía.
8. Resolver algebraicamente las ecuaciones.
9. Encontrar las soluciones numéricas con sus unidades.
10. Analizar la coherencia del resultado
Aplicación de los teoremas de la energía
1.
Un bloque desciende deslizándose por la pista lisa y curva ilustrada en la Figura 16. Posteriormente
asciende por un plano inclinado rugoso cuyo coeficiente de roce cinético es
máxima hasta la que asciende el bloque por el plano es,
y max =
h
1 + μ k cotφ
en donde
 es el ángulo de inclinación del plano.
μ k . Demostrar que la altura
24
Figura 16
2. Se lanza una piedra, cuyo peso es P, verticalmente hacia arriba con una rapidez
Vo . Suponer que la
fuerza de rozamiento entre el aire y la piedra es constante e igual a f . Demostrar que la altura
máxima alcanzada por la piedra es,
h max =
Vo2
f

2g 1 + 
P

¿Cuál será la rapidez con la que la piedra retorna a su posición inicial?
3. La Figura 17 ilustra un carrito en una montaña rusa lisa, que parte del punto A ubicado a una altura h
sobre el suelo. Con una rapidez
(a) Demostrar que
Vo :
VB = Vo y que VC = Vo2 + gh
(b) Calcular el coeficiente de rozamiento en el tramo DE tomando en cuenta que se detiene después de
recorrer una distancia L .
(c) Realizar los cálculos correspondientes si
h = 30 m , V0 = 10 m.s-1
y L = 24 m .
Figura 17
4. Si el bloque de la Figura 18 se suelta desde h=2R, ¿en qué punto pierde el contacto con la pista y que
rapidez lleva?
Rp: senβ =
Suponer que no hay fricción.
2
; VB =
3
2
gR
3
25
Figura 18
5. Se lanza un bloque con velocidad
Vo por una mesa horizontal rugosa. El coeficiente dinámico de
fricción es μ . Usando el método del trabajo y la energía, hallar a qué distancia
Rp:
d=
d
se detiene.
2
o
V
2μg
6. Con un bloque de masa
m
se da una compresión inicial
d
a un resorte de constante de rigidez k ,
Figura 19, y se suelta ¿con qué velocidad pasa por la longitud natural, si el bloque desliza por una mesa
sin fricción?
Rp:
V=
k
d
m
Figura 19
7. Repetir el ejercicio anterior, con coeficiente de fricción dinámico μ entre el bloque y la mesa.
Rp:
V=
k 2
d - 2 μgd
m
8. ¿En qué posición y con cuál velocidad se despega un bloque de una superficie semicircular lisa, Figura
20, si en el punto más alto se le da una pequeñísima velocidad (es decir, se puede considerar que parte
del reposo)?
Rp: cosβ =
2
; VB =
3
2
gR
3
26
Figura 20
9.
Un bloque se suelta desde la posición mostrada en la Figura 21. Baja deslizando y comprime al resorte.
Hallar la máxima compresión: (a) considerando plano liso y (b) considerando plano rugoso con
coeficiente de rozamiento dinámico  entre el plano y el bloque.
Tomar estos valores: m = 0,1 kg ; L = 0,5 m ; θ = 45 ; k = 20 N.m ; μ = 0,5
o
Rp: (a) 0,23 m; (b) 0,15 m.
Figura 21
FIN.
-1