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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Conceptos.
Prof. Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir
Código : MAT4-EDO.8
Clasi…cación de una ecuación diferencial oridnaria.
Solución de una ecuación diferencial ordinaria.
1. (a) Demuestre que (x) = e2x es una solución de y 0
ecuación para cualquier valor de la constante c.
2y = 0 y que y = c (x) también es una solución de esta
(b) Demuestre que (x) = 1=x es una solución de y 0 + y 2 = 0, para x > 0, pero que y = c (x) no es una solución
de esta ecuación, a menos de que c = 0 o c = 1. Observe que la ecuación del inciso 1b) es no lineal, mientras
que la del inciso 1a) es lineal.
2. Compruebe que y1 (x) = x2 y y2 (x) = x 1 son dos soluciones de la ecuación diferencial x2 y 00 2y = 0 para x > 0.
A continuación compruebe que c1 x2 + c2 x 1 también es una solución de esta ecuación para cualesquiera c1 y c2 .
2
3. Compruebe que y1 (x) = 1 y y2 (x) = x1=2 son dos soluciones de la ecuación diferencial yy 00 + (y 0 ) = 0 para x > 0.
4. Veri…que que la función y1 es solución de la respectiva ecuación diferencial.
1:
y 00 + 5y 0 = 0 ; y1 = 1
3:
y 00 + 2y 0 + y = 0 ; y1 = xe
x
5: 4x2 y 00 + y = 0 ; y1 = x1=2 ln x
7:
y 00
5 (tan x) y 0 = 0 ; y1 = 1
2:
x2 y 00
xy 0 + 2y = 0 ; y1 = x sen (ln x)
4:
x2 y 00
3xy 0 + 5y = 0 ; y1 = x2 cos (ln x)
6:
x2 y 00
5xy 0 + 9y = 0 ; y1 = x3 ln x
8: (3x + 1) y 00
(9x + 6) y 0 + 9y = 0 ; y1 = e3x
5. Demuestre que si y = (x) es una solución de y 0 + p (x) y = 0, entonces y = c (x) también es una solución para
cualquier valor de la constante c
6. Sea y = y1 (x) una solución de
y sea y = y2 (x) una solución de
y 0 + p (x) y = 0
(1)
y 0 + p (x) y = q (x)
(2)
Demuestre que y (x) = y1 (x) + y2 (x) también es una solución de la ecuación (2)
7. Determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = erx
1:
y 0 + 2y = 0
2:
y 00
y=0
3:
y 00 + y 0
6y = 0
4:
y 000
3y 00 + 2y 0 = 0
8. Determine los valores de r para los que la ecuación diferencial dada tiene soluciones de la forma y = xr , para x > 0
1:
x2 y 00 + 4xy 0 + 2y = 0
2:
x2 y 00
4xy 0 + 4y = 0
9. Encuentre,
en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (9; 4) y cuya pendiente en cada punto es
p
3 x.
10. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1; 2) y cuya pendiente en cada punto es
4x2 .
11. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (0; 2) y cuya pendiente en cada punto es
ex 2.
12. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1; 5) y cuya pendiente en cada punto es
4
.
x2
1
13. Encuentre una función y = f (x), tal que
por el punto (1; 1).
d2 y
1
=
dx2
4x3=2
1
, F tenga un punto estacionario en x = 4 y pase
x2
2 + 3x
d2 y
, f tenga un mínimo relativo en
=
14. Encuentre una función y = f (x), tal que
2
dx
4x3=2
2
;
3
4
3
r !
2
.
3
15. El punto (3; 2) está en una curva y en cualquier punto (x; y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente
igual a 2x 3. Encontrar una ecuación de la curva.
d2 y
16. Los puntos ( 1; 3) y (0; 2) están en una curva y en cualquier punto (x; y) de la cruva
=2
dx2
una ecuación de la curva.
4x. Encontrar
17. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (1; 3) es y = x + 2. Si en cualquier punto (x; y) de la
d2 y
curva
= 6x, encontrar una ecuación de la curva.
dx2
d2 y
= 1 x2 y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
dx2
x. Encontrar una ecuación de la curva.
18. En cualquier punto (x; y) de una curva
(1; 1) es y = 2
d3 y
19. En cualquier punto (x; y) de una curva
= 2 y (1; 3) es un punto de in‡exión en el que la pendiente de la
dx3
tangente de in‡exión es 2. Encontrar una ecuación de la curva.
20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x; y) en una curva es 10
curva. Encontrar una ecuación de la curva.
4x y el punto (1; 1) está en la
d2 y
= 4 x2 y una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
dx2
3y = 3. Encontrar una ecuación de la curva.
21. En cualquier punto (x; y) de una curva
(1; 1) es 2x
22. Una partícula se mueve en línea recta; s es la distancia dirigida de la partícula desde el origen en t seg de tiempo,
v es la velocidad en p/seg de la partícula en t seg y a es la aceleración en p/seg2 de la partícula en t seg. Si
a = 2t 1 y v = 3 y s = 4 cuando t = 1, expresar v y s como funciones de t.
23. Se lanza una piedra hacia arriba verticalmente desde el suelo con una velocidad inicial de 128 p/seg. Si la única
fuerza considerada es la que se le atribuye a la aceleración de la gravedad, encontrar qué tan alto llegará la piedra y
la velocidad con la que llegará al suelo. Encontrar también cuanto tiempo tomará a la piedra llegar al suelo.
24. En los siguientes ejercicios la única fuerza considerada es la debida a la aceleración de la gravedad que tomamos como
32 p/seg2 en la dirección hacia abajo.
(a) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de 20 p/seg.
i. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
ii. ¿Durante cuánto tiempo estará subiendo la piedra y que tan alto llegará?
(b) Un hombre en un globo suelta sus binoculares cuando se encuentra a 150 p de altura y está subiendo a razón
de 10 p/seg. ¿Cuánto tiempo tardarán los binoculares en llegar a suelo y cuál es su velocidad de impacto?
25. Si el conductor de un automóvil desea aumnetar su rapidez de 20 mi/hr a 50 mi/hr mientras recorre una distancia
de 528 p, ¿cuál es la aceleración constante que debe mantener?
26. Si los frenos de un carro pueden darle una aceleración negativa constante de 20 p/seg2 . ¿Cuál es la velocidad
máxima a que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 80 p después de aplicados los frenos?
27. Si se aplican los frenos de un carro viajando de 50 mi/hr y si los frenos pueden dar al carro una aceleración negativa
constante de 20 p/seg2 . ¿Cuánto tardará el coche en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá antes de parar?
Respuestas
7:1: r =
2;
8:2: r = 1;
7:2: r =
r = 4;
1;
9: f (x) =
7:3: r =
3
2x 2
50;
3;
r = 2;
7:4: r = 0;
10: f (x) =
4 3
3x
2
+
2
3;
r = 1;
r = 2;
11: f (x) = e
8:1: r =
x
2x
3;
1;
r=
2;
12: f (x) =
4
x
+ 1;
13: f (x) = ln x
3
17: f (x) = x
p
3
x;
14: f (x) = x 2
2x + 4;
20: f (x) = 10x
2
2x
18: f (x) =
3
4
24:b: Tiem p o de vuelo : 3:4 seg;
11
3
seg;
3x
Tiem p o de vuelo : 8 seg;
seg;
Distancia :
15: f (x) = x2
x4
12
5x
3
21: f (x) = 2x
23: M áxim a altura : 256 p;
27: Tiem p o :
x2
2
2
9;
24:a:i: Tiem p o de vuelo :
p
2 x;
+
x4
12
9
4;
+
19: f (x) =
1
12 ;
x3
3
2
x
2
22: v (t) = t
x+
2 3
3x
+ 2;
14
3 ;
y
t + 3;
t3
3
s (t) =
t2
2
+ 3t +
7
6;
Velo cidad de im pacto : 128 p/seg;
Velocidad de im pacto : 20 p/seg;
Velocidad de im pacto : 99 p/seg;
1210
9
16: f (x) = 7x + x2
3x + 2;
24:a:ii: Tiem p o subiendo :
25:
77
18
2
p/seg ;
5
8
26:
seg;
M áxim a altura :
p
300 2
11
25
4
p;
m in/h;
p;
Bibliografía
1. Edwards, C. H. y Penney, D.: “Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera".
Tercera Edición. Prentice Hall.
2. Kiseliov, A. - Krasnov, M. y Makarenko, G., “Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias". Editorial
Mir.
3. Spiegel, Murray R., “Ecuaciones diferenciales aplicadas". Tercera edición. Prentice Hall.
4. Viola-Prioli, Ana y Viola-Prioli, Jorge, “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias". Universidad Simón Bolívar.
5. Zill, Dennis, “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones". Grupo Editorial Iberoamérica.
Prof. Farith Briceño - 2009
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