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EXAMEN DE CÁLCULO VECTORIAL Y CINEMÁTICA
EXAMEN DE CÁLCULO VECTORIAL Y CINEMÁTICA
Páginas 15-17, 27-41, 48-58 y 61-67 del libro de texto
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Recuperación de 1º de Bachillerato - Jueves, 19 de noviembre de 2009
Recuperación de 1º de Bachillerato - Jueves, 19 de noviembre de 2009
SOLUCIONES:
Se pide:
* claridad en la exposición, sin omitir explicaciones
* limpieza y orden en cada pregunta, cuestión, ejercicio o problema
* adaptar la respuesta en cada caso al enunciado propuesto
* utilizar las unidades adecuadas
* cuidar la ortografía
1a) El MCU: un móvil que describe una circunferencia con rapidez constante está sometido a una
aceleración centrípeta o normal al cambiar continuamente la dirección de la velocidad.
1b) La componente horizontal de la velocidad inicial: vx = vo.cos α, puesto que si despreciamos el
rozamiento del aire, vx no varía, aunque vy sea nula en el punto más alto de la trayectoria.
Utiliza g = 10 m/s2
1.- Contesta de manera razonada a las siguientes cuestiones:
1a) ¿Existe algún movimiento con rapidez constante y al mismo tiempo acelerado?
1b) ¿Qué velocidad lleva en el punto más alto de su trayectoria un objeto lanzado con
una velocidad vo que forma un ángulo α sobre la horizontal?
2a) Expresa el nº de vueltas en la unidad de tiempo de un móvil que gira con MCU. La unidad de
medida de f ó ν es el hercio (Hz). La rapidez angular ω = 2.π.f = 2.π.ν.
2b) Es una magnitud constante para todos los puntos de un móvil sometido a rotación respecto a un
eje de giro. Su valor medio es igual al cociente entre el ángulo girado y el tiempo empleado en
el giro: ω = ∆Θ/∆t. La unidad S.I. de rapidez angular (ω) es el rad/s.
2.- Para un MCU, define las siguientes magnitudes físicas y relaciónalas entre sí:
2a) frecuencia.
2b) velocidad angular.
3a) Sí, porque la trayectoria es una línea recta: x = 2.t2 e y = t2 x = 2.y y = x/2 y además
la velocidad v = 4.t.i + 2.t.j y a = 4.i + 2.j m/s2 es una aceleración constante.
3b) Sí, porque vx = 6.t + 1 y ax = 6 m/s2 es constante y va a lo largo del eje de las x (línea recta)
3c) No, porque la vy = 2 m/s es constante y por tanto no hay aceleración.
3d) No, porque vx = 1’5.t2 y ax = 3.t. La aceleración de este movimiento no es constante.
3.- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones pueden corresponder a un cuerpo que se desplaza
en línea recta con aceleración constante? Razona tus respuestas:
3a) r = 2.t2 .i + t2.j
3b) x = 3.t2 + t
3c) y = 2.t - 5
3d) x = 0’5.t3
4a) El vector velocidad instantánea se obtiene derivando respecto al tiempo: vi = dr/dt = – t.j (m/s).
4b) La aceleración se calcula derivando de nuevo: ai = dv/dt = – j (m/s2) Su módulo vale 1 m/s2.
4c) La coordenada x es siempre igual a 2. La coordenada y varía según la ecuación: y = – 0’5.t2,
luego la trayectoria es el segmento que va del punto (2,0) al punto (2,+∞)
4.- Un cuerpo se desplaza según la siguiente ecuación vectorial: r = 2.i – 0’5.t2.j Calcula:
4a) el vector velocidad.
4b) el módulo de la aceleración.
4c) la ecuación de la trayectoria.
5a) En el eje vertical hay un MRUD y en el horizontal un MRU. Conociendo las componentes de la
velocidad: vx = 30.cos 45º = 21’21 (m/s) y vy = 30.sen 45º = 21’21 (m/s), las ecuaciones de la
posición en ambos ejes son: x = vx.t = 21’21.t (m) e y = yo + voy.t – ½.g.t2 = 100 + 21’21.t – 5.t2.
5b) Llegará al suelo cuando yf = 0, luego: yf = 100 + 21’21.t – 5.t2 = 0 tvuelo = 7’07 s.
5c) Mientras cae, avanza horizontalmente con MRU: xmáx = vx.tvuelo = 21’21*7’07 m = 1.500 m.
5d) La componente horizontal, vx = 21’21 m/s, permanece constante, pero vy = voy – g.t luego:
vy = 21’21 – 10*(7’07) = – 49’49 m/s v = 21’21.i – 49’49.j (m/s)
5.- Desde una altura de 100 m se lanza un objeto con una velocidad inicial de 30 m/s
formando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula de forma razonada en el SI:
5a) las ecuaciones que describen la posición del objeto.
5b) el tiempo que le cuesta llegar al suelo.
5b) el alcance máximo obtenido.
5c) el vector velocidad en el instante de impactar con el suelo.
6.- Una rueda de 0'5 m de radio tiene una aceleración centrípeta constante de 8π2 m/s2.
Razonándolo adecuadamente, determina:
6a) la velocidad angular de rotación
6b) la frecuencia de giro de dicha rueda.
6c) las vueltas que da en 5 min.
7.- Desde un globo que asciende con una rapidez de 3 m/s y a una determinada altura se
suelta un saco de lastre que tarda 5 s en llegar al suelo. Calcula:
7a) las ecuaciones del movimiento del saco de lastre.
7b) la altura a la que se encontraba el globo al soltar el saco.
8.- Dibuja las gráficas siguientes (la primera cualitativa y la segunda cuantitativa):
8a) un móvil en reposo parte del origen con aceleración cte que se cruza con otro que
parte de una posición adelantada, xo en sentido contrario con velocidad cte.
8b) la gráfica de la velocidad vertical frente al tiempo del saco de lastre del ejercicio
anterior, realizada durante el primer segundo del movimiento.
6a) Como acp ≡ an = ω2.R ω2 = an/R ω = (8.π2/0’5)½ = (16.π2)½ = 4π rad/s.
6b) De la ecuación: ω = 2.π.f = 2.π.ν f = ν = ω/(2.π) = 4.π/(2.π) Hz = 2 Hz.
6c) El ángulo que gira en 5 min = 300 s con MCU es: Θ = ω.t = 4.π.300 rad = 1.200.π rad. Como
cada vuelta equivale a 2.π rad nº de vueltas = Θ/(2.π) = 1.200.π/(2.π) = 600 vueltas.
7a) La velocidad inicial del saco de lastre será la misma que la del globo: voy = 3 m/s. Como lleva un
MRUD, sus ecuaciones serán: vy = voy – g.t vy = 3 – 10.t e y = yo + voy.t – ½.g.t2 y una vez
calculada yo, queda en: y = 110 + 3.t – 5.t2.
7b) Como sabemos que a los 5 s llega al suelo (yf = 0): yf = 0 = yo + 3*5 – 5*(5)2 = 15 – 125 = – 110 m,
luego: yo = 110 m.
8a) Gráfica cualitativa.
8b) Gráfica cuantitativa.