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TIPOS Y ESTUDIO DE LOS
PRINCIPALES MOVIMIENTOS
(CINEMÁTICA)
Unidad 5
2
Contenidos (1)
1.2.3.4.-
Definición de Cinemática.
Clasificación de los movimientos:
Movimiento rectilíneo uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Caída libre.
5.- Composición de movimientos:
5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.
5.2. Tiro horizontal.
5.3. Tiro oblicuo.
3
Contenidos (2)
6.- Movimiento circular uniforme.
7.-
Movimiento circular uniformemente acelerad
4
Definición de Cinemática



Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse
de las causas que lo producen, es decir, de las fuerzas.
Las únicas magnitudes que se usan son, pues, la
posición y el tiempo y las derivadas de ambas, es decir,
la velocidad y la aceleración.
Para medir el espacio definiremos un sistema de
referencia y el vector posición r (r).
5
Tipos de movimientos


Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican
en:
Variación en “at”
– at = 0; ∆v = 0, es decir, la rapidez es constante ⇒ Mov.
Uniforme.
– at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo
⇒ Mov. Uniformemente acelerado.
– at ≠ k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al
tiempo
⇒ Mov. Variado.
6
Tipos de movimientos (cont.)

Variación en “an”
– an = 0 (porque R= ∞); no hay variación en
la trayectoria ⇒ Mov. Rectilíneo.
– an ≠ 0 y R = k; la trayectoria es circular
⇒ Mov. Circular.
– an ≠ 0 y R ≠ k ; la trayectoria cambia
continuamente de radio
⇒ Mov. Curvilíneo.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
M.R.U.
Se cumple que a = 0
at = 0
an = 0
8
Ecuación del movimiento.

Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no
depende del tiempo (no cambia ni el módulo ni la
dirección), ya que sólo la derivada de una constante
da 0.
Δr = v · Δt
r = r0 + v·t

Ejemplo: Sea v = 3 i m/s ⇒ a = 0

Para obtener la posición:
r = 3i · t + r0 Ecuación vectorial
(r0 = constante)
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad
es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación
vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su
posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el
instante t = 2 s?

r = v · t + r0 =
= [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m
r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m
= (8 i + 8 j– 11 k) m
r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m
9
Ecuación escalar del movimiento.



Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo
es situarlo en el eje de las “x” con lo que:
v = vx · i = k · i
r = x · i = (x0 + vx · t) · i
Eliminando i de ambas miembros de las
ecuaciones nos queda:
vx = k

10
;
x = x0 + vx· t
que se les denomina ecuaciones escalares.
Ecuaciones escalares del MRU
en tres dimensiones.




Si no está situado en el eje “x”
v = v x · i + vy · j + v z · k
en donde vx, vy, vz son tres
constantes.
Entonces r = x · i + y · j + z · k =
= (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k
Y las ecuaciones escalares quedarían:
vx = k1 ;
x = x 0 + vx · t
vy = k2 ;
y = y 0 + vy · t
vz = k3 ;
z = z 0 + vz· t
11
Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del
movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:
v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía
determinada por r0 = (2 i + k) m.
Ecuaciones escalares
de velocidad
de posición
vx = 3 m/s ;
x = (2 + 3 t) m
vy = 4 m/s ;
y=
4tm
Vz = –6 m/s ;
z = (1 – 6 t) m
12
13
Representación gráfica x/t.

Al representar “x”
frente a “t” se
obtiene una recta
cuya pendiente es
“v” (v = tg α) y la
ordenada en el
origen es x0.
x(m)
x =
x0
x0
+
t
v·
∆x
α
∆t
t(s)
14
Representación gráfica v/t

Al representar “v”
v(m/s)
frente a “t” se
obtiene una recta
horizontal ya que “v”
es constante y no
varía con “t”.
vx = k
t(s)
Movimiento Rectilíneo
Uniformemente acelerado
M.R.U.A
Se cumple que a = k · ut
at = k = a
an = 0
Como la dirección no varía ut puede coincidir
con cualquier vector unitario i, j o k.
16
Ecuaciones del movimiento. MRUA




Este tipo de movimiento se caracteriza porque
posee aceleración constante en módulo, dirección y
sentido (a=cte).
Como el movimiento es rectilíneo v0 y a van en la
misma dirección.
Ecuación de velocidad: Sabiendo que a=cte
v = a · t + v0
Ecuación de posición:
r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la
ecuación queda:
r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i
Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las
siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s
r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la
velocidad y de la posición.
v = a · t + v0
v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i
r = ½ a · t2 + v 0 · t + r 0
r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i
17
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad
18
es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de
la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0
su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el
instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =
= (8 + 4 + 3) j m
r (t = 2 s) = 15 j m
19
Ecuaciones escalar del movimiento.





Cuando el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno
de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que:
v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i
r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i
Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones
escalares:
vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y
tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g (sentido hacia abajo) y las
ecuaciones serán:
vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2
Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones
del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;
r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones
escalares.

vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2

Comparando con la ecuación general observamos que las
constantes del movimiento son:
ay = 4 m/s2 ;
v0y = 2 m/s;
y0 = 3 m


Y las ecuaciones escalares:
ay = 4 m/s2

vy = (4 t + 2) m/s

y = (3 + 2 · t + 2 t2) m

20
21
Representación gráfica a/t

Al representar “a”
frente a “t” se
obtiene una recta
horizontal ya “a” es
constante y no varía
con “t”.
aX (m/s2)
ax = k
t(s)
22
Representación gráfica v/t

Al representar “v”
frente a “t” se
obtiene una recta
cuya pendiente es
“ax” (ax = tg α) y la
ordenada en el
origen es v0x.
Vx (m/s)
vx
x
= v0
v0x
+
t
·
ax
∆vx
α
∆t
t(s)
23
Representación gráfica x/t

Al representar “x” frente x(m)
a “t” se obtiene una
parábola cuya pendiente
“v” varía con el tiempo y
que vale 0 cuando el
movimiento cambia de
sentido (v = tg α) y la
ordenada en el origen
es x0.
Vx= 0
∆x
x0
α
∆t
t(s)
24
Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del
movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m .
ay (m/s2)
t(s) vy (m/s) Vy (m/s)
0
1
2
3
4
5
2
6
10
14
18
12 m/s
10
α
3s
t(s)
2
4
t(s)
tg α = (12m/s)/3 s = 4 m/s2
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del
movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .
t(s)
0
1
2
3
4
y (m)
3
7
15
27
43
y (m)
40
30
20
10
2
4
(Viene de la diapositiva anterior)
t(s)
25
26
Composición de movimientos




Se basan en dos principios:
P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos
movimientos simultáneos, su cambio de posición es
independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos.
P. de superposición: La posición, velocidad y
aceleración vienen dados por la sumas vectorial de los
movimientos parciales.
Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se
pueden considerar independientes. El tiempo es la única
magnitud común para ambos.
Composición de dos movimientos
uniformes perpendiculares.
27

La ecuación de velocidad será:
v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.

La ecuación de la posición será:
r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j

En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el
“tiempo” común:
vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t


Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se
obtiene la ecuación de la trayectoria:

vy
y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta
vx
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una
28
barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?
50 m
Vbarca = (5 ·cos α i + 5 ·sen α j) m/s
α
Vrío = –3 m/s i
Ecuaciones escalares de velocidad:
Vx= 5 m/s · cos α – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen α
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una
barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ecuaciones escalares de posición:

x = (5 m/s · cos α – 3 m/s) · t
Para cruzar justo enfrente x = 0
0 = 5 m/s · cos α – 3 m/s ⇒ cos α = 3/5
⇒ α =arc cos 3/5 = 53’13 º
y = 5 m/s · sen α · t = 5 m/s · 0,8 · t
Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t
⇒ t = 12,5 s






(Viene de la diapositiva anterior)
29
Tiro horizontal

Es una composición
de dos movimientos:
un MRU en el eje
horizontal (de las
“x”) y un MRUA
(caída libre) en el
eje vertical (de las
“y”).
30
Tiro horizontal (se cumple que:
vx = v0 ; v 0y = 0 ⇒ vy = – g · t)
Se suele llamar “h” a la altura inicial (y 0)
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v 0 ;
vy = – g · t
x = v0 · t ; y = h – ½ g · t 2
Ecuación de la trayectoria:
g
2
y = h – –——
·
x
2 v 02
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):
0=h–½g·t ⇒
2
–——
t = √ 2 h/g
31
Tiro horizontal (continuación).
Alcance (“x” para y = 0):
–——
x = v0 · √ 2 h/g
Velocidad de impacto con el suelo:
——–
——–
vx = v0 ; vy = – g · √ 2 h/g = – √ 2 g h
–——–—
v = √ vx2 + vy2 ;
–——–———
v = √ v02 + 2 g h
32
Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente
33
desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si
pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado,
calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras;
b) el tiempo que tardan en caer éstas.
a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½] despejamos “v0”:
x
30 m
v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s
(2 h/g)½ (2 ·25 m/9,8 m/s2)½
b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos “t”:
x
30 m
t = —— = ————— = 2,26 s
v0
13,28 m/s
Tiro parabólico

Es una composición de dos movimientos: un MRU
en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA (caída
libre) en el eje vertical (de las “y”).
34
35
Tiro parabólico

Ecuaciones del movimiento:
a=–g·j ;
v = v0x · i + (v0y – g · t) · j
r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j
v0x = v0 · cos α ; v0y = v0 · sen α
Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que:
v = v0 · cos α · i + (v0 · sen α – g · t) · j
r = v0·cos α · t · i + (h + v0·sen α · t – ½ g · t2)· j
Tiro parabólico (continuación).
36
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos α ; vy = v0 · sen α – g · t
x = v0 · cos α · t; y = h + v0 · sen α · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t” en
las ecuaciones de posición):
x
x
g x2
t = ———– ⇒ y = h + v0 sen α ———— – —————
v0 cos α
v0 cos α 2 (v0 cos α)2
g
y = h + tg α · x – ——————2 · x2 (parábola)
2 (v0 cos α)
Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a
suponer que se lanza desde el suelo: y 0 = h = 0).
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos α ; vy = v0 · sen α – g · t
x = v0 · cos α · t; y = v0 · sen α · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando “t”
en las ecuaciones de posición):
x
x
g x2
t = ———– ⇒ y = v0 sen α ———— – —————–
v0 cos α
v0 cos α
2 (v0 cos α)2
g
2
y = tg α · x – ——————
x
2 (v0 cos α)2
37
Tiro oblicuo
38
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

0 = v0 · sen α · t – ½ g · t2

Sacando factor común “t”:
0 = (v0 · sen α – ½ g · t) · t


Cuyas soluciones son: t = 0
2 v0 · sen α
t = ———————
g
Tiro oblicuo.
Alcance (x para y = 0):





Sacando factor común “x” de la ecuación de la
trayectoria e igualando a 0:
0 = [tg α – ½ g / (v0 cos α)2 · x] · x
Cuyas soluciones son: x = 0
x = 2 v02 · cos2 α · tg α /g = 2 v02 sen α · cos α /g
v02 · sen 2α
x = ——————
g
A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor
máximo se obtendrá cuando α = 45º
39
Tiro oblicuo.
Velocidad de impacto con el suelo
40
vx = v0 · cos α ; vy = v0 · sen α – g · t
 Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen α / g” en vy que es la
que varía se tendrá:
vy = v0 · sen α – g · ( 2 v0 sen α / g)
vy = – v0 · sen α ; vx = v0 · cos α
————
—————————————
2
2
v = √ vx + vy = √(v0 · cos α)2 + (– v0 · sen α )2
—————————
——
2
2
2
v = √ v0 (cos α + sen α) = √ v02 = v0
Es decir, siempre que se lance desde el
suelo, la
velocidad de caída es igual a la de lanzamiento.

Tiro oblicuo.
Altura máxima (y para vy = 0).
0 = v0 · sen α – g · t
De donde t = v0 · sen α/ g (observa que es justo la mitad que
el tiempo de impacto con el suelo)
 Sustituyendo “t” por “v0 · sen α/ g” en la ecuación de posición
“y”
y = v0·sen α ·(v0·sen α/g) – ½ g·(v0·sen α/ g)2=

= v02· sen2 α/ g – ½ (v02· sen2 α/ g)
y=
v02 · sen2 α
2g
41
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una
42
velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
cada caso.
a)
v02 · sen 2α
(15 m/s)2 · sen 60º
x(α= 30º) = —————— = —————————
= 19,9 m
g
9,8 m/s2
v02 · sen 2α
(15 m/s)2 · sen 90º
x(α= 45º) = —————— = —————————
= 23,0 m
g
9,8 m/s2
v02 · sen 2α
(15 m/s)2 · sen 120º
x(α= 60º) = —————— = —————————
= 19,9 m
g
9,8 m/s2
b)
2 v0 · sen α 2 · 15 m/s · sen 30º
t (α= 30º) = ————— =2 ————————— = 1,53 s
g
9,8 m/s
Análogamente t (α= 45º) = 2,16 s; t (α= 60º) = 2,65 s
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una
43
velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
cada caso.
c)
v02 · sen2 α
(15 m/s)2 · sen 2 30º
y (α= 30º) = —————— = —————————
= 2,87 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
v02 · sen2 α
(15 m/s)2 · sen 2 45º
y (α= 45º) = —————— = —————————
= 5,74 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
v02 · sen2 α
(15 m/s)2 · sen 2 60º
y (α= 60º) = —————— = —————————
= 8,61 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
(Viene de la diapositiva anterior)
MOVIMIENTOS CIRCULARES
45
Movimientos circulares




El vector posición r va cambiando
continuamente de dirección y sentido pero no así
su módulo: r= R (radio)
Periodo (T): Es el tiempo que tarda en dar una
vuelta completa. Se mide en segundos.
Frecuencia (υ): Es el número de vueltas que da
por unidad de tiempo. Se mide en herzios = s –1.
T = 1/ υ
46
Movimientos circulares (cont.).





Ángulo (ϕ): Se mide en rad. Es un vector
perpendicular al plano del ángulo y sentido horario.
Como 1 vuelta = 360º = 2π rad
La distancia recorrida (∆e) escalar toma el valor:
∆ e = ∆ ϕ  · R = ∆ ϕ · R
Existen otras dos magnitudes vectoriales que son
la velocidad angular (ω) y la aceleración angular
(α)
con
definiciones
similares
a
sus
correspondientes lineales.
Movimientos circulares (cont.).






Velocidad angular (ω):
ω=dϕ/dt
Tiene la misma dirección y sentido que ϕ y se
mide en rad/s.
Aceleración angular (α):
α=dω/dt
Tiene la misma dirección que ω y su mismo
sentido si ésta aumenta y sentido contrario si
disminuye. Se mide en rad/s 2.
47
Movimiento Circular Uniforme
M.C.U.
Se cumple que a ≠ 0
at = 0 (v = cte)
an = k (como v = cte ⇒ R = cte)
Mov. Circular uniforme (MCU).

Como at = at= ∆v /∆ t = 0 ⇒ v= k

La velocidad angular es constante: ω = ω · k

ω = ω= 2π rad / T (s) = 2π rad · υ
Como ω = ∆ϕ/∆t : ϕ = ω · t + ϕ0

49

En la práctica utilizaremos la ecuación escalar que es
similar:
ϕ = ω · t + ϕ0

La celeridad “v” depende lógicamente del radio:


∆e
∆ϕ·R
v = —— = ——— = ω · R
∆t
∆t
Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad
50
angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula:
a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la
velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra
a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.
90 vueltas
min
2 π rad
ω = ————— · ——— · ———— = 3 π rad/s
min
60 s
vuelta

a)

b)
3 π rad
v = ω · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
s

c)
3 π rad
∆ϕ = ω · t = ———— · 10 s = 30 π rad = 15 vueltas
s
Movimiento Circular
Uniformemente acelerado
M.C.U.A
Se cumple que a ≠ 0
at = k
an ≠ k’
Movimiento circular uniformemente
acelerado (MCUA).





52
dv d v
d (ω·R) d ω
at=at= —— = —— = ——— = —— ·R = α · R
dt
dt
dt
dt
Como α = ∆ω / ∆ t se obtiene la ecuación de la
velocidad angular en función del tiempo:
ω = α · t + ω0
Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del
ángulo en función del tiempo:
ϕ = ½ α · t2 + ω0 · t + ϕ0
Relación entre ecuaciones
lineales y angulares.




MRU
v = k (constante)
Ecuación e = f(t):
e = e0 + v · t




MCU
ω = k (constante)
Ecuación ϕ = f(t):
ϕ = ϕ0 + ω · t
e =ϕ·R
v =ω·R
53
Relación entre ecuaciones
lineales y angulares (cont.).

MRUA
a = k (constante)
Ecuación v = f(t):

v = v0 + a · t

Ecuación e = f(t):

e = e0 + v0 t + ½ a ·t


2

MCUA

α = k (constante)

Ecuación ω = f(t):
ω = ω0 + α · t



Ecuación ϕ = f(t):
ϕ = ϕ0 + ω0 t + ½ α ·t2
e =ϕ·R
v =ω·R
at = α · R
54
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en
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reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

a)

b) ω (t = 25 s) = ω0 + α · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) = ω · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s
∆ω
5 rad/s – 0
α = —— = —————— = 0,083 rad/s2
∆t
60 s
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en
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reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

c) at = α · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2

an= v2 /R = ω2 · R = α2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2

an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2

d) ∆ϕ (t = 1 min) = ω0·t + ½ α · t2 =

(an depende de “t”)
½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas
(Viene de la diapositiva anterior)
Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante
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los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos
situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual
permanece durante todo el tiempo que dura la atracción.
Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los
2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como
los valores de sus módulos.
v
5 m/s
ω (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s
R
5m
ω – ω0 1 rad/s – 0
α = ——— = ————— = 0,2 rad/s2
t
5s
ω (t = 2 s) = ω0 + α·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s
v (t = 2 s) = ω · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s
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v2 (2 m/s)2
an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2
R
5m
at (t = 2 s) = α ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2
a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2
v2 (5 m/s)2
an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2
R
5m
at (t = 8 s) = α ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2
a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2