Download 12 Tipos de movimiento

TIPOS Y ESTUDIO DE LOS
PRINCIPALES MOVIMIENTOS
(CINEMÁTICA)
Unidad 12
2
Contenidos (1)
1.2.3.4.-
Definición de Cinemática.
Clasificación de los movimientos:
Movimiento rectilíneo uniforme.
Movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado. Caída libre.
5.- Composición de movimientos:
5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.
5.2. Tiro horizontal.
5.3. Tiro oblicuo.
3
Contenidos (2)
6.- Movimiento circular uniforme.
7.- Movimiento circular uniformemente
acelerado.
4
Definición de Cinemática
Es la ciencia que estudia el movimiento
sin preocuparse de las causas que lo
producen, es decir, de las fuerzas.
 Las únicas magnitudes que se usan
son, pues, la posición y el tiempo y las
derivadas de ambas, es decir, la
velocidad y la aceleración.
 Para medir el espacio definiremos un
sistema de referencia y el vector
posición r (r).

5
Tipos de movimientos
Según sean “”at “y “an” los movimientos
se clasifican en:
 Variación en “at”

– at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es
constante  Mov. Uniforme.
– at = k; es decir, la rapidez varía
proporcionalmente al tiempo
 Mov. Uniformemente acelerado.
– at  k; es decir, la rapidez no es
directamente proporcional al tiempo
 Mov. Variado.
6
Tipos de movimientos (cont.)

Variación en “an”
– an = 0 (porque R= ); no hay variación en
la trayectoria  Mov. Rectilíneo.
– an  0 y R = k; la trayectoria es circular
 Mov. Circular.
– an  0 y R  k ; la trayectoria cambia
continuamente de radio
 Mov. Curvilíneo.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
M.R.U.
Se cumple que a = 0
at = 0
an = 0
8
Ecuación del movimiento.

Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y
no depende del tiempo (no cambia ni el módulo
ni la dirección), ya que sólo la derivada de una
constante da 0.

dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k

Ejemplo: Sea v = 3 i m/s  a = 0

Para obtener la posición se vuelve a integrar:
r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0
(r0 = constante)

Ecuación
vectorial
Ejemplo: Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt =
= (3 t + k) · i m
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad
9
es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación
vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su
posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el
instante t = 2 s?

r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 =
= [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m
r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m
= (8 i + 8 j– 11 k) m
r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m
10
Ecuación escalar del movimiento.



Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo
es situarlo en el eje de las “x” con lo que:
v = vx · i = k · i
r = x · i = (x0 + vx · t) · i
Eliminando i de ambas miembros de las
ecuaciones nos queda:
vx = k

;
x = x0 + v x· t
que se les denomina ecuaciones escalares.
Ecuaciones escalares del MRU en
tres dimensiones.




Si no está situado en el eje “x”
v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son
tres constantes.
Entonces r = x · i + y · j + z · k =
= (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k
Y las ecuaciones escalares quedarían:
vx = k1 ;
x = x 0 + v x· t
vy = k 2 ;
y = y0 + vy· t
vz = k 3 ;
z = z0 + vz· t
11
Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del
movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:
v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía
determinada por r0 = (2 i + k) m.
Ecuaciones escalares
de velocidad
de posición
vx = 3 m/s ;
x = (2 + 3 t) m
vy = 4 m/s ;
y=
4tm
Vz = –6 m/s ;
z = (1 – 6 t) m
12
13
Representación gráfica x/t.

Al representar “x”
frente a “t” se
obtiene una recta
cuya pendiente es
“v” (v = tg ) y la
ordenada en el
origen es x0.
x(m)
x

x0
t
t(s)
14
Representación gráfica v/t

Al representar “v”
v(m/s)
frente a “t” se
obtiene una recta
horizontal ya “v” es
constante y no varía
con “t”.
vx = k
t(s)
Movimiento Rectilíneo
Uniformemente acelerado
M.R.U.A
Se cumple que a = k · ut
at = k = a
an = 0
Como la dirección no varía ut puede coincidir
con cualquier vector unitario i, j o k.
16
Ecuaciones del movimiento. MRUA


a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el
tiempo siempre al mismo ritmo.
dv = a dt.
Integrando:

v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)
v = a · t + v0
Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt


r = ½ a · t2 + v 0 · t + r 0
(r0 = constante)
Si el movimiento transcurre a lo largo del eje
“x” la ecuación vectorial se expresará como:
r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i
Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las
siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s
r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la
velocidad y de la posición.
v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt
v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i
 r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt
r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i

17
Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad
18
es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de
la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0
su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el
instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt =
= (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m
r = (2 t2 + 2 t + 3) j m
r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =
= (8 + 4 + 3) j m
r (t = 2 s) = 15 j m
19
Ecuaciones escalar del movimiento.



Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos
en uno de los ejes, por ejemplo el “x” con lo que:
v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i
r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i
Eliminando el vector unitario i quedan las
ecuaciones escalares:

vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2

Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical
(caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g
(sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán:
vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2
20
Ecuación vx = f(x).
Despejando “t en la ecuación vx = ax · t + v0x :
vx –vox
t = ————
ax
y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
vx –vox 1
(vx –vox)2
x = x0 + v0x · ——— + — ax · ————
ax
2
ax2
2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox
Despejando vx:
vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)
21
Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones
del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;
r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones
escalares.







vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2
Comparando con la ecuación general
observamos que las constantes del
movimiento son:
ay = 4 m/s2 ;
v0y = 2 m/s;
y0 = 3 m
Y las ecuaciones escalares:
ay = 4 m/s2
vy = (4 t + 2) m/s
y = (3 + 2 · t + 2 t2) m
22
Representación gráfica a/t

Al representar “a”
frente a “t” se
obtiene una recta
horizontal ya “a” es
constante y no varía
con “t”.
aX (m/s2)
ax = k
t(s)
23
Representación gráfica v/t

Al representar “v”
frente a “t” se
obtiene una recta
cuya pendiente es
“ax” (ax = tg ) y la
ordenada en el
origen es v0x.
Vx (m/s)
vx

v0x
t
t(s)
24
Representación gráfica x/t

Al representar “x”
x(m)
frente a “t” se
obtiene una
parábola cuya
pendiente “v” varía
con el tiempo y que
vale 0 cuando el
movimiento cambia
de sentido (v = tg )
y la ordenada en el
origen es x0.
Vx= 0
x

x0
t
t(s)
25
Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del
movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m .
ay (m/s2)
t(s) vy (m/s) Vy (m/s)
0
1
2
3
4
5
2
6
10
14
18
12 m/s
10

3s
t(s)
2
4
t(s)
tg  = (12m/s)/3 s = 4 m/s2
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del
movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;
v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .
t(s)
0
1
2
3
4
y (m)
3
7
15
27
43
y (m)
40
30
20
10
2
4
(Viene de la diapositiva anterior)
t(s)
26
27
Composición de movimientos




Se basan en dos principios:
P. de Independencia: Cuando un móvil tiene
dos movimientos simultáneos, su cambio de
posición es independiente de considerarlos
simultáneos o sucesivos.
P. de superposición: La posición, velocidad
y aceleración vienen dados por la sumas
vectorial de los movimientos parciales.
Si los movimientos transcurren en ejes
distintos, se pueden considerar
independientes. El tiempo es la única
magnitud común para ambos.
Composición de dos movimientos
uniformes perpendiculares.




La ecuación de velocidad será:
v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.
La ecuación de la posición será:
r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j
En la práctica se tienen dos ecuaciones
independientes con el “tiempo” común:
vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t

Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en
la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria:

vy
y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta
vx
28
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una
29
barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?
50 m
Vbarca = (5 ·cos  i + 5 ·sen  j) m/s

Vrío = –3 m/s i
Ecuaciones escalares de velocidad:
Vx= 5 m/s · cos  – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen 
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una
barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección
deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del
agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ecuaciones escalares de posición:

x = (5 m/s · cos  – 3 m/s) · t
Para cruzar justo enfrente x = 0
0 = 5 m/s · cos  – 3 m/s  cos  = 3/5
  =arc cos 3/5 = 53’13 º
y = 5 m/s · sen  · t = 5 m/s · 0,8 · t
Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t
 t = 12,5 s






(Viene de la diapositiva anterior)
30
31
Tiro parabólico

Es una composición de dos movimientos: un
MRU en el eje horizontal (de las “x”) y un MRUA
(caída libre) en el eje vertical (de las “y”).
Ecuaciones del movimiento:
a=–g·j ;
v = v0x · i + (v0y – g · t) · j
r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j
v0x = v0 · cos  ; v0y = v0 · sen 
Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo
que:
v = v0 · cos  · i + (v0 · sen  – g · t) · j
r = v0·cos  · t · i + (h + v0·sen  · t – ½ g · t2)· j
32
Tiro parabólico (continuación).
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
x = v0 · cos  · t; y = h + v0 · sen  · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene
eliminando “t” en las ecuaciones de posición):
x
x
g x2
t = ———–  y = h + v0 sen  ———— – —————2
v0 cos 
v0 cos  2 (v0 cos )
g
y = h + tg  · x – —————— · x2
(parábola)
2 (v0 cos )2
33
Tiro horizontal (se cumple que:
 = 0  vx = v0 ; v 0y = 0  vy = – g · t)
Se suele llamar “h” a la altura inicial (y0)
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v 0 ;
vy = – g · t
x = v0 · t ;
y = h – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria:
g
2
y = h – –——
·
x
2 v02
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):
0=h–½g·
t2

–——
t =  2 h/g
Tiro horizontal (continuación).
Alcance (“x” para y = 0):
–——
x = v0 ·  2 h/g
Velocidad de impacto con el suelo:
——–
——–
vy = – g ·  2 h/g = –  2 g h
vx = v 0 ;
–——–—
v =  vx2 + vy2 ;
–——–———
v =  v 02 + 2 g h
34
Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente
35
desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si
pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado,
calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras;
b) el tiempo que tardan en caer éstas.
a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½]
despejamos “v0”:
x
30 m
v0 = ————
= —————————
= 13,28 m/s
½
2
½
(2 h/g)
(2 ·25 m/9,8 m/s )
b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos “t”:
x
30 m
t = —— = ————— = 2,26 s
v0
13,28 m/s
36
Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a
suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
x = v0 · cos  · t; y = v0 · sen  · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria (se obtiene
eliminando “t” en las ecuaciones de posición):
x
x
g x2
t = ———–  y = v0 sen  ———— – —————–
v0 cos 
v0 cos 
2 (v0 cos )2
g
2
y = tg  · x – ——————
x
2 (v0 cos )2
37
Tiro oblicuo
Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):




0 = v0 · sen  · t – ½ g · t2
Sacando factor común “t”:
0 = (v0 · sen  – ½ g · t) · t
Cuyas soluciones son: t = 0
2 v0 · sen 
t = ———————
g
Tiro oblicuo.
Alcance (x para y = 0):





38
Sacando factor común “x” de la ecuación de la
trayectoria e igualando a 0:
0 = [tg  – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x
Cuyas soluciones son: x = 0
x = 2 v02 · cos2  · tg  /g = 2 v02 sen  · cos  /g
v02 · sen 2
x = ——————
g
A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor
máximo se obtendrá cuando  = 45º
Tiro oblicuo.
Velocidad de impacto con el suelo
vx = v0 · cos  ; vy = v0 · sen  – g · t
 Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen  / g” en vy
que es la que varía se tendrá:
vy = v0 · sen  – g · ( 2 v0 sen  / g)
vy = – v0 · sen  ; vx = v0 · cos 
————
—————————————
2
2
v =  vx + vy = (v0 · cos )2 + (– v0 · sen  )2
—————————
——
2
2
2
v =  v0 (cos  + sen ) =  v02 = v0

Es decir, siempre que se lance desde el
suelo, la velocidad de caída es igual a la de
lanzamiento.
39
Tiro oblicuo.
Altura máxima (y para vy = 0).
0 = v0 · sen  – g · t
 De donde t = v0 · sen / g (observa que es
justo la mitad que el tiempo de impacto con el
suelo)
 Sustituyendo “t” por “v0 · sen / g” en la
ecuación de posición “y”
y = v0·sen  ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2=
= v02· sen2 / g – ½ (v02· sen2 / g)
v02 · sen2 
y=
2g
40
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una
41
velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
cada caso.
a)
v02 · sen 2
(15 m/s)2 · sen 60º
x(= 30º) = —————— = —————————
= 19,9 m
2
g
9,8 m/s
v02 · sen 2
(15 m/s)2 · sen 90º
x(= 45º) = —————— = —————————
= 23,0 m
2
g
9,8 m/s
v02 · sen 2
(15 m/s)2 · sen 120º
x(= 60º) = —————— = —————————
= 19,9 m
2
g
9,8 m/s
b)
2 v0 · sen  2 · 15 m/s · sen 30º
t (= 30º) = ————— = —————————
= 1,53 s
2
g
9,8 m/s
Análogamente t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s
Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una
42
velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo
de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón
permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en
cada caso.
c)
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 30º
y (= 30º) = —————— = —————————
= 2,87 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 45º
y (= 45º) = —————— = —————————
= 5,74 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 60º
y (= 60º) = —————— = —————————
= 8,61 m
2
2g
2 · 9,8 m/s
(Viene de la diapositiva anterior)
MOVIMIENTOS CIRCULARES
44
Movimientos circulares
El vector posición r va cambiando
continuamente de dirección y sentido
pero no así su módulo: r= R (radio)
 Periodo (T): Es el tiempo que tarda en
dar una vuelta completa. Se mide en
segundos.
 Frecuencia (): Es el número de
vueltas que da por unidad de tiempo.
Se mide en herzios = s–1.

T = 1/ 

45
Movimientos circulares (cont.).

Ángulo (): Se mide en rad. Es un vector

perpendicular al plano del ángulo y sentido el
del avance del tornillo.
Como 1 vuelta = 360º = 2 rad
La distancia recorrida (e) escalar toma el
valor:



e =   · R =   · R
Existen otras dos magnitudes vectoriales que
son la velocidad angular () y la aceleración
angular () con definiciones similares a sus
correspondientes lineales.
46
Movimientos circulares (cont.).
Velocidad angular ():

=d/dt
 Tiene la misma dirección y sentido que
 y se mide en rad/s.
 Aceleración angular ():

=d/dt
 Tiene la misma dirección que  y su
mismo sentido si ésta aumenta y
sentido contrario si disminuye. Se mide
en rad/s2.

Movimiento Circular Uniforme
M.C.U.
Se cumple que a  0
at = 0 (v = cte)
an = k (como v = cte  R = cte)
48
Mov. Circular uniforme (MCU).








Como at = at= v / t = 0  v= k
La velocidad angular es constante:  =  · k
 = = 2 rad / T (s) = 2 rad · 
Integrando:  = ∫ d  = ∫  · d t =  · t + 0
En la práctica utilizaremos la ecuación escalar
que es similar:
 =  · t + 0
La celeridad “v” depende lógicamente del
radio:
e
·R
v = —— = ——— =  · R
t
t
Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad
49
angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula:
a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la
velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra
a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.
90 vueltas
min
2  rad
 = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s
min
60 s
vuelta

a)

b)
3  rad
v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
s

c)
3  rad
 =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas
s
Movimiento Circular
Uniformemente acelerado
M.C.U.A
Se cumple que a  0
at = k
an  k’
Movimiento circular uniformemente
acelerado (MCUA).





51
dv d v
d (·R) d 
at=at= —— = —— = ——— = —— ·R =  · R
dt
dt
dt
dt
Integrando d  =  · d t se obtiene la ecuación
de la velocidad angular en función del tiempo:
 =  · t + 0
Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del
ángulo en función del tiempo:
 = ½  · t2 + 0 · t + 0
Relación entre ecuaciones
lineales y angulares.
MRU
 v = k (constante)
 Ecuación e = f(t):
 e = e0 + v · t

MCU
  = k (constante)
 Ecuación  = f(t):
  = 0 +  · t

e =·R
v =·R
52
Relación entre ecuaciones
lineales y angulares (cont.).
MRUA
 a = k (constante)
 Ecuación v = f(t):

e = e0 + v0 t + ½ a ·t2

53
MCUA
  = k (constante)
 Ecuación  = f(t):
 v = v0 + a · t
  = 0 +  · t
 Ecuación e = f(t):  Ecuación  = f(t):


 = 0 + 0 t + ½  ·t2
e =·R
v =·R
at =  · R
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en
54
reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

5 rad/s – 0
 = —— = —————— = 0,083 rad/s2
t
60 s

a)

b)  (t = 25 s) = 0 +  · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) =  · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s
(Continúa en la diapositiva siguiente)
Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en
55
reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración
angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la
periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las
componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del
borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

c) at =  · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2

an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2

an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2

d)  (t = 1 min) = 0·t + ½  · t2 =

(an depende de “t”)
½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas
(Viene de la diapositiva anterior)
Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante
56
los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos
situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual
permanece durante todo el tiempo que dura la atracción.
Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los
2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como
los valores de sus módulos.
v
5 m/s
 (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s
R
5m
 – 0 1 rad/s – 0
 = ——— = ————— = 0,2 rad/s2
t
5s
 (t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s
v (t = 2 s) =  · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s
57
v2 (2 m/s)2
an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2
R
5m
at (t = 2 s) =  ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2
a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2
v2 (5 m/s)2
an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2
R
5m
at (t = 8 s) =  ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2
a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2