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TIPOS Y ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES
MOVIMIENTOS (CINEMÁTICA)
Unidad 12
CONTENIDOS
1.2.3.-
Definición de Cinemática.
Clasificación de los movimientos:
Movimiento rectilíneo uniforme.
3.1.
4.-
Composición de movimientos:
4.1.
4.2.
4.3.
5.6.-
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Caída libre.
Dos movimientos MRU perpendiculares.
Tiro horizontal.
Tiro oblicuo.
Movimiento circular uniforme.
Movimiento circular uniformemente acelerado. 
DEFINICIÓN DE CINEMÁTICA
Es la ciencia que estudia el movimiento sin preocuparse de las causas que lo
producen, es decir, de las fuerzas.
Las únicas magnitudes que se usan son, pues, el espacio y el tiempo y las derivadas
de ambas, es decir, la velocidad y la aceleración.
Para medir el espacio definiremos un sistema de referencia y el vector posición r (r).
TIPOS DE MOVIMIENTOS
Según sean “”at “y “an” los movimientos se clasifican en:
Variación en “at”
 at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es constante  Mov.
Uniforme.

at = k; es decir, la rapidez varía proporcionalmente al tiempo
 Mov. Uniformemente acelerado.

at  k; es decir, la rapidez no es directamente proporcional al tiempo
 Mov. Variado.
Variación en “an”
 an = 0 (porque R= ); no hay variación en la trayectoria  Mov.
 an  0 y R = k; la trayectoria es circular  Mov. Circular.

an  0 y R  k ; la trayectoria cambia continuamente de radio
 Mov. Curvilíneo.
Rectilíneo.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Se cumple que a = 0, es decir, at = 0 ; an = 0
Método práctico de integración de polinomios
Antes de desarrollar las ecuaciones del movimiento vamos a ver como se integran
polinomios.
Ejemplo:
Integrar: vx = 5 t3 + 4 t2 – 3 t + 2 = dx/dt
x = ∫ dx = ∫ vx dt = 5/4 t4 + 4/3 t3 – 3/2 t2 + 2 t + k
En general, sea y = a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g
de forma que y = dz/dx. Se puede obtener “z” separando las dos diferenciales e
integrando:
z = ∫ dz = ∫ y dx
z = ∫ (a · xn + b · xn–1 + ... + f · x + g)·dx
z =·a· xn+1/(n+1) + b· xn /n + ... + f·x2/2 + gx + k
Ecuación del movimiento.
Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y no depende del tiempo (no cambia ni
el módulo ni la dirección), ya que sólo la derivada de una constante da 0.
dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k
Para obtener la posición se vuelve a integrar:
Ecuación vectorial: r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0
(r0 = constante)
Ejemplo:
Sea v = 3 i m/s  a = 0. ¿Cuál será la ecuación vectorial de “r” en función de “t”.
r = ∫ (3 i) m/s · dt = (3 t + r0) i m
Ejercicio:
Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la
ecuación vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su posición es r0 = (2 i + k) m,
¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?
r = ∫ dr = ∫ v · dt = v · t + r0 = [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m
r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m
r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m = (8 i + 8 j– 11 k) m
r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m
Ecuaciones escalares del movimiento.
Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo es situarlo en el eje de las “x” con
lo que:
v = vx · i = k · i
r = x · i = (x0 + vx · t) · i
Eliminando i de ambas miembros de las ecuaciones nos queda:
vx = k ;
x = x0 + vx· t
que se les denomina ecuaciones
escalares.
Ecuaciones escalares del MRU en tres dimensiones.
Si no está situado en el eje “x”
v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son tres constantes.
Entonces r = x i + y j + z k = (x0 + vx · t) i + (y0 + vy · t) j + (z0 + vz · t) k
Y las ecuaciones escalares quedarían:
vx = k1 ;
x = x0 + vx· t
vy = k2 ;
y = y0 + vy· t
vz = k3 ;
z = z0 + vz· t
Ejercicio:
Escribir las ecuaciones escalares del movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:
v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía determinada por r0 = (2 i + k) m.
Ecuaciones escalares
de velocidad: vx
de posición:
= 3 m/s
; vy = 4 m/s ; Vz = –6 m/s ;
x = (2 + 3 t) m ; y =
4tm
; z = (1 – 6 t) m.
Representación gráfica x/t.
Al representar “x” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “v” (v = tg ) y
la ordenada en el origen es x0.
Representación gráfica v/t
Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “v” es constante y no
varía con “t”.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Se cumple que: a = k · ut , es decir: at = k = a ; an = 0
Como la dirección no varía ut puede coincidir con cualquier vector unitario i, j o k.
Ecuaciones del movimiento MRUA.
a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el tiempo siempre al mismo ritmo.
dv = a dt.
Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)
Para obtener la posición se vuelve a integrar:
r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫ (a · t + v0) · dt =
r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante)
Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará
como:
r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i
Si el movimiento transcurre a lo largo del eje “x” la ecuación vectorial se expresará
como:
r = y j = (½ ay · t2 + v0y· t + y0) j
Ejemplo:
Sea el movimiento definido por las siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s r0 =
4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la velocidad y de la posición.
v = ∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt; v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i
r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt
r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i
Ejercicio:
Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la
ecuación vectorial de la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0 su
posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el instante t = 2 s?
a = dv/dt = 4 j m/s2
r = ∫ dr = ∫ v · dt = (4· t + 2 ) j dt = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m
r = (2 t2 + 2 t + 3) j m
r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m = (8 + 4 + 3) j m = 15 j m
Ecuaciones escalares del movimiento.
Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos en uno de los ejes, por ejemplo el
“x” con lo que:
v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) I
r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) i
Eliminando el vector unitario i quedan las ecuaciones
escalares:
vx = ax· t + v0x ; x = x0 + v0x· t + ½ ax · t2
Si el movimiento sucede en el eje “y” vertical (caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2,
ay = –g (sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán:
vy = v0y – g · t ; y = y0 + v0y· t – ½ g · t2
Ecuación vx = f(x).
Despejando “t en la ecuación: vx = ax · t + v0x :
vx –vox
t = ———
ax
y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2
vx –vox
1
(vx –vox)2
x = x0 + v0x · ——— + — ax · ————
ax
2
ax2
2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2 + vx2 + vox2 – 2 vx·vox
Despejando vx:
vx2 = vox2 + 2 ax( x – x0)
Ejercicio:
Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones del movimiento eran: a = 4 j m/s2;
v = (4· t +2) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m . Determinar sus ecuaciones escalares.
vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2
Comparando con la ecuación general observamos que las constantes del
movimiento son:
ay = 4 m/s2 ;
v0y = 2 m/s; y0 = 3 m
Y las ecuaciones escalares:
ay = 4 m/s2
vy = (4 t + 2) m/s
y = (3 + 2 · t + 2 t2) m
Representación gráfica “a/t”.
Al representar “a” frente a “t” se obtiene una recta horizontal ya “a” es constante y no
varía con “t”.
Representación gráfica “v/t”.
Al representar “v” frente a “t” se obtiene una recta cuya pendiente es “a x” (ax = tg ) y
la ordenada en el origen es v0x.
Representación gráfica “x/t”.
Al representar “x” frente a “t” se obtiene una parábola cuya pendiente “v” varía con el
tiempo y que vale 0 cuando el movimiento cambia de sentido (v = tg ) y la ordenada en
el origen es x0.
Ejercicio:
Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j
m/s2; v = (4 t +2) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
Se basan en dos principios:
P. de Independencia: Cuando un móvil tiene dos movimientos simultáneos, su
cambio de posición es independiente de considerarlos simultáneos o sucesivos.
La posición, velocidad y aceleración vienen dados por la
sumas vectorial de los movimientos parciales.
P. de superposición:
Si los movimientos transcurren en ejes distintos, se
independientes. El tiempo es la única magnitud común para ambos.
pueden
considerar
COMPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS UNIFORMES
PERPENDICULARES.
La ecuación de velocidad será: v = vx i + vy j, siendo “vx” y “vy” constantes.
La ecuación de la posición será: r = x i + y j = (x0 + vx t) i + (y0 + vy t) j
En la práctica se tienen dos ecuaciones independientes con el “tiempo” común:
vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t
Despejando “t” en una ecuación y sustituyendo en la otra se obtiene la ecuación de
la trayectoria:
vy
y = y0 + —– · (x – x0) (Ecuación de una recta)
vx
Ejemplo:
Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una barca llevando un velocidad de 5 m/s.
¿Que dirección deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del agua es de 3
m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?
Ecuaciones escalares de velocidad:
Vx = 5 m/s · cos  – 3 m/s ; Vy = 5 m/s · sen 
Ecuaciones escalares de posición:
x = (5 m/s · cos  – 3 m/s) · t ; y = 5 m/s · sen  · t
Para cruzar justo enfrente x = 0
0 = 5 m/s · cos  – 3 m/s  cos  = 3/5
  =arc cos (3/5);  = 53’13º
y = 5 m/s · sen  · t = 5 m/s · 0,8 t
Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t  t = 12,5 s
TIRO PARABÓLICO
Es una composición de dos movimientos: un MRU en el eje horizontal (de las “x”) y
un MRUA (caída libre) en el eje vertical (de las “y”).
Ecuaciones del movimiento:
a=–gj ;
v = v0x i + (v0y – g t) j
r = (x0 + v0x t) i + (y0 + v0y t – ½ g t2) j
v0x = v0 cos  ; v0y = v0 sen 
Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo que:
v = v0 · cos  i + (v0 · sen  – g t) j
r = v0 cos  · t i + (h + v0 sen  · t – ½ g t2) j
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 cos  ; vy = v0 · sen  – g t
x = v0 cos  · t; y = h + v0 · sen  · t – ½ g t2
Ecuación de la trayectoria
Se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición:
x
x
g x2
t = ———–  y = h + v0 sen  ———— – ——————
v0 cos 
v0 cos 
2 (v0 cos )2
g
y = h + tg  · x – —————– · x2 (parábola)
2 (v0 cos )2
TIRO HORIZONTAL
(se cumple que:  = 0  vx = v0 ; v0y = 0  vy = – g t)
Se suele llamar “h” a la altura inicial (y0)
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 ;
vy = – g · t
x = v0 · t ;
y = h – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria:
g
y = h – –—— · x2
2 v02
Tiempo de impacto con el suelo:
Es “t” cuando y
= 0.
0 = h – ½ g · t2 
t = (2 h/g)1/2
Alcance
Es la “x” para cuando y
= 0.
x = v0 (2 h/g)1/2
Velocidad de impacto con el suelo:
Es al “v” cuando: y
= 0.
vx = v0 ; vy = – g · (2 h/g)1/2 = – (2 g h)1/2
v = (vx2 + vy2)1/2 ; v = (v02 + 2 g h)1/2
Ejemplo:
Una persona lanza piedras horizontalmente desde lo alto de un acantilado de 25 m de
altura. Si pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado, calcula: a) la velocidad
con que debe lanzar las piedras; b) el tiempo que tardan en caer éstas.
a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½] despejamos “v0”:
x
30 m
v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s
(2 h/g)1/2 (2 ·25 m/9,8 m/s2)1/2
b) De la ecuación [ x = v0 t] despejamos “t”:
x
30 m
t = — = ————— = 2,26 s
v0
13,28 m/s
TIRO OBLICUO
Para simplificar en el desarrollo de las ecuaciones, vamos a suponer que se lanza
desde el suelo: y0 = h = 0).
Ecuaciones escalares (paramétricas):
vx = v0 · cos  ;
vy = v0 · sen  – g · t
x = v0 · cos  · t;
y = v0 · sen  · t – ½ g · t2
Ecuación de la trayectoria
Se obtiene eliminando “t” en las ecuaciones de posición:
x
x
g x2
t = ———–  y = v0 sen  ———— – —————–
v0 cos 
v0 cos  2 (v0 cos )2
g
y = tg  · x – —————— x2
2 (v0 cos )2
Tiempo de impacto con el suelo
Es el tiempo para que se cumple que y
= 0.
0 = v0 · sen  · t – ½ g · t2
Sacando factor común “t”:
0 = (v0 · sen  – ½ g · t) · t
Cuyas soluciones son: t = 0
2 v0 · sen 
t = ——————
g
Alcance
Es la “x” para y
= 0.
Sacando factor común “x” de la ecuación de la trayectoria e igualando a 0:
0 = [tg  – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x
Cuyas soluciones son: x = 0
x = 2 v02 · cos2  · tg  /g = 2 v02 sen  · cos  /g
v02 · sen 2
x = ——————
g
A igualdad de velocidad de lanzamiento
el valor máximo se obtendrá cuando
 = 45º.
Velocidad de impacto con el suelo
Es la “v” para cuando “y” = 0.
vx = v0 cos  ; vy = v0 sen  – g · t
Sustituyendo “t” por ”2 v0 · sen  / g” en vy que es la que varía se tendrá:
vy = v0 sen  – g ( 2 v0 sen  / g)
vy = – v0 sen  ; vx = v0 · cos 
v = (vx2 + vy2)1/2 = [(v0 cos )2 + (– v0 sen  )2]1/2
v = [v02(cos2  + sen2 )]1/2 = (v02)1/2 = v0
Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de caída es igual a la de
lanzamiento.
Altura máxima
Es la “y” para cuando “vy” = 0.
0 = v0 · sen  – g · t
De donde t = v0 sen /g (observa que es justo la mitad que el tiempo de impacto con
el suelo)
Sustituyendo “t” por “v0 · sen /g” en la ecuación de posición “y”
y = v0·sen  ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2=
= v02· sen2 /g – ½ (v02· sen2 /g)
v02 · sen2 
y = ——————
2g
Ejemplo:
Un futbolista chuta hacia puerta con una velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para
un ángulo de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón permanece en el aire en
cada tiro; c) la altura máxima en cada caso.
a)
v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 60º
x(= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m
g
9,8 m/s2
v02 · sen 2
(15 m/s)2 · sen 90º
x(= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m
g
9,8 m/s2
v02 · sen 2
(15 m/s)2 · sen 120º
x(= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m
g
9,8 m/s2
b)
2 v0 · sen  2 · 15 m/s · sen 30º
t (= 30º) = ————— = ————————— = 1,5 s
g
9,8 m/s2
Análogamente t (= 45º) = 2,2 s; t (= 60º) = 2,7 s
c)
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 30º
y (= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m
2g
2 · 9,8 m/s2
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 45º
y (= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m
2g
2 · 9,8 m/s2
v02 · sen2 
(15 m/s)2 · sen 2 60º
y (= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m
2g
2 · 9,8 m/s2
MOVIMIENTOS CIRCULARES
El vector posición r va cambiando continuamente de dirección y sentido pero no así
su módulo: r= R (radio)
Periodo (T):
Es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se mide en
segundos.
Frecuencia (): Es el número de vueltas que da por unidad de tiempo. Se mide en
herzios = s–1.
T = 1/ 
Ángulo ():
Se mide en rad. Es un vector perpendicular al plano del ángulo y
sentido el del avance del tornillo.
Como 1 vuelta = 360º = 2 rad
La distancia recorrida (e) escalar Toma el valor:
e =   · R =   · R
Existen otras dos magnitudes vectoriales que son la velocidad angular () y la
aceleración angular () con definiciones similares a sus correspondientes lineales.
Velocidad angular ():
=d/dt
Tiene la misma dirección y sentido que  y se mide en rad/s.
Aceleración angular ():
=d/dt
Tiene la misma dirección que  y su mismo sentido si ésta aumenta y sentido
contrario si disminuye. Se mide en rad/s2.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)
Se cumple las siguientes condiciones: a  0, at = 0, an = k
MOV. CIRCULAR UNIFORME (MCU).
Como at = at= v/ t = 0  v= k
La velocidad angular es constante:  =  · k
 = = 2 rad / T (s) = 2 rad · 
Integrando:  = ∫ d  = ∫  · d t =  · t + 0
En la práctica utilizaremos la ecuación escalar que es similar:
 =  · t + 0
La celeridad “v” depende lógicamente del radio:
e
 · R
v = —— = ——— =  · R
t
t
Ejemplo:
Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por
minuto, calcula: a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la velocidad lineal de
un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.
a)
90 vueltas
min
2  rad
 = ————— · ——— · ———— = 3  rad/s
min
60 sg
vuelta
b)
3  rad
v =  · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s
s
c)
3  rad
 =  · t = ———— · 10 s = 30  rad = 15 vueltas
s
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
(M.C.U.A.)
Se cumple las siguientes condiciones: a  0, at = k, an  k’
dv d v
d (·R) d 
at =at= —— = —— = ——— = —— ·R =  · R
dt
dt
dt
dt
Integrando d  =  · d t se obtiene la ecuación de la velocidad angular en función del
tiempo:
 =  t + 0
Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del ángulo en función del tiempo:
 = ½  t2 + 0 t + 0
RELACIÓN ENTRE ECUACIONES LINEALES Y ANGULARES.
MRU
MCU
v = k (constante)
Ecuación e = f(t):
e = e0 + v · t
 = k (constante)
Ecuación  = f(t):
 = 0 +  · t
MRUA
MCUA
a = k (constante)
Ecuación v = f(t):
v = v0 + a · t
Ecuación e = f(t):
e = e0 + v0 t + ½ a ·t2
 = k (constante)
Ecuación  = f(t):
 = 0 +  · t
Ecuación  = f(t):
 = 0 + 0 t + ½  ·t2
Ejemplo:
Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en reposo, acelera uniformemente hasta
alcanzar una veloci-dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración angular del
disco; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia a los 25 s de iniciarse el
movimiento; c) las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del borde del
disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.
a)

5 rad/s – 0
 = —— = —————— = 0,083 rad/s2
t
60 s
b)  (t = 25 s) = 0 +  · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s
v (t = 25 s) =  · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s
c) at =  · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2
an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2· 0,15 m · t2
an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2
(an depende de “t”)
d)  (t = 1 min) = 0·t + ½  · t2 =
½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas
Ejercicio:
Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante los cuales acelera uniformemente, en
adquirir los caballitos situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual
permanece durante todo el tiempo que dura la atracción. Calcula las componentes
intrínsecas de la aceleración a los 2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así
como los valores de sus módulos.
v
5 m/s
 (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s
R
5m
 – 0 1 rad/s – 0
 = ——— = ————— = 0,2 rad/s2
t
5s
 (t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s
v (t = 2 s) =  · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s
v2 (2 m/s)2
an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2
R
5m
at (t = 2 s) =  ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2
a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2
v2 (5 m/s)2
an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2
R
5m
at (t = 8 s) =  ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2
a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2