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Estadística de polarización
En óptica clásica el estado de polarización de la luz se caracteriza mediante los parámetros de
Stokes (que son correlaciones de segundo orden en las amplitudes del campo), que desde un punto
de vista cuántico son el valor medio de los operadores de Stokes. Si bien esta caracterización puede
ser suficiente en óptica clásica, resulta que no lo es en óptica cuántica, donde correlaciones de orden
superior suelen ser imprescindibles. En tal caso los parámetros de Stokes se convierten en una
parametrización insuficiente o incluso contraproducente. Este es el caso de los estados con
polarización comprimida, que se definen precisamente por las fluctuaciones de los operadores de
Stokes en lugar de por sus valores medios. Por otro lado, los parámetros de Stokes pueden ser nulos
para muchos estados que distan de ser despolarizados y que incluso son muy útiles por sus buenas
propiedades de polarización.
En las figuras hemos representado a la izquierda la distribución de campo eléctrico y a la derecha la
distribución de probabilidad de polarización sobre la esfera de Poincarè (que se define más abajo)
para el estado 1 x 1 y (producto de un fotón vibrando en el eje X y otro en el eje Y). Para este estado

se tiene que S  0 pero puede observe que no es luz despolarizada (además nótese que el campo
eléctrico no describe una elipse a pesar de ser luz monocromática). Como muestra la distribución de
probabilidad sobre la esfera se trata de un estado de polarización comprimida (menores
fluctuaciones en la dirección X que en las Y, Z).
Una caracterización completa de la polarización vendrá dada por una distribución de probabilidad
sobre la esfera de Poincaré. Tal definición no es univoca en óptica cuántica puesto que los
operadores de Stokes no conmutan. En otras palabras, esto quiere decir que no puede haber ningún
estado de luz con polarización bien definida, o que los puntos de la esfera de Poincaré no tienen
correspondencia cuántica definida. La definición de distribución de probabilidad que hemos usado
en nuestros trabajos es la función Q SU(2), que viene a consistir, esencialmente, en la integración
radial de la proyección del estado de luz estudiado sobre estados coherentes del campo
electromagnético
Q( ,  ) 
1
4
2
 d  
2

0
drr 3  ,    ,   n 0

n 1
n, ,   n,  , 
4


ei e i ,   r cos ei y n, ,  son los
2
2
estados coherentes SU(2) asociados. La principal ventaja de esta formulación es que Q ( ,  ) es una
distribución de probabilidad legítima, resultado de proyectar el estado problema sobre estados de
incertidumbre mínima en los operadores de Stokes. Además, es fácil de calcular y de interpretar.
donde  , 
son estados coherentes con   r sin
En estas condiciones hemos definido un nuevo grado de polarización como la distancia D entre la
distribución de probabilidad Q ( ,  ) sobre la esfera de Poincaré del estado estudiado y la
distribución uniforme Qunpol ( , )  1/( 4 ) asociada luz totalmente despolarizada
1 
4

2
D  4  d Q( , ) 
 4  dQ( , )  1 
1

4 


2
donde

1
 dQ( , )
2
es una medida del área de la esfera de Poincaré ocupada por la distribución de probabilidad
Q ( ,  ) . Hemos aplicado esta definición a diversos estados de luz como: coherentes SU(2),
comprimidos SU(2), estados de número y de fase, obteniéndose buenos resultados en todos los
casos. Por ejemplo para estados coherentes tenemos que D es proporcional al número de fotones
mientras que para estados número resulta proporcional a la raíz cuadrada del número de fotones.
Degree of polarization in quantum optics
A. Luis, Phys. Rev. A 66, 013806 (2002)
Con el fin de entender mejor la polarización cuántica y clásica hemos aplicado este formalismo a
los estamos clásicos y cuánticos más comunes y con mayor relevancia práctica que son en general
estados distribución Gaussiana para las amplitudes complejas. Además hemos extendido el análisis
para incorporar otras aproximaciones a la estadística de la polarización. Hemos puesto espacial
énfasis en analizar si los resultados son compatibles con la óptica clásica en el límite apropiado de
un número de fotones grande, requisito que hemos demostrado que no todos los formalismos
cumplen.
Polarization distributions and degree of polarization for quantum Gaussian light fields
A. Luis, Opt. Commun. 273, 173-181 (2007)
Como ejemplo interesante de aplicación de este formalismo estadístico de la polarización nos
hemos fijado en los llamados estados despolarizados tipo II. Este tipo de estados son los que
verifican algunas propiedades, no todas, características de la luz despolarizada.
Más específicamente verifican las siguientes propiedades: i) Invariancia bajo rotaciones en torno a
la dirección de propagación, ii) Simetría respecto al intercambio de luz circular dextrógira por
levógira producido por una lámina de media onda. Con estas especificaciones se tiene que los
parámetros de Stokes y el grado de polarización se anulan por lo que estas ondas son despolarizadas
de acuerdo con los criterios clásicos estándar.
Computando la distribución de polarización sobre la esfera de Poincaré para ejemplos señalados de
este tipo de polarización encontramos que la distribución está muy lejos de ser uniforme, por lo que
no pueden llamarse como luz despolarizada. De hecho la distancia entre la distribución de
polarización y la distribución uniforme puede ser arbitrariamente grande. Es decir que los estados
despolarizados tipo II pueden tener de hecho una polarización tan bien definida como se quiera
siempre que se tenga en cuenta propiedades estadísticas más allá de los parámetros de Stokes.
Degree of polarization of type-II unpolarized light
A. Luis, Phys. Rev. A 75, 053806 (2007)
Hemos continuado el análisis estadístico de la polarización considerando además de la función Q
otras posibilidades. Concretamente hemos estudiado las distribuciones para las amplitudes
complejas llamadas s-ordenadas que dependen de un parámetro s real y que incluyen la función Q
como el caso s  1, la función de Wigner como el caso s  0 y la función P como el caso s  1. A
partir de ellas hemos derivado las correspondientes distribuciones marginales para la polarización
eliminando por integración las variables no necesarias para describir la polarización.
s
Hemos comparado el resultado con distribuciones análogas a las s-ordenadas pero introducidas
directamente sobre la esfera de Poincaré, llamadas distribuciones SU(2), y no a partir de
distribuciones para las amplitudes complejas.
En particular, nos hemos concentrado en la negatividad de tales distribuciones, la función de
Wigner en especial, como un indicador del carácter no clásico del correspondiente estado. Para ello
hemos calculado el área de la esfera de Poincaré donde la función de Wigner toma valores
negativos, algo prohibido en la teoría cuántica.
En las siguientes figuras se muestra la distribución de polarización para distintos estados coherentes
SU(2) n,0 a la izquierda y para estados comprimidos SU(2) n, n a la derecha. La línea continua
es la distribución marginal derivada de la función de Wigner para las amplitudes complejas, y la
línea discontinua es la función de Wigner SU(2). Ambas se representan en función del ángulo polar
 en la esfera de Poincaré puesto que las distribuciones son invariantes bajo rotaciones en torno al
eje norte-sur. Todas toma valores negativos pero para los estados coherentes SU(2) la negatividad
decrece cuando aumenta el número de fotones n mientras que para los estados comprimidos la
negatividad aumenta cuando aumenta el número de fotones.
Estados coherentes SU(2) n,0
Estados comprimidos SU(2) n, n
Quizás el resultado más chocante que hemos obtenido es que la función de Wigner SU(2) para
estados coherentes cuadratura toma valores negativos, a pesar de ser paradigma de estados de luz
clásicos. La negatividad se muestra en la siguiente figura donde se aprecia que la función de Wigner
SU(2) en línea discontinua toma valores negativos para    / 2 (el polo sur) como se aprecia en
el detalle recuadrado, mientras que la distribución derivada de la función de Wigner de las
amplitudes complejas en línea continua es siempre positiva. Este resultado junto con otros
presentados en esta misma página web, confirman que todavía queda mucho por conocer sobre la
frontera entre los mundos clásico y cuántico.
Quantum polarization distributions via marginals of quadrature distributions
A. Luis, Phys. Rev. A 71, 053801 (2005)
Nonclassical polarization states
A. Luis, Phys. Rev. A 73, 063806 (2006)
Recientemente hemos extendido este formalismo para dar cuenta de correlaciones entre las
polarizaciones de dos ondas. El grado de correlación puede definirse como la distancia entre la
función Q1,2 (1 ,  2 ) asociada a las dos ondas conjuntamente y el producto de las distribuciones
individuales de cada onda Q1 (1) Q2 (2 )
C  4  d1d 2  Q1, 2 (1 ,  2 ) Q1 (1) Q2 (2 )
2

donde Q1 (1)  d 2 Q1,2 (1 ,  2 ) y análogamente para Q2 (2 ) .Es conveniente señalar que
esta distancia mide correlaciones independientemente de si su origen es clásico o cuántico
(“entanglement”). Hemos demostrado que esta definición da cuenta satisfactoria de las
correlaciones de polarización en diversos estados de luz.
Este formalismo también refleja de forma natural la conocida complementariedad entre las
correlaciones de polarización de dos fotones y sus grados de polarización individuales: máxima
correlación implica grado de polarización individual nulo y viceversa, máximo grado de
polarización individual implica ausencia de correlaciones como se ilustra en la figura para el estado
sen 1,0 1 1,0 2  cos  ei 0,1 1 0,1 2
También hemos definido un grado de polarización conjunto para dos ondas generalizando la
definición anterior para ondas individuales en la forma
1
P1,2  1 
2
(4 )2 d1d 2 Q1,2 (1, 2 )



Gracias a esta definición hemos demostrado que el grado de polarización P1,2 y el grado de
correlación D son variables complementarias.
Polarization correlations in quantum optics
A. Luis, Opt. Commun. 216, 165 (2003)
Con estas herramientas hemos comparado las correlaciones máximas de polarización alcanzables
para estados separables y para estados enredados (entangled). Hemos encontrado que los estados
separables y enredados tienen correlaciones de polarización máximas muy similares para números
de fotones altos. Más específicamente los estados clásicos y cuánticos con mayores correlaciones
examinados son
  n,0 1 n,0 2  0, n 1 0, n 2 ,
  n,0 1 n,0  n,0 2 n,0  0, n 1 0, n  0, n 2 0, n .
El primero es un estado puro enredado y el segundo un estado separable. En ambos casos las dos
ondas están siempre en el mismo estado de polarización. Para tal estado de polarización tenemos la
superposición al 50% de dos polarizaciones ortogonales, n fotones vibrando en el eje X y 0 fotones
vibrando en el eje Y.
Esta similitud de correlaciones para estados tan disimilares es algo sorprendente en el sentido de
que siempre parece entenderse que las correlaciones de estados enredados cuánticos superan a las
de estados separables clásicos. De acuerdo con estos resultados parece que podemos decir que son
correlaciones de otra naturaleza pero no que son mayores para los enredados.
Classical and quantum polarization correlations
A. Luis, Phys. Rev. A 69, 023803 (2004)
Siguiendo la misma estrategia hemos analizado la polarización de ondas tridimensionales, es decir
con tres componentes. Estas ondas son de interés en particular en óptica cuántica donde ninguna
componente del campo eléctrico puede anularse exactamente por lo que cuánticamente el campo
eléctrico de cualquier onda es necesariamente tridimensional.
Hemos realizado primero un estudio de la polarización en términos de los parámetros de Stokes que
en este caso son nueve que se obtienen de desarrollar la matriz de coherencia en la base de matrices
de Gell-Mann, lo mismo que para onda bidimensionales los parámetros de Stokes ordinarios
resultan de expandir la matriz de coherencia en la base de matrices de Pauli. Hemos manejado dos
definiciones del grado de polarización en términos de los parámetros de Stokes en la forma
8
 Sj
P2 
j 1
S0
2
8
2
 Sj
P2 
2
j 1
8
 S 2j
j 1
Aunque la primera es la más parecida a la definición clásica para ondas bidimensionales, resulta que
da peores resultados en el caso cuántico. Por ejemplo estados coherentes cuadratura arbitrariamente
próximo al vacío tienen máxima polarización. También máxima polarización no coincide con
mínimas fluctuaciones los parámetros de Stokes
 S j 2 .
8
j 1
Estas dificultades son evitadas por la segunda definición, resultando que los estados con máxima
polarización y menores fluctuaciones de los operadores de Stokes son los estados coherentes SU(3),
que son el resultado de aplicar una transformación SU(3) a estados del tipo 0,0, n en el que hay un
número de fotones definido en una de las componentes y vacío en el resto.
Los estados coherentes cuadratura, coherentes SU(2) y coherentes SU(3) satisfacen una curiosa
relación mutua. Los estados coherentes cuadratura de tres componentes del campo se pueden
escribir como estados coherentes de una componente en la base número pero reemplazando estados
número por estados coherentes SU(3), que a su vez pueden escribirse con estados coherentes SU(2)
en la base número reemplazando estados número por estados coherentes SU(2).
Finalmente hemos mostrado que una onda arbitraria puede descomponerse como superposición
incoherente do dos ondas completamente polarizadas y una completamente despolarizada.
Quantum
polarization
for
three-dimensional
A. Luis, Phys. Rev. A 71, 023810 (2005)
fields
via
Stokes
operators
También para ondas tridimensionales hemos abordado una descripción estadística de la polarización
más allá del análisis a segundo orden de los campos que permiten los parámetros de Stokes. Para
ello hemos seguido la misma estrategia que en el caso bidimensional. Partimos de la función Q
definida por proyección sobre estados coherentes cuadratura y después eliminamos las variables
irrelevantes para la descripción de la polarización tridimensional. El resultado es una distribución
que se equivale a proyectar el estado sobre estados coherentes SU(3). En este formalismo podemos
medir el grado de polarización como distancia entre la distribución de probabilidad del estado en
cuestión y la distribución uniforme asociada a luz despolarizada.
Polarization distribution and degree of polarization for three-dimensional quantum light fields
A. Luis, Phys. Rev. A 71, 063815 (2005)