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TEMA 9: JUEGOS REPETIDOS: APLICACIONES TEMA
9: JUEGOS REPETIDOS: APLICACIONES
EN MODELOS DE OLIGOPOLIO
1. Promesas y amenazas: Estrategias creíbles de premio y castigo
de premio y castigo 2. Colusión en modelos de Bertrand: precios e incentivos a medio plazo. Precios de Monopolio y equilibrios perfectos de
Monopolio y equilibrios perfectos de Pareto.
3 Colusión en modelos de Cournot: 3.
C l ió
d l d C
t
Cantidades de Monopolio y equilibrios perfectos de Pareto.
Faíña, Microeconomía
1
COMPETENCIA DE BERTRAND: EQUILIBRIOS Y DESVIACIONES
• Consideremos
Consideremos una función lineal de demanda normalizada: una función lineal de demanda normalizada:
P= 1 – Q <=> Q = 1 – P. • Consideremos que los costes medios están también normalizados a cero: c = 0.
li d
0
• Las producción de monopolio será ½, el precio de monopolio será también ½, y el beneficio de monopolio será por tanto ,y
p
p
¼.
• El equilibrio de competencia en precios del juego de etapa de Bertrand es P = c = 0 (nula diferencia entre precio y coste
de Bertrand es P = c = 0 (nula diferencia entre precio y coste medio), la cantidad producida total será 1, y el beneficio de cada empresa 0.
• Las empresas ganarán más en un acuerdo de cartel que en el L
á
á
d d
t l
l
equilibrio del juego de etapa, la desviación máxima que pueden obtener es beneficio de monopolio de un período 1/4
Faíña, Microeconomía
2
COMPETENCIA DE BERTRAND Y NUMERO DE EMPRESAS DESVIACIONES Y DESCUENTO
EMPRESAS: DESVIACIONES Y DESCUENTO
Nº E
E Etapa
E
C l
Cartel
D
Desv.
M
Max.
P
π
P
π
2
0
0
1/2
1/8
(1/2)-ε 1/4
0,50
3
0
0
½
1/12 (1/2)-ε ¼
0,66
4
0
0
1/2
1/16 (1/2)
(1/2)-εε ¼
0,75
5
0
0
1/2
1/20 (1/2)-ε ¼
0,80
...
...
…
...
N
0
0
1/2
...
P
...
π
δ
...
...
1/4N (1/2)
(N-1)/N
1)/N
(1/2)-εε 1/4 (N
Faíña, Microeconomía
3
COMPETENCIA DE COURNOT: EQUILIBRIOS Y DESVIACIONES
• Normalizando
Normalizando a 1 el tamaño del mercado y a cero los a 1 el tamaño del mercado y a cero los
costes, la función de precios de venta resulta: P=1‐Q
• Los equilibrios del juego de etapa en función del número Los equilibrios del juego de etapa en función del número
de empresas son:
– a) Cantidades individuales q
a) Cantidades individuales qi*=1/(N+1), =1/(N+1)
– b) Cantidad total Q*=N/(N+1),
– c) Precio P=1/(N+1), ) P i P 1/(N+1)
– d) Beneficio πi=1/(N+1)2
• En un acuerdo de cártel la producción total y el precio serán los de monopolio (1/2), las producciones individuales serán la enésima parte: qiM=1/2.N. individuales serán la enésima parte: q
=1/2 N
Faíña, Microeconomía
4
COMPETENCIA DE COURNOT: EQUILIBRIOS Y COMPETENCIA
DE COURNOT: EQUILIBRIOS Y
DESVIACIONES CONTINUACION
El mejor pago que resulta de de desviarse del acuerdo colusivo (desviación máxima)
resultará:
N −1
max q i (1 − q i − Q ) = max q i (1 − q i −
) Lo
L que implica
i li :
2. N
N +1
d
qi =
4. N
M
−i
La mejor desviación será en consecuencia :
N −1 ⎛ N +1 ⎞
π di = q (1 − q −
)=⎜
⎟
2.N
⎝ 4.N ⎠
d
i
2
d
i
Faíña, Microeconomía
5
COMPETENCIA DE COURNOT Y NUMERO DE EMPRESAS: DESVIACIONES Y DESCUENTO
EMPRESAS: DESVIACIONES Y DESCUENTO
N
Nº
E.
E. ETAPA
q
p
π
CARTEL
q p π
DESV. MAX.
q
p
π
2
3
4
5
6
...
1/3
1/3
0 111
0,111
1/4
1/2 0,125
0 125
3/8
3/8
0 141
0,141
0 529
0,529
1/4
1/4
0,063
1/6
1/2 0,083 4/12
4/12
0,111
0,571
1/5
1/5
0,040
1/8
1/2 0,063 5/16
5/16
0,098
0,609
1/6
1/6
1/10 1/2 0,050
6/20
0,028
,
,
6/20
0,090
,
0,642
1/7
1/7
0,020 1/12 1/2 0,042 7/28
7/28
0,085
0,671
...
...
N
...
... ...
1
1
1
1
N +1 N +1 (N +1)2 2N
1
2
...
1
4N
Faíña, Microeconomía
...
...
...
δ
...
2
N +1 N +1 ⎛ N + 1 ⎞ π d − π c
⎜
⎟
4N
4N ⎝ 4.N ⎠ π d − π e
6
COLUSION EN EL MODELO DE COURNOT: GRAN NUMERO EMPRESAS
NUMERO EMPRESAS Nº Empresas
2
5
10
15
20
25
50
100
250
500
1000
d
0,1406
0 0900
0,0900
0,0756
0,0711
0,0689
0,0676
0,0650
0,0638
0,0630
0 0628
0,0628
0,0626
x
0,1250
0 0500
0,0500
0,0250
0,0167
0,0125
0,0100
0,0050
0,0025
0,0010
0 000
0,0005
0,0003
Faíña, Microeconomía
e
0,1111
0 0278
0,0278
0,0083
0,0039
0,0023
0,0015
0,0004
0,0001
0,0000
0 0000
0,0000
0,0000
delta
0,529
0 643
0,643
0,752
0,810
0,846
0,871
0,929
0,962
0,984
0 992
0,992
0,996
7
TEMA 10: INFORMACION INCOMPLETA Y EQUILIBRIO BAYESIANO
1. Juegos bayesianos: Estrategias y equilibrio. Otras conexiones entre información completa
Otras conexiones entre información completa e incompleta: Las estrategias mixtas como límites de estrategias bayesianas puras
límites de estrategias bayesianas puras.
2. Duopolio de Cournot con información asimétrica. 3 Equilibrios bayesianos perfectos y otros 3.
Equilibrios bayesianos perfectos y otros
refinamientos.
Faíña, Microeconomía
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MODELO DE COURNOT CON IFORMACION INCOMPLETA
• Sea un modelo de Cournot con una función simplificada de demanda P=a Q ⇔ Q=a‐P y dos empresas Q=q
P=a‐Q ⇔
Q=a P y dos empresas Q=q1+q2.
• Los costes medios son constantes, la empresa 2 tiene unos costes C2(q2)= c.q2 y la empresa uno tiene unos costes C1(q1)= {1) costes normales, “c” con probabilidad (1‐θ) y 2) costes bajos cb con probabilidad θ}.
• La empresa 1 conoce el valor de sus costes, pero no la dos, y esta La empresa 1 conoce el valor de sus costes, pero no la dos, y esta
información es del dominio público (conocimiento común).
• Tenemos un juego con información incompleta no se sabe cual es la función de beneficio de la empresa 1 ¿costes normales c o bajos cb?
función de beneficio de la empresa 1 ¿costes normales c o bajos c
• Este problema lo resolvió Harsanyi (1967) suponiendo que el azar selecciona el “tipo de la empresa 1”, costes normales c, con probabilidad (1‐θ) y costes bajos cb con probabilidad θ. • A continuación el azar comunica su elección a la empresa 1 y se inicia un juego de información completa pero imperfecta donde la empresa
un juego de información completa, pero imperfecta, donde la empresa 2 solo conoce la distribución de probabilidad sobre los tipos de 1 (en Faíña, Microeconomía
9
este caso dos tipos coste normal c y coste bajo c
b).
MODELO DE COURNOT CON INFORMACION INCOMPLETA
J2
1 ‐ θ
T1=c
q1
θ
T1=cb
q1
0
J2
ΓI = (A, T, p, Π)
Faíña, Microeconomía
• Al introducir el azar, “0”, el juego q2 de información incompleta se
incompleta se convierte en otro análogo de información completa, pero q2 imperfecta.
• Un juego Bayesiano es una cuadrupla de acciones, tipos, probabilidades y
probabilidades y pagos: ΓI
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JUEGOS CON INFORMACION INCOMPLETA
JUEGOS CON INFORMACION INCOMPLETA
• En
En el juego Γ
el juego ΓI I = (A, T, p, Π) de información incompleta (Bayesiano), (A, T, p, Π) de información incompleta (Bayesiano),
las estrategias se construyen en función de los distintos tipos y sus probabilidades. Las estrategias son ahora planes de acción de los j d
jugadores para cada uno de sus posibles tipos. Son aplicaciones d
d
ibl ti
S
li i
si:Ti→Ai que especifican la acción a decidir por el jugador i en cada uno de sus posibles tipos.
p
p
• Se razona por tanto en función de las conjeturas de los jugadores sobre la probabilidad de los tipos de los demás.
• En tal forma, aunque cada jugador conoce su tipo (el azar se lo revela después de elegirlo), los otros jugadores consideran todas las posibilidades de los distintos tipos de los contrincantes
las posibilidades de los distintos tipos de los contrincantes (condicionadas a la del suyo propio, regla de Bayes). Cada jugador puede explotar estratégicamente la incertidumbre de los otros sobre su verdadero tipo.
b
d d
ti
Faíña, Microeconomía
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UN MODELO DE COURNOT CON INFORMACION INCOMPLETA I
INFORMACION INCOMPLETA I
• Estudiaremos un sencillo modelo de Cournot con información incompleta donde la empresa 2 no conoce los costes de la
incompleta, donde la empresa 2 no conoce los costes de la empresa 1, sólo sabe que existe la posibilidad de que sean normales, c, o bajos, cb, con probabilidades de (1‐θ) y θ, respectivamente.
i
• La empresa 1 sabe cual es su nivel de costes y la empresa 2 sabe que lo sabe y así sucesivamente Sin embargo la empresa 1
que lo sabe y así sucesivamente. Sin embargo, la empresa 1 obtiene una ventaja estratégica de esta asimetría informativa y puede aprovechar la mera posibilidad de que sus costes puedan ser inferiores a los normales, c
i f i
l
l
i l
l
d
b, incluso en el caso de que en realidad no lo fueran.
Analizaremos esta posibilidad calculando el equilibrio La
• Analizaremos esta posibilidad calculando el equilibrio. La empresa 1 tendrá una función de pagos para cada uno de sus tipos, T1={c, cb}. Su producción dependerá de sus costes (mayor para cb) y la empresa 2 tendrá que considerar esta posibilidad al ) l
2
dá
id
ibilid d l
calcular los precios y beneficios de sus decisiones de produccion.
Faíña, Microeconomía
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UN MODELO DE COURNOT CON INFORMACION INCOMPLETA II
INFORMACION INCOMPLETA II
π 1 (q1 , q 2 , c) = q1 [(a − q1 − q 2 ) − c ]
π 1 (q1 , q 2 , cb ) = q1 [(a − q1 − q 2 ) − cb ]
π 2 (q1 , q 2 , c) = q 2 [(a − q1 − q 2 ) − c ]
• Las anticipaciones estratégicas de la respuesta del rival (sus distintas producciones) llevan a la empresa 2 a considerar las dos posibilidades de p
)
p
p
costes de la empresa 1 (las acciones de cada uno de su posibles tipos). • Para el cálculo de las mejores respuestas y del equilibrio de Nash las funciones de pagos relevantes serán:
funciones de pagos relevantes serán:
π 1 (q1 , q2 *, c) = q1 [(a − q1 − q2 *) − c ]
π 1 (q1 , q2 *, cb ) = q1 [(a − q1 − q2 *) − cb ]
π 2 (q1 * (c), q1 * (cb ), q2 , c) =
(1 − θ )q2 [(a − q1 * (c ) − q2 ) − c] + θ .q2 [(a − q1 * (cb ) − q2 − c )]
Faíña, Microeconomía
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UN MODELO DE COURNOT CON INFORMACION INCOMPLETA III
INFORMACION INCOMPLETA III
•
Las condiciones de primer orden (maximizando el beneficio p
(
para cada nivel de producción de la otra empresa) proporcionan las siguientes ecuaciones para las correspondencias de mejor respuesta:
*
a
−
q
*
2 −c
q1 (c) =
2
*
a
−
q
*
2 − cb
q1 (cb ) =
2
*
*
.
(
)
(
1
).
a
−
c
−
θ
q
c
−
−
θ
q
*
1
b
1 (c )
q2 =
2
Faíña, Microeconomía
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UN MODELO DE COURNOT CON INFORMACION INCOMPLETA IV
INFORMACION INCOMPLETA IV
Resolviendo las ecuaciones de mejor respuesta resulta el equilibrio: a − c θ (c − cb )
q =
−
3
3
1
*
2
a − c θ (c − cb )
+
q (c ) =
3
6
a − cb (1 + θ )(
. c − cb )
*
+
q1 (cb ) =
3
6
*
1
• La empresa 2 reduce su producción para ajustar la posibilidad de que a la 1 le interese aumentar su producción para valorizar su menor coste c
t b. La reducción es sólo la fracción θ
L
d ió
ól l f
ió θ de la que d l
resultaría en información completa con costes distintos –bajo para la empresa 1‐
• La 1 obtiene ventaja de ello y tanto, con coste normal, como bajo produce cantidades superiores a las del equilibrio con información completa. Si bien la cantidad de equilibrio es superior para el tipo p
q
p
p
p
de costes bajos.
1 La igualdad con el valor esperado no se da en general, resulta de la linealidad de la función de demanda
Faíña, Microeconomía
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