Download Equivalencias en Lógica de Predicados Equivalencias con

Equivalencias con Cuantificadores
Los cuantificadores introducen nuevas
equivalencias de sentencias de la lógica de
predicados:
I.2
Equivalencias en Lógica
de Predicados
∃X [r(X) ∨ q(X)] = ∃X r(X) ∨ ∃X q(X)
∀X [r(X) ∧ q(X)] = ∀X r(X) ∧ ∀X q(X)
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Equivalencias con Cuantificadores
Equivalencias con Cuantificadores
Pero otras no son equivalencias:
Al combinarlos con una negación:
∃X [r(X) ∧ q(X)] → ∃X r(X) ∧ ∃X q(X)
∀X r(X) ∨ ∀X q(X) →∀X [r(X) ∨ q(X)]
¬[∀X r(X)] = ∃X ¬r(X)
¬[∃X r(X)] = ∀X ¬r(X)
¬[∀X ¬r(X)] = ∃X r(X)
¬[∃X ¬r(X)] = ∀X r(X)
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Consecuencia Lógica
Los cuantificadores introducen nuevas reglas al
aplicar inferencias lógicas:
I.2
Consecuencias Lógicas
en Lógica de Predicados
Regla de Especificación Universal
Si ∀X f(X) es verdadero, entonces la proposición
f(a) también es verdadera, donde a es una
constante.
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Consecuencia Lógica
Consecuencia Lógica
Como ejemplo, sean:
En Lógica de Predicados:
∀x[m(x)→c(x)]
m(juan)
∴c(juan)
m(X): X es un profesor de matemáticas
c(X): X ha estudiado cálculo.
Todos los profesores de matemáticas han
estudiado cálculo.
Juan es profesor de matemáticas.
Por lo tanto, Juan a estudiado cálculo.
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Consecuencia Lógica
1) ∀x[m(x)→c(x)]
2) m(juan)
3) m(juan)→c(juan)
4) c(juan)
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Consecuencia Lógica
premisa
premisa
especificación
universal
modus ponens
Regla de Generalización Universal
Si f(a) es verdadero para cualquier a, entonces
∀Xf(X) es verdadero.
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Consecuencia Lógica
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Consecuencia Lógica
1) ∀x[p(x)→q(x)]
2) p(c)→q(c)
3) ∀x[q(x)→r(x)]
4) q(c)→r(c)
5) p(c)→r(c)
3) ∀x[p(x)→r(x)]
Ejemplo
∀x[p(x)→q(x)]
∀x[q(x)→r(x)]
∴∀x[p(x)→r(x)]
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premisa
Esp. Universal
premisa
Esp. Universal
Silogismo
Gen. Universal
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