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LEYESDE MORGAN [ING.JOSÉJULIOGONZALEZALVAREZ] GABRIELMONTERO I.S.C 01/10/16 MIXTO LEYES DE MORGAN ¬(P Q) (¬P ) (¬Q) ¬(P Q) donde: (¬P ) (¬Q) • ¬ es el operador de negación (NO) • es el operador de conjunción (Y) • es el operador de disyunción (O) • es un símbolo metalógico que signi ca “puede ser reemplazado en una prueba lógica" Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplicación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática. Representación gráfica de las leyes de De Morgan En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan[1][2][3] son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación. Las reglas se pueden expresar en español como: La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones. o informalmente como: "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)" y también, "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)" 1 Notación formal La regla de la negación de la conjunción se puede escribir en la subsiguiente notación: ¬(P Q) (¬P ¬Q) La negación de la regla de disyunción se puede escribir como: ¬(P Q) (¬P ¬Q) En forma de regla: negación de la conjunción ¬(P Q) ¬P ¬Q y negación de la disyunción ¬(P Q) ¬P ¬Q y se expresa como una tautología verdad-funcional o teorema de lógica proposicional: Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma: 1 3 ¬(P Q) → (¬P ¬Q) ¬(P Q) → (¬P ¬Q) donde P , y Q son proposiciones expresadas en algún sistema formal. 1.1 ¬P ¬Q ¬(P Q) Disyunción con P negada La disyunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la conjunción de P y la negación de Q Forma de sustitución Normalmente, las leyes de De Morgan se muestran en forma compacta como se muestran arriba, con la nega- ción de la salida de la izquierda y la de las entradas a la ¬P Q derecha. ¬(P ¬Q) 1.1.1 Conjunción La conjunción de dos preposiciones es equivalente a la negación de la disyunción de los términos negados P Q ¬(¬P ¬Q) 1.1.2 Esta forma también es equivalente al implica de la negación del término P y la negación del término Q ¬(P Q) ¬(¬P → Q) Disyunción con Q negada La disyunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la disyunción de la negación de P y Q Disyunción La disyunción de dos preposiciones es equivalente a la ne- P ¬Q gación de la conjunción de la negación de P y la negación ¬(¬P Q) de Q P Q ¬(¬P ¬Q) La conjunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la negación de la disyunción de P y Q 1.1.3 Negaciones de operadores en las conjunciones y disyunciones Disyunción tanto de P como de Q negadas La disyunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la conjunción de la disyunción de P y Q ¬P ¬Q ¬(P Q) Esto pone de relieve la necesidad de invertir tanto en las entradas como en las salidas, así como también cambiar el La conjunción de la proposición P negada y la preposición Q operador, haciendo una sustitución. es equivalente a la negación de la disyunción de P y la negación de Q Conjunción con P negada 1.2 ¬P Q ¬(P ¬Q) Teoría de conjuntos y el álgebra de Boole En la teoría de conjuntos y el álgebra de Boole, a menudo se indica como “Intercambio de Unión e intersección ba- jo la [4] La conjunción de la proposición P y la preposición Q ne- complementación”, que puede ser expresado forgada es equivalente a la negación de la disyunción de la malmente como: negación de P y Q • A B ≡ A ∩B • A ∩B ≡ A B que puede ser expresado formalP ¬Q mente como: ¬(¬P Q) donde: Conjunción tanto de P como de Q negadas Conjunción con Q negada 4 • es el intersección operador (Y) • es el operador unión (O) La forma generalizada es: ∩ Ai ≡ Ai i I i I Ai ≡ i I ∩ 3.1 Negación de una disyunción En el caso de su aplicación a una disyunción, considere la siguiente a rmación: “es falso que uno de A o B es verdadero”, que se escribe como: Ai Se puede recordar la ley de De Morgan, en notación de conjunto, mediante la regla nemotécnica “romper la línea, cambiarelsigno”.[5] 1.3 Ingeniería En ingeniería electrónica e informática, la ley de De Morgan se escribe comúnmente como: A ·B ≡A + B A + B ≡A ·B El teorema de De Morgan se puede aplicar tanto a la negación de una disyunción como a la negación de una conjunción en la totalidad o parte de una fórmula. i I donde I es un conjunto indexado, posiblemente incontable. 3 Prueba informal • A es la negación de A, la línea alta está escrita sobre las términos que se niegan donde: • · es el Y lógico • + es el O lógico La ley lleva el nombre de Augustus De Morgan (18061871)[6] que presentó una versión formal de las leyes de la lógica proposicional clásica. La formulación de De Morgan fue in uenciado por la alegorización de la lógica emprendida por George Boole, que más tarde consolidó la a rmación de De Morgan para el hallazgo. Aunque Aristóteles ya había hecho una observación similar y eran conocidas por los lógicos griegos y medievales[7] (en el siglo XIV, Guillermo de Ockham escribió las palabras que resultarían leyendo las leyes a cabo),[8] A De Morgan se le da crédito de a rmar formalmente las leyes y de su incorporación al lenguaje de la lógica. Las leyes de De Morgan pueden ser probadas fácilmente, e incluso puede parecer triviales.[9] Sin embargo, estas leyes son En que se ha establecido que ni A ni B es cierto, enton- ces debe seguir que tanto A no es verdad como B no es verdad, que puede ser escrito directamente como: (¬A) Trabajando en dirección opuesta, la segunda expresión a rma que A es falsa y B es falsa (o equivalentemente que “no A” y “no B” son verdaderas). Sabiendo esto, una disyunción de A y B también debe ser falsas. Por lo tan- to, la negación de dicha separación debe ser verdad, y el resultado es idéntico al de la primera reivindicación. 4 (¬B) Presentadas en español, esto sigue la lógica de que “Como es falso que dos cosas sean verdaderas, al menos uno de ellos debe ser falsa.” • la barra superior es el NO lógico de lo que está por debajo de la barra superior. 2 Histo ria ¬(A B) Prueba formal La prueba que (A∩B)c = Ac B c se realiza por primera probando que (A ∩ B)c Ac B c , y luego probando queAc B c (A ∩B)c obviamenteesteprocedimiento es válido. Considérese x (A ∩ B)c . Entonces x ̸ A ∩ B . Ya que A ∩ B = {y|y A y y B} , entonces ya sea x ̸ A o x ̸ B . Si x ̸ A , entonces x Ac , entonces x Ac B c . De otro modo, si x ̸ B , c entonces x B , por lo tanto x Ac B c . Debido a que esto es cierto para cualquier arbitrario x (A ∩B)c , entonces x (A ∩ B)c , x Ac B c , y entonces (A ∩ B)c Ac B c . Para probar la dirección inversa, asumir que x Ac B c de tal forma que x ̸ (A ∩B)c . Entonces x A ∩Bc . De ello resulta que x A y x B . Entonces x ̸ A , contradiciendo y x ̸ B c . Pero luego x ̸ c Ac cB la hipótesis de que x A B . Por lo tanto, x Ac B , x (A ∩ B)c , y Ac B (A ∩ B)c . c c c Como A B (A ∩ B) y (A ∩ B)c Ac B c , 5 De manera similar, se comprueba la otra ley de De Mor- Relacionar estas dualidades del cuanti cador a las leyes gan, que (A B)c = Ac ∩ B c . de De Morgan, establecer un modelo con un pequeño nú mero de elementos en su dominio D, tales como 5 Extensio nes D = {a, b, c}. Entonces &≥1 ≥1 y x P (x) ≡ P (a) P (b) P (c) x P (x) ≡ P (a) P (b) P (c). Pero, usando las leyes de De Morgan, P (a) P (b) P (c) ≡ ¬(¬P (a) ¬P (b) ¬P (c)) y Las leyes de De Morgan representadas como un circuito con puertas lógicas P (a) En extensiones de la lógica proposicional, se mantiene la dualidad clásica, (es decir, a cualquier operador lógi- co siempre podemos encontrar su doble), ya que en la presencia de las identidades que rigen la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el doble de De Morgan del otro. Esto conduce a una importante propiedad de la lógica basada en la lógica clásica, a saber, la existencia de formas normales de negación: cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula en la que solo se producen negaciones aplicadas a las atómicas no lógicas de la fórmula. La existencia de formas normales negadas conduce a muchas aplicaciones, por ejemplo en el diseño de circuitos digitales, donde se utiliza para manipular los tipos de compuertas lógicas, y en la lógica formal, don- de es un requisito previo para encontrar la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de una fórmu- la. Los programadores de computadoras los utilizan para simpli car o bien negar complicadas condiciones lógicas. También suelen ser útiles para los cálculos en la teoría de probabilidad elemental. P (b) P (c) ≡ ¬(¬P (a) ¬P (b) ¬P (c)), veri cando las dualidades del cuanti cador en el modelo. Entonces, las dualidades del cuanti cador pueden ser extendidas aún más a la lógica modal, que relaciona el cuadro de los operadores (“necesariamente”) y diaman- te (“posiblemente”): □p ≡ ¬ ¬p, p ≡ ¬□¬p. En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, Aristóteles observó este caso, y en el caso de la lógica modal normal, se puede entender la relación de estos operadores modales a la cuanti cación mediante la creación de modelos utilizando la semántica de Kripke. 6 Vamos a de nir el dual de cualquier operador P(p, q, ...) en función de las proposiciones elementales p, q, ... para ser el operador Pd de nido por • Isomorfismo (operador NO como isomor smo entre lógica positiva y lógica negativa) • Lista de los temas de álgebra de Boole Pd (p, q, ...) = ¬P (¬p, ¬q, . . . ). Esta idea se puede generalizar a los cuanti cadores, así que, por ejemplo el cuantificador universal y cuantificador existencial son duales: Véase también 7 Referen cias [1] Copi y Cohen x P (x) ≡ ¬ x ¬P (x), [2] Hurley x P (x) ≡ ¬ x ¬P (x). [3] Moore y Parker