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Teorema de Tales
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Existen dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto
en el siglo VI a. C.
Contenido
1 Primer Teorema de Tales
1.1 Corolario
2 Segundo teorema
3 El Primer Teorema de Tales en la cultura popular
4 Véase también
5 Referencias
Primer Teorema de Tales
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos
triángulos se llaman semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus
lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los
resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si por un triángulo se traza una línea paralela a
cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos
semejantes.
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de
paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse
como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición
suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón
de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos,
a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Una aplicación del Teorema de
Tales.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria
proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene
constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del
mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente
entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se
cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el
corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se
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27/05/2010
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demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente entre sus lados.
Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente
enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos,
consiste en el siguiente enunciado:
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB],
distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.
Tales de Mileto
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la
aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Ilustración del enunciado del
segundo teorema de Tales de
Mileto.
Comprobación: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio
de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α +
2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:
(o 90º).
Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² =
C² + C², es decir AB²=CA²+CB².
En conclusión se forma un triángulo rectángulo.
El Primer Teorema de Tales en la cultura popular
El grupo musical argentino Les Luthiers compuso e interpretó una canción dedicada al Primer Teorema de Tales. Además de
tener un buen ritmo nos enseña como se refleja el Teorema de Tales en objetos que vemos a diario1 2
Véase también
Tales de Mileto
Teorema de Tales SM (Más información y ejercicios sobre el teorema)
Ejercicios del Teorema de Tales (Ejercicios del Teorema para repasar lo aprendido)
Referencias
1.
2.
↑ El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube
↑ El Teorema de Thales por Les Luthiers en vivo
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Categorías: Teoremas de geometría | Triángulos
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