Download resumen de la unidad n°10: el teorema de thales

RESUMEN DE LA UNIDAD N°10: EL TEOREMA DE THALES
INTRODUCCIÓN: Thales de Mileto (c. 625 a. C. 546 a.C.).
1.
Fue un
comerciante, legislador, filósofo y científico griego que nació y murió en Mileto
(en la Costa Oeste del Asia Menor). Es considerado el primero de los Siete
Sabios Griegos por Diógenes Laercio. También se le considera un discípulo
de los egipcios y caldeos, suposición de muy buen fundamento por los viajes
de Thales a Egipto y Mesopotamia.
No sólo fue el primer filósofo, es decir, el primero que, históricamente, intentó explicar el mundo por
causas naturales con los medios de un pensar, Thales independiente y adecuado a la razón, sino
que también destacó como astrónomo, como ingeniero y como matemático “formuló teoremas que
todavía hoy llevan su nombre”.
De él no se conserva ningún escrito. Su pensamiento nos es conocido a través de otros tratadistas
y filósofos griegos, como Aristóteles y Diógenes Laercio. Después de su éxito en el mundo de los
negocios, Thales lo abandonó todo, para dedicarse a la filosofía y a las Matemáticas.
Cuando le preguntaron a Thales qué recompensa quería por sus descubrimientos, él contestó: "me
consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que
reconocieran que son míos".
2. THALES DE MILETO, FUE:

Un comerciante y legislador griego nacido en Mileto (en la costa Oeste del Asia Menor) o, tal
vez, como dice el historiador griego Herodoto, en alguna ciudad fenicia, hacia el 625 antes
de Cristo

Un estadista práctico que estuvo a favor de la federación de ciudades jónicas de Grecia,
según.

El fundador de la filosofía griega, y está considerado como uno de los Siete Sabios de
Grecia. Y se le conoce como el Padre de las Matemáticas y la filosofía griegas.

Un gran astrónomo capaz de predecir el eclipse solar del año 585 antes de Cristo, además de
determinar el número exacto de días que tiene el año. Se dice también que introdujo la
Geometría en Grecia.
3 LA ESCUELA QUE FUNDÓ Y DE QUIÉNES FUERON SUS DISCÍPULOS: Fue el fundador de la
Escuela Jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles.
Fue discípulo y protegido de
Pitágoras, y además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus
principales aportaciones en los fundamentos de la Geometría.
Material de Geometría. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. de Veraguas
1
4 LEYENDA ACERCA DE UN MÉTODO DE COMPARACIÓN DE SOMBRAS
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Thales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las
pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado
ante tan portentosos monumentos de esta
civilización, quiso saber su altura.
De
acuerdo a la leyenda, trató este problema
con semejanza de triángulos (y bajo la
suposición
de
que
los
rayos
solares
incidentes eran paralelos), pudo establecer
una
relación
de
semejanza
(teorema
primero de Thales) entre dos triángulos
rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide
(conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada
en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la
vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra
de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y
agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la
sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que
D
A D
 , por lo tanto la altura de la pirámide es
B C
AC
, con lo cual resolvió el problema.
B
5 LOS TEOREMAS DE THALES (O TALES)
Existen dos teoremas relacionados con la Geometría Clásica que reciben el nombre de Teorema
de Thales, ambos atribuidos al matemático griego Thales de Mileto en el
siglo VI a.C.
5.1 PRIMER TEOREMA DE THALES
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer
que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer Teorema de
Thales recoge uno de los resultados más básicos de la Geometría, al
saber, que: “Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de
sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado”.
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2
Según parece, Thales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre
dos rectas. De hecho, el primer Teorema de Thales puede enunciarse como que la igualdad de los
cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la
principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición
de semejanza de triángulos.
5.2 SEGUNDO TEOREMA DE THALES
El segundo Teorema de Thales de Mileto es un teorema de
Geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las
circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente
enunciado: “Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC,
distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo
rectángulo”.
6 ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE PROPORCIONALIDAD
6.1 Razón: se denomina así al cociente de dos cantidades. En forma general, sean a y b  R ,
a
se llama razón de los números a y b .
b
4
6
 2
Ejemplo 1: La razón entre 4 y 2 es
Ejemplo 2: La razón entre 6 y 2 es  3 .
2
2
b  0 El cociente de
Observación: la razón de dos segmentos, se trata del cociente indicado de sus medidas, por ejemplo:
la razón de 5cm y 2m es:
5
200
6.2 Proporción: es toda igualdad entre dos razones. En general, sean las razones
igualdad
a c
y
; la
b d
a c
 será una proporción si se cumple que a  d  b  c El producto de los términos
b d
extremos es igual al producto de los términos medios.
Observación: los términos extremos son:
Ejemplo 3: Sean las razones
que
a
y
d , y los términos medios son: c y b.
1 3
1 3
y , la igualdad de estos:  formará una proporción, puesto
2 6
2 6
1 6  2  3
Observación: la proporción
a c

b d
se puede expresar así:
a : b : : c : d , y se lee: “ a
es a
be
lo que
es a de ”. De allí, tenemos como regla que “en una proporción el producto de los medios es igual
al producto de los extremos”, así: b  c  a  d
ce
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3
6.3 Proporción Continua: es toda proporción que tiene los medios o los extremos iguales. A cada
uno de los términos iguales de una proporción continua se le denomina medio proporcional.
Ejemplo 4:
4 12
 , el medio proporcional es 12
12 36
Observación: en toda proporción continua, el medio proporcional es igual a la raíz cuadrada del
producto de los extremos; es decir; si
a x

x b
 x  ab
6.4 Tercera Proporcional: se llama tercera proporcional a los términos distintos de una proporción
continua. En el ejemplo anterior las terceras proporcionales son 4 y 36 .
Observación: la tercera proporcional es cada término no repetido de la proporción.
Es igual al
2
x a
a

 x
a b
b
6.5 Cuarta Proporcional: se llama cuarta proporcional de tres cantidades a, b , y c , a un valor x ,
cuadrado de los términos iguales, dividido entre el término distinto, si
que cumple la condición siguiente:
a c

b x
 x
bc
a
Ejemplo 5: Hallar el término que hace falta (la cuarta proporcional), según se indique, si:
a  3,
b  4, c  6 y d  ?
Sol.:
a :b: : c :d
Por definición de proporción
3:4: : 6: d
Sustituyendo los valores
3 d  46
Se aplica la propiedad de proporción
3  d  24
Se resuelve y despeja la ecuación
d
24
8
3
 d=8
Se despeja la cuarta proporcional
es la cuarta proporcional
Ejemplo 6: Hallar la cuarta proporcional en:
Sol.:
a :b: : c: x
5 1

20 x
Por definición de proporción
5 : 20 : : 1 : x
Sustituyendo los valores
5  x  1  20
Se aplica la propiedad de proporción
5x  20
Se resuelve y despeja la ecuación
x
20
4
5
 x=4
Se despeja la cuarta proporcional
es la cuarta proporcional
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4
Ejemplo 7: Hallar el término que hace falta, según se indique, si:
Sol.:
:
Por definición de proporción
a :b: : c :d
2:4: : c:6
Sustituyendo los valores
26  4c
Se aplica la propiedad de proporción
4  c  12
Se resuelve y despeja la ecuación
c 
12
.
4
Se despeja la tercera proporcional
c 3
Es el valor que se pide
Ejemplo 8: Hallar el valor de x en
Sol.:
16 x

20 5
Por definición de proporción
a :b: : c :d
16 : 20 : : x : 5
Sustituyendo los valores
16  5  20  x
Se aplica la propiedad de proporción
80  20 x
Se resuelve y despeja la ecuación
x
80
20
Se despeja la tercera proporcional
x 4
6.6
a  2, b  4 , c  ? y d  6
Se busca el valor que se nos pide
Segmentos Proporcionales: una colección de segmentos de longitudes
proporcionales a otros segmentos de longitudes
a, b, c  son
a' , b' , c'  si el cociente, o razón, que se obtiene
al dividir cada longitud de un segmento de la primera colección entre la longitud de su
correspondiente segmento de la segunda, es siempre el mismo. Es decir,
Observación: el cociente
r
a
b
c

  r
a' b' c'
recibe el nombre de razón de proporcionalidad.
Al referirnos a segmentos proporcionales será necesario comparar cuatro segmentos de dos en dos,
de tal suerte que si la razón entre dos de ellos es igual a la razón de los otros dos, entonces los
segmentos serán proporcionales. Por ejemplo: Dados los siguientes segmentos:
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5
Supongamos que sus longitudes son:
AB EF
2

 
CD GH
5

4 12
2 



10 30
5 
AB  4 ; CD  10 ; EF  12 y GH  30
Los segmentos:
AB ; CD ; EF y
GH son proporcionales.
6.7 Bisectriz de un ángulo: es la recta que pasa por el vértice del
ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Observación: la bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en
segmentos proporcionales a los contiguos.
6.8 Teorema de Thales: si dos rectas cualesquiera
son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que
determina en una de las rectas son proporcionales a
los segmentos correspondientes de la otra.
Observación: Este teorema nos permite calcular, por
tanto, la longitud de un segmento si conocemos su
correspondiente en la otra recta y la proporción entre
ambos.
PRACTICA Nº 1 (RAZONES Y PROPORCIONES)
I.
Hallar las siguientes razones directas:
1) 5 pu lg y 15 pu lg
2) 13 cm y 52 cm
4) 50 m a 60 m
II.
5) 12 a
4) a 
III.
1
, b  3, c  4, d  x
2
16 pies
6) 33% a 77%
3
8
Hallar la cuarta proporcional a los números
1) a  2, b  4, c  8, d  x
3) 32 pies y
a, b y c
2) a  5, b  4, c  3, d  x
3) a  2, b  8, c  8, d  x
1
10
3
5) a  , b  , c  , d  x
8
4
2
1
12
3
6) a  , b  , c  , d  x
5
5
2
Hallar x en cada una de las siguientes proporciones:
1)
1 x

2 10
3 9

5) 7 x
2)
2
x

3 27
34 17

6) 100 x
3)
14 x

8 4
x
3

7) 2 x  3 5
4)
11 33

4
x
x 6

8) 4 8
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6
1
1
1


3
4
3
 9 III  5  18  7
Respuestas: I 
 30
5
6
 12

3
7
 32

 21
 50
II  16
9
 2,4
 32
 24
3
7 PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS SEGMENTOS PROPORCIONALES
(1) Si una línea es paralela a un lado de un triángulo, entonces ésta
divide a los otros dos lados proporcionalmente. De este modo, en el
ABC; DE
BC 
a c

b d
(2) Si una línea divide proporcionalmente a dos
lados de un triángulo, entonces dicha recta es paralela al tercer lado.
(Contrario del caso 1).
De modo que, en el ABC; si:
a c
  DE
b d
BC
(3)
Tres o más paralelas dividen proporcionalmente a dos
transversales cualesquiera.
a c
CD  
b d
AE BF
EC FD
También:

;

AC BD
AC DB
Si AB
EF
(4) La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo divide al lado
opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.
En el ABC; CD biseca al  C , entonces:
a c

b d
(5) Si dos lados de un triángulo se dividen proporcionalmente, entonces:
a) Los segmentos parciales correspondientes, son proporcionales.
b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos parciales
homólogos son proporcionales.
De acuerdo a la figura obtenemos:
AE EC

BD DC
AC
BC
Para la parte b)

,
AE
DB
Para la parte a)
AC
BC

EC
DC
Por lo tanto: ABC  EDC
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7
8
EJEMPLOS
RESUELTOS
DE
PRINCIPIOS
RELATIVOS
A
LOS
SEGMENTOS
PROPORCIONALES
Ejemplos 9: Dado el ABC; dónde DE
BC . Hallar el término que hace
falta. Si: AB  12 ; AE  10 ; EC  5 y
Solución:
DB  x
AD AE

DB EC
Por principios de segmentos
12 10

x 5
Sustituyendo los valores
10 x  5 12 
Por propiedad de proporciones
10 x  60
Resolviendo el producto
x

60
6
10
Se despeja
DB  6
Ejemplos 10: Encuentra el valor que hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que si
las longitudes son: AB  5; CD  15; GH  24 EF  x
Solución:
AB EF

CD GH
Por principios de segmentos
AB : EF  CD : GH
5 : x  15 : 24
Sustituyendo los valores
15x   524 
15 x  120
x

120
8
15
Por Teorema de Thales
Por propiedad de proporciones
Se resuelve el producto
Se despeja
EF  8
Ejemplos 11: Dado el ABC; donde BD biseca al  B .
Hallar el valor que se indica, si:
AB  x ; AD  14 ; DC  x  23 y BC  10
AB AD

BC DC
Principios de segmentos
x
14

10 x  23
Sustituyendo los valores
Sol.:
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8
x  x  23  10 14  Por propiedad
x 2  23x  140
Resolviendo productos
x 2  23x  140  0 Trasponiendo términos
x  28x  5  0
Resolviendo el trinomio
x1  28 , x2  5
Se busca las raíces
x  28
 AB  28 ;
Es la solución más lógica
DC  28  23  5
9 TEOREMA DE THALES (OTRA FORMA DE VERLO): si dos o más rectas paralelas son cortadas
cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinadas por las rectas
paralelas son proporcionales.
Consideremos la figura siguiente:
De acuerdo a esta figura:
Midamos los segmentos:
AB, BC, A' B' y B'C '
Y comprobemos que: BC  2 AB
(1)
B' C'  2 A' B' (2)
Si dividimos miembro a miembro las igualdades (1) y (2),
y nos quedará:
2 AB
BC

B' C ' 2 A' B'
Por consiguien te :
BC
AB

B' C ' A' B'
lo cual puede escribirse como :
BC
AB
AB A' B'

ó

A' B' B' C '
BC B' C '
10 EJEMPLOS RESUELTOS DEL TEOREMA DE THALES
1) En la figura que se muestra a continuación, encuentra el lado que
hace falta, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que
AA'
BB'
CC'
Si las longitudes son: AB  5 ;
BC  10 ;
A' B'  x  B' C'  20
Solución: AB : BC  A' B' : B' C '
Por definición del Teorema de Thales
5 : 10  x : 20
Sustituyendo los valores
520   10 x
Se aplica la propiedad de las proporciones
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9
100  10 x
Se resuelve el producto
x  100
10  10
Se resuelve el cociente
 A' B'  10
2) Encuentra el valor que hace falta en la construcción geométrica,
aplicando
AA'
el
Teorema
BB'
de
Thales
y
sabiendo
que
CC'
Si las longitudes son: AB  3; BC  9 ; A' B'  4 ; B' C '  x
Solución: AB : BC  A' B' : B' C'
Por definición del T. de Thales
3:9  4: x
Sustituyendo los valores
3 x  94
Se aplica la propiedad de las proporciones
3 x  36
Se resuelve el producto
x
36
 12
3
Se despeja
 B' C'  12
3) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que
AB
CD
EF
Si las longitudes son: AC  7; CE  x; BD  5  DF  2
Sol.: AC : BD  CE : DF
7:5  x:2
7 2  5x 
Por definición del Teorema de Thales
Sustituyendo los valores
Se aplica la propiedad de las proporciones
14  5x
Se resuelve el producto
5 x  14
Se traspone los términos
x
14
 2,8
5
Se despeja la variable
 CE  2,8
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10
4) Encuentra el valor que hace falta en la construcción
geométrica, aplicando el Teorema de Thales y sabiendo que
MQ
NR
OP
Si las longitudes son: QR  7; QP  14; MN  9; NO  x
Sol.: MN : QR  NO : QP
9 : 7  x : 14
914   7   x 
7 x  126
x

126
 18
7
Por definición del Teorema de Thales
Sustituyendo los valores
Se aplica la propiedad
Se resuelve el producto
Se despeja
NO  18
5) Calcula la distancia A' C ' en la siguiente figura:
Si las longitudes son: AC  3,7cm ; A' C'  x;
BC  1,8cm  B' C'  2,2cm
Sol: AC : A' C '  BC : B' C ' Por def. del T. de Thales
3,7 : x  1,8 : 2,2 Sustituyendo los valores
3,7 2,2  1,8x 
1,8 x  8,14
x
8,14
 4,5
1,8
Propiedad de las proporciones
Se resuelve el producto
Se despeja
 A' C '  4,5 cm
6) Calcula el valor de la variable que se indica, aplicando el Teorema
de Thales y los principios de segmentos proporcionales:
En el triángulo ABC; BC biseca al  B 
Solución:
x 3
 .
10 15
15 x  3 10 
b c

a d
Principios relativos de segmentos
Sustituyendo los valores
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11
x
15 x  30
Se resuelve el producto
30
x2
15
Se despeja la variable y se resuelve la ecuación
PRACTICA Nº 2 (SEGMENTOS PROPORCIONALES)
I. Hallar el valor de x y luego el valor indicado en las siguientes figuras aplicando los principios
sobre segmentos proporcionales y el Teorema de Thales:
II. Calcula el valor de la variable que se indica, y del valor indicado, aplicando el Teorema de Thales
y los principios sobre segmentos proporcionales:
x  25; CD  25  x  60; EA  60  x  12; EF  12  x  7 
x  6, DC  6; AD  14  x  15; AC  15  x  7, BD  14; DC  20  x  15, BC  24; AB  30
35
35
21
, ON  34
; OM  17
II  x  1; BD  1  x  5, ST  10; WX  8  x  17
 x  95 ; OM  10
9
7
8
8
7
7
1
 x   6 , TB  2 ; EW  14  x  5 ; AB  5  x  2, RQ  5 ; RT  3  x  8; VS  8
45
 x  3, GI  2; IE  24, FJ  12  x  45
7 ; AB  7
Respuestas: I 
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12
11 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Definición: dos triángulos, se dicen semejantes o similares cuando tienen sus ángulos
correspondientes congruentes (o iguales) y sus lados correspondientes son proporcionales.
Para indicar la semejanza se utiliza el símbolo  , que se lee: “es semejante a”; y para indicar la
congruencia se utiliza el símbolo  , que se lee: “es congruente con”.
En general, sean ABC y
RST dos triángulos cuyos lados opuestos son a, b, c; s, t, r
respectivamente:
1)
2)
A=
R
B=
S
C=
T
a c b
 
r t s
Entonces se dice ABC  RST
12 PROPORCIONALIDAD DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

La Razón de Semejanza: es la razón r de dos lados homólogos (opuestos a ángulos iguales) y
es constante en dos triángulos semejantes.
Para el ABC y el MNP, si se establece una relación del primero al segundo, entonces pueden
presentar los siguientes casos:
a) Que el ABC sea más chico que el MNP. Si esto ocurre, entonces r  1 .
b) Que ambos triángulos sean del mismo tamaño. En este caso se dice que los triángulos son
congruentes y en consecuencia r  1 .
c) Que el ABC sea más grande que el MNP. Si esto ocurre, entonces r  1

Segmentos Proporcionales: si dos lados de un triángulo se dividen
proporcionalmente, entonces:
a) Los segmentos parciales correspondientes son proporcionales.
Esto es;
AD DB

CE EB
b) Los dos segmentos totales y un par cualquiera de segmentos
parciales homólogos son proporcionales.
Observando la figura adjunta, tenemos:
AB BC

o bien
AD EC
AB CB

Lo último nos permite afirmar que: ABC  DBE
DB EB
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13

Principios de Proporcionalidad
1) “Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo,
entonces divide a los otros dos en segmentos proporcionales”.
AD AE

DB EC
BC 
En el ABC; si DE
El recíproco de este principio también es válido.
2) “Dos transversales cualesquiera, cortadas por tres o más paralelas, quedan dividida en
segmentos proporcionales”.
Este principio se conoce como
Principio de Thales.
Si AB
CD
También:
EF 
AC BD

AE BF
AC BD CE DF


,
CE DF EA FB
3) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a lados contiguos.
Si CD es bisectriz del
ACB 
AD AC

BD CB
13 LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para triángulos no rectángulos: dos triángulos son semejantes si tienen:
1. “Dos ángulos correspondientes iguales” (a a a)
2. “Dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido” (l a l)
3. “Sus tres lados proporcionales” (l l l)
4. “Sus lados homólogos paralelos entre sí”.
5. “Sus lados correspondientes perpendiculares entre sí”.
6. “Las alturas correspondientes proporcionales a sus lados”.

Para triángulos rectángulos:
1. Si en el criterio 6 “la altura es relativa a la hipotenusa, entonces ésta divide al triángulo
dado (triángulo rectángulo) en otros dos semejantes a él y semejantes entre sí”.
2. Además, dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen:

“Un ángulo agudo igual”

“Los catetos proporcionales”

“La hipotenusa y un cateto proporcionales”
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14 EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:
1) Los siguientes triángulos son semejantes, halle la razón de semejanza.
EA
AB

DC
BD
1
72
8 12
r


10 12 11 109
Solución: r 
15
2
21
2

17
2
119
10
15 2
17 10



2 21
2 119
15
85
r

21
119
5
5
r

7
7
r
5
7
Respuesta: la razón de semejanza es r 
2) Demuestre que los siguientes triángulos son semejantes y
determine el valor de x .
Solución:
aplicando
el
principio
3
de
segmentos
proporcionales, se tiene que: como AC es bisectriz del
AD AB

, esto nos permite afirmar que:
CD BC
BAD 
ABC  ACD y en consecuencia el valor de x es:
x  1 2x
AD AB



CD BC
3
5
32 x   5 x  1
6 x  5x  5
6 x  5x  5
 x 5
Respuesta: el valor es x  5
3) Determine el valor de x .
Solución: como BE
CD , entonces:
2 =
4 por ser
s correspondientes.
5 =
7 por ser
s correspondientes.
Además,
1 =
1 por identidad
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Por lo tanto: ABE  ACD, por el criterio a. a. a.
Los lados homólogos son proporcionales, así:
AB BE

AC CD

4
9

x
3x  6
4
9

x
3x  6
9 x   4 3 x  6 
9 x  12 x  24
9 x  12 x   24
 3 x   24
x
 24
8
3
Respuesta: el valor es x  8
4) Los triángulos indicados son semejantes, determine la razón de semejanza.
Solución: Como: ABC  BAD
r
AD
AB

AB
BC
32
8
 r 3 
8
6
32 1
8 4
r
  
3 8
6 3
Respuesta: la razón de semejanza es r 
4
3
PRACTICA Nº 3 (SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS)
I.
Los triángulos indicados son semejantes. Determine la razón de semejanza:
II. Demuestre que los triángulos dados son semejantes y calcule el valor de las letras
desconocidas:
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III. Aplique los principios de proporcionalidad y determine el valor de la incógnita.
5
3
III  x  3  x  3
Respuestas: I  r  3
 r
II  x  16
 x  10

x6
y  10
 y  15
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