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Triángulos. Congruencia y semejanza.
En esta sección vamos a estudiar en mayor detalle los triángulos
y algunas de sus propiedades más importantes. En primer lugar
recordemos la definición de triángulo.
Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo △ABC
es la unión de los segmentos AB, BC y CA.
Definición. De acuerdo a los tamaños relativos de sus lados un triángulo
puede ser
Figura 1: Triángulo △ABC
1. Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
2. Isósceles, si tiene al menos dos de sus lados iguales.
3. Escaleno, si todos su lados son de distintos tamaños.
Definición. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otro dos
lados se llamana catetos.
Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′ B ′ C ′ son congruentes (escribimos △ABC ≡ △A ′ B ′ C ′ ) si sus lados correspondientes son iguales y sus
ángulos correspondientes también.
Observación. Note que lo que importa es que tres lados y tres ángulos
correspondan, no el orden en que estén colocados.
Figura 2: Triángulos congruentes
Criterios de congruencia de triángulos.
El siguiente postulado establece que para verificar la congruencia de triángulos basta con comparar sólo algunos de los lados o
matemática iii - ciu geometría
ángulos. En realidad, de nuevo este postulado se puede demostrar
como teorema, pero tal demostración estaría fuera del alcance de este
curso.
VII Dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones (cada condición por separado garantiza que
los triángulos son congruentes)
1. Tienen sus tres lados iguales (LLL)
2. Tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales
(LAL)
3. Tienen un lado y los ángulos adyacentes iguales (ALA)
En lo que sigue utilizaremos las siglas entre paréntesis para indicar la
condición correspondiente.
El siguiente teorema recibe el nombre Pons Asinorum, que significa
“el puente de los burros”.
Teorema. [Pons Asinorum] El triángulo △ABC es isósceles, con |AB| =
|AC|, si y sólo si los ángulos β y γ, opuestos a AC y AB, respectivamente,
son iguales.
Demostración. Primero comentamos que por ser el teorema un “si
y sólo si", tenemos que mostrar que la primera condición (que el
triángulo es isósceles) implica la segunda (que los ángulos mencionados son iguales), y también la implicación recíproca: que la segunda
condición implica la primera. Usualmente se dice que es una doble
implicación y se usa el símbolo ⇔ para representar la frase “si y sólo
si".
En primer lugar probemos la implicación [⇒], es decir, que si el
triángulo es isósceles los ángulos mencionados son iguales. Como
suponemos que el triángulo es isósceles, se tiene |AB| = |AC|.
Esto dice que el punto A está en la mediatriz de BC. Dicha mediatriz corta al segmento en el punto M y se tiene que |MB| = |MC|,
entonces por el criterio LLL los triángulos △AMC y △ABM son
congruentes. Se concluye que β = γ. Listo.
Ahora veamos la otra dirección [⇐], es decir, que si los ángulos
son iguales entonces el triángulo es isósceles. Consideremos r una
perpendicular a BC por A, y M el punto de corte entre r y el segmento. Se forman dos triángulos △AMC y △ABM.
Sabemos que los ángulos entre r y el segmento BC son rectos.
Entonces como estamos suponiendo que β = γ y sabiendo que los
ángulos internos de un triángulo suman π, se tiene que α1 = α2 .
Pero el lado AM es común a los dos triángulos y los ángulos adyacentes son iguales, entonces por el criterio ALA, esos dos triángulos
Figura 3:
Figura 4:
15
matemática iii - ciu geometría
son congruentes, lo que implica que |AB| = |AC|, de manera que el
triángulo △ABC es isósceles.
Para estudiar el concepto de semejanza de triángulos necesitamos
un poderoso teorema cuyo autor es Thales de Mileto y que enunciamos sin demostración.
Teorema. [Teorema de Thales] Si dos rectas cualesquiera r y r ′ son cortadas
por rectas paralelas entre sí, los segmentos producidos en cada una de las dos
rectas por los cortes con las paralelas son proporcionales:
|AB|
|AC|
|CD|
= ′ ′ = ′ ′ = ···
|A ′ B ′ |
|A C |
|C D |
Figura 5: Teorema de Thales
Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′ B ′ C ′ son semejantes (escribimos △ABC ∼ △A ′ B ′ C ′ ) si tienen sus ángulos correspondientes iguales y
sus lados correspondientes proporcionales
La figura indica que △ABC ∼ △A ′ B ′ C ′ si y sólo si
α = α ′, β = β ′, γ = γ ′
y
a
b
c
= ′ = ′
a′
b
c
Figura 6: Triángulos semejantes
Sin embargo, gracias al siguiente teorema, para verificar la semejanza basta considerar sólo los ángulos de los triángulos involucrados.
Teorema. Dos triángulos △ABC y △A ′ B ′ C ′ son semejantes si y sólo si
tienen sus ángulos correspondientes iguales.
Demostración. [⇒] Si △ABC ∼ △A ′ B ′ C ′ entonces la definición de
semejanza indica que α = α ′ , β = β ′ y γ = γ ′ .
[⇐] Sabiendo que los ángulos son iguales, debemos demostrar que
los lados son proporcionales. Siguiendo la figura de la derecha,
construimos un triángulo congruente a △A ′ B ′ C ′ sobre los lados
AB y AC de modo que el punto A coincida con A ′ . Entonces BC es
paralelo a B ′ C ′ y el teorema de Thales nos dice que
|AC|
|AB|
= ′ ′
′
′
|A B |
|A C |
Figura 7:
16
matemática iii - ciu geometría
De manera análoga, podemos construir un triángulo congruente a
△A ′ B ′ C ′ sobre los lados AB y BC de modo que el punto B coincida
con B ′ como muestra la otra figura
y nuevamente el teorema de Thales implica que
|AB|
|BC|
= ′ ′
|A ′ B ′ |
|B C |
Figura 8:
lo que muestra que los tres lados son proporcionales.
Pero podemos ir más allá. Ahora estamos en condiciones de demostrar otros criterios de semejanza de triángulos que nos dan flexibilidad a la hora de verificar si dos triángulos lo son, y el número de
comparaciones a realizar sigue siendo muy reducido.
Corolario. [Criterios de semejanza de triángulos]
1. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen dos ángulos iguales.
2. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen un ángulo igual y los
dos lados adyacentes proporcionales.
3. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen los tres pares de lados
homólogos proporcionales.
Demostración. En los tres casos denotaremos los triángulos por
△ABC y △A′ B′ C′ . Observamos que sólo hace falta demostrar el "si"
([⇐]) porque el "sólo si" ([⇒]) es cierto por la definición de triángulos
semejantes.
1. Si tienen dos ángulos iguales es obvio el tercer ángulo también va
a ser igual porque
α+β+γ = π
y
α′ + β′ + γ′ = π
entonces por el teorema anterior son semejantes
2. Ahora tienen un ángulo igual, digamos α = α ′ , y dos lados adyacentes proporcionales, digamos |AB| / |A ′ B ′ | = |AC| / |A ′ C ′ |.
Como hicimos anteriormente construimos un triángulo congruente
a △A ′ B ′ C ′ sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coincida con A ′ , cómo en la figura. Si trazamos una paralela a B ′ C ′
que pase por B, sea C ′′ el punto donde ella corta a AC. Entonces
por el Teorema de Thales se cumple que
|AC ′′ |
|AB|
= ′ ′
′
′
|A B |
|A C |
que junto con
|AC|
|AB|
= ′ ′
′
′
|A B |
|A C |
Figura 9:
17
matemática iii - ciu geometría
implica que |AC| = |AC ′′ |, es decir que C = C ′′ y por el postulado VI el ángulo en B es igual al ángulo en B ′ y el ángulo en C
es igual al ángulo en C ′ . En conclusión, los dos triángulos son
semejantes.
3. Si
|AB|
|AC|
|BC|
= ′ ′ = ′ ′
′
′
|A B |
|A C |
|B C |
construyamos un triángulo △AB ′′ C ′′ con el mismo ángulo α, tal
que |AB ′′ | = |AB ′ | y |AC ′′ | = |AC ′ | como en la figura. Si trazamos
←−→
una paralela a AB ′′ por C, tenemos que |CB| = |DB ′′ |, y por el
Teorema de Thales tenemos además que
|DB ′′ |
|CB|
|AC|
|AC|
= ′′ ′′ = ′′ ′′ = ′ ′
|C ′′ B ′′ |
|C B |
|A C |
|A C |
Figura 10:
que por hipótesis indica que |C ′′ B ′′ | = |C ′ B ′ | y por lo tanto los
triángulos △AB ′′ C ′′ y △A ′ B ′ C ′ son congruentes de manera que
△ABC ∼ △AB ′′ C ′′ ≡ △A ′ B ′ C ′
Vale la pena mencionar que la relación de congruencia de triángulos es un caso particular de la semejanza de triángulos. Cuando dos
triángulos son congruentes es porque son semejantes con proporción
entre sus lados igual a 1.
Podemos ahora enunciar y demostrar un famoso teorema que
usamos frecuentemente, el teorema de Pitágoras.
Teorema. [Pitágoras] En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Demostración. Por el vértice A correspondiente al ángulo recto se traza una perpendicular al lado BC opuesto a dicho ángulo. Se obtiene
un segmento AD. Observemos que los triángulos △ABC y △ABD
son semejantes por tener dos de sus ángulos iguales (β y el ángulo
recto). De manera análoga son semejantes los triángulos △ABC y
△ADC, por tener también dos de sus ángulos iguales (en este caso γ
y el ángulo recto). Entonces se tiene por un lado
c
a
=
|BD|
c
Figura 11: Teorema de Pitágoras
y por otro
a
b
=
|DC|
b
de donde se obtiene c2 = a · |BD| y b2 = a · |DC|.
Luego b2 + c2 = a (|BD| + |DC|) = a · a = a2 .
18
matemática iii - ciu geometría
Un corolario interesante que es útil recordar es el siguiente:
Corolario. En una figura como la anterior se tiene que
|BD| · |DC| = |AD|2
Demostración. La demostración es sencilla. Aplicando el teorema de
Pitágoras al triángulo △ADC tenemos
|AD|2 + |DC|2 = b2
ahora lo mismo para el triángulo △ABD:
|AD|2 + |BD|2 = c2
y ahora sumamos esas dos igualdadas para obtener:
|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = b2 + c2 = a2
donde la última igualdad es la tercera aplicación del teorema, esta
vez al triángulo △ABC. Pero a = |BD| + |DC|, quedando:
|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = (|BD| + |DC|)2 = |BD|2 + 2 |BD| |DC| + |DC|2
donde la última igualdad es por el producto notable. Cancelamos
|DC|2 y |BD|2 , luego dividimos por 2 a ambos lados y logramos lo
buscado:
|AD|2 = |BD| |DC|
Ejercicios
←
→
1. Sea △ABC un triángulo cualquiera, r una recta paralela a BC que
←
→
pasa por A y d una paralela a AC que pasa por B. Sea C ′ el punto
de intersección de r y d. Demuestre que C ′ A ≡ BC y C ′ B ≡ AC.
¿Cuánto mide el ángulo en C ′ ?
2. En el gráfico adjunto suponga que |AB| = 1, |BC| = 2 y |CD| = 3
Determine cuánto vale:
|A ′ B ′ |
|B ′ C ′ |
|A ′′′ D ′′′ |
b) ′′′ ′′′
|C D |
a)
|A ′ D ′ |
|C ′ D ′ |
|B ′′ C ′′ |
d) ′′ ′′
|C D |
c)
|A ′′ B ′′ |
|A ′′ C ′′ |
|A ′′′ D ′′′ |
f)
|D ′′′ B ′′′ |
e)
|B ′ D ′ |
|A ′ C ′ |
|A ′′ D ′′ |
h) ′′ ′′
|C D |
g)
Figura 12:
19
matemática iii - ciu geometría
3. En el triángulo △ABC se tiene que B ′ C ′ es paralelo a BC y
|AB ′ | = |B ′ B|. ¿Cuánto valen las distancias de A a C ′ y de C ′ a
C?
Figura 13:
4. Considere el trapecio ABCD adjunto. Si E y E ′ son puntos medios,
←→
¿cómo es la recta EE ′ con respecto a la base AB?
Figura 14:
5. En el triángulo adjunto se tiene que DE es paralelo a BC y |AC| =
8,1 cm. Calcule |AE| y |EC|.
Figura 15:
20
Ángulos en la circunferencia.
En la sección anterior usamos un arco de la circunferencia de radio 1 para definir la medida de un ángulo con vértice en el centro.
A cualquier ángulo que tenga como vértice el centro de una circunferencia lo llamaremos un ángulo central. Usualmente, para evitar la
redundancia y proliferación de notación innecesaria, se da la medida
de un ángulo central como la del arco correspondiente de circunfe⌢
rencia. Por ejemplo, si decimos AB = 30◦ , queremos decir que el
ángulo central correspondiente al arco de circunferencia entre A y B
mide treinta grados.
A un segmento que une dos puntos de una circunferencia se la
llama una cuerda. Cuando una cuerda pasa por el centro se le llama
un diámetro.
En la figura de la derecha se aprecian varias cuerdas: AB, DE y EF.
De ellas, DE es un diámetro.
Cuando dos cuerdas tienen un extremo en común, se dice que el
ángulo que se forma entre ellas, con vértice en dicho punto, es un
ángulo inscrito en la circunferencia. En la figura anterior, el ángulo
∠FED es un ángulo inscrito en esa circunferencia. Existe una relación
muy útil entre la medida de este ángulo y la del ángulo central que
corta el mismo arco:
Figura 16: Cuerdas en una circunferencia
Proposición. [Ángulo inscrito] Un ángulo inscrito en una circunferencia,
⌢
como en la figura de la derecha, corta un arco de circunferencia AB. Entonces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central
⌢
que corta el mismo arco AB. Es decir
α=
ω
2
Demostración. La haremos considerando varios casos.
Primero el caso en que un lado del ángulo inscrito es un diámetro,
como se muestra en la figura de la derecha. Como el triángulo △PCB
es isósceles, los ángulos denotados con α son iguales, recordar Pons
Asinorum. Como la suma de los tres ángulos de △PCB es igual a π,
tenemos que
2α + ω′ = π
Figura 17: Ángulo inscrito en una
circunferencia
matemática iii - ciu geometría
22
pero, como ω y ω′ son suplementarios, también tenemos:
ω + ω′ = π
y de esas dos ecuaciones se deduce que 2α = ω, que es el resultado
buscado.
En segundo lugar supongamos que el centro de la circunferencia
es interior al ángulo inscrito. En la figura de la derecha se observa cómo, trazando un diámetro por el punto P, se obtienen dos instancias
del caso anterior, una que relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona
α2 con ω2 . Se tiene que
Figura 18: Primer caso, un lado del
ángulo es un diámetro
ω
ω1
y α2 = 2
2
2
pero α = α1 + α2 y ω = ω1 + ω2 , lo que implica que
α1 =
α = α1 + α2 =
ω1 ω2
ω
+
=
2
2
2
obteniéndose de nuevo el resultado buscado.
Finalmente el caso en que el centro de la circunferencia es exterior
al ángulo inscrito. En la figura de la derecha fíjese que los ángulos
destacados son α1 = ∠APC, α2 = ∠BPC, ω1 = ∠ACD y ω2 =
∠BCD y de nuevo se obtienen dos instancias del caso inicial, una que
relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona α2 con ω2 . Se tiene que
α1 =
ω1
2
y α2 =
Figura 19: Segundo caso, el centro es
interior al ángulo inscrito
ω2
2
Pero en este caso el ángulo inscrito es α = α1 − α2 y el ángulo
central es ω = ω1 − ω2 , lo que implica que
α = α1 − α2 =
ω1 ω2
ω
−
=
2
2
2
Figura 20: Tercer caso, el centro es
exterior al ángulo inscrito
obteniéndose una vez más el resultado deseado.
Como esos son todos los casos posibles, hemos demostrado que la
relación se cumple siempre.
Como una consecuencia directa del resultado anterior se obtiene
un hecho muy conocido y usado frecuentemente:
Hecho. Si AB es un diámetro de una circunferencia y X es un punto cualquiera de la misma, distinto de A y de B, entonces el ángulo ∠AXB es recto.
⌢
Esto es porque el ángulo central correspondiente al arco AB es
llano, es decir, su medida es π.
Figura 21: Arco capaz del ángulo recto
Hemos establecido la proporción entre un ángulo inscrito en una
circunferencia y el ángulo central que corta el mismo arco. Ahora
consideramos el caso de un ángulo exterior a la circunferencia.
matemática iii - ciu geometría
23
Definición. [Ángulo exterior] Un ángulo exterior a una circunferencia
es aquel que tiene su vértice fuera del círculo correspondiente y cuyos lados
cortan a la circunferencia.
Para ángulos exteriores tenemos el siguiente resultado.
Proposición. [Ángulo exterior] Consideremos un ángulo exterior α a
una circunferencia y supongamos que los lados del ángulo cortan dos arcos
⌢
⌢
de circunferencia AB y CD, como muestra la figura de la derecha. Sea θ el
⌢
⌢
ángulo central correspondiente a AB y φ el correspondiente a CD. Entonces
se tiene
φ θ
φ−θ
= −
2
2
2
Demostración. Basta aplicar apropiadamente el resultado anterior.
En la figura de la derecha, por claridad resaltamos ciertos ángulos y
omitimos φ y θ. En el triángulo △PCA, la suma de los ángulos debe
ser π, es decir, α + γ + (π − δ) = π (¿de dónde sale π − δ?). Esto
significa que α + γ − δ = 0, o equivalentemente, α = δ − γ. Pero δ es
un ángulo inscrito con ángulo central correspondiente φ, de manera
que, por el resultado anterior, δ = φ/2, y el ángulo γ es también
inscrito con ángulo central θ, es decir γ = θ/2. Juntando todo esto
tenemos:
α=
φ θ
φ−θ
− =
2
2
2
y obtenemos la igualdad planteada.
Figura 22: Ángulo exterior a una
circunferencia
α = δ−γ =
Figura 23: Reducción al resultado
anterior
Observación. Vale la pena resaltar que el resultado es válido cuando
un lado es tangente a la circunferencia y cuando los dos lo son. Se
sugiere hacer diagramas de estos dos casos.
Finalmente consideramos el caso de un ángulo interior a la circunferencia, que es aquel que tiene su vértice dentro del círculo correspondiente.
En este caso tenemos:
Proposición. [Ángulo interior] Consideremos un ángulo interior α a una
circunferencia y supongamos que los lados (prolongados) del ángulo cortan
⌢
⌢
dos arcos de circunferencia AB y CD, como muestra la figura de la derecha.
⌢
⌢
Sea θ el ángulo central correspondiente a AB y φ el correspondiente a CD.
Entonces se tiene
φ θ
φ+θ
= +
2
2
2
Ejercicio. Hacer la demostración de este caso. Basta considerar la suma de
los ángulos del triángulo △PBC.
α=
Figura 24: Ángulo interior a una circunferencia
matemática iii - ciu geometría
24
De estos resultados se deriva una muy útil construcción. Consideremos una circunferencia con una cuerda AB y un ángulo inscrito α
⌢
que corta el arco AB. Sea X el vértice de α. Si dejamos el segmento
AB fijo y movemos X sobre la circunferencia, es claro que el ángulo α
permanece constante. Esto es porque dicho ángulo es igual a la mitad
del ángulo central que es siempre el mismo. En esta situación se dice
que α es el ángulo con el que se ve el segmento AB desde X.
También se puede observar que si X se coloca dentro del círculo, el
ángulo obtenido será mayor que α, mientras que si X se coloca afuera
del círculo, el ángulo formado será menor que α.
Podemos darle la vuelta a esta construcción considerando aquellos
puntos del plano desde los cuales se ve un segmento con un ángulo
fijo dado. Tenemos la siguiente definición:
Figura 25: Ángulo con el que se ve un
segmento
Definición. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, el
conjunto de los puntos del plano desde los cuales se ve AB con ángulo α
consiste de dos arcos simétricos de circunferencia. Cada uno de ellos se llama
arco capaz del segmento AB y el ángulo α. Podemos escribir ese conjunto
así:
{X | ∠AXB = α}
Figura 26: Arco capaz del segmento AB
y el ángulo α
matemática iii - ciu geometría
25
Construcciones con regla y compás
Las construcciones con regla y compás nos ayudan a familiarizarnos con la Geometría de manera más estrecha. La regla nos permite
trazar rectas, en particular rectas que pasan por dos puntos. En este
caso la regla no es graduada, no nos permite medir distancias. El compás es un instrumento que permite dibujar circunferencias de centro
y radio dados, y también nos permite medir distancias, usando sus
extremos. Cuando se pide que construyamos algo con regla y compás, la respuesta debe ser una descripción clara del procedimiento a
seguir, una vez que hemos visualizado mentalmente cómo hacerlo. Se
puede acompañar la explicación de diagramas que ayuden a seguir
los pasos. A continuación mostramos algunos ejemplos. Se sugiere
reproducir estos procedimientos con una regla y compás de verdad,
para asegurarse de comprender su funcionamiento.
Ejemplo. [Segmento congruente] Dado un segmento AB, construir
otro segmento congruente al dado.
Trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto A ′ . Con el
compás, haciendo centro en A, medimos la longitud de AB. Luego
hacemos centro en A ′ con el compás abierto esa distancia y marcamos sobre la recta r un punto B ′ de manera que el nuevo segmento
A ′ B ′ es congruente a AB.
Figura 27: Construcción de un segmento congruente
Ejemplo. [Ángulo congruente] Construir un ángulo congruente a un
ángulo α de lados a′ y b′ .
Haciendo centro en el vértice V, trazamos un arco arbitrario que
corte a los lados en A y B, respectivamente. Ahora trazamos una
recta cualquiera r y sobre ella un punto V ′ . Con centro en V ′ trazamos el mismo arco haciendo que corte a r en A ′ . Luego medimos la
distancia de A a B con el compás. Haciendo centro en A ′ llevamos
la distancia medida sobre el nuevo arco obteniendo el punto B ′ . El
ángulo ∠A ′ V ′ B ′ es congruente con α.
matemática iii - ciu geometría
26
Figura 28: Construcción de un ángulo
congruente
Ejemplo. [Bisectriz de un ángulo] Construir la bisectriz de un ángulo α de lados a′ y b′ .
De nuevo, haciendo centro en el vértice V, trazamos un arco arbitrario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Luego ponemos la amplitud del compás un poco más corta que la distancia de A
a B con tal de que sea mayor que la mitad de dicha distancia. Con la
punta en A trazamos un arco de circunferencia que corte dos veces
a la semirrecta a′ y con la punta en B hacemos lo mismo pero ahora
el arco corta dos veces a la semirrecta b′ . Ahora unimos cualquiera
de los puntos de corte de estos arcos con el vértice V, obteniendo la
bisectriz.
Figura 29: Construcción de la bisectriz
de un ángulo
Observación. En realidad, los arcos de circunferencia trazados no
tienen que ser tan amplios, basta con que se corten en algún punto.
Ejemplo. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, construir su arco capaz.
Primero nos referimos a la figura de la derecha y observamos que
si consideramos una secuencia de puntos X1 , X2 , X3 , etc. que están
sobre la circunferencia y se acercan hacia A, los segmentos secantes
AXi se van convirtiendo en la tangente t a la circunferencia, mientras
que el ángulo α permanece siempre igual. Se observa entonces que el
ángulo con vértice en A, formado por el segmento AB y la recta t es
α.
Figura 30:
matemática iii - ciu geometría
Además tenemos que la mediatriz del segmento AB y la perpendicular a la recta t por el punto A pasan por el centro de la circunferencia.
Ahora estamos listos para describir la construcción con regla y
compás. Primero construimos un ángulo congruente a α en el extremo A del segmento AB, con ello obtenemos la recta t (se puede
trazar con la regla). Luego trazamos la perpendicular a t por el punto
A (ver ejercicio 2.b) abajo). A continuación trazamos la mediatriz del
segmento AB (ver ejercicio 2.a) abajo). El centro de una rama del arco
capaz será la intersección de estas dos rectas. Podemos trazar el arco
poniendo una punta del compás en el centro y otra en el punto A.
Para trazar la otra rama del arco capaz, repetimos el proceso pero
dibujando α en el mismo extremo A pero al otro lado del segmento
AB.
27
Figura 31: Construcción del arco capaz
Ejercicios
1. Para cada una de las figuras a continuación, obtenga la medida de
los ángulos pedidos
⌢
a) AB = ?
e) α = ?
⌢
BA = ?
β=?
b) α = ?
f) α = ?
⌢
BC = ?
⌢
c) BA = 70◦
⌢
g) AC = 100◦
α=?
⌢
BD = ?
⌢
d) AD = 140◦
h) α = ?
α=?
matemática iii - ciu geometría
i) α = ?
⌢
j) CA = 55◦
⌢
m) α = ?
p) α = ?
⌢
DB = ?
n) QR = ?
q) α = ?
⌢
k) TC = ?
l) α = ?
o) α = ?
r) α = ?
28
matemática iii - ciu geometría
s) α = ?
β=?
t) α = ?
2. Construir con regla y compás
a) La mediatriz de un segmento AB.
b) La perpendicular a una recta r por un punto P ∈ r y la perpendicular a la recta r por un punto Q ∈
/ r.
c) La paralela a una recta r por un punto Q ∈
/ r.
3. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que
sus lados son congruentes a tres segmentos dados AB, AC y BC.
4. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que
un lado es congruente a un segmento dado AB, y los dos ángulos
adyacentes a ese lado son congruentes con ángulos dados α y β.
29