Download 6.11 ejercicios propuestos

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Consecuencias del V.P.E..
Problemas generales.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1. En la figura t es secante a l1 y a l 2 respectivamente.
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.
1.1 Si ˆ y ˆ son suplementarios entonces l1 // l 2 .
1.2 Si
    180 entonces l1 // l 2 .
1.3 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.4 Si ˆ  ˆ entonces l1 // l 2 .
1.5 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.6 Si l1 // l 2 entonces ˆ  ˆ .
1.7 Si l1 // l 2 y ˆ  ˆ entonces
  .
1.8 Si l1 // l 2 y  '   ' entonces l1  t .
2. En cada una de las figuras siguientes determinar el valor de x, si es posible en función
de las hipótesis dadas. Tenga presente la coherencia y consistencia de sus
argumentaciones.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.2
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
2.1
2.3 PQ // BC
2.5
2.4 C está entre B y D.
2.6 C está entre B y D.
AD=AC=BC.
BC=AC.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
2.7 AB=AC, AE=AD, D está entre B y C.
2.8 D es punto medio de BC
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
E está entre A y C.
3. En el ABC , D está entre B y C, E está entre B y D; los ángulos así definidos.
A
 
B


E
 
D

C
De acuerdo con esto, la única relación verdadera es:
3.1        .
3.2        .
3.3        .
3.4            .
3.5            .
4. Demuestre que si dos rectas y una transversal forman ángulos colaterales interiores
suplementarios, dichas rectas son paralelas. Demuestre el recíproco.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5. Sobre los lados de un ángulo agudo XOˆ Y se toman segmentos OA  OB . Desde A se
baja una perpendicular AP sobre OB en P, desde B se traza BQ  OA en Q. Esas
rectas se cortan en l. Demostrar:
5.1 AP  BQ .
5.2 OP  OQ .
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
5.3 Compara los segmentos lA , lB , lQ y lP .
5.4 Demostrar que el punto l está sobre la bisectriz del ángulo XOˆ Y y que
Ol  AB en su punto medio.
6. Demuestre que si las mediatrices de los lados de un triángulo, se intersectan en un
punto del tercer lado, el triángulo es rectángulo. Demuestre además, el recíproco de
esta proposición.
7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo
isósceles, son congruentes y que el segmento que une los pies de dichas alturas es
paralelo a la base.
8. Demuestre que las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide cada
mediana en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble del otro.
9. Demuestre que las rectas que contienen las alturas de un triángulo, se interceptan en
un punto.
10. Si un triángulo tiene dos medianas congruentes, entonces es isósceles.
11. Demostrar que el segmento que une los pies de las medianas correspondientes a los
lados congruentes de un triángulo isósceles, es paralelo a la base.
12. Hipótesis: A, B, C, D son colineales.
AM  BN ; CM  DN ; AB  CD .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CM  BN  0 .
Tesis:
a.
AMˆ O  MOˆ N .
b.
AM // BN ; MN // AD .
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
13. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un
triángulo, determinan cuatro triángulos congruentes.
14. Demostrar que si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30°, el
cateto opuesto a este ángulo tiene por medida la mitad de la medida de la hipotenusa.
Demuestre además el recíproco de este enunciado.
15. Se tiene que: OA=OB; P  AB , PC  OA ; PD  OB ;
AM  OB .
Demuestre que: PC  PD  AM .
Sugerencia: Trace por P la recta paralela a OB .
16. Demostrar que en todo triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto
interior a los tres lados del triángulo, es constante. Sugerencia: Utilice el problema
anterior.
17. Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman al
intersectarse un ángulo cuya medida es tres veces la medida del ángulo del vértice.
Calcular la medida de cada ángulo del triángulo.
18. En el problema anterior considere las alturas correspondientes a los lados
congruentes del triángulo, en vez de las bisectrices.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
19. Considere: AB  AC ; P  BC . M y N son
puntos medios de BP y PC respectivamente.
DM  BP ; EN  PC ; D  AB ; E  AC .
Demuestre que:
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
DP // AC ; PE // AB ; DAˆ P  DPˆ E .
20. Dado un triángulo equilátero ABC, sobre los lados AB , BC y CA se toman los puntos
A’, B’, C’ respectivamente, de tal manera que: AA'  BB'  CC ' 
1
AB . Demuestre que el
3
triángulo A’B’C’ es equilátero y que los lados de este triángulo son perpendiculares a
los lados del triángulo ABC.
21. Dado el triángulo ABC cualquiera, se construyen los triángulos equiláteros ABC’, ACB’,
BCA’, estando los puntos A’, B’, C’ en el exterior del triángulo ABC. Demostrar que
AA'  BB '  CC ' .
22. En un triángulo ABC se une al punto medio M de BC con los pies de las alturas H y
H’ bajadas desde B y desde C, respectivamente. Demostrar:
22.1
Si MHH' es isósceles.
22.2
Calcular sus ángulos en función de los ángulos del triángulo ABC.
22.3
AHˆ ' H  Cˆ y AHˆ H '  Bˆ .
22.4
Considerando el triángulo AHH' demuestre que el segmento que une los
pies de las alturas bajadas desde H y H’ es paralela a BC .
23. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la altura AH relativa a la hipotenusa y
desde H se llevan HD  AB y HE  AC . Se une D con E y se llama M el punto medio
de la hipotenusa.
23.1 Demostrar que DE  AM .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
23.2 Sea P el punto medio de AB . Demostrar que PM y la paralela a DE por B se
cortan sobre la recta AH .
24. Las bisectrices exteriores del triángulo ABC se cortan formando el triángulo EFG.
24.1 Calcule los ángulos del triángulo EFG en términos de los ángulos del triángulo
ABC.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
24.2 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC pasan por E, F y G
respectivamente.
24.3 Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC son las alturas del
triángulo EFG.
25. En la figura se tiene CBˆ X y BCˆ Y son exteriores al ABC . BN y CN son sus
bisectrices respectivas. NH  AX ; NP  AY . Demostrar:



25.1 m BNˆ C  90  .
2
25.2 AB  BH  AC  CP .
25.3 N está sobre la bisectriz de BAˆ C .
26. Problema general de aplicación.
En el diagrama se muestra la ubicación de dos predios (1) y (2) demarcados por dos
líneas de fronteras CA y DB respectivamente. Estas líneas se cortan en un punto O
situado sobre la laguna. Los propietarios de estos predios se disputan la propiedad del
predio (3), situado entre ambas líneas. Después de largas discusiones han acordado
como línea demarcadora o limítrofe sobre el predio (3), aquella formada por los
puntos que equidistan de CA y DB .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Un estudiante de geometría propone la siguiente construcción para determinar la línea de
demarcación acordada entre los propietarios.
i.
T  DB .
ii.
TK // CA .
iii.
TS  TS ' y se determina SS ' .
iv.
SS '  CA  P.
v.
LM : Mediatriz de PS .
El estudiante afirma que LM satisface las condiciones pactadas por los propietarios para la
línea de demarcación.
Pregunta: Justifique si esta construcción propuesta por el estudiante es o no adecuada.