Download capítulo completo

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 8. POLIGONALES Y POLÍGONOS
Introducción.
Aprovecho este tema para realimentar el proceso constructivo desarrollado hasta el momento.
Específicamente las clasificaciones que se crean desde la noción de poligonal, polígono, su
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
clasificación en simples y no simples, y luego la clasificación de los simples en cóncavos y
convexos, para solamente señalar las taxonomías iniciales, permiten abrir el espacio de
preguntas sobre estas figuras como ningún otro tema, contando con elementos aparentemente
sencillos de la teoría. Así se logra presentar como polígonos, una gama muy amplia que
normalmente el estudiante nunca ha considerado y que le permiten reflexionar sobre sus
características y propiedades, muchas de las cuales riñen posiblemente con su intuición sobre
este tipo de figuras, enriqueciendo su conocimiento.
La introducción posterior en los polígonos convexos de los cuadriláteros y las clasificaciones que
allí se establecen, potencializan la aplicación de los últimos resultados trabajados en las
relaciones de paralelismo y perpendicularidad.
Objetivos Específicos.
1. Presentar un cuadro sinóptico de todas las clasificaciones que se presentan en la
teoría desde la definición de poligonal hasta terminar en el cuadrado, para
facilitar una buena comprensión por parte del estudiante, de los conceptos y
propiedades que se estudiarán durante todo el desarrollo de los temas.
2. Hacer énfasis en las cadenas de inclusiones que se presentan y aprovecharlas
para realimentar el trabajo del lenguaje de la lógica en las
proposiciones
correspondientes al condicional y sus recíprocas
3. Destacar en particular las propiedades del triángulo como el polígono convexo
del menor número de lados y como se inscribe como caso particular en este tipo
de figuras.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4. Señalar el paralelogramo con sus propiedades por equivalencia como una figura
importante en la Geometría Euclidiana y en particular en la geometría vectorial.
5. Presentar el rectángulo, el rombo y el cuadrado como casos particulares del
paralelogramo, aprovechando sus propiedades para desplegar en su mejor
ejercicio, las herramientas consolidadas en la teoría reciente, mostrándole como
el dominio de los últimos resultados estudiados lo proveen de herramientas más
refinadas que le permiten abordar los problemas propuestos con mayores
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
facilidades para llegar a su solución y con argumentos cada vez más cortos.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.1 POLIGONAL
Definición 33.
Sean en el plano los puntos A1 , A2 ,...., An ; n  3 , con la condición de que tres puntos
consecutivos cualesquiera no son colineales.
La unión de los segmentos A1 A2 , A2 A3 ,....,An 1 An se llama POLIGONAL. (Figura 123 a).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Los puntos A1 , A2 ,...., An se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL.
Los segmentos A1 A2 , A2 A3 ,....,An 1 An se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.
Notación: Designemos por Poligonal A1 A2 .... An ; la poligonal de vértices en los puntos
A1 , A2 ...., An .
Dada la poligonal A1 A2 .... An .
A la figura correspondiente a: Poligonal A1 A2 .... An  An A1 se le denomina una poligonal
cerrada o POLÍGONO (Figura 123 b,....g).
Los lados del polígono constituyen EL CONTORNO Ó LA FRONTERA DEL POLÍGONO.
ˆ A ,....,A A
ˆ
Los ángulos A1 A
2 3
n 1 A2 se llaman ANGULOS DEL POLÍGONO.
La suma de las medidas de los lados del polígono se llama PERÍMETRO DEL POLÍGONO.
Notación: Designaremos por polígono A1 A2 .... An ; el polígono de vértices en los puntos
A1 , A2 ...., An .
Figura 123 a.
Figura 123 b.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 123 c.
Figura 123 d.
Figura 123 e.
Figura 123 f.
Figura 123 g.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.2 POLÍGONO SIMPLE
Definición 33
Un polígono se llama SIMPLE si:
Todos los vértices son distintos. (La Figura 123 d no lo es).
ii).
Los lados se intersectan solamente en los vértices. (La Figura 123 c no lo es).
iii).
Ningún vértice está en el interior de un lado. (La Figura 123 b no lo es).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
i).
Nota: A no ser que se especifique la contrario, en adelante usaré la palabra polígono en
lugar de polígono simple.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.3 DIAGONAL DE UN POLÍGONO
Definición 34
i).
Al segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono se le llama
DIAGONAL DEL POLÍGONO.
ii).
Los ángulos que forman un par lineal con los ángulos de un polígono se llaman
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ÁNGULOS EXTERIORES DEL POLÍGONO. Así, en la Figura 124, AD y EC son
diagonales; EAˆ K , , TCˆ D , BAˆ F , EDˆ H son ángulos exteriores.
Figura 124.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.4 INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLÍGONO
Definición 35
i). Un punto P no perteneciente al polígono y coplanario con él se denomina PUNTO
INTERIOR de un polígono de n vértices si toda semirrecta con origen en P y contenida
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
en el plano del polígono, intersecta al polígono. (Figura 125).
Figura 125.
ii).
El conjunto de puntos interiores se llama EL INTERIOR DEL POLÍGONO.
iii). Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR DEL POLÍGONO si siendo coplanario
con él no pertenece al polígono y si existe al menos una semirrecta de origen en Q
contenida el plano del polígono y que no intersecta al polígono. (Figura 126).
Figura 126.
iv). El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR DEL POLÍGONO.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.5 POLÍGONO CONVEXO Y POLÍGONO CÓNCAVO
Definición 36
i). Un polígono se llama CONVEXO si para cada dos puntos interiores cualesquiera P y
Q, PQ está contenido en el interior del polígono (Figura 127a).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ii). Un polígono de n vértices no convexo, se llama CÓNCAVO (Figura 127b).
Polígono convexo
Figura 127a.
Polígono cóncavo
Figura 127b.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.6 POLÍGONO REGULAR
Definición 37
Un polígono que tiene sus ángulos y lados respectivamente congruentes se llama
REGULAR. (Figura 128a).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Si no cumple alguna de estas condiciones se llama IRREGULAR. (Figura 128 b y 128 c).
128 a. Polígono Regular.
Irregular
128 b. Polígono Irregular.
128 c. Polígono
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.7 DESIGNACIÓN DE ALGUNOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE
LADOS
NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS.
Número de lados.
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Nombre.
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octogono
8
Nonágono
9
Decágono
10
Endodecágono
11
Dodecágono
12
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.8 NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLÍGONO CONVEXO
TEOREMA 49
El número de diagonales de un polígono convexo de n lados es:
nn  3
2
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
d
Demostración.
Por cada vértice P de un polígono de n vértices se pueden trazar n  3 diagonales. Como
hay n vértices se obtienen en total nn  3 diagonales. Además cada diagonal se cuenta
dos veces, por lo tanto se tiene
nn  3
.
2
Ejemplos.
Figura 129.
n5
d 
55  3
5
2
n7
d 
77  3
 14
2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.9 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO CONVEXO
DE n LADOS
TEOREMA 50
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados, es
igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el polígono menos dos. Es decir, si n es
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
el número de lados del polígono, entonces:
S  180 n  2 .
Demostración.
Número de triángulos de vértice P0 .

P0 P1 P2

P0 P 2 P3

P0 P 3 P4




P0 P n  2 Pn 1
Total: n  2 triángulos.
Figura 130.
Luego suma de los ángulos interiores del polígono: P0 P1P2 ...... Pn  2 Pn 1  180 n  2 .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
COROLARIO 1.
Si un polígono convexo de n lados, es equiángulo, entonces el valor de un ángulo
interior es:
180(𝑛−2)
𝑛
COROLARIO 2.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
En un polígono convexo de n lados, la suma de los ángulos exteriores tomados en un
mismo sentido es igual a cuatro rectos.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.10 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS.
1. Según sus lados:
a. ISOSCELES: Tiene al menos dos lados congruentes.
b. EQUILÁTERO: Tiene tres lados congruentes.
c. ESCALENO: No tiene lados congruentes.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
2. Según sus ángulos:
a. EQUIÁNGULO: Sus tres ángulos son congruentes.
b. RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto.
c. ACUTÁNGULO: Tiene sus tres ángulos agudos.
d. OBTUSÁNGULO: Uno de sus ángulos es obtuso.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.11 CUADRILÁTEROS CONVEXOS ESPECIALES
Definición 38.
a. TRAPEZOIDE: Es un cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos
paralelos.(figura 131a).
b. TRAPECIO: Es un cuadrilátero convexo con un único par de lados paralelos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
(Figura 131b).
c. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero convexo con dos pares de lados paralelos
(Fígura 131 c).
d. RECTÁNGULO: Cuadrilátero convexo que tiene sus cuatro ángulos congruentes
(Figura 131d).
e. ROMBO: Cuadrilátero convexo que tiene sus lados congruentes (Figura 131 e).
f. CUADRADO: Cuadrilátero convexo que es equiángulo y equilátero a la vez (Figura
131 f)
e
b
a
f
c
d
Figura 131.
El significado de la figura anterior es el siguiente: de acuerdo a las definiciones anteriores el
trapecio y el paralelogramo solo tienen en común ser cuadriláteros convexos, ahora las
propiedades del paralelogramo las heredan el rectángulo, el rombo y así sucesivamente.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Cuadrilateros
convexos
Cuadrilateros
Paralelogramos
Trapecios
Rombos
Rectangulos
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Cuadrados
Figura 132.
TEOREMA 51.
Todo rectángulo y todo rombo son paralelogramos.
Demostraremos que todo rombo es paralelogramo. Se deja al lector la demostración de que
todo rectángulo es paralelogramo.
Sea ABCD un rombo, luego: AB  BC  CD  DA por definición.


Tracemos la diagonal DB , entonces: A D B  C D B (L-L-L). De donde:
ADˆ B  CBˆ D
(1).
CDˆ B  ABˆ D
(2).
Según (1), AD // BC y según (2), AB // DC , luego el rombo es un paralelogramo.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 133.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.12 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL PARALELOGRAMO
3
1
2
5
4
1
1
6
1
1
7
1
1
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Figura 134.
TEOREMA 52. Propiedades por equivalencia del paralelogramo.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo.
2. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y congruentes.
3. Los lados opuestos del cuadrilátero son congruentes.
4. Las diagonales del cuadrilátero se bisecan.
5. Los ángulos opuestos del cuadrilátero son congruentes.
6. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y un par de ángulos opuestos son
congruentes.
7. Dos ángulos, adyacentes a un lado cualquiera, son suplementarios.
Nota: Identifique cada caso.
La demostración de este teorema consiste en probar la siguiente cadena de implicaciones,
así:
1  2  3  ....... 7  1 .
Haremos aquí la prueba de la primera y la última implicación.
i). 1  2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Figura 135.
Sea ABCD un paralelogramo con AC // BD y AB // CD .


Se traza la diagonal AD y se obtienen dos triángulos congruentes A B D y D C A por tener:

C A D  ADˆ B

C A D  DAˆ B
AD
(Alternos internos entre paralelas).
(Alternos internos entre paralelas).
(Lado común).
Luego AC  BD y AC // BD (por hipótesis).
En la misma figura se concluye también que:
AB  CD y AB // CD
(por hipótesis).
ii). 7  1 .
Figura 136.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Supongamos que en el cuadrilátero convexo ABCD los ángulos adyacentes BAˆ D y ADˆ C
son suplementarios, es decir:

 

m BAˆ D  m ADˆ C  2 rectos.
(1).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Sea X un punto en la prolongación de BA y por tanto:

 

m DAˆ X  m BAˆ D  2 rectos.

 
 
 
(2).

De (1) y (2) m BAˆ D  m ADˆ C  m DAˆ X  m BAˆ D , de donde:
ADˆ C  DAˆ X y por ser alternos internos se concluye que AB // CD .
En la misma forma se toma Y en la prolongación de CB y se llega a la conclusión de que
ABˆ Y  DAˆ B y por la misma razón se concluye que AD // BC , luego la figura es un
paralelogramo.
COROLARIO.
i). El rectángulo es un paralelogramo equiángulo.
ii). El rombo es un paralelogramo equilátero.
iii). El cuadrado es rectángulo y rombo a la vez.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.13 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL RECTÁNGULO
TEOREMA 53. Propiedades por equivalencia del rectángulo.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. Un cuadrilátero es un rectángulo.
2. Todos sus ángulos son rectos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.
Demostremos que 1  2 y que 3  1 .
i). 1  2 .
Figura 137.
Por hipótesis tenemos que        .
Como         360 resulta entonces que:
        90 .
ii). 3  1 .
Figura 138.
Tenemos por hipótesis que:
OA  OB  OC  OD .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA


Si A O B  C O D (L-A-L) resulta que Aˆ 2  Cˆ 2 y Bˆ 2  Dˆ 2 .


Si AO D  C O B (L-A-L) resulta que Dˆ 1  Bˆ1 y Aˆ1  Cˆ1 .
       
       
Sumando: m Aˆ 2  m Aˆ1  m Cˆ 2  m Cˆ1 y m Dˆ 1  m Dˆ 2  m Bˆ1  m Bˆ 2
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Resulta entonces que DAˆ B  DCˆ B y ADˆ C  ABˆ C .
Pero
como
Dˆ 1  Aˆ1  C1  B1
y
DAˆ B  DCˆ B  ADˆ C  ABˆ C
Se deja al lector la prueba de que 2  3 .
Aˆ 2  Bˆ 2  Cˆ 2  Dˆ 2
se
concluye
que
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.14 PROPIEDADES POR EQUIVALENCIA DEL ROMBO
TEOREMA 54. Propiedades por equivalencia del rombo.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. Un paralelogramo es un rombo.
2. Las diagonales del paralelogramo bisecan los ángulos opuestos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares.
4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes.
Demostremos que 1  2 y que 4  1 .
i). 1  2 .
Figura 139.
Por hipótesis tenemos que ABCD es paralelogramo con AB  BC  CD  DA.


Como D C B  C B A por L-A-L y CDA  CBA por L-A-L.
Resulta: CDˆ O  ODˆ A , CBˆ O  ABˆ O , BAˆ C  DAˆ C , DCˆ A  BCˆ A , ¿Por qué?.
ii). 4  1 .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Tenemos por hipótesis que ABCD es paralelogramo y que AD  AB . Entonces, por ser
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ABCD paralelogramo se tiene: AD  BC y DC  AB , resulta así que: AB  BC  CD  DA.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.15 PROPIEDADES DEL TRAPECIO
TEOREMA 55. Propiedades del trapecio.
i). La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos de un trapecio) es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
medidas de las bases.
Figura 140.
Por hipótesis DC // AB , DK  KA y CE  EB .
Demostremos que:
KE // AB y KE 
1
DC  AB .
2
Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar la semirrecta AB tal que B está entre A


y F, resulta que D C E  F B E por A-L-A, entonces DE  EF y DC  BF .
En DAF se tiene KD  KA y DE  EF , por lo tanto KE // AF , esto es, KE // AB y
KE 
1
 AF   1  AB  DC 
2
2
.
ii). El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo
a las bases y su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases
(Demostrarlo).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
iii). En un trapecio isósceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las
diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son congruentes, los
ángulos de la base menor son congruentes. El punto de intersección de las
diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas
que contienen los lados no paralelos, están alineados. Las mediatrices de las bases
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
coinciden (Demostrarlo).
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.16 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Poligonal.
Polígonos.
Cuadriláteros convexos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1. En las figuras siguientes B está entre A y C; K, está entre S y M; D, H, V, T son colineales. O
está entre P y Q y O está entre L y F.
Determine, si es posible, una designación adecuada, de tal forma que las respectivas
figuras corresponden a polígonos. Indique los lados respectivos de cada uno de ellos.
2. De acuerdo a lo determinado en el numeral anterior, ¿alguno de los polígonos es simple?.
Justifique su respuesta.
3. De los polígonos siguientes, determine cuáles son simples y cuáles no lo son. Justifique su
respuesta.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
4. De los polígonos del numeral anterior, determine cuales son convexos y cuales son
cóncavos, señale en cada uno su interior.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
5. En cada uno de los polígonos siguientes determine: sus diagonales, sus ángulos exteriores.
6. Determine, si es posible, el número de lados de un polígono convexo que tenga: 15, 19, 51,
90 diagonales respectivamente.
7. Determine para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera o falsa. Justifique
su respuesta. En el caso de que la afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
7.1. Todo cuadrilátero con únicamente un par de lados paralelos es un trapecio.
7.2. Todo cuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes, es un
paralelogramo.
7.3. Todo cuadrilátero con un par lados paralelos y un par de lados congruentes
es un paralelogramo.
7.4. Todo cuadrilátero equiángulo es un rectángulo.
7.5. Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y congruentes es
un paralelogramo.
7.6. Todo cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares es un rombo.
7.7. Todo cuadrilátero convexo con un par de ángulos adyacentes a un lado,
congruentes y suplementarios, es un paralelogramo.
7.8. Todo cuadrilátero convexo, con diagonales que se bisecan, es un
paralelogramo.
7.9. En un trapecio isósceles las diagonales se bisecan.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
7.10.
En todo paralelogramo, las diagonales son congruentes.
7.11.
Todo paralelogramo con diagonales congruentes es equiángulo.
7.12.
En todo paralelogramo los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
7.13.
En todo cuadrado las diagonales son perpendiculares y congruentes.
7.14.
Existe un rombo que es a la vez rectángulo.
7.15.
Un paralelogramo en el cual las diagonales bisecan los ángulos
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
respectivos es un rombo.
7.16.
En todo rombo las diagonales son congruentes.
7.17.
En un rectángulo las diagonales bisecan los ángulos respectivos.
7.18.
Un paralelogramo con diagonales congruentes y que bisecan los
ángulos respectivos es un cuadrado.
7.19.
Todo cuadrilátero convexo con sus cuatro lados congruentes es un
cuadrado.
7.20.
Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y un par de
lados congruentes, es un paralelogramo.
8. De las condiciones siguientes que se enuncian acerca de un cuadrilátero convexo, ¿cuáles
son suficientes para definir: un paralelogramo, un rombo, un rectángulo, un cuadrado, un
trapecio isósceles?
8.1.
Cada par de ángulos opuestos son congruentes.
8.2.
Las diagonales son congruentes.
8.3.
Es equiángulo y equilátero.
8.4.
Cada dos ángulos consecutivos son suplementarios.
8.5.
Tres de sus ángulos interiores son rectos.
8.6.
Sus diagonales son mediatrices unas de otras.
8.7.
La suma de sus ángulos interiores es igual a 360º.
8.8.
Sus diagonales se bisecan.
8.9.
Solo un par de lados son paralelos y sus diagonales son congruentes.
8.10. Dos de sus ángulos son rectos y sus lados son congruentes.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
9. Los lados de un polígono regular de n lados, n>4, se prolongan hasta formar una estrella.
Calcule la medida en grados de cada uno de los ángulos interiores en las puntas de las
estrellas.
Demostrar las siguientes proposiciones:
10. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo, son los vértices de un
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
paralelogramo.
11. Los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo y los puntos medios
de sus diagonales, son los vértices de un paralelogramo; o se reducen a tres puntos
colineales.
12. Los puntos medios de los lados de un rectángulo, son los vértices de un rombo.
13. Los puntos medio de los lados de un rombo, son los vértices de un rectángulo.
14. Las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo, al intersectarse, forman un
rectángulo.
15. Las bisectrices de los ángulos interiores de un rectángulo al intersectarse forman un
cuadrado.
16. Si por el punto de intersección de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a
los lados del rombo, entonces, los puntos de intersección de dichas perpendiculares con
los lados, son los vértices de un rectángulo.
17. Las bisectrices de los ángulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los
lados del rombo en cuatro puntos que son los vértices de un cuadrado.
18. En un rombo se trazan las alturas de los cuatro triángulos que determinan las diagonales.
Demostrar que los pies de estas alturas son los vértices de un rectángulo.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
19. Por el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado, se trazan dos rectas
perpendiculares que intersectan dos a dos los lados del cuadrado. Demostrar que estos
puntos de intersección son los vértices de un cuadrado.
20. Si se trisecan los tres lados de un triángulo equilátero, estos puntos son los vértices de un
exágono regular.

M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
21. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. AN es bisectriz de DAB y DM es bisectriz de

CDA , M  AB y N  CD . Demostrar que: ADNM es un rombo.
22. Las diagonales de un pentágono regular son congruentes y al intersectarse forman un
pentágono regular.
23. En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son
congruentes, los ángulos de la base menor son congruentes, el punto de intersección de las
diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que
contienen los lados no paralelos, están alineados. (Esta última afirmación para cualquier
trapecio).
24. La base media de un trapecio biseca a las diagonales.
25. Suponga que: ABCD es un paralelogramo.

AN es bisectriz de DAB .

CM es bisectriz de BCD .
D, A, M son colineales.
B, C, N son colineales.
M, P, C son colineales.
A, Q, N son colineales.
Demuestre que AMCN es paralelogramo.
26. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. M
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
y N son los puntos medios de AB y CD respectivamente. Demostrar que DM y BN
trisecan la diagonal AC .
27. En un cuadrilátero convexo ABCD, AC  BD  O , AD  BC , AO  OB y CO  OD .
Demostrar que ABCD es trapecio isósceles.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
28. ABCD es un rectángulo. AX y DX son las bisectrices de A y D respectivamente. BY y


CY son las bisectrices de B y C respectivamente. Demuestre que ABYX  CDXY .
29. En un paralelogramo ABCD, se prolonga AB y se toma BE  BC . Se prolonga AD y se
toma DF  DC . Demostrar que F, C y E son colineales.
30. Dado ABCD paralelogramo
 : recta cualquiera
D
AN   , BM   , CP  
Demostrar que: BM  AN  CP
Sugerencia: Trace AK // 
31. En un rombo ABCD se trazan BN  AD , BM  CD , DR  AB y DQ  BC . Estas
perpendiculares se cortan en E y F. Demostrar que BEDF es un rombo y que sus ángulos
son congruentes a los ángulos del rombo dado.
32. En cuadrado ABCD se prolongan los lados en sentidos opuestos y sobre dichas
prolongaciones se toman BM  AB ; DN  CD ; CF  BC y AQ  AD . Demostrar que
MN  PQ y que MN  PQ .
33. Suponiendo que:
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
C, O, M son colineales.
A, O, N son colineales.
C, N, B son colineales.
N: punto medio de BC
AM 
1
 AB
3
OM  5x
ON  2x  1
y
AO  3x  11 , calcular CM.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Sugerencia: Trace NK // CM y tenga en cuenta el teorema de la paralela media.
34. El triángulo ABC, tiene AB  AC . B y C  son puntos exteriores al triángulo ABC, tales
que AB es mediatriz de CC  y AC es mediatriz de BB  . Demostrar que BCBC es
trapecio isósceles.
35. En un paralelogramo ABDE, BD es el doble de AB y C es el punto medio de BD . Demostrar

que el ángulo ACE es recto.
36. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersección de las
diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.
37. Dado ABCE rectángulo
AF  BE

AD bisectriz de OAF





Hallar m ADE   
38. Demuestre:
38.1. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y
perpendiculares entre sí.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
38.2. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y una
de ellas biseca a un ángulo del paralelogramo.
39. Se dá un cuadrado ABCD y se construye en el interior del cuadrado el triángulo
equilátero ABF y en el exterior del cuadrado el triángulo equilátero ADE. Demostrar que
C, F y E son colineales.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
40. Por los vértices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los
puntos de intersección de estas rectas son los vértices de un cuadrado cuyas diagonales
se cortan en el punto de intersección de las diagonales del cuadrado dado.
41. El polígono ABCDEFGH es un octógono regular. Demostrar que las diagonales AD , HE ,
BG y CF forman un cuadrado al intersectarse.
42. En un triángulo rectángulo, el ángulo formado por la altura y la mediana correspondiente
a la hipotenusa mide  . Calcular los valores de los ángulos agudos en función de  .
43. Demostrar que en un triángulo rectángulo, el pie de la bisectriz correspondiente al
ángulo recto está en el interior y es bisectriz del ángulo formado por la altura y la
mediana correspondiente al mismo ángulo.
44. En el cuadrilátero convexo, ABFE la diagonal AF es mediatriz de BE . AB  EF  C,
AE  BF  D. Demostrar que CD // BE .
45. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AM y BN . Por N, se traza una paralela a
BC y por C, una paralela a BN . Estas dos rectas se cortan en P. Si D es el punto medio
de PN , demostrar que CD // AB // MN .
46. En un triángulo ABC, AA , BB  y CC  son las medianas. Por A , se traza AD  BB y
AD // BB  . Demostrar que CC   AD .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.17 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
Demuestre que en un paralelogramo las bisectrices de los ángulos interiores al intersectarse,
determinan un rectángulo.
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo
ii.
𝐴𝑃1 bisectriz de DAB
iii.
𝐷𝑃1 bisectriz de ADC
iv.
𝐶𝑃3 bisectriz de DCB
v.
𝐵𝑃3 bisectriz de ABC
vi.
𝐷𝑃1 ∩ 𝐶𝑃3 = {𝑃2 }
vii.
𝐴𝑃3 ∩ 𝐵𝑃3 = {𝑃4 }
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
i.
Hipót
esis




Tesis: 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 es un rectángulo.
Demostración.
1. 𝛼1 = 𝛼1 ′ = 𝛼2 = 𝛼2 ′ ; de ii) y iv) y propiedad por equivalencia del paralelogramo de i.
2. 𝛽1 = 𝛽1 ′ = 𝛽2 = 𝛽2 ′ ; de iii) y v) y propiedad por equivalencia del paralelogramo.


3. 𝑚 ( BAD ) + 𝑚 ( ADC ) = 180°; de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.
4. 𝛼1 + 𝛼1 ′ + 𝛽1 + 𝛽1 ′ = 180°; sustitución en 3.
5. 2𝛼1 + 2𝛽1 = 180°; sustitución de 1 y 2 en 4.
6. 𝛼1 + 𝛽1 = 90°; factorizando y despejando en 5.

7. 𝑚 ( AP1 D ) = 90°; de 6, suma ∡ interiores en ∆ 𝐴𝑃1 𝐷

8. 𝑚 ( P2 P1 P4 ) = 90°; de 7, teorema ángulos opuestos por el vértice.
∗∗∗ Hemos demostrado así este teorema:
“En todo paralelogramo las bisectrices de los ángulos interiores al intersectarse, lo
hacen perpendicularmente.”
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
9. En forma exactamente análoga a la seguida para llegar a la conclusión en el numeral 8,



se concluye que: 𝑚 ( P1 P2 P3 ) = 𝑚 ( P2 P3 P4 ) = 𝑚 ( P3 P4 P1 ) = 90°.
10. 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 es un rectángulo, de 8 y 9 definición de rectángulo.
Ilustración N° 2
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Si por el punto de intersección de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los
lados del rombo, entonces, los puntos de intersección de estas perpendiculares con los lados,
son los vértices de un rectángulo.
i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 rombo
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
ii. 𝐷𝐵
𝐴𝐶 diagonales
iii. ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ∩ ̅̅̅̅
𝐷𝐵 = {𝑂}
iv. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃1 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
Hipótesis
̅̅̅̅
v. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃2 ⊥ 𝐵𝐶
̅̅̅̅
vi. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃3 ⊥ 𝐶𝐷
vii. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃4 ⊥ ̅̅̅̅
𝐴𝐷
Tesis: 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 es un rectángulo.
Demostración




1. ̅̅̅̅
𝐷𝐵 biseca los ángulos ADC y ABD ; de i) propiedad por equivalencia del rombo.
2. ̅̅̅̅
𝐴𝐶 biseca los ángulos DAB y DCB ; por la misma razón anterior.
3.
̅̅̅̅̅
𝑂𝑃3 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃4 , de 1, ii), vi) y vii) teorema. Propiedades de la bisectriz.
4. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃1 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃2 , de 1, ii), vi) y v) teorema. Propiedades de la bisectriz.
5. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃1 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃4 , de 2, ii), vi) y vii) teorema. Propiedades de la bisectriz.
6. ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃1 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃2 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃3 ≅ ̅̅̅̅̅
𝑂𝑃4 , transitividad 4 y 5.
∗∗ La prueba se orienta a continuación, a demostrar que 𝑃1 − 𝑂 − 𝑃3 y en
consecuencia que ̅̅̅̅̅̅
𝑃1 𝑃3 es diagonal de 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 y lo propio para ̅̅̅̅̅̅̅
𝑃2 𝑃4 .
7. Supongamos que 𝑃1 , 𝑂, 𝑃3 no son colineales.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
⃡ de iv) y 𝐷𝐶
⃡ ∥ 𝐴𝐵
⃡ ¿por qué?; entonces ⃡𝑂𝑃3 ⊥ 𝐴𝐵
⃡ y por lo
Como ⃡𝑂𝑃3 ⊥ 𝐷𝐶
tanto ⃡𝑂𝑃3 ∩ ⃡𝐴𝐵 = {𝑄}, 𝑄 ≠ 𝑃1 ; ¿por qué? De esto se concluye que por un punto 𝑂 se
“bajan” dos rectas distintas y perpendiculares a ⃡𝐴𝐵. Absurdo. ¿por qué?.
8. 𝑃1 , 𝑂, 𝑃3 son colineales, de 7. Método de reducción al absurdo.
9. 𝑃2 , 𝑂, 𝑃4 son colineales. Procedimiento análogo al que permite la conclusión 8.
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
10. 𝑃
1 𝑃3 y 𝑃2 𝑃4 son diagonales de 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 ;de 8 y 9.
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
11. 𝑃
1 𝑃3 ≅ 𝑃2 𝑃4 , de 6, adicción de segmentos respectivamente congruentes.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
12. 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4 es un rectángulo, de 6,11 y 10. Propiedades por equivalencia del rectángulo.
Ilustración N°3

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo con ̅̅̅̅
𝐴𝑁 bisecando a DAB y ̅̅̅̅̅
𝐷𝑀 bisecando a

CDA ;
𝑀 𝜖 ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y N ϵ ̅̅̅̅
𝐶𝐷, entonces, 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo.
i. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo

Hipótesis
ii. ̅̅̅̅
𝐴𝑁 biseca a DAB

iii. ̅̅̅̅̅
𝐷𝑀 biseca a ADC
iv. 𝑀 𝜖 ̅̅̅̅
𝐴𝐵, N ϵ ̅̅̅̅
𝐶𝐷
Tesis 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo.
Demostración
̅̅̅̅̅ = {𝑃}, designación.
1. ̅̅̅̅
𝐴𝑁 ∩ 𝐷𝑀
̅̅̅̅̅ , de i), ii) y iii) de la Ilustración 1, capitulo 8.
2. ̅̅̅̅
𝐴𝑁 ⊥ 𝐷𝑀
3. ̅̅̅̅
𝐴𝑃 es altura en el ∆ 𝐷𝐴𝑀,de 2 definiciones de altura.
4. ̅̅̅̅
𝐴𝑃 es bisectriz en el ∆ 𝐷𝐴𝑀, de ii) definición bisectriz del triángulo.
5. ∆ 𝐷𝐴𝑀 es isósceles con ̅̅̅̅̅
𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐴𝐷, de 3 y 4 teorema recíproco propiedades de los
segmentos notables en el triángulo isósceles.
6. ̅̅̅̅
𝐷𝑃 es altura en el ∆ 𝐴𝐷𝑁,de 2 definiciones de altura.
̅̅̅̅ es bisectriz en el ∆ 𝐴𝐷𝑁, de ii) definición bisectriz del triángulo.
7. 𝐷𝑃
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8. ∆ 𝐴𝐷𝑁 es isósceles con ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐷𝑁, de 6 y 7 teorema recíproco propiedades de los
segmentos notables en el triángulo isósceles.
9. ̅̅̅̅̅
𝐴𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐷𝑁, transitividad de 5 y 8.
10. 𝐴𝑀𝑁𝐷 es un paralelogramo, de i) y 9. Propiedad 2 por equivalencia del
paralelogramo.
11. 𝐴𝐷𝑁𝑀 es un rombo, de 10 y 2. Propiedad 3 por equivalencia del rombo.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Ilustración N°4
̅̅̅̅ respectivamente,
Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo, con 𝑀 y 𝑁 puntos medios de ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y 𝐶𝐷
̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
entonces, 𝐷𝑀
𝐵𝑁 trisecan la diagonal ̅̅̅̅
𝐴𝐶 .
𝑖. 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo
̅̅̅̅
ii. 𝑀 punto medio de 𝐴𝐵
iii. 𝑁 punto medio de ̅̅̅̅
𝐶𝐷
Hipótesis
iv. ̅̅̅̅̅
𝐷𝑀 ∩ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 = {𝑇}
v. ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ∩ ̅̅̅̅
𝐵𝑁 = {𝐾}
̅̅̅̅
Tesis ̅̅̅̅
𝐴𝑇 ≅ ̅̅̅̅
𝑇𝐾 ≅ 𝐾𝐶
̅̅̅̅, definición de segmento.
DemostraciónDeterminemos 𝐷𝐵
̅̅̅̅ ∩ ̅̅̅̅
1. 𝐴𝐶
𝐵𝑁 = {𝑂} designación.
2. 𝑂 es punto medio de ̅̅̅̅
𝐴𝐶 y de
̅̅̅̅
𝐵𝐷 , de
i)
propiedad
por
equivalencia del paralelogramo.
3. En el
∆ 𝐵𝐴𝐷 , ̅̅̅̅
𝐴𝑂 y ̅̅̅̅̅
𝐷𝑀 son
medianas, de ii) y 3 definición
de mediana.
4. En el
̅̅̅̅ son
∆ 𝐷𝐵𝐶 , ̅̅̅̅
𝐵𝑁 y 𝐶𝑂
medianas, de iii) y 3 definición
de mediana.
5. 𝑇 es baricentro en el ∆ 𝐴𝐵𝐷, de 4, definición de baricentro.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
6.
𝐾 es baricentro en el ∆ 𝐵𝐷𝐶, de 5, definición de baricentro.
2
7. 𝐴𝑇 = 3 𝐴𝑂, de 6 propiedad del baricentro de un triángulo.
1
8. 𝐴𝑂 = 2 𝐴𝐶, de 3 propiedad de la medida.
1
9. 𝐴𝑇 = 3 𝐴𝐶, sustitución de 9 en 8.
1
10. Con una argumentación similar se demuestra en el ∆ 𝐵𝐷𝐶 que 𝐾𝐶 = 3 𝐴𝐶, aplicando la
̅̅̅̅.
propiedad del baricentro 𝐾 sobre la mediana 𝐶𝑂
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
11. 𝐴𝐶 = 𝐴𝑇 + 𝑇𝐾 + 𝐾𝐶, propiedad de la medida.
12. 𝑇𝐾 = 𝐴𝐶 − 𝐴𝑇 − 𝐾𝐶, despejando en 12.
1
13. 𝑇𝐾 = 𝐴𝐶 − 3 𝐴𝐶 −
1
𝐴𝐶,
3
sustitución de 10 y 11 en 13.
1
14. 𝑇𝐾 = 3 𝐴𝐶; simplificando en 14.
15. ̅̅̅̅
𝐴𝑇 ≅ ̅̅̅̅
𝑇𝐾 ≅ ̅̅̅̅
𝐾𝐶 , de 10,11 y 15 y propiedad de la medida.
Ilustración N° 5
̅̅̅̅ y sobre la
Si en un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, sobre la semirrecta opuesta a 𝐵𝐴 se toma ̅̅̅̅
𝐵𝐸 ≅ 𝐵𝐶
̅̅̅̅ , entonces, 𝐹, 𝐶 y 𝐸 son colineales.
̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶
semirrecta opuesta a 𝐷𝐴 se toma 𝐷𝐹
i. 𝐴𝐵𝐶𝐷es un paralelogramo
Hipótesis
ii. 𝐴 − 𝐵 − 𝐸 ; 𝐴 − 𝐷 − 𝐹
̅̅̅̅
iii. ̅̅̅̅
𝐵𝐸 ≅ 𝐵𝐶
̅̅̅̅
iv. ̅̅̅̅
𝐷𝐹 ≅ 𝐷𝐶
Tesis 𝐹, 𝐶 y 𝐸 son colineales
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Demostración
̅̅, por definición de segmentos.
1. Determinemos ̅̅̅̅
𝐹𝐶 y ̅̅
CE
*Comentario: Una forma de probar que 𝐹 − 𝐶 − 𝐸, esto es que 𝐶 esta entre
𝐹 y 𝐸 y en consecuencias que estos tres puntos son colineales, es demostrando que


𝑚 ( FCE ) = 180°, esto es que FCE es llano. Esta es la orientación que tiene esta
prueba.

M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
2. 𝑚 ( FCE ) = 𝛼 ′ + 𝜃′ + 𝛽 ′ , suma de ángulos, propiedad de la medida.
3. ∆ 𝐷𝐹𝐶 y ∆ 𝐵𝐶𝐸 son isósceles, de iv) y iii) definición de triangulo isósceles.
̂′ y 𝛽̂ ≅ 𝛽̂′ de 3 consecuencia por equivalencia.
4. 𝛼̂ ≅ 𝛼
5. 𝜃̂ ≅ 𝜃̂′ ; de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.


6. ADC ≅ ABC de i) por la razón anterior.

7. 𝑚 ( ADC ) = 𝛼 + 𝛼 ′ = 2𝛼′, teorema ángulo exterior en ∆ 𝐷𝐹𝐶 y de 4.

8. 𝑚 ( ABC ) = 𝛽 + 𝛽 ′ = 2𝛽′, teorema ángulo exterior en ∆ 𝐵𝐶𝐸 y de 4.
9. 𝛼 ′ = 𝛽 ′ , transitividad 6,7, 8 y propiedad cancelativa.

10. 𝑚 ( ABC ) = 𝜃 ′ = 180°, de i) propiedad por equivalencia del paralelogramo.
11. 𝛼 + 𝛼 ′ + 𝜃 ′ = 180°, sustitución de 7 en 10.
12. 𝛼 ′ + 𝜃 ′ + 𝛽 ′ = 180°, sustitución de 9 en 11.

13. 𝑚 ( FCE ) = 180°, transitividad 2 y 12.

14. FCE es llano, de 13 consecuencia de la medida.
15. 𝐶𝐹 y 𝐶𝐸 son opuestas, de 14, definición de ángulo llamo.
16. 𝐹 − 𝐶 − 𝐸 de 15.