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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
8.16 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Poligonal.
Polígonos.
Cuadriláteros convexos.
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
1. En las figuras siguientes B está entre A y C; K, está entre S y M; D, H, V, T son colineales. O
está entre P y Q y O está entre L y F.
Determine, si es posible, una designación adecuada, de tal forma que las respectivas
figuras corresponden a polígonos. Indique los lados respectivos de cada uno de ellos.
2. De acuerdo a lo determinado en el numeral anterior, ¿alguno de los polígonos es simple?.
Justifique su respuesta.
3. De los polígonos siguientes, determine cuáles son simples y cuáles no lo son. Justifique su
respuesta.
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4. De los polígonos del numeral anterior, determine cuales son convexos y cuales son
cóncavos, señale en cada uno su interior.
M
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5. En cada uno de los polígonos siguientes determine: sus diagonales, sus ángulos exteriores.
6. Determine, si es posible, el número de lados de un polígono convexo que tenga: 15, 19, 51,
90 diagonales respectivamente.
7. Determine para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera o falsa. Justifique
su respuesta. En el caso de que la afirmación sea falsa, construya un contraejemplo
adecuado.
7.1. Todo cuadrilátero con únicamente un par de lados paralelos es un trapecio.
7.2. Todo cuadrilátero con un par de lados paralelos y congruentes, es un
paralelogramo.
7.3. Todo cuadrilátero con un par lados paralelos y un par de lados congruentes
es un paralelogramo.
7.4. Todo cuadrilátero equiángulo es un rectángulo.
7.5. Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y congruentes es
un paralelogramo.
7.6. Todo cuadrilátero convexo con diagonales perpendiculares es un rombo.
7.7. Todo cuadrilátero convexo con un par de ángulos adyacentes a un lado,
congruentes y suplementarios, es un paralelogramo.
7.8. Todo cuadrilátero convexo, con diagonales que se bisecan, es un
paralelogramo.
7.9. En un trapecio isósceles las diagonales se bisecan.
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7.10.
En todo paralelogramo, las diagonales son congruentes.
7.11.
Todo paralelogramo con diagonales congruentes es equiángulo.
7.12.
En todo paralelogramo los ángulos opuestos son respectivamente
congruentes.
7.13.
En todo cuadrado las diagonales son perpendiculares y congruentes.
7.14.
Existe un rombo que es a la vez rectángulo.
7.15.
Un paralelogramo en el cual las diagonales bisecan los ángulos
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respectivos es un rombo.
7.16.
En todo rombo las diagonales son congruentes.
7.17.
En un rectángulo las diagonales bisecan los ángulos respectivos.
7.18.
Un paralelogramo con diagonales congruentes y que bisecan los
ángulos respectivos es un cuadrado.
7.19.
Todo cuadrilátero convexo con sus cuatro lados congruentes es un
cuadrado.
7.20.
Todo cuadrilátero convexo con un par de lados paralelos y un par de
lados congruentes, es un paralelogramo.
8. De las condiciones siguientes que se enuncian acerca de un cuadrilátero convexo, ¿cuáles
son suficientes para definir: un paralelogramo, un rombo, un rectángulo, un cuadrado, un
trapecio isósceles?
8.1.
Cada par de ángulos opuestos son congruentes.
8.2.
Las diagonales son congruentes.
8.3.
Es equiángulo y equilátero.
8.4.
Cada dos ángulos consecutivos son suplementarios.
8.5.
Tres de sus ángulos interiores son rectos.
8.6.
Sus diagonales son mediatrices unas de otras.
8.7.
La suma de sus ángulos interiores es igual a 360º.
8.8.
Sus diagonales se bisecan.
8.9.
Solo un par de lados son paralelos y sus diagonales son congruentes.
8.10. Dos de sus ángulos son rectos y sus lados son congruentes.
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9. Los lados de un polígono regular de n lados, n>4, se prolongan hasta formar una estrella.
Calcule la medida en grados de cada uno de los ángulos interiores en las puntas de las
estrellas.
Demostrar las siguientes proposiciones:
10. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero convexo, son los vértices de un
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paralelogramo.
11. Los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo y los puntos medios
de sus diagonales, son los vértices de un paralelogramo; o se reducen a tres puntos
colineales.
12. Los puntos medios de los lados de un rectángulo, son los vértices de un rombo.
13. Los puntos medio de los lados de un rombo, son los vértices de un rectángulo.
14. Las bisectrices de los ángulos interiores de un paralelogramo, al intersectarse, forman un
rectángulo.
15. Las bisectrices de los ángulos interiores de un rectángulo al intersectarse forman un
cuadrado.
16. Si por el punto de intersección de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a
los lados del rombo, entonces, los puntos de intersección de dichas perpendiculares con
los lados, son los vértices de un rectángulo.
17. Las bisectrices de los ángulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los
lados del rombo en cuatro puntos que son los vértices de un cuadrado.
18. En un rombo se trazan las alturas de los cuatro triángulos que determinan las diagonales.
Demostrar que los pies de estas alturas son los vértices de un rectángulo.
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19. Por el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado, se trazan dos rectas
perpendiculares que intersectan dos a dos los lados del cuadrado. Demostrar que estos
puntos de intersección son los vértices de un cuadrado.
20. Si se trisecan los tres lados de un triángulo equilátero, estos puntos son los vértices de un
exágono regular.

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21. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. AN es bisectriz de DAB y DM es bisectriz de

CDA , M  AB y N  CD . Demostrar que: ADNM es un rombo.
22. Las diagonales de un pentágono regular son congruentes y al intersectarse forman un
pentágono regular.
23. En un trapecio isósceles, las diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son
congruentes, los ángulos de la base menor son congruentes, el punto de intersección de las
diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que
contienen los lados no paralelos, están alineados. (Esta última afirmación para cualquier
trapecio).
24. La base media de un trapecio biseca a las diagonales.
25. Suponga que: ABCD es un paralelogramo.

AN es bisectriz de DAB .

CM es bisectriz de BCD .
D, A, M son colineales.
B, C, N son colineales.
M, P, C son colineales.
A, Q, N son colineales.
Demuestre que AMCN es paralelogramo.
26. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. M
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y N son los puntos medios de AB y CD respectivamente. Demostrar que DM y BN
trisecan la diagonal AC .
27. En un cuadrilátero convexo ABCD, AC  BD  O , AD  BC , AO  OB y CO  OD .
Demostrar que ABCD es trapecio isósceles.
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28. ABCD es un rectángulo. AX y DX son las bisectrices de A y D respectivamente. BY y


CY son las bisectrices de B y C respectivamente. Demuestre que ABYX  CDXY .
29. En un paralelogramo ABCD, se prolonga AB y se toma BE  BC . Se prolonga AD y se
toma DF  DC . Demostrar que F, C y E son colineales.
30. Dado ABCD paralelogramo
 : recta cualquiera
D
AN   , BM   , CP  
Demostrar que: BM  AN  CP
Sugerencia: Trace AK // 
31. En un rombo ABCD se trazan BN  AD , BM  CD , DR  AB y DQ  BC . Estas
perpendiculares se cortan en E y F. Demostrar que BEDF es un rombo y que sus ángulos
son congruentes a los ángulos del rombo dado.
32. En cuadrado ABCD se prolongan los lados en sentidos opuestos y sobre dichas
prolongaciones se toman BM  AB ; DN  CD ; CF  BC y AQ  AD . Demostrar que
MN  PQ y que MN  PQ .
33. Suponiendo que:
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C, O, M son colineales.
A, O, N son colineales.
C, N, B son colineales.
N: punto medio de BC
AM 
1
 AB
3
OM  5x
ON  2x  1
y
AO  3x  11 , calcular CM.
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Sugerencia: Trace NK // CM y tenga en cuenta el teorema de la paralela media.
34. El triángulo ABC, tiene AB  AC . B y C  son puntos exteriores al triángulo ABC, tales
que AB es mediatriz de CC  y AC es mediatriz de BB  . Demostrar que BCBC es
trapecio isósceles.
35. En un paralelogramo ABDE, BD es el doble de AB y C es el punto medio de BD . Demostrar

que el ángulo ACE es recto.
36. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersección de las
diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.
37. Dado ABCE rectángulo
AF  BE

AD bisectriz de OAF





Hallar m ADE   
38. Demuestre:
38.1. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y
perpendiculares entre sí.
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38.2. Todo paralelogramo es un cuadrado si sus diagonales son congruentes y una
de ellas biseca a un ángulo del paralelogramo.
39. Se dá un cuadrado ABCD y se construye en el interior del cuadrado el triángulo
equilátero ABF y en el exterior del cuadrado el triángulo equilátero ADE. Demostrar que
C, F y E son colineales.
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40. Por los vértices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los
puntos de intersección de estas rectas son los vértices de un cuadrado cuyas diagonales
se cortan en el punto de intersección de las diagonales del cuadrado dado.
41. El polígono ABCDEFGH es un octógono regular. Demostrar que las diagonales AD , HE ,
BG y CF forman un cuadrado al intersectarse.
42. En un triángulo rectángulo, el ángulo formado por la altura y la mediana correspondiente
a la hipotenusa mide  . Calcular los valores de los ángulos agudos en función de  .
43. Demostrar que en un triángulo rectángulo, el pie de la bisectriz correspondiente al
ángulo recto está en el interior y es bisectriz del ángulo formado por la altura y la
mediana correspondiente al mismo ángulo.
44. En el cuadrilátero convexo, ABFE la diagonal AF es mediatriz de BE . AB  EF  C,
AE  BF  D. Demostrar que CD // BE .
45. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AM y BN . Por N, se traza una paralela a
BC y por C, una paralela a BN . Estas dos rectas se cortan en P. Si D es el punto medio
de PN , demostrar que CD // AB // MN .
46. En un triángulo ABC, AA , BB  y CC  son las medianas. Por A , se traza AD  BB y
AD // BB  . Demostrar que CC   AD .