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Cuaderno II: FRISOS, MOSAICOS Y ROSETONES
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FRISOS, MOSAICOS Y ROSETONES
Muchas decoraciones se hacen repitiendo un motivo. En los mosaicos de la Alhambra, en las rejas, en las puntillas y las
grecas, en los rosetones de las iglesias... en todas partes puedes ver diseños hechos mediante otro más sencillo. Al
observar un edificio puedes ver que en ocasiones está compuesto por algún trozo que se ha ido desplazando, o girando,
o hallando el simétrico.
Las transformaciones geométricas ha sido una de las constantes de la mayoría de las culturas, aunque sin duda, la
cultura que más ha utilizado composiciones geométricas basadas en las isometrías ha sido la musulmana. Sus mosaicos
y ornamentaciones constituyen la manifestación más espectacular del arte geométrico. Quizá las manifestaciones más
brillantes de este arte se encuentre en toda nuestra geografía y, en particular en la Alhambra de Granada. Algunas de
las obras del arte musulmán andaluz han ejercido un poderoso influjo en muchos artistas entre los que cabe destacar al
pintor holandés Escher, que desarrolló una notable obra pictórica de carácter geométrico famosa, entre otros aspectos
por sus teselaciones del plano.
Algunas teselaciones y mosaicos de la Alhambra
M. C. Escher, Holanda 1898-1972 (izquierda) y algunos de sus trabajos
Los frisos o cenefas se obtienen al aplicar, a lo largo de una banda rectangular, sucesivas traslaciones de igual vector a
una figura o motivo inicial.
A su vez, el motivo de base se puede obtener mediante distintas isometrías aplicadas a una forma original.
a)
Giros cuyo centro esté en lo que se llama recta central del friso y ángulo 180º (o simetrías centrales)
b) Simetría de eje horizontal (coincidente con la recta centro del friso)
c)
Simetrías verticales (de eje perpendicular a la recta centro)
d) Simetrías horizontales con deslizamiento
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Frisos, mosaicos y rosetones
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Aunque parezca en principio que los tipos de frisos pueden resultar innumerables, todos se ajustan a uno de los siete
modelos que mostramos a continuación:
: Traslación
: Simetría horizontal y traslación
: Simetría vertical y traslación
: Simetría horizontal con desplazamiento y traslación
: Giro 180º o simetría central y traslación
: Giro 180º o simetría central con desplazamiento y traslación
: Giro 180º o simetría central, simetría vertical y traslación
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Construir frisos es sencillo. Basta seleccionar el motivo a inicial y aplicarle sucesivas traslaciones regulares en una
misma dirección. El resultado será mucho más vistoso si el motivo inicial se construye aplicando alguno de los
movimientos que figuran en las ilustraciones anteriores.
FRISOS O CENEFAS
1. Determina la región mínima que genera cada uno de los frisos de la imagen e indica a qué tipo pertenecen.
2. Utilizando un motivo mínimo que tú decidas, fabrica tres frisos diferentes sobre la siguiente trama explicando
de que tipo es cada uno:
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Los mosaicos o teselaciones son recubrimientos del plano repitiendo indefinidamente, mediante movimientos, una
misma figura que se lama motivo mínimo o tesela (losetas o baldosas) que no pueden superponerse y rellenan el plano.
INICIACIÓN A LOS MOSAICOS
1. Estudia con detalle la suma de los ángulos, al coincidir en un mismo punto distintos tipos de polígonos regulares,
con la intención de rellenar el plano. Por ejemplo, fíjate en las disposiciones siguientes:
2. Observa los ángulos que coinciden en el vértice marcado.
a) ¿Qué ocurre en el primer caso?
b) En el segundo ejemplo, ¿qué tipos de polígonos coinciden en el punto P?
c)
¿Cuánto vale la suma de los ángulos de los polígonos regulares que coinciden en P?
3. Contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Podrían coincidir en un mismo punto P dos pentágonos regulares, un hexágono regular y un triángulo
regular? Razona tu respuesta
b) Si disponemos únicamente de cuadrados y triángulos regulares, ¿Podríamos rellenar el plano? Razona la
respuesta.
c)
Según los ángulos de los polígonos regulares, ¿crees que cualquier polígono regular puede teselar el plano
para crear un mosaico regular? ¿Qué polígonos regulares sí lo hacen y cuáles no? ¿Por qué?
Una forma de identificar los distintos mosaicos con polígonos regulares es el denominado código de Schaffi, donde se
colocan, mediante números, el número de lados de los polígonos que coinciden en cada vértice de manera ordenada.
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Frisos, mosaicos y rosetones
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Para utilizar sólo polígonos regulares como motivo mínimo de un mosaico debemos
tener en cuenta la posibilidad de "recubrir" todo el plano con ellos, para lo cual es
necesario conocer previamente los ángulos que los componen, ya que sólo algunos
serán válidos. Como hemos visto, es necesario conocer los ángulos de los polígonos
regulares:
n° lados del
polígono regular
Ángulo
central
Ángulo
interior
3
4
5
6
8
9
10
12
120º
90º
72º
60º
Si se utilizan polígonos regulares como motivo mínimo sólo podremos rellenar el plano mediante triángulos equiláteros,
cuadrados y hexágonos regulares. Esto se debe a que en cada vértice deben confluir ángulos que sumen 360º. A estos
mosaicos, representados en la siguiente figura, se les llama mosaicos regulares.
3.3.3.3.3.3
4.4.4.4
6.6.6
Existen otros tipos de mosaicos que se pueden formar utilizando polígonos regulares de más de un tipo, siempre que
sus lados coincidan. La condición es que los ángulos que confluyan en un vértice han de sumar 360º. Estos mosaicos se
llaman semirregulares, y se obtienen al combinar triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, octógonos y
dodecágonos como se muestra en la siguiente tabla:
Esto da lugar a ocho mosaicos semirregulares diferentes, ya que los polígonos regulares que aparecen en el último tipo
de la tabla, se pueden ensamblar de dos formas distintas:
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La configuración de los mosaicos regulares y semirregulares permiten expandirlos ilimitadamente hasta llenar todo el
plano. A este tipo de mosaicos se les denomina mosaicos uniformes.
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Frisos, mosaicos y rosetones
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Además de los dos tipos de mosaicos anteriores existen otras combinaciones de polígonos regulares que también
suman 360º pero que, sin embargo, no es posible expandirlos ilimitadamente con esa uniformidad. Se denominan
mosaicos no uniformes.
Sabemos que existen 7 configuraciones de este tipo. A continuación se te muestran un par de ejemplos:
Encuentra tú algunas otras de las cinco configuraciones válidas para este tipo de mosaicos.
Los conocimientos geométricos y artísticos de los artesanos islámicos hicieron posible la obtención de las figuras
conocidas como polígonos nazaríes, que se utilizaron para construir los mosaicos de la Alhambra de Granada o la
mezquita de Córdoba. Algunos ejemplos son estos cinco:
¿Sabrías encontrar el motivo mínimo de cada uno de ellos? A continuación se te muestran algunos de estos motivos
mínimos y un esbozo de su construcción:
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Frisos, mosaicos y rosetones
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En especial, en la alhambra hay hasta 11 mosaicos diferentes que puedes conocer visitando la siguiente dirección:
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Mosaicos/alhambra.html#javascript
EL AVIÓN
EL HUESO
LA AGUJA
ESTRELLAS
EL AVIÓN
ROMBOS
LA PAJARITA
TRAPECIOS
Se pueden construir mosaicos que rellenen el plano con polígonos no regulares, e incluso no convexos. También se
pueden hacer usando figuras de lados curvos. Así lo hizo, por ejemplo, el pintor holandés M.C. Escher, produciendo
modificaciones compensadas en los lados del polígono regular que genera un mosaico regular, es decir, lo que se corta
de un lado se añade a otro. En esta página puedes observar muchos de ellos:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm
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Frisos, mosaicos y rosetones
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En la siguiente ilustración se presenta un modelo.
Todos los mosaicos que hemos visto hasta ahora tienen la siguiente propiedad: “Existe un paralelogramo, que lamamos
paralelogramo mínimo, contenido en el mosaico, tal que si lo repetimos periódicamente en las dos direcciones del plano
obtenemos todo el mosaico”. En muchos mosaicos encontrar este paralelogramo mínimo puede resultar un notable
ejercicio de agudeza visual y de lógica.
Sin embargo, existen mosaicos que rellenan el plano y que no tienen paralelogramo mínimo, se les llama teselaciones
no periódicas. A cada una de las figuras diferentes del mosaico le llamaremos tesela.
Los matemáticos Raphael Robinson y Roger Penrose han investigado este tipo de teselaciones, descubriendo diversas
formas de teselaciones del plano no periódicas. En las siguientes ilustraciones tienes dos modelos de teselaciones no
periódicas descubiertos por Penrose. En ambas las teselas son los dos rombos distintos de igual lado que se muestran a
la derecha.
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Frisos, mosaicos y rosetones
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Un rosetón es una ventana circular calada, dotada de vidrieras, cuya tracería (que es la combinación de figuras
geométricas) se dispone en forma radial. Los rosetones de las catedrales son espectaculares, pero también se pueden
ver en situaciones más cotidianas, como los tapacubos de los coches.
En la arquitectura gótica, primitivamente, la tracería se aplicaba a coronar ventanas y arcos, posteriormente se amplía
su utilización para articular y decorar rosetones, bóvedas, gabletes y pináculos o a cubrir superficies murales planas
como la del coro.
Los rosetones se diferencias según el número de arcos que contienen, que se denominan lóbulos. Así, los rosetones se
pueden clasificar según su número de lóbulos.
Pero también pueden se pueden clasificar por sus simetrías. Se denominan grupos de Leonardo a los grupos de
isometrías de estos rosetones. Pueden tener simetrías o únicamente giros. Se dividen, por tanto en dos grandes grupos:
Rosetones diédricos: son aquellos cuyos pétalos presentan ejes de simetría. Si tiene n pétalos se les representa por
.
Rosetones cíclicos: son aquellos cuyos pétalos no presentan eje de simetría. Si tiene n pétalos se les representa por
.
Este rosetón de una catedral tiene ejes de simetría y divide la circunferencia en 12 trozos iguales. Decimos que es un
.
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Frisos, mosaicos y rosetones
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ROSETONES
1.
Observa los siguientes rosetones en las ruedas de los coches y, para cada uno de ellos, indica:
a) Si tiene simetría central.
b) ¿Tiene ejes de simetría axial? En caso afirmativo, ¿cuántos?
c) Todos ellos tienen centro de giro pero, ¿cuál es el ángulo de giro de cada uno de ellos que lo deja
invariante?
Clasifícalos según lo anterior.
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Frisos, mosaicos y rosetones
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2.
Observa los siguientes rosetones elaborados por alumnado de ESO y clasifícalos. ¿Sabrías explicar cómo han sido
creados?
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Frisos, mosaicos y rosetones
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CREANDO ARTE CON GEOGEBRA
Programas de Geometría dinámica como Geogebra nos permiten obtener y crear interesantes estructuras para poder
elaborar nuestras construcciones artísticas. En esta sección vamos a conocer y a elaborar diferentes frisos, mosaicos y
rosetones muy conocidos que nos permitan obtener una idea para realizar nosotros nuestras propias construcciones e
investigar sobre la elaboración de dichas estructuras geométricas.
1.
Escondemos ejes e insertamos un punto A. Con “Segmento
dados punto extremo y longitud” pinchamos en el punto A y
le damos una longitud de 4. Ahora con “Ángulo dada su
amplitud” pinchamos en el segmento a y le damos un valor
al ángulo de 60º (Sentido antihorario). Luego unimos A y B´ a
través de “Segmento entre dos puntos”.
2.
Ahora con “Circunferencia dados su centro y radio” trazamos
una circunferencia de centro A (pinchamos en A) y le damos
un radio de 2 unidades. Luego hallamos la intersección
(“Intersección de dos objetos”) de la circunferencia y el
segmento b (Punto C), también la intersección de la
circunferencia con el segmento a (Punto D)
3.
Trazamos ahora una paralela al segmento b por el punto B y
una paralela al segmento a por C (lo hacemos con “Recta
paralela”). A continuación hallamos el punto de intersección
entre ambas rectas: punto E.
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Creando arte con Geogebra
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4.
Trazamos la “Recta perpendicular” a la recta d por el punto C
y hallamos el punto de corte de ésta con la circunferencia
(Punto F). Luego vamos a ocultar TODO excepto los puntos
A, B, C, D, E y F.
5.
Ahora trazaremos con “Polígono” el hexágono irregular
formado por ACEBDF y le daremos el aspecto de la figura
6.
Vamos a rotar el hexágono 60º alrededor del vértice inferior
con “Rota objeto entorno a punto, el ángulo indicado”. Al
polígono rotado le cambiamos el color.
7.
Si ahora rotamos el nuevo hexágono otros 60º respecto al
mismo punto y así sucesivamente con los posteriores
hexágonos obtenemos la figura 8. Vamos a dañe tres colores
distintos
8.
Ahora hallamos el punto medio (“Punto medio”: N) del
segmento superior más largo de la estrella y “Reflejamos
objeto (la figura roja) por punto (N)” , pintamos de azul el
nuevo hexágono y giramos alrededor del centro 60º
sucesivamente cada nuevo hexágono azul.
9.
Ahora hallamos el punto medio del segmento superior W y
“reflejamos por punto” la figura azul, obteniendo la figura de
color morado (una vez la pintemos...). Luego la volvemos a
girar alrededor del centro quedando la figura
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Creando arte con Geogebra
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10. Se traza ahora el segmento de color blanco indicado en la
figura 11, se calcula su punto medio (G) y reflejamos la figura
roja inferior entorno al citado punto medio, resultando la
figura.
11. Trazando el segmento de color amarillo, su punto medio,
reflejando la pieza roja por ese punto medio, y finalmente
girando sucesivamente 60º respecto al centro de la figura, se
obtiene el mosaico final de la figura 12. Se deben esconder
los puntos y segmentos para obtener el mosaico final
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Creando arte con Geogebra
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1.
Escondemos ejes e insertamos un punto A. Con “Segmento dados
punto extremo y longitud” pinchamos en el punto A y le damos
una longitud de 6. Ahora con “Ángulo dada su amplitud”
pinchamos en el segmento a y le damos un valor al ángulo de 60º
(Sentido antihorario). Luego unimos A y B´ a través de “Segmento
entre dos puntos”.
2.
Ahora con “Circunferencia dados su centro y radio” trazamos una
circunferencia de centro A (pinchamos en A) y le damos un radio
de 2 unidades. Luego hallamos la intersección (“Intersección de
dos objetos”) de la circunferencia y el segmento b (Punto
C).Podemos también unir B’ con B (segmento C) pues así ya
tenemos el ángulo de 60º en el otro lado (observa que el triángulo
es equilátero)
3.
Trazamos una paralela al segmento a pasando por C, hallamos su
punto de corte con el segmento c (D).
4.
Escondemos todo excepto los puntos A, B, C y D. Trazamos el
trapecio isósceles (“polígono”) que determinan esos puntos y le
dejamos el aspecto de la figura
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Creando arte con Geogebra
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5.
Si giramos el trapecio alrededor del punto inferior izquierdo
60º en sentido antihorario, se obtiene:
6.
Si ahora giramos cada nuevo trapecio sucesivamente 60º
obtendremos:
7.
Se traza el segmento indicado en la figura 19, se calcula su
punto medio y se refleja el trapecio verde inferior izquierdo
por ese punto obteniéndose el trapecio que se ha de pintar
en amarillo
8.
Se giran 60º antihorarios sucesivamente los últimos
trapecios alrededor del centro del mosaico y se le va
poniendo el color que falta para que no coincidan los colores
9.
Ahora de refleja el mismo trapecio verde anterior alrededor
del punto J de la figura 21. Se hace también el giro sucesivo
de trapecios alrededor del centro
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Creando arte con Geogebra
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10. Trazamos ahora la diagonal del trapecio rosa (figura 22) y
calculamos su punto medio. Reflejamos respecto a ese punto
el trapecio verde de los pasos anteriores y giramos respecto
al centro como en los pasos anteriores
11. Se traza el segmento que aparece en blanco en la figura 23,
se calcula su punto medio y se refleja el trapecio verde “de
siempre”. Pintamos de otro color (negro en el ejemplo) el
trapecio resultante y realizamos los sucesivos giros del
mismo alrededor del centro del mosaico.
12. Se deben esconder los puntos y segmentos para obtener el
mosaico final
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Creando arte con Geogebra
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Además de lo estudiado en las actividades anteriores una técnica muy utilizada en el arte nazarí para la construcción de
teselaciones es partir de un cuadrado y realizar divisiones del mismo de manera organizada.
Por ejemplo si unimos mediante líneas los puntos que unen los vértices, el vértice con el punto medio de los lados, etc.
Posteriormente marcamos una línea poligonal que está comprendida en el primer cuadrante y, por último, mediante
tres giros sucesivos de 90º, esta línea nos dibuja un contorno interior que se puede ver en la figura:
Borrando las líneas auxiliares, obtenemos la línea poligonal que hemos destacado y que será el módulo del mosaico,
como puede verse en el siguiente dibujo.
Utiliza esta técnica para investigar con otros mosaicos. Aplicando técnicas similares podemos dibujar los siguientes
mosaicos:
En las siguientes páginas podéis ver la elaboración de muchos otros mosaicos nazarís incluyendo de los que
estudiaremos a continuación:
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material105/Mosaicos/alhambra.html#javascript
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Creando arte con Geogebra
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A continuación se os ofrecen algunos rosetones hechos con Geogebra. Tratad de descubrir el mecanismo que nos
permite generarlos y hacedlos vosotros mismos. Todos ellos están descritos en las siguientes páginas:
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10298:4-octubre-2009geometren-rosetones-gos&catid=198:geometrdinca-y-matemcas-interactivas&directory=67
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/modelizaciones/proyectos/proyecto4/index.htm
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