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LA GEOMETRÍA PLANA
La geometría plana trata de aquellos elementos que solo tienen dos dimensiones y, que por lo
tanto, se encuentran y operan en un plano.
Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta,
la circunferencia y otras curvas.
Los trazados básicos son las operaciones geométricas más elementales y que tienen una
utilidad universal, como por ejemplo el trazado de mediatrices, bisectrices, etc.
Una parte importante de la geometría plana son las construcciones con regla y compás.
Dos rectas p y q son perpendiculares
cuando se cortan formando ángulos
iguales, que se llaman rectos.
Rectas perpendiculares
Agudos: Si su
medida esta
comprendida entre
0° y 90°.
Dos rectas r y s que no tengan ningún
punto en común se llaman paralelas.
Rectas paralelas
CLASES DE ÁNGULOS
Rectos: si su
Obtusos: Si su
medida es 90°
medida esta
comprendida entre
90° y 180°.
Llanos: Si su
medida es de 180º
Circunferencia
Definición: La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a igual
distancia de otro fijo que se llama centro.
Circulo es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una
circunferencia.
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia
(necesariamente pasa por el centro);
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros;
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un
diámetro.
Posiciones relativas de dos
circunferencias
Exteriores (1)
Tangentes
exteriormente,
tienen un punto
tangente y son
exteriores (2)
Secantes, se
cortan en dos
puntos (3)
Tangentes
interiormente,
tienen un punto
tangente y son
interiores (4)
Interiores
excéntricas,
tienen el
mismo centro y
distinto radio
forman una
corona circular
o anillo.(5)
a
a
b
Mediatriz de un segmento
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a ese segmento y que lo divide en dos
partes iguales
Construcción de la mediatriz de un segmento
Su trazado se realiza con regla y compás.
Dado el segmento AB
1. Con centro en A y con cualquier radio mayor a la mitad del segmento se traza un arco.
2. Con centro en B y con el mismo radio cogido desde A se traza otro arco
1
2
3. Los puntos de intersección de ambas circunferencias determinan la mediatriz del
segmento en cuestión.
El trazado de la mediatriz es muy útil para realizar muchos otros procedimientos como hallar el punto
medio de un segmento, realizar polígonos regulares etc.
Construcción de la bisectriz de un
a segmento
Su trazado se realiza con regla y compás.
Dado un ángulo :
a
1. Con centro en el vértice V y con cualquier radio se traza un arco que corta a las dos
semirrectas en los puntos A y B
4. Con centro en A y con cualquier radio un arco.
5. Con centro en B y con el mismo radio cogido desde A se traza otro arco que se corta con
en anterior en el punto C.
Unimos C y V obteniendo la bisectriz.
El trazado de la mediatriz y de la bisectriz es muy útil para realizar muchos otros procedimientos
como hallar el punto medio de un segmento, realizar polígonos regulares etc.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO
Recuerda:
Polígono es una figura plana y cerrada limitada por lados. El mínimo de lados que puede
tener un polígono es de 3 lados.
Polígono regular: polígono que tiene los lados y los ángulos iguales.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Triángulo equilátero: el polígono regular que tiene tres lados y tres ángulos iguales.
Construcción triángulo equilátero dado el
lado A B
1. Con Centro en A y con un radio
igual al lado AB, se traza un arco.
2. Con centro en B y con el mismo
radio anterior AB se traza otro arco
que corta al arco anterior en C
3. Unimos C con A y con B y
construimos
equilátero.
así
el
triángulo
CUADRADO
Cuadrado: polígono regular que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales
de 90º
Construcción de un cuadrado dado el lado A B
1. Trazamos una perpendicular por A (con
la escuadra y cartabón)
2. Con centro en A y radio AB (igual al
lado) trazamos un arco que corta a la
perpendicular en C.
3. Con centro en C y en B realizamos dos
arcos con radio AB, obteniendo el punto
D.
4. Unimos D con C y con B obteniendo así
el cuadrado.
PENTÁGONO
Pentágono regular: polígono regular de 5 lados y 5 ángulos iguales.
Construcción pentágono dado el lado A B
1. Se traza la mediatriz del segmento AB
(ver ejercicio de mediatriz), hallando el
punto medio C.
2. Desde C colocamos en la mediatriz
hacia abajo tres veces la medida CA
(mitad del lado), hallando D.
3. Unimos D con B y con A obteniendo
así loas ángulos del pentágono desde A
yB
4. Con centro en B y radio AB (lado del
pentágono) realizamos un arco que
corta a la prolongación DB, en el punto
E.
5. Con centro en A y con la medida del
lado AB realizamos otro arco que corta
a la prolongación DA en el punto F.
6. Con centro en E y en F respectivamente
y con radio igual al lado AB realizamos
dos arcos que se cortan en el punto G.
Unimos G con E y con F obteniendo así
el pentágono
HEXÁGONO
Hexágono regular : Polígono regular de 6 lados y 6 ángulos iguales.
Construcción triángulo hexágono dado el lado A B
1. Con centro en A y en B realizamos dos
arcos con el radio igual al lado AB,
hallando el punto O.
2. Con centro en O y con radio igual al lado
AB = CA = CB. Realizamos una
circunferencia que pasa por el punto A y B.
3. Con centro en A y en B respectivamente y
con radio igual al lado AB realizamos dos
arcos que cortan a la circunferencia en los
puntos F y C.
4. Con centro en F y en C respectivamente
realizamos dos arcos con radio igual al lado
AB que corta a la circunferencia en los Unimos B con C, C con E, E con D, D
con F y F con A y obtenemos así el
puntos E y D.
hexágono.
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES
DADO EL RADIO.
y ESTRELLAS
A continuación aprenderás a realizar polígonos regulares o estrella regulares a partir de una
circunferencia, por lo tanto si nos dan el radio de la circunferencia, podemos trazar con el
compás esta y aplicando los pasos adecuados la dividimos en las partes que queramos y con
cuerdas consecutivas o no consecutivas trazamos los polígonos o estrellas
TRIÁNGULO EQUILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.
Triángulo equilátero: el polígono regular que tiene tres lados y tres ángulos iguales.
Construcción triángulo equilátero a partir
1
2
de una circunferencia.
1. Se traza un diámetro cualquiera, por
ejemplo uno vertical. Los extremos
del diámetro los llamamos M y A.
2. Con centro en M y con radio igual
al radio de la circunferencia (OM),
realizamos un arco que corte a la
circunferencia en los puntos B y C
3. Unimos A con B y con C y
construimos
equilátero.
así
el
3 Triángulo equilátero.
triángulo
CUADRADO
Cuadrado: el polígono regular que tiene 4 lados y 4 ángulos iguales.
Construcción cuadrado a partir de una
1
2
circunferencia:
1. Se traza un diámetro cualquiera,
por ejemplo uno vertical, los
extremos del diámetro los
B
D
llamamos A y C
2. Realizamos la mediatriz del 3 Cuadrado
diámetro AC (ver ejercicio de
mediatriz), obteniendo así el
diámetro perpendicular BD y
quedándonos la circunferencia
dividida en cuatro partes iguales.
3. Unimos A con B, B con C y C
con D construyendo
cuadrado inscrito.
así
el
B
D
HEXÁGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 6 PUNTAS INSCRITA EN UNA
CIRCUNFERENCIA.
Hexágono regular: el polígono regular que tiene 6lados y 6 ángulos iguales.
Construcción hexágono regular y 1
2
de una estrella de 6 puntas a
partir de una circunferencia:
1. Se traza un diámetro
cualquiera y llamamos A
y D a los extremos de ese
diámetro.
2. Con
centro
en
A
3
realizamos arcos igual al
radio (OA = AO) que
corten a la circunferencia
en los puntos B y F.
3. Con
centro
en
D
realizamos arcos igual al
radio (OD = DO =OA)
que
corten
a
la
circunferencia en los 4 Hexágono
puntos C y E.
4. Unimos con cuerdas
consecutivas los puntos
A, B, C, D, E y F,
obteniendo
así
el
Hexágono regular.
5. Si unimos puntos alternos
obtenemos una falsa
estrella formada por dos
5 Estrella
triángulos equiláteros: A
con C y E, y B con D y F
DODECÁGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 12 PUNTAS INSCRITA EN UNA
CIRCUNFERENCIA.
Dodecágono: el polígono regular que tiene 12 lados y 12 ángulos iguales.
Construcción dodecágono regular y
1
2
de una estrella de 12 puntas a partir
de una circunferencia:
1. Trazamos
un
diámetro
cualquiera, y denominamos a
sus extremos como punto A y
G.
2. Realizamos una mediatriz
3
(ver ejercicio de mediatriz)
al diámetro AG, trazando así
otro diámetro perpendicular
al primero realizado que
denominamos D y J.
3. Con centro en los cuatros
extremos de los dos diámetro
5 Estrella
perpendiculares y con radio
igual al de la circunferencia
(OA=OG) realizamos arcos
que cortan a esta en los
puntos siguientes: A en C y
K, G en E y en I, D en B y F
y J en H y L.
4. Unimos todos los puntos con
cuerdas
consecutivas
obteniendo
así
el
dodecágono.
6 Estrella falsa
5. Obtenemos la
estrella
trazando cuerdas uniendo
puntos alternos saltando de 5
en 5.
6. También podemos construir
una falsa estrella trazando
dos hexágonos saltando un
punto.
4 Dodecágono
OCTÓGONO REGULAR Y ESTRELLA DE 8 PUNTAS INSTRITA EN UNA
CIRCUNFERENCIA
Dodecágono: el polígono regular que tiene 8 lados y 8ángulos iguales.
Construcción dodecágono regular y
1
1
de una estrella de 12 puntas a partir
de una circunferencia:
1. Se divide la circunferencia en
4 partes iguales (ver ejercicio
del cuadrado).
2. Se halla las bisectrices (ver
ejercicio de bisectriz). de los
2
ángulos que forman los 4
radios trazados, quedando así
dividida en 8 partes iguales.
3. Se realizan 8 cuerdas
consecutivas por las 8
divisiones y se obtiene el
octógono regular.
4. Se traza la estrella saltando
de 4 en 4 puntos.
5. O se traza una estrella falsa
saltando sólo un punto y
trazando dos cuadrados.
4 Estrella
3 Octógono
5 Estrella falsa
2