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2 - 25 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero: es la superficie plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a
dos; los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos entre los vértices
reciben el nombre de lados.
Al igual que en los triángulos, sus vértices se designan con letras mayúsculas y sus
lados con minúsculas.
Construcciones gráficas 2 - 26
Construir un cuadrado conociendo el lado. Fig.2.54
Sea AB el lado.
- Sobre un segmento AB igual al lado se traza la perpendicular por uno de sus extremos A.
- Sobre la perpendicular trazada, con radio igual al lado
AB y centro en A se traza un arco con lo que se obtendrá el vértice D.
- Se traza por D una paralela al lado AB. Con centro en
D y radio AB obtendremos un punto C.
Fig. 2.54
Construir un cuadrado conociendo la diagonal.
Fig.2.55
Sea AC la diagonal.
- Con la diagonal AC como diámetro, se dibuja la circunferencia de centro O.
- Se traza la mediatriz del segmento AC, que corta a la
circunferencia en los puntos B y D.
Construir un cuadrado conociendo la suma de la
diagonal más el lado. Fig.2.56
Fig. 2.55
Se dibuja la recta R, suma de la diagonal más el lado, y en su extremo B se traza la
perpendicular a él, en el otro extremo C se construye un ángulo de 22/ 30' (cuarta
parte de 90/) hasta que corte en A, a la perpendicular anterior. El segmento AB es el
lado del cuadrado pedido.
Fig. 2.56
Fig.2.57
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Construir un cuadrado conocida la diferencia de la diagonal y el lado. Fig.2.57
Sobre un cuadrado A-B'-C-D' cualquiera se transporta sobre su diagonal C'A, el
lado C'D', trazando un arco con centro en C'. Se obtiene así el punto E.
Se une el punto E con el vértice B'.
Sobre la diagonal C'A se lleva desde A la diferencia d-l dada.
Trazando por el punto G una paralela al segmento EB', hasta cortar en B al lado
AB' o su prolongación. BA es el lado del cuadrado pedido.
Construir un cuadrado inscrito en un triángulo dado. Fig.2.58
Se traza por uno de los vértices del triángulo
dado una paralela al lado opuesto, y de longitud igual a la altura ha correspondiente a ese
lado (DA=ha)
Se une el extremo D con el vértice C del triángulo por medio de una recta la cual corta al
lado AB en E. Por este punto se traza una
perpendicular al lado BC tomado como base,
resultando EF el lado del cuadrado pedido.
Fig.2.58
Construir un rectángulo conociendo el semiperímetro y la diagonal.
Fig.2.59
Sea AE un segmento igual al semiperímetro y AC la diagonal.
- Por un punto E, extremo del segmento AE, se traza la recta que forma
45° con dicho segmento.
- Con centro en el otro extremo A y
radio igual a la diagonal dada, se traza un arco que corta a la recta anterior en un punto C.
- Por el punto C se traza la perpendicular al segmento AE que lo corta en
el punto B.
- Con centros en A y C y radios igual
a CB y AB respectivamente, se trazan
dos arcos que se cortan en el punto
D. Los puntos A, B, C y D son los vérFig. 2.59
tices del rectángulo.
Construcciones gráficas 2 - 28
Construir un rectángulo conociendo sus lados.
Sean AB y AD los lados
- Por el extremo de un lado AB se traza la perpendicular al mismo, y sobre ésta se
traslada la magnitud del otro lado AD.
- Con centro en el vértice B y radio igual al lado AD se traza un arco.
- Con centro en el vértice D y radio igual al lado AB se traza otro arco que se corta
con el anterior en el punto C, cuarto vértice del rectángulo.
Construir un rectángulo conociendo un lado y la
diagonal. Fig.2.60
Sean AD el lado y AC la diagonal.
- Con la diagonal AC como diámetro, se dibuja la
circunferencia de centro O.
- Haciendo centro en los puntos A y C, radio igual al
lado conocido, se trazan dos arcos de circunferencia
en sentido contrario hasta cortar a la circunferencia
en los puntos B y D.
Fig. 2.60
Construir un rectángulo dado un lado y el ángulo que forma con la diagonal.
Fig.2.61
En uno de los extremos del lado construir un ángulo igual al dado y por el otro
extremo levantar una perpendicular. El corte de ambos determina el vértice C.
Fig.2.61
Fig.2.62
Construir un rectángulo dados el semiperímetro y el ángulo que forman las
diagonales. Fig.2.62
Sobre un segmento EA igual al semiperímetro se construye en uno de sus extremos
un ángulo de 45° y en el otro extremo un ángulo mitad del ángulo en A, obteniéndose en la intersección el vértice C.
2 - 29 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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En la figura puede apreciarse que el ángulo formado por la diagonal y el lado es
siempre la mitad al comprendido entre las diagonales.
Construir un rectángulo dada la diferencia de los lados y el radio del circulo
circunscrito (mitad de la longitud). Fig.2.63
Dibujar un segmento S igual a la diferencia de los lados (a-b) y a partir de su extremo E un ángulo de 45°.
A partir del vértice A se traza un arco con
un radio igual a dos veces el tamaño del
radio r dado (la diagonal de un rectángulo
es igual a dos veces el tamaño del radio
circunscrito). Este arco corta al ángulo de
45° en el punto C. El resto del rectángulo
se construye por paralelas.
Fig.2.63
El triángulo EBC es isósceles, luego EB=BC, de donde el segmento AE = AB-EB =
AB-BC = a-b
Construir un rectángulo dada la suma y la
diferencia de los lados. Fig.2.64
Se dibujan los segmentos S y D superpuestos
a partir del punto A.
Se halla la mediatriz del segmento BC y con
centro en el punto M se dibuja una semicircunferencia que corte en E a la mediatriz. Em
será uno de los lados del rectángulo.
Fig.2.64
Construir un rectángulo dada la diferencia de los lados y el ángulo que forman
las diagonales. Fig.2.65
En los extremos de un segmento AE igual
a la diferencia de lados conocida, se construyen en el mismo sentido ángulos respectivamente iguales a la mitad del ángulo
dado y de 45°, cuyos lados, al cortarse en
C determinan uno de los vértices del rectángulo.
Fig.2.65
Construcciones gráficas 2 - 30
Construir un rectángulo conocida la diagonal y el ángulo que forman las
diagonales. Fig.2.66
Se toma una semirrecta y por su extremo B se dibuja un ángulo mitad del dado,
transportando sobre él la diagonal. El pie de la perpendicular trazada a la semirrecta
desde el punto D determina el vértice A de la base, concluyendo la construcción
como en los casos precedentes.
C
Fig.2.66
Fig.2.67
onstruir un triángulo rectángulo conocida la diagonal y el ángulo que forma
con el lado mayor. Fig. 2.67
Construir un rectángulo conocido un lado y
la suma de la diagonal y el otro lado. Fig.2.68
Construir un triángulo rectángulo ABC cuyos
catetos sean iguales al lado conocido AB y a la
suma d + l = BC de la diagonal y el otro lado. La
mediatriz trazada a la hipotenusa de este triángulo determina sobre el cateto BC el vértice D
del rectángulo.
Fig.2.68
Construir un rombo conociendo el lado y
una diagonal. Fig.2.69
Sea AD el lado y AC la diagonal.
- Con centros en los extremos A y C de la
diagonal y radio igual al lado se describen
cuatro arcos, que se cortan en los puntos B y
D.
- Los puntos A, B, C y D son los vértices del
rombo.
En realidad se procede como en la construcción de los triángulos isósceles pues la diagonal divide los rombos en dos triángulos
isósceles.
Fig. 2.69
2 - 31 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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Construir un rombo conociendo un ángulo
y su diagonal. Fig.2.70
Sean AC la diagonal y a el ángulo.
- Se dibuja el ángulo a conocido, de vértice
A, trazando la bisectriz del mismo.
- A partir del punto A y sobre la bisectriz se
lleva la magnitud AC de la diagonal conocida.
- Por el punto C se trazan las paralelas a los
Fig. 2.70
lados del ángulo que se cortarán con éstos
en los puntos B y D, determinando los otros dos vértices del rombo.
Construir un rombo dado el
lado y la suma de las diagonales. Fig.2.71
Sobre un segmento EA igual a
la mitad de la suma dada, se
construye en uno de sus extremos, por ejemplo el E, un ángulo de 45° y con centro en el otro
extremo A se traza un arco de
radio igual al lado dado, el cual
al cortar al lado del ángulo nos
determina B, vértice del rombo.
El vértice C se obtiene simétrico
del B.
Fig.2.71
Construir un rombo dado un ángulo y
la suma de las diagonales. Fig. 2.72
Se dibuja un segmento EA igual a la mitad de la suma dada sobre el que se
construye en uno de sus extremos, por
ejemplo el E, un ángulo de 45° y con centro en el otro extremo A se traza un arco
de radio igual a la mitad del ángulo dado,
el cual al cortar al lado del ángulo de 45°
nos determina B, vértice del rombo. El
vértice C se obtiene simétrico del B.
Fig.2.72
Construcciones gráficas 2 - 32
Construir un rombo dado el lado y
el radio del circulo inscrito. Fig.2.73
Se traza una semicircunferencia de
diámetro AB igual al lado dado. Mediante una paralela trazada a AB a
una distancia igual al radio r conocido
se obtiene el punto O, centro del rombo. Los demás vértices se obtienen
por simetría respecto a O de los puntos A y B.
Fig.2.73
La construcción está basada en el hecho de que las diagonales de un rombo se
cortan ortogonalmente y así el ángulo AOB formado por ellas se construye inscrito
en media circunferencia con lo que su valor es de 90°
Construir un rombo dado el ángulo entre sus lados y el radio del circulo
inscrito. Fig.2.74
Sobre el ángulo dado se traza la bisectriz. A continuación se levanta una perpendicular al lado AB del ángulo por su
vértice A. Sobre esta perpendicular llevamos la longitud del radio AE.
Por el extremo E obtenido se traza la
paralela EO al lado tomado como base,
la cual determina en su encuentro O con
la bisectriz, el centro del rombo. La perFig.2.74
pendicular a la bisectriz por O nos fija los
vértices B y C; hallando D por simetría de A respecto a BC.
Construir un romboide conociendo sus lados y un ángulo. Fig.2.75
Sean AD y AB los lados y a el ángulo.
- Se dibuja el ángulo a conocido, de vértice A, transportando sobre cada lado las
longitudes AB y AD iguales a los lados del
romboide conocidos.
- Desde el punto B y con radio AD, se
traza un arco; y desde el punto D y radio
AB se traza otro arco que se corta con el
anterior en el punto C.
Fig. 2.75
2 - 33 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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Construir un romboide conociendo sus lados y la altura. Fig.2.76
Sean AD y AB los lados y BE la
altura.
- Se dibuja un segmento AB igual a
uno de los lados conocidos.
- Por el punto B se traza la perpendicular al mismo, transportando a
partir de B la distancia BE igual a la
altura.
- Por el punto E se traza la recta
paralela al segmento AB.
- Con centro en los puntos A y B y
radio igual al otro lado conocido, se
trazan sendos arcos que cortan a la
paralela trazada por E en los puntos C y D.
Fig. 2.76
Cuadriláteros inscriptibles
Se llama cuadrilátero inscriptible aquel que está inscrito en una circunferencia, es
decir aquel cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia. Fig.2.77
Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene sus dos pares de ángulos
opuestos A,C o B,D suplementarios, siempre que sus vértices A y C, o B y D estén
separados por la diagonal DB o AC del cuadrilátero. La razón es que los ángulos A y
C o B y D están inscritos en los dos arcos capaces en que cada una de las diagonales del cuadrilátero dividen a la circunferencia.
Recíprocamente: Todo cuadrilátero ABCD que tiene dos ángulos opuestos A y C, o
B y D suplementarios es inscriptible en una circunferencia. Ya que trazando la
circunferencia que pase por tres vértices BC y D del cuadrilátero el otro vértice A
deberá pertenecer al arco abarcado por el segmento BD distinto al que contiene el
vértice C.
Fig.2.77
Fig.2.78
Construcciones gráficas 2 - 34
Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios también lo son los
otros dos opuestos al ser la suma de los cuatro ángulos cuatro rectos.
CONSECUENCIA: Fig.2.78: Si el cuadrilátero inscriptible es un trapecio de bases
AB y CD los ángulos que se oponen a una de sus bases A y B son iguales por
abarcar arcos iguales y por la misma razón lo son los otros dos C y D. Los lados no
paralelos del trapecio AD y BC también son iguales por abarcar arcos iguales siendo
pues el trapecio isósceles y simétrico con relación al diámetro perpendicular a sus
dos bases.
Recíprocamente: Todo trapecio isósceles es inscriptible en una circunferencia.
DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Dividir una circunferencia en 3 y 6 partes iguales. Inscribir un triángulo o un
exágono en una circunferencia. Fig.2.79
A partir de un punto cualquiera de la circunferencia llevamos el radio de ésta seis
veces. Uniendo los puntos correlativamente se consigue un exágono. Si dejamos un
punto intermedio obtendremos un triángulo.
Fig.2.79
Fig.2.80
Dividir una circunferencia en 4 y en 8 partes iguales. Fig.2.80
Trazamos dos diámetros AC y BD perpendiculares entre si. Se unen por medio de
rectas los puntos AB-BC-CD-DA. La figura ABCD es el cuadrado inscrito. Si hallamos las bisectrices de los cuatro ángulos rectos dividiremos la circunferencia en
ocho partes.
2 - 35 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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Dividir una circunferencia en 5 partes iguales o inscribir un pentágono dentro
de la circunferencia (o en 10 partes e inscribir un decágono). Fig.2.81
Se trazan los diámetros perpendiculares AB y
CD. Buscamos el punto medio de un radio,
G. Con centro en G y radio GC, trácese un
arco que cortará en F al diámetro. Desde C
como centro y con una abertura de compás
igual a CF, llévese un arco desde el punto F
hasta encontrar en E, a la circunferencia. El
arco CE es igual a la quinta parte de la circunferencia, y la cuerda CE es el lado del
pentágono regular inscrito.
El segmento FO divide la circunferencia en
10 partes iguales.
Fig.2.81
Dividir una circunferencia en 7 partes iguales o inscribir un heptágono en una
circunferencia (o en 14 partes iguales). Fig.2.82
Trazamos un diámetro cualquiera. Con centro en el punto S, extremo del diámetro, y
radio SO, trácese un arco que cortará a la circunferencia en los puntos H y B. Únase
H con B. La mitad de esta recta es la séptima parte de la circunferencia. Haciendo
centro en B, llévese b, hasta A.
Para dividir en 14 partes iguales basta con hallar el punto medio de cada lado.
Fig.2.82
Fig.2.83
Dividir una circunferencia en 9 partes iguales (o inscribir un eneágono regular
en una circunferencia. Fig.2.83
Se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD. Se describen los arcos OF y OE
con centros en B y A y radio igual al de la circunferencia.
Seguidamente se trazan dos nuevos arcos con centros en A y B y radios BE y AF,
los cuales se cortan en G, punto éste que se toma como centro del arco AB.
La porción c-h es el lado de un eneágono regular inscrito.
Construcciones gráficas 2 - 36
Dividir una circunferencia en 11 partes iguales, e inscribir un endecágono
regular en una circunferencia. Fig.2.84
Se trazan los diámetros perpendiculares. Se des
criben dos arcos de radios iguales a los de la circunferencia con centros en C y en A, con lo que se
obtienen los puntos E y F.
Con centro en F y radio FE se describe un arco que
cortará en G al diámetro DC. Por último, con centro
en E se transporta G sobre la circunferencia en H.
EG es la undécima parte de la circunferencia.
Este sistema es sólo aproximado.
Fig.2.84
Dividir una circunferencia en 12 partes iguales (o inscribir un dodecágono en
una circunferencia). Fig.2.85
Fig.2.85
Fig.2.86
Dividir una circunferencia en un número cualquiera de partes iguales. Fig.2.86
Trazamos dos diámetros perpendiculares AB y CD, y se divide uno de ellos, el CD,
en tantas partes como queramos dividir la circunferencia. Tomamos el punto C
como centro y con un radio igual al segmento CD trazamos un arco que corte al
diámetro AB en el punto E. Unimos el punto E con la 2ª división del diámetro CD y
prolongamos hasta que corte en F a la circunferencia. El segmento CF es aproximadamente el lado del polígono inscrito que queremos dibujar.
2 - 37 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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Dividir un arco de circunferencia en un número cualquiera de partes iguales.
Arco menor que una semicircunferencia.
Fig. 2.87
Sea DM el arco dado. Trazamos el diámetro CD. Tomando los extremos de
este diámetro como centro y con un
radio igual a dicho segmento CD trazamos dos arcos que se cortarán en el
punto E. Uniendo el extremo M del arco
Fig.2.87
a dividir con el punto E, se determina
sobre el diámetro CD el punto G. Dividimos el segmento D G en tantas partes iguales como se pretenda dividir el arco. El
haz de semirrectas con origen en E que pasen por los puntos de división del
segmento DG, dividen a su vez el arco en un número igual de partes iguales.
Arco mayor que una semicircunferencia.
Fig. 2.88
Por el procedimiento descrito para la Fig.
2.87 obtenemos el punto E. Se traza la
mediatriz de la cuerda DN que une los
extremos del arco, hasta cortarlo en M.
El segmento ME corta al diámetro en el
punto G. Divídase el segmento DG en
tantas partes iguales como se desee
dividir el arco y únase la división 2 con E
hasta cortar al arco en P. DP se lleva
sucesivamente sobre el arco hasta conseguir su división.
Fig.2.88
CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES
Construir un pentágono dado el lado.
Primer procedimiento. Fig.2.89
Sobre una recta cualquiera se toma la distancia AB igual al lado dado. Se determina
el punto F, centro del segmento AB. En el extremo B, trácese la perpendicular BG.
Haciendo centro en B y con radio BA se describe el arco AC. Con centro en F, y
Construcciones gráficas 2 - 38
radio FG, descríbase el arco GH. Con centro en A y B, respectivamente y radio AH
descríbanse dos arcos que se corten en D. Los vértices E y C se determinan por
medio de arcos de radios AB.
El vértice E, con centro en D, y A. El vértice C con centro en D y B.
Fig.2.89
Fig.2.90
Segundo procedimiento. Fig.2.90
Se levanta una perpendicular en el punto medio F, del lado AB, a la cual y desde F
se le asigna una distancia igual al lado, obteniéndose el punto n. Desde el extremo
B se traza una recta que pase por n, y desde ese punto se le agrega una distancia
n-m igual que la mitad del lado AB. Haciendo centro en A y B, extremos del lado y
con radio Bm, determinaremos en la prolongación de la perpendicular levantada
sobre F, el punto D, vértice del pentágono opuesto al lado dado. Hallado este
vértice, los otros dos, E y C se determinan como en el procedimiento anterior.
Construir un exágono regular dado el lado. Fig.2.91
Sea AB el lado dado. Desde A y B, extremos del mismo y con un radio igual al lado
dado se trazan arcos que al cortarse determinan el centro O, del exágono. Desde
dicho centro y sin variar la abertura de compás se hallan los vértices F y C en la
prolongación de los arcos citados. Desde F y C y con la misma abertura de compás
se trazan nuevos arcos por el centro O, a los cuales y desde el citado centro se les
aplica la medida del lado AB.
Fig.2.91
Fig.2.92
2 - 39 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
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Construir un octógono regular dado el lado. Fig.2.92
Por el centro del lado dado AB se levanta una perpendicular. Tomando como centro
el punto medio de este lado y con radio hasta el punto A se traza un arco que dará
en la perpendicular, al cortarla, el punto r. Desde r como centro y con radio rA se
traza un nuevo arco que al cortar a la perpendicular nos determina el punto O centro
de la circunferencia que pasa por los puntos A y B y que contendrá al lado dado 8
veces.
Construir un heptágono regular dado el lado. Fig.2.93
Sea AB el lado dado. Desde los extremos del mismo y con una abertura de compás
igual a la de dicho lado AB se dibujan los arcos AN y BN. Se traza la bisectriz de
NAB, la cual corta en M a la perpendicular del lado levantada sobre B. Con centro
en A y radio AM, se traza el arco MO. El punto O es el centro de la circunferencia
circunscrita al polígono de 7 lados.
Fig.2.94
Fig.2.93
Construir un polígono regular de 12 lados (Dodecágono) conocido su lado.
Fig.2.94
Se toma una magnitud AB igual al lado dado, trazando por su punto medio M una
perpendicular. Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio AB que se corten
en S, sobre la perpendicular.
Con centro en S se describe una circunferencia que pase por A y B, la cual cortará
en O a la perpendicular al lado dado, siendo este punto el centro de una nueva
circunferencia que pasando por A y B, contiene 12 veces al lado, con lo que quedará
construido el polígono.
Construcciones gráficas 2 - 40
Construir un polígono regular de cualquier número de lados, dada la longitud
de uno de ellos. Fig.2.95
Con un radio cualquiera se describe una circunferencia y se divide en el número de
partes que se desee, por ej. 8. Unase el
centro O con los puntos de división a-b-c-de-f-g-h y prolónguense los radios. Trácese
la cuerda "ha" y prolónguese. Se lleva la
longitud dada AB desde h, y por el punto
obtenido s se traza la paralela sC al radio
OJ hasta que se encuentre en C al diámetro
Fig.2.95
GC. Haciendo centro en O y con radio OC,
se describe una circunferencia que al encontrarse con los radios OD-OE-OF etc., la divide en 8 partes iguales. Únanse por
medio de cuerdas los puntos CDEFGHIJ, obteniendo el polígono que se desea.
Construir un pentágono regular conocida su altura. Fig.2.96
Sobre una recta base se traza una perpendicular AC igual a la altura dada. Con
centro en A se describe un arco de radio AC
hasta cortar a la recta base en los puntos B
y D.
Por el punto medio M de AB se levanta una
perpendicular y con centro en M y radio MD
se traza un arco que corta en E a la perpendicular construida por M.
La paralela al segmento EB trazada por el
extremo C de la altura corta a la base en el
punto F, siendo FA la mitad del lado del pentágono y C el vértice opuesto a la base.
Este sistema es sólo aproximado
Fig.2.96
Construir un pentágono regular conocida la diagonal. Fig.2.96bis
Se construye utilizando la sección aúrea (ver Capítulo 1. Fig.1.20).
Se dibuja la sección aúrea de la diagonal con lo que
obtenemos el segmento aúreo igual al tamaño del
lado. Con centro en A y radio igual al segmento
aúreo dibujamos un arco. Con centro en B, e igual
radio dibujamos otro arco.
Tomando como radio la longitud de la diagonal y
utilizando los extremos del segmento aúreo se dibujan arcos que cortan a los anteriores en C y E. El
vértice D se consigue llevando desde estos últimos
el tamaño del lado.
2 - 41 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
Construir un octógono regular conocida la diagonal
menor. Fig.2.97
La diagonal menor de un octógono inscrito es el lado del
cuadrado inscrito en la misma circunferencia.
Sea AB la diagonal conocida. Trazada su mediatriz,
donde es cortada por la semicircunferencia descrita con
diámetro AB se encuentra el punto O, centro de la circunferencia de radio OA=OB que inscribe al polígono. El
lado AC queda determinado en la intersección con la
mediatriz trazada a la diagonal.
Fig.2.97
Construir un exágono regular conocida la distancia entre caras. Fig.2.98
Se trazan dos rectas paralelas a una distancia igual a la
distancia entre caras, dad.
Con centro en A y radio AD arbitrario se describe un
arco y, haciendo centro en su origen D, sin variar el
radio, se traza un arco que cortará al anterior en E.
Se une A con E hasta cortar a la otra paralela en C. CA
es el diámetro de la circunferencia que inscribe al exágono, de lado AM igual al radio.
Fig.2.98
Construir un polígono regular conocida su apotema
y el número de sus lados. Fig.2.99
Se dibuja el polígono regular y su apotema. Tomando
como centro el del polígono, se dibuja una circunferencia de radio igual al de la apotema conocida. Se prolonga la apotema hasta cortar a la circunferencia. Por
paralelismo se dibuja el polígono cuya apotema es la
dada.
Fig.2.99
Construcciones gráficas 2 - 42
POLÍGONOS ESTRELLADOS
Sus lados son cuerdas de la circunferencia en la que están inscritos, de forma que
unen puntos de división no consecutivos. El paso es un número entero que indica la
posición de los vértices de un lado del polígono respecto de las divisiones de la
circunferencia y que comienza a numerarse a partir de la división siguiente a la que
arranca el lado.
Dibujar un polígono estrellado de 6 puntas. Fig.2.100
No existe polígono estrellado de 6 puntas. Una construcción errónea aunque similar de polígono estrellado puede construirse trazando los dos triángulos equiláteros
inscritos en la circunferencia.
Fig.2.100
Dibujar un polígono estrellado de 5 puntas. Fig.2.101
Divídase la circunferencia en 5 partes iguales. Únanse de 2 en 2 los puntos de
división.
Fig.2.101
Fig.2.102
Dibujar un polígono estrellado de 9 puntas. Fig.2.102
Tiene dos estrellados. Divídase la circunferencia en 9 partes iguales. Únanse de 3
en 3 los puntos de división, o de 2 en 2.
2 - 43 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
Dibujar un polígono estrellado de 8 puntas.
Fig.2.103
Divídase la circunferencia en 8 partes iguales. Únanse de
3 en 3 los puntos de división.
Fig.2.103
Construcciones gráficas 2 - 44
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
La rectificación es el proceso que permite determinar la longitud de una linea curva.
Rectificación de la semicircunferencia.
Primer procedimiento. Método de Kochansky. Fig.2.104
Dada la circunferencia se traza el diámetro AB y por B una recta perpendicular a él.
Se traza a continuación la recta OC que forma un ángulo de 30° con el diámetro y
que cortará a la recta perpendicular en C. Tomamos desde C, en dirección a B, tres
radios de la circunferencia 0 y obtendremos el punto D. La recta que une el punto D
con el extremo A del diámetro será la rectificación aproximada de la semicircunferencia.
Fig.2.104
Fig.2.105
Segundo procedimiento. Método de Mescheroni. Fig.2.105
La longitud de la semicircunferencia es igual a la
suma de los lados del triángulo y del cuadrado inscritos en ella.
Rectificación del cuadrante de una circunferencia. Fig.2.106
Se traza el diámetro AB, y haciendo centro en los
extremos A y B, con radio AO, se trazan dos arcos
que cortarán en D y C a la circunferencia. Con centro en A y B, y radio BC, descríbanse dos arcos que
se corten en F. Por último con centro en D, y radio
Fig.2.106
2 - 45 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
DF descríbase un arco que cortará a la circunferencia en E. Unase E con B, y la
longitud de la recta BE corresponde a la cuarta parte de la circunferencia desarrollada.
Rectificación de la circunferencia.
Primer procedimiento. Fig. 2.107
Dividiendo el diámetro de la circunferencia en 7 partes iguales, y tomando 22 de
estas partes tendremos la longitud aproximada de la circunferencia.
Fig.2.108
Fig.2.107
Segundo procedimiento. Fig.2.108
Se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD, describiendo con centros en los
extremos A y B dos arcos de radio igual al de la circunferencia dada, los cuales
interceptan a la circunferencia en los puntos M y N. El segmento MN cortará al
diámetro CD en el punto E. Se traza por el extremo opuesto D de este diámetro una
tangente a la circunferencia, transportando sobre la misma seis veces el radio,
obteniendo con ello el extremo F. El segmento DF es la rectificación aproximada de
la circunferencia.
Rectificación de un arco de circunferencia menor que un cuadrante.
Primer procedimiento. Fig.2.109
Se prolonga el diámetro y se divide el radio OX en 4 partes. Se agregan tres de
estas divisiones del radio en la prolongación por el punto X. Por el extremo C del
diámetro que limita al arco dado EC se lleva una perpendicular. Uniendo el punto 3
de la prolongación del radio con E, extremo del arco a rectificar y prolongando hasta
el punto D, de la perpendicular levantada desde C, obtendremos la recta CD igual a
la rectificación o longitud del arco dado.
Construcciones gráficas 2 - 46
Fig.2.109
Fig.2.110
Segundo procedimiento. Fig.110
Sea el arco dado AC de centro O. Se divide la cuerda AC correspondiente al arco en
tres partes iguales, trazando por la división 2 el radio OM. Se une el extremo A con
M hasta cortar en B a la paralela trazada por el otro extremo C al radio construido. El
segmento AB es aproximadamente la rectificación del arco dado.
Rectificaciones de arcos entre
dos circunferencias de distinto
radio. Fig.111
Se trata de averiguar la equiva
lencia del arco CE, menor de
90°, perteneciente a la circunferencia de centro O1, en la circunferencia de centro O2, lo que resulta muy útil en la elaboración
Fig.2.111
de determinadas curvas cíclicas.
Para ello se halla la rectificación del arco CE según lo explicado en la Fig.2.109 con
lo que se obtiene un segmento CD.
Se rectifica la circunferencia de centro O2 que previamente se ha colocado a
continuación de la de centro O1 con lo que se obtiene un punto M. Uniendo el punto
D con el punto M, se obtendrá un punto F con lo que se determina el arco CF,
equivalente al CE en la circunferencia de centro O2.
2 - 47 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Dibujar un polígono regular de 7 lados iguales al segmento X, siendo X el segmento
aúreo del segmento a.
2.- Sabiendo que el lado de un decágono regular es igual a 17 mm. ¿Cuánto mide el
radio de la circunferencia donde se inscribe? (Modelo de ejercicio para Selectividad.
Junio 94)
3.- Dado un heptágono (45 mm de lado) circunscrito a una circunferencia, hallar uno de
los hexágonos regulares inscritos en la misma (Selectividad 1990. Valencia)
4.- Dibujar: a) Un pentágono regular inscrito en una circunferencia de diámetro d=63
mm
b) Un octógono regular adosado al primero, de lado igual al lado del
pentágono inscrito.
5.- Construir un pentágono regular conocida la diagonal d=45 mm. (Selectividad 94.
Madrid)
6.- Inscribir una circunferencia en un triángulo cualquiera, señalando los puntos de
tangencia.
7.- Dadas dos circunferencias con centros O1 (r=64 mm) y O2 (r=32 mm) hallar las
circunferencias de radio 23 mm tangentes a las mismas.
Los centros O1 y O2 se encuentran separados 110 mm.
8.- Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa AB se toma como base, y su
ángulo en B es de 60°. La suma de la hipotenusa AB y del cateto BC es 120 mm.
Hallar el centro y dibujar la circunferencia tangente al cateto BC y a las prolongaciones de la hipotenusa AB y del cateto AC, señalando los puntos de tangencia.
9.- Sabiendo que a=45 mm. es el segmento áureo del lado de una estrella de siete
puntas y paso=3, dibujar la estrella.
10.- Construir un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa valga 8 cm y la suma de
los catetos sea 10 cm
(Selectividad. Madrid. Junio 1996)
Construcciones gráficas 2 - 48
11.- Deducir razonadamente el valor del ángulo a marcado en la figura, sabiendo que ésta representa un
decágono regular estrellado. (Selectividad. Madrid
1995)
12.-
Deducir razonadamente el ángulo a que
forman las diagonales d1 y d2 de un decágono regular. (Selectividad. Madrid 1995)
2 - 49 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
EJ ERCICIOS RESUELTOS
CA PITULO 1 º
1.- La razón es un cociente entre dos números; en este caso cociente entre alturas y
cociente entre sombras. Puesto que entre ambos cocientes existe una igualdad
podemos establecer que:
cociente de alturas=cociente de sombras
es decir
; Luego
y por tanto a=25 m que es la altura del otro
árbol.
2.- Para hallar el segmento cuarta
proporcional dibújese un ángulo
cualquiera y sobre uno de los
lados llévese el segmento a a
partir del vértice. Sitúese también
a partir del vértice y sobre el mismo lado el segmento c.
Colóquese sobre el lado libre del
ángulo el segmento b y únase su
extremo con el del segmento a.
Trazando la paralela por c se
obtiene la cuarta proporcional
sobre el segmento b.
3.- El centro radical de 3 circunferencias es el punto de igual potencia respecto de todas ellas.
Para determinarlo debemos
hallar el punto de intersección
de al menos dos ejes radicales
de las circunferencias dadas,
para lo que aplicaremos directamente la teoría desarrollada en
el capítulo.
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Construcciones gráficas 2 - 50
4.- Por el centro O se traza la recta w que
forma 60° con el diámetro AB, de 8 cm.
Obtenemos así el segmento MN, cuerda
de la circunferencia dada y segmento del
arco capaz de 60°. Para hallar la raíz cuadrada de la cuerda dividimos el segmento
MN en un número de partes iguales, p.e. 7
y tomamos una de estas partes en la prolongación del segmento MN con lo que se
obtiene el segmento MS.
Hallamos el punto medio de dicho segmento MS, O1 y trazamos una semicircunferencia con radio O1S. La perpendicular
levantada desde N hasta la semicircunferencia será la raíz cuadrada que se busca.
5.- Aplicando la teoría sobre potencia vista
en el capítulo anterior sabemos que:
PC1 x PC2 =K;
y por tanto:
(distancia-radio)(distancia+radio)=K
de donde, sustituyendo (d-3)(d+3)=16;
d2-9=16; d2=25, es decir
distancia = 5
6.- Cuando el punto se encuentra dentro de
la circunferencia la potencia es negativa y en este caso
igual a -R2
(PA)(-PB)=-R2
7.- Se traza una circunferencia auxiliar de radio cualquiera Oaux que
corte a las circunferencias de radio dado O1 y O2. El eje radical de
estas dos circunferencias es la
recta que pasando por el punto de
igual potencia de ambas circunferencias es perpendicular a la recta
que une sus centros. Otra circunferencia O3, cuyo eje radical respecto de O1 y O2 coincida, ha de
tener, también, su centro en la
Ejercicio 4
2 - 51 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
recta que une sus centros. Si desde P trazamos una tercera recta, la cuerda 1, 2 es
el eje radical de todas las circunferencias que pasan por estos dos puntos. La que
tiene sus centro en la recta O1-O2 cumple la condición necesaria. Hallamos su centro
trazando la mediatriz del segmento 1-2 sobre dicha recta.
8.- Puesto que las circunferencias de radio 20 mm deben ser tangentes al eje radical de
las circunferencias dadas, lo primero
será hallar dicho eje radical por el procedimiento teórico descrito en el capítulo. Para ello nos servimos de una
circunferencia auxiliar Vaux que corte a
las circunferencias dadas V1 y V2. Determinado el eje radical común aplicaremos un procedimiento de análisis
para acceder a la solución, es decir
supuesto el resultado que se debe
alcanzar, se intenta el camino inverso
para hallar los pasos que conducen a
la solución.
Puesto que las circunferencias de 20
mm han de ser tangentes al eje radical de las circunferencias dadas los
centros de las posibles soluciones
necesariamente han de situarse en una paralela al eje radical distante 20 mm de
éste. Por otro lado si la circunferencia tangente al eje ha de pasar por el punto P es
necesario que el centro de dicha circunferencia se encuentre a 20 mm de P; por ello
con centro en el punto dado P y con un radio de 20 mm trazamos una circunferencia
que corte a la paralela antes trazada. Los puntos de corte O1 y O2 serán las soluciones de este ejercicio.
9.- En la expresión AB 2 =AM.AC se repite
una de las magnitudes, la magnitud AB,
que por otro lado se conoce, junto con
la magnitud AC. Pero los lados AB y BC
forman ángulo recto, por lo que AB resulta un cateto del triángulo rectángulo.
Si se aplica el teorema del cateto encontraremos rápidamente el lado AM.
Solución Ejerc. 9
10.- Sabemos que toda circunferencia que pase por dos puntos A y B tiene su centro en
la mediatriz del segmento que definen, por lo que inicialmente se trazará dicha
mediatriz, así como una circunferencia auxiliar, de centro en un punto cualquiera de
la mediatriz y radio tal que la curva contenga a los puntos A y B dados.
Construcciones gráficas 2 - 52
Por otra parte, basándonos en el
concepto de potencia de un punto
respecto de una
circunferencia, sabemos que, dado
que la recta definida por los puntos
A y B corta a la
recta dada en un
Solución ejerc. 10
punto C, se cumple que CA x CB = CD2, siendo D el punto de tangencia entre la circunferencia y la
tangente trazada desde C.
La medida del segmento CD nos determina los puntos T de tangencia en la recta. El
problema tiene dos soluciones simétricas respecto al punto C.
Si se deseara el trazado de las circunferencias, éstas quedan definidas por los
puntos A, B y cada uno de los puntos de tangencia con la recta anteriormente
obtenidos.
11.- Si se traza una circunferencia auxiliar que
contenga a los puntos A y B y corte a la circunferencia dada, observamos que el eje
radical de ésta y la circunferencia dada es la
recta MN. El eje radical de la circunferencia
auxiliar y la solución es la recta AB, por pasar ambas curvas por estos puntos; luego el
corte de AB con MN en el punto C representa el centro radical de tres circunferencias.
Al dibujar las tangentes desde C a la circunferencia dada se obtienen los puntos de
tangencia T buscados entre las circunferencias solución y la dada.
En el dibujo las circunferencias en negro
representan las soluciones: dos curvas que
pasando por los puntos A y B son tangentes
a la dada en los puntos de tangencia T.
12.- Se trata de obtener el eje radical de las
dos circunferencias dadas. Una vez obtenido éste, basta con dibujar una recta R
que forme 60° con la recta que une los
centros y que pase por el centro de ella.
Cuando la recta corte al eje radical se obtiene un centro O3, centro de una circunferencia cuyos radios tangentes a las circunferencias dadas son iguales.
Solución ejerc.11
Solución ejerc. 12
2 - 53 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato
P atxi A guirrezabal Martin
13.- El formato 3 x 2 equivale a la media proporcional. Por tanto basta con hallar, por
cualquiera de los métodos de la media proporcional (cateto, altura o potencia) una
representación gráfica en la que uno de los segmentos valga 3 y el otro 2).
[ver capítulo 1 sobre proporcionalidad]
14.- El lado de un pentágono es sección aúrea de su diagonal. Por lo tanto basta con
hallar la sección aúrea del segmento de 5 cm de longitud para hallar el tamaño del
lado del pentágono regular pedido.