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1º BCT Recup 2º Eval
Trigonometría, Vectores, Geometría (Abril 2013)
SOLUCIÓN:
1.Calcula las restantes razones trigonométricas, sabiendo que:
cotg(a) = −2
90º ≤ a ≤ 180º
cotg(a) = −2 ⇒ cosec(a) = 1 + cotg 2 (a) = 5 ; tg(a) =
sen(a) =
1
1
=−
cotg(a)
2
1
1
2
=
; cos(a) = sen(a) cotg(a) = −
cosec(a)
5
5
2.Transforma en sumas la siguiente expresión:
cos(54º)⋅⋅cos(34º)
cos(54º ) ⋅ cos(34º ) =
1
[cos(88º ) + cos(20º )]
2
A+ B

= 54 
 A = 88 
2
⇒

A− B
B = 20 

= 34
2

3.Resuelve la ecuación:
tg2 (x) + 3 = 4tg(x)
Solución:
tg2 (x) + 3 = 4 tg(x) ⇔ tg2 (x) − 4 tg(x) + 3 = 0
Resolviendo la ecuación de 2º grado, se tiene: tg(x) = 1 o tg(x) = 3
tg(x) = 1 ⇒ x = 45º +180º k/k ∈ Z
tg(x) = 3 ⇒ x = 71,5º +180º k/k ∈ Z
4.Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es
de 45º. Camina 50 metros hacia el sur y observa que su ángulo de elevación es ahora de 30º. Halla la
altura de la antena.
h = BC⋅ tg(30º ) 
3


= BC 2 − 2500

 ⇒ BC⋅
2
3
2
2
2 h = BC − 2500 

50 + h = BC 
tg(30º ) =
h
BC
Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:
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BC 2
2
= BC 2 − 2500 ⇒ BC 2 = 2500 ⇒ BC =
3
3
2500 ⋅ 3
= 61,24 m
2
La altura de la antena es:
h = BC⋅ tg(30º ) = 61,24 ⋅
3
= 35,36 m
3
5.En un triángulo ABC se conoce el lado a = BC = 10 metros, el ángulo ABC que vale 105º y el ángulo
ACB que vale 30º. Halla los lados y el área del triángulo.
Tª del seno:
10
c
=
⇒ c ≈ 7, 07 m
sen 45 sen30
10
b
=
⇒ b ≈ 13, 66m
sen 45 sen105
h = BM = 10·sen30 = 5m
Entonces el área pedida será:
S=
1
1
1
AC⋅ MB = ⋅ b·h ≈ 13, 66·5 ≈ 34,15 m 2
2
2
2
6.Dados los vectores:
→
→
u = (2,−1) y v = (1, a)
referidos a una base ortonormal. Halla a, para que dichos vectores formen un ángulo de 60º.
De la expresión del producto escalar se tiene:
1
u ·v = u · v . cos α ⇒ 2 − a = 5 1 + a 2 · ⇒ 4 − 2a = 5 · 1 + a 2
2
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última ecuación, se tiene:
16 − 16 a+ 4 a 2 = 5 + 5 a 2 ⇒ a 2 + 16 a− 11 = 0 ⇒ a =
Se tienen dos soluciones:
a = −8 − 5 3 y a = −8 + 5 3
− 16 ± 300 − 16 ± 10 3
=
= −8 ± 5 3
2
2
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Trigonometría, Vectores, Geometría (Abril 2013)
7.Dadas las rectas r: 2x – y + 4 = 0; s: 3x + 2y – 9 = 0, halla :
a) su punto de intersección
b) la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,4) y es paralela a r.
c) la ecuación de la recta que pasa por el punto anterior y es perpendicular a s.
a) Sea M(x,y) el punto de intersección de r y s, sus coordenadas verifican el sistema:
2 x − y + 4 = 0
1
30
⇒ x = ;y =

7
7
3 x + 2 y − 9 = 0
luego el punto intersección de r y s es:
 1 30 
M , 
7 7 
b) Sea r' la recta paralela a la recta r, su ecuación es: r': 2x – y + k=0; como dicha recta pasa
por el punto de coordenadas (-3,4), se tiene:
2(-3) - 4 + k = 0 ⇒ k = 10 Por tanto: r': 2x - y + 10 = 0
c) Sea s' la recta perpendicular a la recta s, su ecuación es: s': 2x – 3y + k = 0 ; como dicha
recta pasa por el punto de coordenadas (-3,4), se tiene: 2(-3)– 3(4)+ k = 0 ⇒ k =18
Por tanto: s': 2x – 3y + 18 =0
8.Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice A está en la
recta de ecuación x + 2y - 15 = 0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcula las coordenadas de A, la
ecuación de la altura correspondiente a dicho vértice y el área del triángulo.
Sea M el punto medio del segmento BC, se tiene:
M=
-
1
(B+ C) = (1,0)
2
La altura h, correspondiente al vértice A, es mediatriz del segmento BC, de modo que su
dirección es perpendicular al vector
→
BC = C− B = (4,−6)
Sea
→
u = (3,2)
la dirección de h, su ecuación es por tanto
h:
-
x− 1 y
= ⇒ 2 x− 3 y− 2 = 0
3
2
Las coordenadas de A son solución del sistema
2 x − 3 y − 2 = 0
⇒ x = 7; y = 4 ⇒ A(7,4)

x + 2 y − 15 = 0
Para el área del triángulo tomaremos
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→

Base BC = BC = 16 + 36 = 52
1

⇒S=
52 ⋅ 52 ⇒ S = 26 unidades

→
2
Altura h = MA = 36 + 16 = 52

