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 Geometría y Trigonometría Ejercicios para Politécnica Ing. Raúl Martínez
Geometría y Trigonometría Tema 1: En un cuadrado siempre se cumple que: I.
II.
III.
IV.
V.
Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores Las diagonales son perpendiculares entre si. El área es igual a la base por la altura. La diagonal es equivalente a la raíz cuadrada del lado. La distancia desde el punto de intersección de las diagonales a uno de los vértices es igual a √2/2 del lado De las proposiciones anteriores son verdaderas solamente: a) I , III y IV b) I , II , III y IV c) I , II , III , IV y V d) I , II y III e) I , II , IV y V Tema 2: Dado un triángulo cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado otro triángulo . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es: a)
b)
c)
d)
e)
La relación entre las áreas de los triángulo y es 1 a 4. La relación entre los perímetros de los triángulos y es 1 a 2. Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden. Los incentros de ambos triángulos no coinciden. Los baricentros de ambos triángulos no coinciden. Tema 3: El perímetro de un trapecio rectángulo es 20
. Si la base mayor mide 7
mide 4
, el ángulo agudo del trapecio mide aproximadamente: a) 53° b) 25° 1 b) 1 c) 0 y 1 Tema 5: Siendo 25 tg 50 . sen 100
)
2
Tema 6: Dado cos
2
a)
5 b)
b)
sec
Tema 7: Si sec
a) 1 d)
cos
)
cuarto cuadrante. El valor de la expresión sec
a) 5 e) 0 y 1 5 cos
)
3 sen y ángulo del √9. cos 400 es: d)
/ e)
5/3 0 y del segundo cuadrante, el valor de tg es: 2 , con y tg
e) 37° 6 cotg 50
c) 0 2
° d)
1. El valor de es: √
√ y cos
Tema 4: Se sabe que sen
a)
c) 18° , y la altura √
c)
tg
b) 4 √
d)
, el valor de cos
c) 2 e)
cotg es: d) 5 e)
Tema 8: una persona está parada a 500 de un edificio de 100 de altura que tiene 25 pisos idénticos. El valor de la tangente del ángulo formado por la visual del observador entre los pisos 9° y 10° es: a)
/
Cursillo Pi b) 3143/500 c) 1/274 1 d) 25/3143 Ing. Raúl Martínez e) 36/3143 Geometría y Trigonometría Tema 9: El menor ángulo positivo cuyo seno sea igual al doble del seno duplo del mismo ángulo es: a) 0° b) 13° 33 Tema 10: En el triángulo son perpendiculares y a)
b)
c)
d)
e)
c) No existe d) 79° 44 recto en , es punto medio del lado 2√3
, el área del triángulo en e) 75° 31 . Si los segmentos y es: 8 √3 4 √3 16 √3 24 2√3 FECHA: 09 – 08 – 2008 Tema 1: El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es 500°. La semisuma del complemento y el suplemento del ángulo es: a) 44° b) 182° c) 91° d) 250° e) 130° Tema 2: Dado el triángulo , donde 82° y si las bisectrices del ángulo interior y del ángulo adyacente al ángulo interior , se interceptan en un punto . La medida en grado centesimal del ángulo es: a) 41 b) 42 c) 45 d) 47 e) 50 Tema 3: En el siguiente gráfico se sabe que , entonces el valor de es: a)
b)
c)
d)
e)
40° 50° 80° 130° 160° Φ
Φ
40°
Tema 4: A partir de las afirmaciones siguientes: I)
Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide 90°. II)
Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios. III)
Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es cero. IV)
El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo. Podemos decir que son verdaderas: e) Ninguna a) Todas b) Sólo tres c) Sólo dos d) Sólo una Tema 5: La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2
a) 150° b) 156° c) 170° 44
d) 176° , es: e) 178° Tema 6: En un polígono convexo, desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar 33 diagonales. La cantidad total de diagonales de dicho polígono es: a) 12 Cursillo Pi b) 33 c) 87 2 d) 54 Ing. Raúl Martínez e) 52 Geometría y Trigonometría Tema 7: A partir de las siguientes proposiciones: I)
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento. II)
La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa. III)
La función cosecante es la reciproca de la función secante. IV)
El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1. Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) II y III d) I y II )
Tema 8: La expresión )
e) III y IV , es equivalente a: a) cos b) cotg c)
°)
) d) sen
e) cos 90°
) .
Tema 9: Reducir a su forma más simple ).
)
a)
cotg b) tg c) sec Tema 10: En la siguiente figura, el valor de es: a)
b)
c)
d)
e)
60° 30° 45° 36° 40° d)
tg e) cos 3
Tema 11: Con un compas cuyos brazos miden 15
, se traza una circunferencia de 8
de radio. Sabiendo que es el ángulo entre los brazos, entonces el valor de tg
23° 35 ) es: a) 1,40 b) 1,37 c) 1,41 d) 1,38 e) 1,36 Tema 12: En un triángulo , es el punto medio de , es un punto cualquiera de y es el ortocentro. Si la medida de los ángulos y son respectivamente de 80° y 40°. La razón entre los segmentos y es: a) 2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) 2/3 Tema 13: Una transversal corta las rectas paralelas y en los puntos y respectivamente. Si las bisectrices de los ángulos conjugados internos se cortan en un punto , siendo igual al doble de , entonces el menor de los ángulos conjugados internos mide: a) 90° b) 30° c) 60° d) 15° e) 120° Tema 14: Se tienen los ángulos consecutivos y siendo 152°. Se trazan ,
y , bisectrices de ,
,
y , respectivamente. Hallar la medida del ángulo a) 76° Cursillo Pi b) 19° c) 34° 3 d) 38° Ing. Raúl Martínez e) 52° ,
. Geometría y Trigonometría Tema 15: En la figura a)
b)
c)
d)
e)
y , entonces se puede decir que: 90° 180° Φ
Tema 16: Marca solo la respuesta correcta. a)
b)
c)
d)
e)
La función seno puede tener 6/5 de valor. El signo de la cofunción del seno del segundo cuadrante es negativo. sen
cos
1 La tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo. El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo. Tema 17: En el triángulo ,
90°,
22°. Hallar la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo y la mediatriz del segmento . a) 23° b) 22° c) 21° d) 20° e) 18° Tema 18: En un triángulo ,
12 y 18 . Por , se traza paralelas a , cortando a las bisectrices de los ángulo externos y , en los puntos y respectivamente. Hallar : a) 6
b) 24
Tema 19: Si sen
cos
c) 27
, el valor de sen
a)
1 b) 3
1 Tema 20: De las siguientes opciones: c) 2
d) 30
cos
1 d) 3
En el II , el signo de la cofunción del coseno es positivo. II)
Si cos
III)
1
IV)
La función tangente es decreciente en el III V)
1
cos 2
2 sen
2 cos
90° 2
2
180°, el valor de . cos
90° 2
2
e) N.d.a. 1 e) 2
, es: I)
4/5 , cos 90°
11 tg2
tg2
1
1
Podemos decir que son falsas. a) I , II y V b) II , III y V c) II, IV y V d) I y V e) II , III, IV y V Cursillo Pi 4 Ing. Raúl Martínez 1 Geometría y Trigonometría Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. En un triángulo, uno de sus ángulos mide 21° 11 52 . Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. b) 51° 50 17 c) 52° d) 44° e) 53° a) 23°48 8 2. Calcular el valor del ángulo , cuadrilátero inscriptible. diámetro de la Cia. a) 110° 20°
b) 120° c) 90° d) 100° 20°
e) 80° 3. Cuales son las proposiciones no falsas I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si. II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en línea recta. III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios. , donde es el complemento de dicho ángulo, 4. Si el suplemento del ángulo es 4
entonces: a) e son ángulos suplementarios. b) es agudo e es obtuso c) es a como 1 es a 2 d) es a como 2 es a 1 e) e son ángulos congruentes 5. Los ángulos y de un cuadrilátero valen 78° y 114°. Calcular el valor del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos y a) 69° b) 78° c) 114° d) 90° e) 96° 6. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados? a) 145° b) 160° c) 135° d) 155° e) 165° 7. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de ellas el doble de la altura a) 115° b) 130° c) 120° d) 128° e) 118° 8. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3 a) 53° y 55° b) 15° y 75° c) 30° y 60° d) 30°30 y 59°30 e) 29°30 y 60°30 9. Hallar el valor del ángulo a) 116° 109°
b) 132° 135°
c) 122° d) 112° e) 102° Cursillo Pi 5 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 10. En un polígono regular de 14 lados inscripto en una Cía, uno de los lados subtiende un arco de 12,50 . Hallar el radio de la Cía. a) 28,852 b) 37,852 c) 25,8 d) 30,5 e) 27,852 11. Un rombo tiene diagonales que miden 12 y 16
. La longitud de la cia inscripta a el rombo es: a) 24/5 b) 48/5 c) 42/5 d) 40/5 e) 56/5 12. Dada dos cias tangentes exteriores y de radios y respectivamente. La longitud del segmento tangente exterior común a las dos cias es: a) 4√
) b) 2
c) 2√
d) √2
) e)
13. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 6
. El coseno del mayor de los ángulos interiores del triángulo es: a) 11/24 b) 11/24 c) 3/8 d) 3/8 e) 3/10 14. De las opciones, marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equilátero. e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa. 15. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo de un triángulo recibe el nombre de: a) Seno b) Coseno c) Cosecante d) Secante e) Tangente 16. La cuerda de un arco de cia es igual a 4 y la flecha 0,15 . Calcular el radio a) 15,5 b) 13,408 c) 18 d) 11,408 e) 12 17. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un hexágono regular de lado . a) 1 √3 b)
c)
d)
7⁄4
√3 √3/2 2 √3 e)
3 √3 Fecha: 20 – 10 – 2008 Tema 1: La perpendicular bajada desde un punto de un diámetro mide 6 y divide a dicho diámetro en dos segmentos que están en la relación 2/3. Calcular la longitud de la cia. a) 48,4 b) 38,47 c) 35,47 d) 30,47 e) 35,3 Tema 3: Desde un punto se trazan una tangente y una secante a una cia, de longitudes 6 y 12
respectivamente. La secante dista 3,375 del centro de la cia. Hallar la longitud de esta curva. a) 25,3
Cursillo Pi b) 30,325
c) 25,325
6 d) 35,325
Ing. Raúl Martínez e) 53,325
, Geometría y Trigonometría Tema 5: El cociente entre el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de una cia y el área de un triángulo equilátero inscripto en esa cia es: a) 4/9 b) 1/3 e) 2/3 c) 1/√3 d) √3/2 . El perímetro de la parte sombreada es: Tema 6: Dada tres cias de radio igual a 7
a)
b)
c)
d)
e)
5 2√3 4√3 4 7 Tema 7: Un rombo tiene diagonales que miden 12 y 16
. La longitud de la cia inscripta a el rombo es: a) 24/5 b) 48/5 c) 42/5 d) 40/5 e) 56/5 Tema 10: En la figura el lado del cuadrado a) 2
b) 3
c) 4
d) 4
e) /2 es 4
. Halla el área de la región sombreada. Tema 11: Hallar el área en el pentágono (en a) 28,43 6
b) 35,80 70°
c) 35,43 4
d) 34,40 e) 27,50 ): 6
70°
4
2
Tema 12: En una circunferencia de 5 de radio, se inscribe un rectángulo de lados y 2 . Hallar el perímetro del rectángulo en . e) 12√5 b) 6√5 c) 8√5 d) 10√15 a) 2√5 Tema 13: En un triángulo se traza la bisectriz correspondiente al ángulo , que llega hasta el punto sobre el lado . Siendo los lados: 12
;
6
y 8
. Hallar el área del triángulo . b) 20,4
c) 12,2
d) 15,5
e) 10,4
a) 25,5
Tema 14: Un depósito en forma de cono circular recto de altura , está con el vértice hacia abajo esta cargado hasta la mitad de su capacidad ¿Hasta que altura llega el agua? b) /2 d) /4 c) / √3 e) / √4 a) / √2 Tema 15: Se hace un corte a un cubo de arista igual a , mediante un plano que pasa por los vértices , y , como muestra la figura. El área total del poliedro que resulta al retirar el sólido es: a)
b)
c)
d)
/3 5 /3 9 √3)/2 6 √3 /4 e) 9
Cursillo Pi √3
/4 7 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Tema 16: La suma de las áreas totales de dos conos circulares rectos semejantes es 25 1
Hallar la raíz cuadrada del producto de las áreas, si las alturas están en razón 3 es a 4. a) 12
3
√5 d) 14
1
Tema 17: El área total de un cubo en función de su diagonal c) 4 a) 2 b) √2 d) 2
/3 √5 b) 12
1
c) 12
√5 6
√5 e) 13
2 √5
1
√5 e) 2√ Tema 18: El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de 8 de altura, es un rectángulo cuya diagonal mide 10 . Calcular el área total del prisma. a) 54,65 b) 49,46 c) 55,46 d) 54,15 e) 51,46 Tema 19: Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de todas sus aristas iguales a 12 . b) 3√3 c) 2√3 d) 8√3 e) 5√3 a) 4√3 Tema 20: En la figura es triángulo rectángulo, , y son los lados opuestos, el radio de la circunferencia inscripta en el triángulo rectángulo es: a) b) 2 )/2 c) )/2 d) )/2 e) Tema 21: Calcular volumen de un tronco de cono de revolución (en ) de bases paralelas, sabiendo que se pueden inscribir en él 2 esferas tangentes de 40
y 30
de radio, respectivamente. e) N.d.a. a) 0,58 b) 5,8 c) 58,76 d) 587,5 Tema 22: El volumen del material contenida en una esfera hueca cuyo radio interno es y cuyo espesor es es: a) 4
3
3 )/3 b) 4
)/3 )/3 c) 4
d) 4
)/3 )/3 e) 4
Tema 23: Cuales son las proposiciones no falsas I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en línea recta. III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementario e) IV y V a) I y II b) Solo I c) II, III y IV d) Solo V Tema 24: De las opciones, marca la alternativa no falsa: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. Cursillo Pi 8 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Tema 25: En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11 52 . Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. a) 23°48 8 b) 51°50 17 c) 52° d) 44° e) 53° Tema 26: Cuatro rectas que parten de un punto , ,
, y , forman los ángulos continuos 88,257 ,
150,36 y 78,0205 . Hallar en grados sexagesimales el valor del ángulo . a) 75°1 34,5 b) 57°1 34,5 c) 70°1 34,5 d) 37° 15 12 e) 73° 1 30 Tema 27: Marcar la correcta: a) El número de aristas de un icosaedro es treinta y de un dodecaedro doce. b) Si el radio y la altura de un cono son iguales respectivamente a la altura y el radio de un cilindro, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. c) El área lateral de una pirámide es igual a la mitad de la suma de su perímetro de base y su apotema. d) Si se inscribe una esfera en un hexaedro, el volumen de la esfera es aproximadamente igual a la tercera parte del volumen del hexaedro. CAPÍTULO 1 NOCIONES PRELIMINARES. PUNTOS. RECTAS. 1. Siendo entonces el valor de es: a) 18° b) 45° c) 90° 135°
1
2
d) 54° 2
e) 120° 2. La suma de dos ángulos es igual a 100°. Uno de ellos es el doble del complemento del otro. La razón entre el mayor y el menor es: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 3. Dos ángulos opuestos por el vértice miden 3
10 y 50. Entonces uno de ellos mide: a) 20° b) 30° c) 40° d) 70° e) 80° 4. La suma de un ángulo más el doble de su complemento es 140°. El ángulo mide: a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 50°
e) 60° 5. La suma de un ángulo más la cuarta parte de su suplemento es 90°. El ángulo mide: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° 6. En la siguiente figura se sabe que las rectas y son paralelas. La medida del ángulo es: a) 60° b) 70° 2
10
2
10
c) 30° d) 50° e) 40° 7. En la figura en que . El valor del ángulo es: a) 20° b) 40° c) 60° 80°
d) 80° 20°
e) 100° Cursillo Pi 9 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 8. Dados los ángulos consecutivos ,
,
. Se sabe que el doble de la medida del ángulo , es igual al triple de la medida del ángulo . Además las medidas de los ángulos y son 92° y 76° respectivamente. El ángulo mide: a) 24° b) 16° c) 54° d) 44° e) 64° 9. La mitad del complemento de un ángulo es 32°26 55 . El ángulo mide: a) 24°26 12 b) 48°52 24 c) 16°23 27 d) 64°53 48 e) 25°06 10 10. La suma de dos ángulos es 126°. Si uno de ellos es el doble del complemento del otro, entonces el mayor de los ángulo excede al menor en: a) 72° b) 18° c) 54° d) 90° e) 36° 11. En la siguiente figura se sabe que , entonces el valor del ángulo es: a) 30° 2
10
b) 50° c) 80° 20
d) 110° e) 130° 12. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos forman un ángulo de 80° si la medida de uno de ellos es igual a 3/5 de la medida del otro, el menor de los ángulos mide: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 100° 13. En la siguiente figura se sabe que . El ángulo mide: a) 25° 25°
b) 95° 120°
c) 50° d) 20° e) 85° 14. Si y son paralelas. Calcular el valor de 41°
a) 45° b) 95° c) 70° d) 89° 50°
e) Ninguna 15. El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suplemento del mismo es 500°. La semi suma del complemento y el suplemento del ángulo es: a) 44° b) 182° c) 91° d) 250° e) 130° 16. Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo: a) Son complementarios. b) Son iguales. c) Miden cada uno 45°. d) Son suplementarios. e) Miden 90°. 17. A partir de las siguientes afirmaciones: I)
Dos ángulos son adyacentes II)
Dos ángulos agudos pueden ser suplementarios III)
Si dos ángulos son suplementarios, uno de ellos es agudo y el otro es obtuso Podemos decir que son falsas: a) Solo I b) Solo I y II c) Solo III d) Todas e) Ninguna Cursillo Pi 10 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 18. A partir de las siguientes afirmaciones siguientes I)
Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide 90° II)
Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios III)
Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es recto IV)
El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una e) Ninguna 19. Dos ángulos complementarios son entre si como 7 es 53. Calcular el ángulo menor a) 12° b) 11°30 c) 10° d) 10°30 e) 79°30 20. Dos ángulos suplementarios son entre si como 3 es a 7. Calcular el ángulo menor a) 54° b) 126° c) 120° d) 135° e) 150° 21. A partir de las siguientes afirmaciones: I)
Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común. II)
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano III)
El complemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo Podemos decir que en el mismo orden en que aparecen son respectivamente: a) V, V, V b) F, F, F c) V, F, V d) V, V, F e) F, V, V 22. Dos ángulos adyacentes son entre si como 3 es a 5. El menor de los ángulos mide: a) 22°30 b) 36° c) 60° d) 67°30 e) 112°30 23. Los ángulos y obtuso y agudo respectivamente son tales que sus lados son perpendiculares. Si la razón entre ellos es 5. La medida del ángulo es: a) 150° b) 120° c) 50° d) 30° e) 120° 24. Sabiendo que los ángulos agudos ,
, tienen sus lados paralelos y dirigidos en igual sentido y que los lados del ángulo agudo son perpendiculares a los lados del ángulo y que la suma de las medidas de los ángulo y es 96°. La medida del ángulo es: a) 138° b) 96° c) 48° d) 60° e) 24° 25. Marca la alternativa correcta: a) Dos ángulos adyacentes suman 180 b) La suma de dos ángulos complementarios iguales es igual a /4 c) La suma de dos ángulos opuestos por el vértice es siempre igual a radianes d) Los ángulos alternos siempre son congruentes e) La suma de dos ángulos correspondientes mide siempre como un ángulo obtuso 26. Para convertir un ángulo dado en el sistema sexagesimal al sistema centesimal y expresarlo en minutos se debe: a) Multiplicarlo por el cociente entre 180° y 200 b) Dividirlo por el cociente entre 180°200 c) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre 200 y 180° d) Dividirlo por el producto entre el cociente de 200 y 180° y 0,01 e) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre 180° y 200 27. Un ángulo de 60° es equivalente a: a) /6 c) 3 /2 e) 2 /2 b) 200 /3 d) 400 /2 28. El ángulo de 270° corresponde a: a) 2 /3 c) 5 /3 d) 3 /5 b) 300 e) 200 Cursillo Pi 11 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 29. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2 44
es: a) 150° b) 156° c) 170° d) 176° e) 178° 30. De las afirmaciones siguientes: I)
Dos ángulos consecutivos son adyacentes. II)
Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios III)
Dos ángulos suplementarios son adyacentes IV)
Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es 2 V)
Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es 3 Son Falsas: a) Solo cuatro b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una todas 31. A partir de las siguientes proposiciones: I)
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes II)
Dos ángulos suplementarios son adyacentes III)
Dos ángulos complementarios siempre son desiguales IV)
Dos ángulos suplementarios pueden ser complementarios V)
Dos ángulos consecutivos suman siempre 180° Son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) Solo una d) Solo dos e) Solo tres 32. De las siguientes afirmaciones: I)
Dos ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes. II)
Dos ángulos suplementarios son conjugados internos o conjugados externos. III)
Dos ángulos alternos internos son correspondientes. IV)
Dos ángulos consecutivos formados por una transversal que corta a dos paralelas son suplementarios. V)
Si dos ángulos alternos externos son congruentes entonces las rectas cortadas por la transversal son paralelas. Podemos decir que: a) Ninguna es verdadera b) Son verdaderas I, III y V c) Son verdaderas I, IV y V d) Son verdaderas II, IV y V e) Son verdaderas I, II, IV y V Cursillo Pi 12 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría CAPITULO 2 TRIÁNGULOS. ELEMENTOS. 33. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entre si como 5 es a 13. Calcular el ángulo menor. a) 25° b) 30° c) 20° d) 6° e) 35° 34. En un triángulo de lados , , donde se tiene que las longitudes de los segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto y son: a)
y b)
y c) Ambas son iguales d)
y e) Ambas son iguales a /2 35. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las dimensiones de triángulos. Si con las medidas dadas era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos adicionales por su calificación, las respuestas fueron Juan 4, 5, 8 Luis 5, 9, 13 Pedro 4, 6, 10 Carlos 3, 5, 8 Entonces la maestra dio puntos adicionales a: a) Juan y Luis b) Juan y Pedro c) Luis y Pedro d) Pedro y Carlos 36. Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que . Entonces a) 3 b) 2 c) 180° d) e) 3
3 37. Sea el triángulo y la bisectriz del ángulo . Sabiendo que 90°
. Entonces es igual a: a) 90° b) /2 c) d) 90°
e) 45° 38. El ángulo exterior contiguo a uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles mide 150° 12 30 . Calcular el ángulo desigual. a) 59° 35 b) 120° 25 c) 60° 25 d) 119° 10 e) 148° 10 39. Las bisectrices de los ángulos y del triángulo forman un ángulo de 120°. Calcular el ángulo . a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 20° 40. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Sabiendo que esta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y 16 respectivamente. a) 12 b) 24 c) 25/2 d) 8 e) 3 Cursillo Pi 13 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 41. El valor de en la figura geométrica es: 30°
a) 10√2 45°
b) 20√2 20
c) 20 d) 10 e) 10√3 42. En un triángulo se tiene que la recta es paralela al lado , cortando a los lados y en los puntos y respectivamente, y que 6
, 9
,
2
. Entonces el segmento mide: a) 4
b) 8
c) 6
d) 3
e) 9
∆
son semejantes. En el : 39
y 36
. 43. Los triángulos rectángulos y ∆
∆
En el :
13
. Calcular el perímetro del . a) 30
b) 45
c) 15
d) 36
e) 90
44. Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los lados dos segmentos, uno de 28 y el otro de 17 . ¿Cuál es la longitud de los segmentos determinados en el otro lado que mide en total 60 e) 25 y 37 b) 27 y 20 c) 35 y 25 d) 22 y 37 a) 37 y 22 45. En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de y , en función de y es: a) 4
b) 4 c) 4
d) 2
/2 /2
/2
e) /4 46. Si ;
9 ;
600
;
0,08
, entonces 2
100 ) es: a) 111 b) 222 c) 120 d) 11 e) 122 47. En un triángulo el ángulo 60° y 20°. Cual será el ángulo que forma la altura y bisectriz trazadas del vértice . a) 30° b) 45° c) 20° d) 36° e) 60° 48. En un triángulo la bisectriz correspondiente al ángulo forma con la bisectriz del ángulo externo correspondiente al ángulo , 52° y la diferencia entre los ángulos y es de 12°. Calcular los tres ángulos. a) 12°, 38 , 76 52°
b) 22°, 48 , 110 c) 44°, 32 , 104 d) 8°, 68 , 104 e) 22°, 54 , 104 Cursillo Pi 14 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 49. Un poste de teléfono da una sombra de 15 , al mismo tiempo un operario de 1,80 de estatura da una sombra de 2 , entonces la altura del poste es: b) 1350
c) 1167
d) 0,027
e) 2803
a) 16
50. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico, a) √8 y √8 b) 2√2 y √2
c) √8 y 2 d) 8 y 8 e) y 51. En un triángulo ,
que: a) 23,4 y miden respectivamente: √2 3
, es un punto del segmento 36,
b) 21 24 y , y un punto del segmento 40, entonces el segmento c) 18 d) 22,6 , tales mide: e) 21,6 52. En un triángulo ,
2 y se traza la bisectriz interior . Si 4 y 5, la medida del lado , es: a) 8 b) 5 c) 4/5 d) 6 e) 9 53. En un triángulo ,
es bisectriz interior. En los triángulos y ; y son también, respectivamente, bisectrices. Si 5; 15 y 12. Cual es la medida del segmento a) 7 b) 5 c) 6 d) 3 e) 4 54. En la figura las rectas , , y son paralelas. 2;
5;
6;
8 y 2. El segmento mide: a) 7/6 b) 6/7 c) 4/3 d) 3/4 e) 3 55. En la figura adjunta: ;
y . Entonces la razón reciproca de es: a)
b)
c)
d)
e)
) ; 56. Dadas las siguientes proposiciones de congruencia. ;
;
, además ;
. Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes es: ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
a)
b)
c)
d)
e)
57. La hipotenusa de un triángulo rectángulo , se divide en cinco partes iguales, mediante cuatro segmentos paralelos a . Si 10, entonces la suma de las longitudes de esos cuatros segmentos es igual a: a) 15 b) 40 c) 20 d) 25 e) 30 Cursillo Pi 15 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 58. La razón reciproca entre, la media proporcional de 2 y 5 ,y la cuarta proporcional de 3, 6 y 5, es: a) 10 b) 10√10 c) √10 d) 10 √10 e) 1/√10 ;
0,03
;
2
30
; 4
3,4
, 59. En el grafico entonces mide: a) 0,6
b) 20
c) 9 d) 800
e) 0,02
60. La longitud del lado de un cuadrado, inscripto en un triángulo rectángulo , recto en , donde uno de los vértices del cuadrado es y el vértice opuesto sobre la hipotenusa del triángulo, cuyos catetos miden 12
y 8
, es: a) 23,04 b) 16 c) 6 d) 4,8 e) 13,05 61. En un triángulo rectángulo de lados 6 , 8 y 10, la altura correspondiente al lado de longitud 10 es: b) 7 a) 4,8 c) 24 d) 6,4 e) 3,6 62. Una columna de 12 de altura proyecta a cierta hora del día una sombra de , cual será la sombra proyectada a la misma hora por un poste cuya longitud sea la tercera parte de la longitud de la columna a) 3 b) 3 c) 3/ d) 6,4 e) /3 63. En la figura 5;
12;
y ;
, entonces la medida de es: a)
b)
c)
d)
,
√
√
,
√ ,
√ ,
e) 5/12 64. Marca la proposición correcta: a) Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con dos lados y un ángulo del otro. b) El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de uno de sus lados. c) Dos triángulos semejantes pueden ser congruentes. d) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus ángulos. e) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual. 65. En un triángulo , el lado 27 y se considera el punto como baricentro. Se traza el segmento que pasa por el punto y paralelo al lado del triángulo (con los extremos sobre el lado y el punto sobre el lado . La medida del segmento , es: a) 16 b) 18 c) 15/5 d) 13/5 e) 12/5 Cursillo Pi 16 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 66. En la figura 90°. Además segmento , en metros es: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 67. Dada la serie de razones iguales: 15
donde ;
16
)
;
17
. La longitud del 22, entonces los valores de ; ; ; aumentados en dos unidades, son respectivamente: a) 12 ; 6 ; 22 b) 8,47 ; 5,38 ; 21,41 c) 12 ; 8 ; 16 d) 14 ; 6 ; 20 e) 12 ; 8 ; 20 68. Teniendo en cuenta el dibujo, donde 10 y 5, el valor de es: a)
b)
c)
d)
e)
10√3 9√3 12√3 11√3 8√3 90°
;
y 60°. Entonces: 69. En la figura ∆
∆
a) y son escalenos. ∆
∆
b) y son congruentes. ∆
∆
c) y son equiláteros. ∆
∆
d) y son congruentes. ∆
∆
e) y son semejantes. CAPITULO 3 POLÍGONOS. CUADRILÁTEROS. 70. Cada ángulo de un pentágono regular mide: a) 36° b) 180° c) 72° d) 54° e) 216° 71. La suma de los ángulos interiores del polígono dibujado en la siguiente figura es: a) 360° b) 720° c) 1080° d) 540° e) 600° Cursillo Pi 17 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 72. De las siguientes afirmaciones: I)
Cualquiera de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son suplementarios II)
Cualquiera de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios III)
Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares entre si y se cruzan en su punto medio, entonces ese paralelogramo es un rombo. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Solo I y II son verdaderas c) Solo II y III son verdaderas d) Solo II es verdadera e) Solo III es verdadera. 73. En la figura se tiene un rectángulo cuyos lados miden 8
y 6
respectivamente. Los puntos , , y son puntos medios de los lados. El perímetro del cuadrilátero es: a) 20
b) 25
c) 32
d) 36
e) 52
74. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es 170, entonces: I)
El polígono tiene 167 vértices II)
El polígono tiene 17 lados. III)
Cada ángulo interior mide 162° IV)
La suma de los ángulos interiores es igual a 162° Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Solo tres c) Solo dos d) Solo una e) Ninguna 75. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados de dos polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice 10 y 12 diagonales respectivamente, entonces el nuevo polígono tendrá en total: a) 25 diagonales b) 22 diagonales c) 275 diagonales d) 350 diagonales e) 250 diagonales 76. Si y representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de y lados respectivamente, entonces es igual a: a)
3 b)
c)
6 d)
3 e)
6 77. Hallar los ángulos del paralelogramo , sabiendo que los ángulos que la diagonal forma con los lados y miden respectivamente 42°18 36 y 64°35 48 a) 106° 54 24 ; 73°05 36 b) 96°54 24 ; 83°5 36 c) 132°3 10 ; 47°56 50 d) 70°70 10 ; 108°49 50 e) 105°; 95°85 75 Cursillo Pi 18 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 78. Hallar el perímetro de un hexágono, sabiendo que si se considera una de las diagonales queda dividido en dos trapecios isósceles congruentes, tales que un lado mide el triple de la cuarta parte de la base menor y que la diferencia entre ambos es 5. a) 120 b) 80 c) 50 d) 110 e) 100 79. Sabiendo que la medida de la base media de un trapecio es 9 y que una base mide el doble que la otra, calcular las medidas de ambas. a) 5 y 10 b) 6 y 12 c) 7 y 13 d) 4 y 12 e) 8 y 10 , demostrar que 80. Sean un trapecio y su base media. Sabiendo que 2
,
en función de es: a) 3/2 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 7/3 81. Hallar el perímetro de un pentágono . Sabiendo que si se considera la diagonal quedan determinados un cuadrado y un triángulo isósceles y que, en este último 4
3
, 1 a) 20 b) 16 c) 17 d) 18 82. Determinar la medida de un ángulo interior de un octógono regular. a) 140° b) 145° c) 165° d) 130° 83. La figura adjunta es un cuadrilátero no convexo (cóncavo). Usando e) 22
e) 135° alguna propiedad de triángulos. Demostrar que: ; : bisectriz de ; : bisectriz de 84. La suma de los ángulos interiores de un trapecio es: a) 180° b) 90° c) 360° d) 450° e) 400° 85. Uno de los ángulos de un trapecio isósceles es 3/7 del otro. El mayor de los ángulos mide entonces: a) 54° b) 126° c) 360° d) 90° e) 252° 86. El número de lados de un polígono sabiendo que la suma de los ángulos interiores es igual a 1080° es: a) 5 lados b) 6 lados c) 7 lados d) 9 lados e) 8 lados 87. El ángulo interno de un polígono regular de 170 diagonales es igual a: a) 162° b) 170° c) 80° d) 135° e) 81° 88. ¿Cuánto es la razón entre la medida de un ángulo interior de un pentágono regular y la medida de un ángulo interior de un decágono regular? a) 1/2 b) 2/3 c) 4/3 d) 1/4 e) 3/4 89. Teniendo en cuenta la figura del trapecio rectangular calcular su perímetro. 16
a) 52 b) 62 13
c) 72 20
d) 82 e) 42 Cursillo Pi 19 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría CAPITULO 4 SEGMENTOS PROPORCIONALES. 90. Hallar las razones directas e inversas de los segmentos y . Sabiendo que 18 y 24 a) 3/4 y 4/3 b) 18/24 y 24/18 c) 1/2 y 2 d) 4/3 y 3/4 e) y 91. Hallar las razones directas e inversas de los segmentos y . Sabiendo que 9
, y 8
a) 9/8 y 8/9 b) 8/9 y 9/8 c) 18/16 y 16/18 d) y e) y 92. Dadas las siguientes proposiciones I)
Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno II)
Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes III)
Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros lados en segmentos proporcionales IV)
Las alturas correspondientes a los lados homólogos en dos triángulos semejantes son proporcionales V)
Si se tiene dos cantidades y , además se cumple , entonces se denomina cuarta proporcional. En ese mismo orden son: a) V, F, F, F, F b) V, V, V, V, V c) F, V, V, V, V d) V, V, V, V, F e) V, F, V, V, F 93. Dada la serie de razones iguales donde )
22, entonces los valores de ; ; aumentados en dos unidades, son respectivamente: a) 12; 6; 22 b) 8,47; 5,38 ; 21,41 c) 12; 8 ; 16 d) 14; 6 ; 20 e) 12; 8 ; 20 94. La razón entre la media proporcional de 2 y 5 y la cuarta proporcional de 3 , 6 y 5 es: a) 10 b) 10√10 c) √10 d) 10 √10 e) 1/√10 95. A partir de las afirmaciones siguientes: I)
Los lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos determinados por la bisectriz II)
Si una recta determina sobre dos de los lados de un triángulo segmentos proporcionales, entonces la recta es paralela al tercer lado. III)
La media proporcional de y es igual a la raíz cuadrada del producto de ambas. IV)
Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen sus catetos proporcionales. V)
Si la razón entre y es 3/4, entonces 3 y 4 Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Solo una c) Solo dos d) Solo tres e) Ninguna Cursillo Pi 20 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 96. En un triángulo rectángulo de lados 6 , 8 y 10, la altura correspondiente al lado de longitud 10 es: a) 4,8 b) 7 c) 2,4 d) 6,4 e) 3,6 97. La expresión que representa es tercera proporcional de y , correspondiente a: a)
b)
c)
d)
e)
98. La expresión que representa es tercera proporcional de y corresponde a: a)
b)
c)
d)
e)
CAPITULO 5 CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO. 99. Dadas dos circunferencias concéntricas cuyos radios se diferencian en 2
. Calcular la diferencia entre las longitudes de los dos arcos correspondientes al mismo ángulo central de 36° e)
b)
d)
a)
c)
100. Por un punto exterior a un circulo de centro y radio igual a 5
, se traza la recta 9
y 7. Calcular la distancia secante tal que a) 13
b) 12
c) 10
d) 15
e) 14
101. Teniendo en cuenta la figura, donde es la distancia de al centro de la circunferencia de radio , entonces es igual a: a) b) c) ) d) e) 102. En una circunferencia dada se traza un diámetro y una cuerda paralela a él y correspondiente al contorno de un polígono regular de 216 lados. Cual es el valor del ángulo formado por esa cuerda y la que resulta de unir uno de sus extremos con el extremo más distante del citado diámetro a) 44°35 b) 178°20 c) 1°40 d) 89°10 e) 100°10 103. Un arco de circunferencia mide 250° y su longitud es de 150 . El numero entero más próximo a la medida del radio es: a) 2 b) 10 c) 34 d) 17 e) 69 104. El arco comprendido entre los lados de un ángulo inscripto en una circunferencia mide lo mismo que el ángulo exterior respectivo al ángulo no congruente de un triángulo isósceles cuyos otros ángulos miden cada uno /4
7°. La mitad del suplemento del ángulo central cuyos lados están comprendidos entre ese mismo arco corresponde a: a) 76° b) 52° c) 38° d) 26° e) 104° Cursillo Pi 21 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 105. El perímetro de la parte reyada de la figura es: a) 6
1 b) 15 c) 2
1
1
d) 7
1 e) 9 /2 106. Dada la siguiente figura, tenemos que las circunferencias son tangentes, y son los centros y y , son tangentes en y , respectivamente. Sabiendo que los radios son 9 y 6, el cuádruplo de la suma de y es: a) 12 b) 25,75 c) 79 d) 103 e) 100,75 107. En la figura cada una de las circunferencias con centros en , y , siendo 10 , 14 y 18 , miden respectivamente en metros: a) 3 ; 7 ; 11 b) 3 ; 11 ; 7 c) 8 ; 11 ; 3 d) 11 ; 3 ; 8 e) 7 ; 3 ; 11 108. Los diámetros de las dos ruedas de una bicicleta miden 40
y 20
. La primera dio 500 vueltas al recorrer cierta distancia. Entonces el número de vueltas que dio la segunda rueda es: a) 4725 b) 1000 c) 1250 d) 600 e) 1025 109. Entre las afirmaciones siguientes: I) Si una recta bisecta al arco menor de una cuerda, también bisecta al arco mayor. II) Una cuerda de un círculo siempre es diámetro. III) Si un triángulo está inscripto en un círculo, con un lado como diámetro, entonces el triángulo es rectángulo. IV) La región de plano comprendido entre dos cias. Concéntricas se llama sector circular. V) La intersección de una recta y un círculo puede ser vacío. VI) El segmento rectilíneo que une dos puntos de un círculo siempre es una cuerda. Las verdaderas son: a) I y V b) III y V c) II y VI d) I y II e) III , V y VI 110. De las afirmaciones siguientes: I) Si dos tangentes a una cia son paralelas, entonces sus puntos de tangencia determinan un diámetro. II) Si un triángulo está inscripto en un circulo y los arcos interceptados tienen medidas de 200°, 90° y 70°, entonces el triángulo es obtusángulo. III) Si se duplica el radio de una circunferencia, entonces el diámetro se duplica. IV) Toda circunferencia contiene al menos dos arcos diferentes. V) Toda cuerda es subconjunto de una secante. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Solamente tres son verdaderas c) Ninguna son verdaderas d) Solamente dos son verdaderas e) Solamente una es verdadera. Cursillo Pi 22 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 111. Determinar la posición relativa de dos circunferencias de longitudes 175
y 94,2
. Siendo las distancia entre sus centros 22
. a) Tangentes b) Tangentes interiores c) Secantes d) Exteriores e) Concéntricas 112. Una circunferencia tangente interiormente pasa por el centro de otra cuya longitud es de 31,40
. La distancia entre los centros en es: a) 5
b) 4,5
c) 1,5
d) 2,5
e) 3
113. La distancia entre los centros de dos cias tangentes exteriormente, sabiendo que las longitudes respectivas miden 12,56 y 50,24 es: a) 12 b) 14 c) 13 d) 8 e) 10 114. La distancia que separa a dos cias concéntricas cuyas longitudes respectivas miden 18,84
y 45,96
es: a) 0,6 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,7 e) 0,3 115. Hallar el valor de un ángulo inscripto en la cia siendo de 64° 37 14 y 136° 56 09 los arcos subtendidos por los lados de aquel a) 158° 26 37 b) 79° 13 18,5 c) 56° 9 d) 254° 36 e) 32 18 37 116. El valor de un ángulo inscripto en un circulo cuyos lados corresponden a polígonos regulares de 12 lados y 18 lados a) 155° b) 310° c) 103° 20 d) 77° 30 e) 205° 117. Dos ángulos exteriores consecutivos de un cuadrilátero inscriptible en un circulo vale 97° 14 y 106° 8 40 . Calcular los ángulos del cuadrilátero. a) 82° 46 ; 106° 08 40 ; 97° 14 ; 73° 51 20 b) 92° 46 ; 76°08 40 ; 107° 14 ; 83° 51 20 c) 87° 46 ; 91° 08 40 ; 112° 14 ; 88° 51 20 d) 72° 46 ; 135° 08 40 ; 122° 14 ; 98°51 20 e) 62° 46 ; 165° 08 40 ; 112° 14 ; 88° 51 20 118. Hallar el valor del ángulo siendo a) 44° b) 26° 66°
c) 33° d) 22° e) 16° Cursillo Pi 23 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría CAPITULO 6 ÁREA DE FIGURAS PLANAS 119. El lado del cuadrado mide “ ” y los puntos medios de los lados respectivamente son y , entonces el área de la región sombreada es: a) 2 d) 120.
a)
b)
c)
d)
e)
121.
a)
b) c) e) y El área del paralelogramo 10
12,3
16
8
21
El área de un círculo es 25
100
b) 20
, sabiendo que el área de la parte sombreada es 2
es: 0
. Entonces el perímetro del cuadrado circunscripto es: c) 40
d) 10
e) 20√2
122. Sabiendo que un hexágono regular inscripto en una circunferencia tiene área √
, entonces la longitud de la circunferencia es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 10 123. El área de un triángulo es . Si su base es 2 , entonces la altura correspondiente a dicha base mide: a) /2 b) c) 2 d) /4 e) 4 124. El pentágono de la figura está dividido en un cuadrado de 64
y en un triángulo de 24
. Entonces mide: a) 3
b) 8
c) 4,5
d) 6
e) 12
125. El área de la figura en términos de , y es: a) )
b) c) d) e) Cursillo Pi )
45°
)
)
24 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 126. Hallar el lado de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de 0,25 de lado. a) 38
b) 48
c) 40
d) 28
e) 24
127. Un trapecio isósceles tiene 12 de altura y 84,84 de perímetro. Si la diferencia de las bases es de 16 . Cual será el área de dicho trapecio. a) 350
b) 400
c) 320
d) 420
e) 336
128. Calcular el área de un sector circular de 14 de radio equivalente a un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco de aquel. a) 49
b) 29
c) 52
d) 46
e) 36
129. Se tiene un cuadrado de 5
de lado. ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben hacerse para obtener rectángulos iguales de 5
de área? a) No cortar b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 130. Al aumentar en 3 el largo de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área queda: a) Aumentada en 3 b) Disminuida en 3 c) Invariable d) Aumentada en 3 1
3) e) Disminuida en 3
1) 3
131. El área de la región sombreada es: a) 16 b) 8 4√2
c) 4 d) 2 e) 132. Las diagonales de un rombo se diferencian en 17 . Calcular su área sabiendo que excede en 4
al triple del área de un cuadrado de diagonal igual a la menor diagonal del rombo a) 96
b) 100
c) 101
d) 98
e) 110
133. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos y su área es igual a 24
. Calcular el perímetro. a) 20
b) 25
c) 24
d) 18
e) 21
134. Si la suma de las áreas de dos círculos es 136
y la suma de las longitudes de sus circunferencias es de 32
, sus radios miden a) 4 y 8 b) 5 y 10 c) 6 y 10 d) 7 y 14 e) 2 y 4 135. Las bases de un trapecio isósceles miden 88
y 24
. El área es igual a 1848
. Calcular la diagonal. a) 65
b) 60
c) 75
d) 80
e) 55
136. El área de un rectángulo de 46
de perímetro inscripto en un circulo de 8,5 de radio es: a) 100
b) 120
c) 130
d) 140
e) 110
137. La superficie de un triángulo es de 3750
y dos de sus lados miden 75 y 125 . Calcular la longitud del tercer lado. a) 110 b) 112 c) 115 d) 120 e) 100 Cursillo Pi 25 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 138. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1
a)
b)
c)
2
2
2
2
d)
e) 1
. ¿Cuál es la región sombreada? 2
CAPITULO 7 POLÍGONOS INSCRIPTOS Y CIRCUNSCRIPTOS 139. La longitud de una cia en , que está inscripta en un triángulo equilátero cuyos lados miden 10√3 es: a) 62,6 c) 56,73 d) 81,14 e) 62,83 b) 60 140. Dada una cia de radio 7,5
. El perímetro del cuadrado circunscripto a ella es: a) 60
b) 40
c) 30
d) 15
e) 15√2
141. El perímetro de un hexágono regular cuya apotema mide 7√3, es: a) 80 b) 84 e) 60 c) 35√3 d) 102√3 142. Las longitudes de las cias inscriptas y circunscriptas a un pentágono regular, miden, respectivamente 75,36 y 93,13 . El perímetro del pentágono regular es: a) 83,14 b) 77,45 c) 91,28 d) 87,14 e) 93,14 143. Calcular la longitud de la circunferencia circunscripta a un rectángulo de 5 de base y 3 de altura. a) 28,20 b) 10 c) 18,30 d) 16,30 e) 12,80 144. Calcular el área del circulo inscripto en un triángulo equilátero de 30
de superficie. a) 82,1
b) 42,51
c) 72,51
d) 62,1
e) 52,5
CAPÍTULO 8 POLIEDROS – CUERPOS REDONDOS 145. Si el número que representa el volumen de un cubo es el número que indica el área total del mismo, entonces la diagonal del cubo mide: a) 6 c) 6, 3 d) 8, 3 e) 6√6 b) 6√2 146. Si y son los volúmenes de dos paralelepípedos rectángulos, y el perímetro es tal que sus dimensiones son la mitad de las del segundo, entonces la relación entre los volúmenes es: a)
b)
c)
d)
e)
8 147. Un círculo es equivalente a la superficie total de un cilindro cuya altura es de 21
y cuyo radio de base es 6
. El diámetro del círculo mide entonces: a) 324 b) 18 c) 9 d) 36 e) 6 148. La razón entre los radios de dos esferas es de 1/3, entonces la razón entre sus áreas es de: a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9 d) 36 e) 1/8 Cursillo Pi 26 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 149. El volumen de un cubo es de 125
a) 15 b) 30 150. Un cubo tiene área total igual a 72
, entonces la suma de sus aristas es igual a: c) 45 d) 60 e) 70 . Su diagonal mide: c) 6 b) √6 a) 2√6 d) √12 e) 2√24 151. Una pirámide regular de base hexagonal es tal que su altura mide 8
y su arista de base mide 2√3
. El volumen de esa pirámide es en b) 36√3 c) 48√3 d) 72√3 e) 144√3 a) 24√3 152. Dos cilindros, uno de altura 4 y el otro de altura 6, tienen como perímetro de base 6 y 4 respectivamente. Si es el volumen del primero y es el volumen del segundo, entonces: a)
b)
2 c)
3 d) 2
3 e) 2
3 153. En una esfera, el volumen y el área de la superficie tienen el mismo valor . Determinar el valor de: a) 2 b) 18 c) 26 d) 36 e) 3 154. Si se duplica el radio de una esfera, su volumen queda: a) Multiplicado por dos b) Multiplicado por 4 c) Multiplicado por 8 d) Inalterado e) Reducido a la mitad 155. La razón entre las áreas de dos esferas es de 25/64. La razón entre sus volúmenes es: a) 3/4 b) 125/512 c) 12/55 d) 1/3 e) 1/4 156. Se desea construir un tanque para almacenar combustible. El tanque debe tener la forma de un cilindro recto y circular con semiesferas acopladas en cada uno de los extremos. Para evitar la corrosión, es necesario revestir el interior del con una determinada pintura. Se necesita 1 litro de pintura para revestir 1
. Si la longitud del cilindro es 5 y 1 de diámetro, el número mínimo de latas de pintura que deberán comprarse es de: a) 15 b) 20 c) 16 d) 18 e) 19 157. Un plano intercepta una esfera según un círculo de diámetro . Si es el centro de la mide 90° y el radio de la esfera 12
. El volumen del cono de base esfera, el ángulo que se forma es de: a) 9
c) 48√2
d) 144√2
e) 1304
b) 36√2
158. En un tubo cilíndrico de 20
de altura y 2
de radio de base, se cargan esferas iguales tangentes al mismo, y de modo que también queden tangentes entre ellas. El volumen interior del cilindro, pero exterior a las esferas es entonces de: e) 80
3
3
3
3
c)
a)
d)
b)
159. La suma de todas las aristas de un cubo es de 24
cubo es de: a)
3
b)
3
3
c)
. El volumen de la esfera inscripta en el d)
3
e)
3
160. Si es el volumen de una esfera inscripta en un cubo de volumen , entonces la razón / es igual a: a) /9 b) /6 c) /4 d) /3 e) 2/3 Cursillo Pi 27 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 161. Una esfera está inscripta en un cubo y otra esfera está circunscripta al mismo cubo. La razón entre los volúmenes de y es de: a) √3/9 b) 2√3 c) 3√3/2 d) 3√3 e) 4√3/3 162. Un octaedro regular esta inscripto en una esfera cuyo radio mide 3√2 a) 36 b) 216 d) 108√2 e) 72√2 c) 216√2 163. Un cilindro recto y circular esta circunscripto a una esfera de radio . Entonces la razón entre las áreas de la superficie esférica y el área total del cilindro es de: a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 4/3 164. Una esfera de 6
de diámetro está inscripta en un cono circular recto de 8
de altura. Entonces el área de la base del cono mide: a) 54
b) 48
c) 4
d) 40
e) 36
165. El área de un paralelepípedo rectángulo es 62
. Las dimensiones de base miden 5
y 2
. La diagonal del paralelepípedo mide: a) 38
b) 42
e) 19 c) √38
d) √42 Cursillo Pi 28 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría TRIGONOMETRÍA CAPÍTULO 1 CONVESIÓN DE UNIDADES 1. Reducir al sistema sexagesimal 14 12 47 a) 12°47 30 b) 12° c) 10°42 44 d) 11°24 44 2. Reducir 2/3 al sistema sexagesimal a) 135° b) 120° c) 150° d) 180° 3. Calcular en radianes, el ángulo exterior del triángulo equilátero. c)
b)
a)
d)
4. Calcular en radianes, el ángulo interior del pentágono regular. b)
c)
a)
d)
5. Calcular en el sistema sexagesimal el ángulo del triángulo e) 12°24 44 e) 90° , siendo e) 2
e)
70° y . a) 60° c) 90° d) 70° e) 45° b) 30° 6. Calcular la longitud de un arco de 28 correspondiente a una circunferencia de 125
de radio 22/7 a) 59,45
b) 55,54
c) 55,14
d) 54,95
e) 50,45
7. Calcular la longitud del arco igual a /2 radianes perteneciente a la circunferencia de 2
de radio. a) 2
b) 3
c) 3 ⁄2
d) 4
e)
8. La suma de dos ángulos es 45° y la diferencia 20 . Calcular dichos grados en grados sexagesimal y en grados centesimales. a) 58°30 y 40°30 ; 65 y 50 b) 31° 30 y 13°30 ; 35 y 15 c) 51°30 y 33°30 ; 55 y 35 d) 21°30 y 3° 30 ; 28 y 30 e) 41°30 y 23°30 ; 48 y 28 9. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de 1,25 de radio sabiendo que su valor es de 28 a) 0,45 b) 0,35 c) 0,55 d) 0,65 e) 0,25 10. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de 50
de radio sabiendo que su valor es de 63° 22/7 a) 55
b) 65
c) 45
d) 35
e) 75
CAPÍTULO 2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 11. Reducir a su forma más simple: sen 140° a) sen 40° b) sen 40° c) sen 50° 12. Reducir a su forma más simple: cos 222° a) cos 42° b) cos 48° c)
cos 48° 13. Reducir a su forma más simple: tg 110° a) tg 20° b) tg 20° c) tg 70° Cursillo Pi 29 d)
sen 50° d) cos 84° d)
tg 70° Ing. Raúl Martínez e) sen 60° e)
cos 42° e) tg 30° Geometría y Trigonometría 14. Reducir a su forma más simple: cotg 200° a) cotg 20° b) cotg 20° c) cotg 70° d) cotg 70° e) cotg 30° 15. Reducir a su forma más simple: sec 130° a) sec 50° b) sec 50° c) cotg 70° d) sec 60° e) sec 45° 16. Reducir a su forma más simple: cosec 212° a) cosec 12° b) cosec 32° c)
cosec 12° d) cosec 32° e) cosec 22° 17. Reducir a su forma más simple: sen 1940° a) sen 30° b) sen 40° c)
sen 40° d) sen 50° e) sen 50° 18. Reducir a su forma más simple: tg 2720) a) tg 70° b) tg 70° c) tg 20° d) tg 20° e) tg 80° ) cos 450°
) sen
19. Reducir a su forma más simple: 2 sen 720°
1080°) a) 3 sen b) 2 cos c) 2 sen d) tg e) cos .
20. Reducir a su forma más simple: ).
)
a)
cotg b) tg c) sec d) tg e) cos 21. Reducir a su forma más simple: cos
1863°23 29 a) cos 63°30 29 b) cos 63°29 31
c)
cos 73°30 29 d) cos 63°23 29 e) cos 73°30 29 22. Reducir a su forma más simple: tg 1640°23 50 a)
tg 21°23 50 b) tg 20°23 50 c)
tg 10°23 50 d) tg 21°36 10 e) tg 20°23 50 23. Siendo cos
40⁄41 y el arco del cuarto cuadrante, calcular tg a) 9/40 b) 9/40 c) 9/41 d) 9/41 e) 40/9 CAPÍTULO 3 FUNCIONES DEL 2° GRUPO 24. Siendo un arco del 2° cuadrante y sen
12⁄13. Calcular sen 2 y cos 2 120
119
119
169
119
c)
y d) y e)
y y 169 a) y b) 169
169
169
20
25. Siendo un arco del 1 cuadrante y tg 2
√3. Calcular sen . a) 1/4 b) 1/3 c) 1/5 d) 1/2 e) 2 26. Siendo tg
a) 8/17 3
calcular sec . 5
b) 17/4 27. Calcular cos 2 siendo cos
a) 1 28. Sabiendo que tg
a) 3 Cursillo Pi b) 2 2
2
c) 17/2 d) 17/6 e) 17/8 c)
d)
2 e) 3 d)
3 e)
0,7 √3⁄3. Calcular el valor de tg 2 b) √3/3 c)
√3/3 30 Ing. Raúl Martínez √3 Geometría y Trigonometría 29. Transformar en producto sen 45°
a) cos 15° b) sen 15° 30. Transformar en producto sen 50°
sen 15° c) cotg 15° cos 50° d) sec 15° e) tg 15° a) √2 cos 10° b) √2 sen 5° c) √2 sec 10° 31. Transformar en producto cos 60° sen 60° d) √2 cos 5° e) cos 5° a) √2 sen 15° b) √2 cos 15° 32. Transformar en producto cos 10°)
d) sen 15° e) cos 15° c) √2 tg 15° cos 130° d) cotg 70° e) sec 70° b) √3 tg 70° c) √3 sen 70° a) √3 cos 70° 33. Siendo y arcos del tercer cuadrante, cosec
17/8 y sen
24/25. Calcular ). cos
297
287
297
425
c)
e)
d)
b)
a)
526
33/65 y cos
13/65 34. Siendo los arcos del 3 cuadrante, y del 4 cuadrante, sen
). calcular tg
a) 171/130 b) 171/120 c) 171/150 d) 171/140 e) 171/110 35. Calcular tg 15° sin hacer uso de tabla ni máquina. a) 3 √3 b) 2 √3 c) 4 √3 d) 5 √3 e) 1
CAPÍTULO 4 36. Si , y son enteros cualesquiera y , la opción correcta es: a) sen
/ b) cos
/ c) cosec
/ d) cotg
/ e) sec
/ 37. Cuantos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora a) 3 /5 b) 5 /3 c) 5 /6 d) 6 /5 e) 3 /2 )·
38. La expresión a)
b)
c)
d)
e)
)
es equivalente a: cos cotg 1/ sec
90°) ) sen
cos
90°) 7/3, entonces el doble de 39. Si la cotangente es negativa, sec
a)
√3 √
b)
√
c)
√
d)
√
)
es: e)
√
40. Si es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a 5/3, entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a: a) 5/36 b) 36/5 c) 4/5 d) 32/15 e) 4/5 Cursillo Pi 31 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 41. A partir de las siguientes proposiciones: I)
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento II)
La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa III)
La función cosecante es la reciproca de la función secante IV)
El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1. Podemos decir que son verdaderas: a) Todas b) Ninguna c) II y III d) I y II e) III y IV 42. Marca solo la respuesta correcta a) La función seno puede tener 6/5 de valor. b) El signo de la cofunción del seno del 2° cuadrante es negativo. c) sen
cos
1 d) Tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo. e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo. 43. La función seno es función a) Inversa de la cosecante b) Reciproca de la secante c) Inversa del coseno d) Reciproca de la cosecante e) Inversa de la secante 44. Al cociente ente el radio vector y la abscisa se denomina a) Seno b) Coseno c) Tangente d) Secante e) Cosecante 45. Al hacer girar una semirecta alrededor del origen de coordenadas hasta 3, 4) en sentido antihorario, se puede afirmar que: a) El ángulo es negativo b) La tangente del ángulo es 4/3 c) El ángulo es positivo y está en el 2° cuadrante d) La quinta parte del seno del ángulo es 4 e) El radio vector correspondiente tiene signo negativo 46. Si es un ángulo positivo menor o igual a y además: a) tg
b) cosec
c) tg
d) cotg
0 y cos
0 y sec
0 y sen
0 y cosec
0, entonces 0
0, entonces 0
0, entonces 0, entonces e) sen
0 y cos
0, entonces 0
47. Cuando se genera un ángulo negativo cuyo extremo libre tiene coordenadas ángulo está en el: a) Limite entre el 1 cuadrante y el 2° cuadrante b) 4° cuadrante c) 1 cuadrante d) 3 cuadrante e) 2° cuadrante Cursillo Pi 32 Ing. Raúl Martínez ,
), dicho Geometría y Trigonometría CAPÍTULO 5 ECUACIONES – IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 48. Si es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a 1/2, entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su recíproca es: a)
√
√
b)
24) cos 3
c) 10,48° 49. El valor de en la expresión sen 2
a) 12° b) 10°48 sen2
50. El valor de la expresión tg
a) 1 √
c)
√
d)
12) es: d) 24° e)
√
e) 54° 2
es: cos2
b) 1 2 c)
d) 2 tg
e) 1/ cos
es: 51. La función trigonométrica equivalente a a) cotg b) sec c) tg d) cosec e) sen 52. Sea la función g )
cos
sec
sen
cosec
tg
cotg para todo valor distinto de /2 con ∈ . Entonces el valor de g ⁄6) a) 0 b) 1 √
c)
√
√
d)
e)
√
√
√
es igual a: 53. La expresión a) 2 cos b) 2 sec c) 1/ sec d) 2/ 1 sen ) cos e) 1 54. Si cos
1/3 y la cotg
a)
√
b)
0, entonces el valor de la cosec es: √
√
c)
√
d)
55. Se sabe que es un ángulo del tercer cuadrante y que cotg
e)
√
4/3, entonces el valor de es: a) 2/5 b)
7/5 3
56. Dada la expresión 4 sen
a) 240° b) 225° c) 5/7 sen2
cos2
sen
d)
1/5 , el valor de /2, tal que 5 ⁄2
c) 480° e) 1 3 es: d) 195° e) 370° d) tg
e) tg ).
57. La expresión a)
1 Cursillo Pi ).
b)
es: )
tg c) cotg 33 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 58. Reduciendo a una expresión más simple ) cos 180°
) cos 180°
) cos 360°
) cos
sen 90°
180°). Resulta: a) Infinito b) 0 c) 2 cos d) 3 cos e) cos 59. El duplo del producto del seno de un ángulo y del coseno del mismo ángulo corresponde al: a) Duplo del seno del ángulo b) Seno de la mitad del ángulo c) Seno del triplo del ángulo d) Triplo del seno del ángulo e) Seno del duplo del ángulo 60. Si sen
12/13, del primer cuadrante, cos 2
1/169 es igual a: a) 142/169 b) 118/169 c) 169/118 d) 120/169 e) 169/120 61. El valor de tal que ⁄2
3 /2 que satisface la relación ) sec
) 5 sen 200 equivale a: 2 sen ⁄2
a) 45° ; 135° b) 135° ; 225° c) 225° ; 315° d) 50 ; 225° e) /4 62. La expresión sec 1 tg ). 1 tg ) equivale a: a) 2 cos b) cos c) 0 d) 1 e) 2 CAPÍTULO 6 PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 63. ¿Cuántas baldosas de forma octogonal (octógono regular) de 37 de apotema se necesitan para embaldosar un pasaje peatonal de 551,3 de largo por 8 de ancho? a) 9723 b) 8923 c) 5723 d) 6823 e) 9523 64. Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de un pentágono regular inscripto en una cia de radio . a) 0,591 b) 0,819 c) 0,951 d) 0,851 e) 0,591 65. Un avión vuela rumbo al este con una velocidad de 300
/ , se encuentra con un viento del norte con una velocidad de 60
/ . Hallar la velocidad resultante y el rumbo verdadero del avión. a) 500,94 ;
78°41 24
b) 305,94 ;
11°10
c) 305,94 ;
78°41 24
d) 500,94 ;
11°10
e) 305,94 ;
78°41 24
66. Para alcanzar la cima de un muro de 8 de altura se utiliza una escalera de 10 . Si la escalera se extiende 50
más allá del muro. Determina su inclinación respecto a la horizontal: a) 32°30 13 b) 37°21 40 c) 77°21 47 d) 67°21 47 e) 57°21 47 67. Si un jet sube un ángulo de 15° con una velocidad constante de 900 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a una altura de 8 millas? a) 3 3,64 b) 1 3,64 c) 4 2,64 d) 2 3,64 e) 5 3,64 Cursillo Pi 34 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 68. El copiloto del aeroplano de la figura; que cuela a una altura de 8000 sobre el nivel del océano descubre una isla. Calcula la anchura de la isla. a) 6821,70 b) 5821,70 27°
39°
c) 7821,70 8000
d) 8821,7 e) 4821,7 69. Un observador de aves mira el nido de un águila en el claro de un risco. ¿Qué distancia hay entre el nido del águila y la cima del risco? a) 9,35 b) 7,35 c) 6,35 47°
34°
d) 8,35 e) 5,35 23,5
70. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situado a 8 del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte suprior, con un ángulo de elevación de 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45°. Entonces la altura del edificio de enfrente es: a) 12,6 b) 13,6 c) 11,6 d) 10,6 e) 9,6 PROBLEMAS SOBRE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS 71. Un incendio es detectado por dos puestos de observación de las estaciones de bomberos y que están separados 20millas. Si la estación reporta el incendio en un ángulo igual a 53° y la estación reporta el incendio en un ángulo igual a 28°30 , ¿A qué distancia está el incendio de la estación ? , ¿De la estación ? a) 11,65 millas ; 15,45 millas b) 6,65 millas ; 16,45 millas c) 9,65 millas ; 16,45 millas d) 11,65 millas ; 17,45 millas e) 7,65 millas ; 12,65 millas 72. Encuentra la altura del globo con la información dada a) 345,76
b) 352,72
c) 367,98
d) 345,87
44°
37°10
e) 325,94
100
73. A mediodía dos aviones parten de San Francisco a buscar un avión que cayó al océano. El avión viaja al oeste a 400
/ y el avión al noroeste a 500
/ . A las 2
el avión observa al avión perdido y se comunica con el avión para ayuda para el rescate. ¿A qué distancia está el avión del avión en ese momento? a) 145,18
b) 167,83
c) 162,89
d) 168,17
e) 174,56
Cursillo Pi 35 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 74. Calcula el ángulo que forman dos paredes, sabiendo que dos puntos situados cada uno de ellos en la intersección en cada una de las paredes con el piso, determina una distancia de 3,20 y distan respectivamente 1,90 y 1,70 de la arista, intersección de las dos paredes. a) 136°54 46 b) 135°35 24 c) 120°28 10 d) 139°34 54 e) 125°22 36 75. Una casa mide 25
de adelante hacia atrás. El techo mide 30
desde la parte delantera de la casa hasta la punto del techo y 18
desde la punta del techo hasta la parte trasera de la casa. Encuentra los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera del techo. a) 45°53 23 ; 35°57 27 b) 56°23 45 ; 24°17 12 c) 36°48 22 ; 86°52 44 d) 38°50 26 ; 89°56 45 e) 52°13 32 ; 27°17
42 76. Una carretera en línea recta e 180
de longitud tiene por extremo a las ciudades y , otra carretera también en línea de 260
de longitud continúa el recorrido de la ciudad a la ciudad . Si las dos carreteras forman entre sí un ángulo de 132,5°, la distancia entre las ciudades y es: a) 414
b) 410
c) 359,6
d) 404
e) 202
Cursillo Pi 36 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría PRUEBA FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA AÑO 2011 ,
1. Se sabe que los ángulos las semirrectas opuestas y , y son consecutivos formados del mismo lado de . Además se sabe que 2
y 2
, mide: entonces el ángulo a) 30° b) 45° c) 60° d) 120° e) 160° 2. En un triángulo de lados , y , donde se tiene las longitudes de los segmentos determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto son: a)
y b)
y c) Ambas son iguales /2 y d)
e)
y 3. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberán dar las dimensiones de triángulos. Si con las medidas, era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos adicionales para su calificación. Las respuestas fueron: Juan: 4
, 5 y 8 ; Luis: 5 , 9 y 13 ; Pedro: 4 , 6 y 10 ; Carlos: 3 , 5 y 8 Entonces la maestra dio puntos adicionales a: a) Juan y Luis b) Juan y Pedro c) Luis y Pedro d) Pedro y Carlos e) Juan, Luis y Carlos 4. Si cosec
sen
cos
y sec
tg
cotg
entonces el valor de . es: cosec2
c) 1 d) 0 a) sen . cos b) tg 5. Marcar la alternativa falsa: I) Un ángulo de radianes corresponde a un ángulo 200 II) Un ángulo de 270° corresponde al triple de la mitad de III) Un ángulo de 800° corresponde a cuatro veces IV) La mitad de corresponde a un cuarto de giro sobre la circunferencia. V) Si 50 y 45° entonces sen 50
cos 45° De las afirmaciones anteriores son falsas: a) Sólo IV b) Sólo III c) Sólo II d) Sólo I 6. Si es un ángulo positivo menor o igual a y además: a) tg
b) cosec
c) tg
d) cotg
e) sen
Cursillo Pi 0 y cos
0 y sec
0 y sen
0 y cosec
0 y cos
0, entonces 0
/2 0, entonces 0
/2 0, entonces /2
0, entonces /2
0, entonces 0
/2 37 Ing. Raúl Martínez e) cotg
e) Ninguna Geometría y Trigonometría 7. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es 170, entonces: I)
El polígono tiene 167 vértices II)
El polígono tiene 17 lados III)
Cada ángulo interior mide 162° IV)
La suma de los ángulos interiores es igual a 3240° Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo III c) Sólo II d) Sólo I e) Ninguna 8. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice 10 y 12 diagonales respectivamente, entonces, el nuevo polígono tendrá en total: a) 25 diagonales b) 22 diagonales c) 275 diagonales d) 350 diagonales e) 209 diagonales 9. Un polígono tiene 3 lados y otro polígono tiene el doble número de lados que él. Entonces podemos asegurar que: I) El segundo polígono tiene el doble del número total de diagonales que el anterior II) El número de diagonales del primer polígono es 3 III) El número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice en el segundo polígono es 2
3 De las afirmaciones anteriores son en el orden en que fueron enunciadas: a) V ; V ; V b) V ; F ; V c) F ; V ; V d) V ; F ; F e) F ; F ; V 10. Se tiene un cuadrado de 5
de lado ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben hacerse para obtener rectángulos iguales de 5
de área? a) No cortar b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 11. Si es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a 1/2, entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de y el cuadrado de su reciproca es: a)
√
b)
√
√
c)
d)
√
e)
√
12. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que ésta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y 16 respectivamente. a) 12 b) 24 c) 25/2 d) 8 e) 3 13. A partir de las siguientes afirmaciones: I) Si ,
, está entre y , y está entre y , entonces II) Si ,
, es punto medio entre y , y es punto medio entre y , entonces . III) Si un ángulo de un par lineal es recto, entonces el otro ángulo también lo es. IV) Si , y , está entre y , y está entre y , entonces De las afirmaciones anteriores: a) Todas son falsas b) Todas son verdaderas c) Sólo una es falsa d) Sólo una es verdadera e) Sólo dos son verdaderas Cursillo Pi 38 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 14. La expresión 1 sen ) 1 tg ) es equivalente a: a) cos b) sec c) 0 d) cos e) 1 15. El valor de en la expresión sen 2
24°) cos 3
12°) es: a) 12° b) 10°48 c) 10,48° d) 24° e) 54° 16. Si y son enteros cualesquiera y , la opción correcta es: a) sen
/ b) cos
/ c) cosec
/ d) cotg
/ e) sec
/ 17. Al aumentar en 3 el lado de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área queda: a) Aumentada en 3 b) Disminuida en 3 c) Invariable d) Aumentada en 3 ℓ
3) e) Disminuida en 3
ℓ) 3
18. Dos ángulos consecutivos miden la tercera parte del suplemento de la suma de ambos. Si uno de ellos es la mitad del otro, entonces el complemento del menor mide: a) 15° b) 30° c) 45° d) 75° e) 60° 19. Si y representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de y lados respectivamente, entonces es igual a: a)
3 b)
c)
6 d)
3 e)
6 20. El valor que debemos sumar a 2 sen 100
cos 45°) para obtener como resultado la unidad es: a)
√
b) 2 √2 c) 1 √2 d) 1 √2 e)
1 √2 Cursillo Pi 39 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 1.
2.
3.
4.
5.
PRUEBA FORMATIVA DE GEOMETRÍA AÑO 2001 A partir de las siguientes afirmaciones: I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados y el ángulo comprendido proporcionales II) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres ángulos iguales III) Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido proporcional IV) Dos triángulos iguales son semejantes de razón 1 V) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual y el lado opuesto a él proporcional Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo cuatro c) Sólo tres d) Sólo dos e) Ninguna De las opciones siguientes I) Si un triángulo tiene sus tres medianas iguales, entonces es equilátero. II) Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales, entonces es isósceles. III) Existe algún triángulo tal que dos de sus alturas sean perpendiculares. Podemos decir que en ese mismo orden son: a) V ; V ; V c) V ; V ; F d) V ; F ; V e) F ; V ; F b) V ; F ; F A partir de las siguientes afirmaciones: I) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes. II) La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los ángulos interiores no contiguos a él. III) Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son congruentes. IV) En un triángulo isósceles, el segmento que va desde vértice del ángulo desigual al punto medio del lado opuesto forma un par de triángulos congruentes. V) Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Podemos decir que son falsas: a) Todas b) Sólo cuatro c) Sólo tres d) Sólo dos e) Ninguna La razón reciproca entre la media proporcionales de 2 y 5, y la cuarta proporcional de 3 , 6 y 5 es: b) 10 c) 1/√10 d) 10√10 e) 10 √10 a) √10 De las afirmaciones siguientes: I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes IV) Si el complemento de un ángulo es , entonces su suplemento es 2 V) Si el complemento de un ángulo es , entonces el suplemento de su triplo es 3 Podemos decir que son falsas: a) Sólo cuatro b) Sólo tres c) Sólo dos d) Sólo una e) Ninguna Cursillo Pi 40 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 6. Se sabe que los ángulos las semirrectas opuestas ,
,
y . Además se sabe que y son consecutivos formados del mismo lado de 2
y 2
mide: entonces el ángulo a) 30° b) 45° c) 60° d) 120° EJERCICIOS DE REPASO DE TRIGONOMETRIA 1. La medida de un ángulo es 125°. En radianes, la medida del mismo ángulo es: 36
18
25
d)
a)
b)
c)
, e) 160° e)
5
2. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 2 horas y 15 minutos es: a) 30° b) 60° c) 5° d) 22°30 e) 67°30 3. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 5 horas y 30 minutos es: a) 30° b) 5° c) 15° d) 10° e) 12° 4. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 3 horas y 5 minutos es: a) 60° c) 10° d) 92°30 e) 62°30 b) 32°30 5. ¿Cuántos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora? a) 3 /5 b) 5 /3 c) 5 /6 d) 6 /5 e) 3 /2 6. Un arco de circunferencia mide 250° y su longitud es de 150 . El número entero más próximo a la medida del radio es: a) 2 b) 10 c) 34 d) 17 e) 69 7. Si 0
2 , la proposición falsa es: a) Si tg
0 y sec
0, entonces 0
/2 b) Si cotg
0 y sec
0, entonces 3 /2 c) Si sec
0 y cosec
0, entonces 3 /2 d) Si cos
0 y cotg
0, entonces 3 /2
2 e) Si sec
0 y tg
0, entonces 3 /2 8. Los cuadrantes donde los ángulos ,
, son tales que: cosec
0 , sec
0 ; sec
0 , cotg
0 ; sen
0 , tg
0 son respectivamente de los cuadrantes: a) 3° ; 2° ; 2° b) 1° ; 2° ; 3° c) 3° ; 1° ; 2° d) 2° ; 1° ; 3° e) 3° ; 2° ; 1° 9. El valor de sen 100
cos /4
sen
es: d) 1 b) 2 √2 c) √2 e) 1 √2 ⁄2 a) 1 √2 10. Sea la función g ) cos
sec
sen
cosec
tg
cotg para todo valor de ⁄6) es: distinto de /2 con ∈ . Entonces el valor de a) 0 b) 1 √
c)
√
√
d)
e)
√
√
√
11. El valor de la expresión tg
a) 1 Cursillo Pi b) 2 sen2 2
es: cos2
c)
2 41 d) 2 tg
Ing. Raúl Martínez e) 1/ cos
Geometría y Trigonometría 12. La función trigonométrica equivalente a a) cotg b) sec 13. La expresión es: c) tg d) cosec e) sen es igual a: a) 2 cos b) 2 sec c) 1/ sec d)
)
e) 1 4 cosec2 2
y cosec
14. Si cosec .tg
para sec
siendo un entero cualquiera. El valor de es: a) 1 b) cotg c) cosec d) sec e) tg 15. En la circunferencia trigonométrica un ángulo es tal que su seno vale 4/5 y se encuentra en el segundo cuadrante, entonces la tangente de dicho ángulo vale: a) 4/3 b) 3/4 c) 5/4 d) 3/5 e) 3/5 16. Si cos
1/3 y la cotg
0, entonces el valor de la cosec es: a)
√
b)
√
c)
√
17. Si es un arco del segundo cuadrante y cosec
tg
cotg
d)
√
e)
√
4/3, entonces el valor de la expresión cos
es: sec
a) 4/3 b) 4/3 c) 3/4 d)
18. Si se sabe que es un ángulo del tercer cuadrante y que cotg
3/4 e) 1 4/3, entonces el valor de es: a) 2/5 b)
7/5 c) 5/7 19. Si la cotangente del ángulo es negativa y sec
d)
1/5 7/3 entonces el doble de e) 1/5 es: )
a) √3/4 b) 1/8 c) √14/4 d)
√2 e) 8√7 20. Si es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a 5/3, entonces la diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a: a) 5/36 b) 36/5 c) 4/5 d) 32/15 e) 4/5 Cursillo Pi 42 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Geometría y trigonometría – Cursillo de ingreso 1. En el triángulo , se verifica que 2 ; ; entonces el triángulo es: A) Isósceles B) Rectángulo isósceles C) Equilátero D) Rectángulo E) Obtusángulo 2. ¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que un complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’? A‐) 0,5 y B‐) 0,26 y 0,83 C‐) 0,34 y 0,67 D‐) 0,22 y 0,45 E‐) y 3. Teniendo en cuenta el dibujo, donde 10 y 5 el valor de es: A‐) 10√3 90°
B‐) 9√3 C‐) 11√3 D‐) 12√3 E‐) 8√3 4. Dadas las siguientes proporciones: I. Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales. II. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma. III. La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo, a los puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro. IV. En un triángulo isósceles el incentro y el circuncentro están sobre una misma recta. V. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes. Podemos afirmar que: A‐) Todas son verdaderas. B‐) Solamente una es verdadera. C‐) Ninguna es verdadera. D‐) Solamente dos son verdaderas. E‐) Todas menos una son verdaderas. 5. Dada la serie de razones iguales: donde 22, entonces los valores de ; ; son respectivamente: A‐) 10 ; 6 ; 18 B‐) 6,47 ; 3,88 ; 19,41 C‐) 10 ; 8 ; 20 D‐) 10 ; 6 ; 18 E‐) 12 ; 8 ; 18 Cursillo Pi 43 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 6. Dadas las siguientes proposiciones de congruencia ;
;
, además, ;
;
. Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes es: ∆
∆
∆
∆
∆
∆
A‐)
C‐)
E‐)
∆
∆
∆
∆
B‐)
D‐)
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – CURSILLO DE INGRESO PRUEBA N° 2 1. Sabiendo que sen
5/13 y /4 , con 0
/2. El valor de sen es: √
√
b)
a) 90°
b) 180°
c) 180°
√
c)
d)
√
e)
√
13
2. Sabiendo que es un ángulo generado en sentido anti horario, cuyo extremo libre está en ; ) y siendo y enteros positivos la opción falsa es: a)
135° 2
d) 45°
90° 270° 360° 90° e) 90°
180° 3. Teniendo en cuenta la figura, la altura del edificio es: a) 20,66 b) 21,21 75°
c) 18,93 d) 19,34 12
e) 20 4. Sabiendo que y además cos
cos 60°
12
). Entonces el valor de 2
) siendo 155° es: a) 265°13 39 b) 85° c) 100° d) 280° e) 265° 5. Dadas las siguientes proposiciones: I. En el primer y tercer cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo II. Si es la mitad de su complemento, entonces 2
90°
. 3
2
Sea sen
entonces 7
1 5
Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, a las cofunciones del ángulo complementario por defecto. )
V. Sea sen
3/4, girando en sentido anti horario, el ángulo corresponde al cuarto cuadrante. Podemos afirmar que: a) Todas son verdaderas b) Ninguna es verdadera c) Solamente dos son verdaderas d) Solamente una es verdadera e) Todas menos dos son verdaderas. III.
IV.
Cursillo Pi 44 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría EVALUACION FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 1. De las opciones siguientes: I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus ángulos. II. En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los otros lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. III. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta en segmentos de razón uno. IV. El radio del polígono regular circunscripto a una circunferencia es igual al radio de la circunferencia. V. El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo. Podemos decir que en ese mismo orden son: a) F ; V ; F ; F ; V b) F ; F ; V ; F ; V c) V ; F ; V ; V ; F d) V ; V ; F ; V ; F e) F ; F ; F ; F ; V ).
2. La expresión ).
, es idéntica a: )
e) tg a) 1 b) tg c) cotg d) tg 3. Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en 1
. ¿Cuál es la diferencia entre sus radios? c) d) 2
e) 4
a)
b)
4. De las siguientes afirmaciones, que se refieren a los elementos de una pirámide, la incorrecta es: a) La apotema no tiene la misma medida que la altura. b) La apotema es siempre menor que la arista. c) La arista lateral es siempre mayor que la apotema. d) La apotema es siempre mayor que la altura. e) La altura tiene la misma medida que la arista lateral. 5. En la figura , en metros, es: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 90°. Además 15
6. El número de raíces que tiene la ecuación √3 sen
a) 0 b) 1 c) 2 ;
16
;
17
. La longitud de 3 cos , en el intervalo 0°
360° es: d) 3 e) 4 7. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones sombreadas en el rectángulo es un punto cualquiera de la diagonal? a) La de arriba es más grande. b) La de abajo es más grande. c) Son iguales. d) Sólo son iguales si es el punto medio. e) No hay suficientes datos. Cursillo Pi 45 Ing. Raúl Martínez , si Geometría y Trigonometría 8. Dadas las siguientes proposiciones: I. El segmente que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio isósceles es igual a la semisuma de las bases. II. Como el coseno toma sólo valores entre 1 y 1 entonces su recíproca también toma valores entre 1 y 1. III. Todo polígono regular es un polígono convexo. IV. Si la distancia de los centros es 4 y los diámetros de las circunferencias son 81 y 25, entonces las circunferencias son tangentes interiormente. V. Dos triángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual. Podemos afirmar que: a) Todas son falsas. b) Solamente una es falsa. c) Ninguna es falsa. d) Todas menos dos son falsas. e) Solamente dos son falsas. 9. Si es un ángulo del segundo cuadrante y la reciproca de la función secante es igual a 1/2, entonces la diferencia entre la quinta parte del seno de y el cuadrado de su reciproca es: √
a) 4√3
b)
√
c) b) 25√3
12. En el triángulo se tiene: / es igual a: √
c) 100√3
30° ;
d)
√
120° ;
a) 1⁄√2 b) 1/√3 c) 2/3 d) 15√3
e)
√
40
10. Una figura geométrica es un paralelogramo equiángulo sí y sólo si; es un: a) Rectángulo. b) Polígono regular. c) Rombo. d) Cuadrado. e) Trapecio. 11. El perímetro de una de las caras de un tetraedro es de 15
. El área total del tetraedro es: a)
es la bisectriz del 120°
e) 22√3
. Entonces 30°
d) √3/2 e) √2/3 13. Siendo cosec
41/9 y el arco del segundo cuadrante, el valor de cotg es: a) 40/9 b) 40/9 c) 41/40 d) 41/40 e) 4/9 14. Las diagonales de un rombo miden 2
y 2√3
. Entonces, los ángulos que cada diagonal forma con los lados miden: a) 38 88 88 y 61 11 11 b) 33 20 y 66 40 c) 16 66 66 y 50 d) 33 33 33 y 66 66 66 e) 16 66 66 y 83 33 33 Cursillo Pi 46 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 1.
2.
3.
4.
5.
EXAMEN PARCIAL DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA De las siguientes opciones: I. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes II. La intersección de dos rectas carece de dimensión. III. Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos. Son falsas: a) Ninguna b) I y II c) Sólo I d) I y III e) Todas Marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. e) El rectángulo es un cuadrado. De las siguientes afirmaciones: I. La apotema del polígono es menor que su radio II. Un ortoedro es un polígono regular de 8 lados III. Son congruentes las bases de un trapecio rectángulo. Son verdaderas: a) Sólo I b) I y II c) Sólo III d) Todas e) Ninguna Marca la alternativa falsa: a) El vértice de un ángulo central es un punto de la circunferencia. b) Los lados de un polígono circunscripto a una circunferencia son tangentes a ella. c) El radio del polígono inscripto en una circunferencia coincide con el radio de ella. d) Los triángulos semejantes tienen ángulos congruentes y lados proporcionales. e) En todo triángulo se cumple que: Un lado es menor que la suma de los otros dos. En un triángulo isósceles, el ángulo extremo correspondiente al ángulo interno no congruente, es el suplemento de la mitad de 15° 50 ). Entonces el duplo de la tercera parte del ángulo congruente equivale a: a) 100 b) 30° c) 75 d)
5° e) 25° 6. Siendo el duplo de la cantidad de lados de un polígono, disminuido en 11, igual a la cantidad de diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices es un: a) Octógono b) Encágono c) Dodecágono d) Hexágono e) Heptágono 7. Dado el siguiente grafico el valor de en metros es: a) 8 b) 4 c) 9/2 60
d) 2 0,3
e) 9 0,04
Cursillo Pi 47 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 8. Dadas las opciones siguientes: I. Los ángulos externos de un decágono irregular suman cuatro rectos II. En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos coinciden III. Todo triángulo oblicuángulo carece de ángulo recto Son falsas: a) Todas b) Ninguna c) Solo I d) I y III e) I y II 9. Marcar la alternativa verdadera: a) Los ángulos alternos internos son congruentes b) Todo cuadrilátero es trapecio c) El radio de un polígono es menor que su apotema d) La cosecante es función inversa del seno e) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide /2 10. Cuando todos los vértices de un polígono son puntos de una circunferencia, se puede afirmar que I. La circunferencia está circunscripta al polígono II. El polígono está inscripta en el polígono III. La circunferencia está inscripta en el polígono IV. El polígono está circunscripto a la circunferencia. Es/son correcta/s: b) Solo II a) Solo I c) I y II d) III y IV e) I y III 11. La cofunción de la función reciproca de la cosecante es: a) Seno b) Cosecante c) Secante d) Cotangente e) Coseno 12. En el tercer cuadrante son positivas solamente: a) Tangente b) Cotangente c) Seno y coseno d) Tangente y cotangente e) Cosecante 13. El producto de las diagonales de un rombo corresponde a su: a) Área b) Semiárea c) Perímetro d) Semi perímetro e) Área duplicada 14. El cociente entre la abscisa y el radio vector es: a) Cofunción del seno b) Función recíproca de cosecante c) Secante d) Tangente e) Cosecante 15. Si el extremo libre de un ángulo está en 3, 4) y su vértice en 0 , 0), entonces 4/5 es: a) Seno b) Función inversa de seno c) Cofunción de secante d) Secante e) Cotangente Cursillo Pi 48 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 16. La suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo equivale a: a) 1 b) Seno del ángulo c) Coseno del ángulo d) 1 e) La suma del seno y del coseno 17. Siendo sen
/ , es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede afirmar que: I.
es la hipotenusa II.
es cateto opuesto a III.
es cateto opuesto a IV.
es hipotenusa a) I y II b) Sólo I c) Sólo III d) Sólo IV e) III y IV 18. Cada lado de un triángulo es proporcional a los: a) Cosenos de sus ángulos opuestos b) Senos de sus ángulos adyacentes c) Cosenos de sus ángulos adyacentes d) Senos de sus ángulos opuestos e) Recíprocos de sus lados 19. Una de las dimensiones de un rectángulo mide 12 metros más que la otra. El producto entre su perímetro con el reciproco de la menor de sus dimensiones es: a) 2 b) 8 c) 6 d) 4 e) 4 6
)/ 20. Dos ángulos complementarios están en relación 2 a 7, la mitad del mayor es: a) 20° b) 70° c) 10° d) 35° e) 40° 21. En el gráfico ⫽ ,
es secante o transversal 2 , el valor de es: a) 60° b) 130° c) 65° d) 120° e) 70° 22. Cada lado de un triángulo equilátero, inscripto en una circunferencia de 24 metros de longitud, mide (en metros): a) 36√3 b) 12√3 c) 6√3 d) 18√3 23. La afirmación falsa corresponde a: a) La secante es función reciproca de coseno b) El semiproducto de una función trigonométrica y su función reciproca es 1/2 c) El seno de la suma de dos ángulos es la suma del seno de cada ángulo d) La función secante puede tomar valor 7/2 e) La cotangente de un recto equivale al seno de cuatro rectos Cursillo Pi 49 Ing. Raúl Martínez e) 3√3 Geometría y Trigonometría TRIGONOMETRÍA AUTOEVALUACION 1. La sombra que de un poste de 6,75 de alto, cuando el ángulo de elevación del sol mide 38°47 , está por: a) 5,4 b) 8,4 c) 10,8 d) 16,8 2. En un momento dado un avión se encuentra a 5.000 en la horizontal de un observador y el ángulo de elevación mide 25°30 . La altura a la que vuela en ese momento el avión es: a) 2152,5 b) 2384,8 c) 4512,9 d) 10482,7 3. La expresión 2 cos sen
a) 2 tg 1 b)
cos
4. Si sen
es idéntica a: c) 2 cotg 1, entonces sen
a) 1/4 cos
b) 1/2 5. La expresión a) 1 b) sen cos
c) 1 d) sen cos 6. La expresión tg
a) tg d) 1 es igual a: c) 1 d) 2 es idéntica a: sen
cos es idéntica a: b) cotg c) sec 7. La expresión d) cosec es idéntica a: a) 1/2 b) 2 c)
cos d) 2 cos 8. Si tg
, entonces sen 2 es igual a: a) 2 b) 1
c)
d)
9. La solución positiva no mayor de 90° de la ecuación 3 5 tg
5 3/ cotg es: a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° 10. Los valores , con 0
2 , que satisfacen la ecuación cos
sen
1 0, son: a) 0 y 2 b)
y c) 0, , y 2 2
d)
,
,
, ,
,
,
y 2 Cursillo Pi 50 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 2 , que satisfacen la ecuación cos 2
11. Los valores de , con 0
a)
,
b)
5
y c) 0,
,
y cos
1
0, son: 2 4
, y 2 3 3
d)
,
,
y ∆
se cumplen las siguientes igualdades, excepto: 12. En todo a) cos
cos b) cos
cos ∆
sen
2
c) Área d) cos
cos 13. En la figura, el valor de en términos de los ángulos y , y de los lados y , está dado por la expresión: a) cos
b) cos
c) d) cos
cos
cos
cos
sen
cos
sen
cos
sen
14. sen
cosec
tg
sen es igual a: a) 0 b) 1 c) cos d) sen 15. Cuando el ángulo crece de a 3 /2, la gráfica de la secante: a) Decrece de 0 a ∞ b) Crece de 1 a ∞ c) Decrece de 1 a ∞ d) Decrece de ∞ a 1 PRUEBA N°1 ‐ GEOMETRÍA 1. Marca la proposición verdadera: a) La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide la hipotenusa b) Dos ángulos que están a un mismo lado de una recta son suplementarios c) En un triángulo la proyección de un lado sobre otro, es una de las alturas del triángulo d) Todo triángulo isósceles es equiángulo e) Si se traza la bisectriz de un ángulo obtuso se obtienen dos ángulos adyacentes iguales Cursillo Pi 51 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 2. Teniendo en cuenta la figura, el reciproco de la tercera proporcional de y 6 es: a) 3/4 b) 2 100°
c) 1/2 /2
7
d) 1/3 16
e) 3 3. El pueblo Esperanza se encuentra a la misma distancia de cada lugar señalado en el dibujo, entonces dicho pueblo es un punto ubicado, en el/la: a) Incentro b) Baricentro c) Ortocentro d) Circunferencia e) Altura l mediana 4. La siguiente terna: 8 ; 9 ; , esta compuesta con cantidades enteras, de manera que las tres medidas correspondan a las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces la cantidad de valores que puede llegar a asumir , es: a) 1 b) 12 c) 9 d) 15 e) 16 5. Teniendo en cuenta la figura, la medida en centímetros de la proyección de la mediana sobre el lado es: a) 143/10 b) 12,35 50
c) 14,25 28
d) 15 e) 29/2 30
EVALUACIÓN FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 1. Marcar la alternativa verdadera. a) Dos ángulos complementarios son consecutivos b) Los ángulos consecutivos son adyacentes c) Son congruentes los ángulos alternos internos d) Dos ángulos agudos son suplementarios e) Dos rectas perpendiculares entre sí, son secantes. 2. De las siguientes opciones, la falsa es: a) Un semicírculo es un sector circular b) El segmento de la recta tiene magnitud c) Dos circunferencias tangentes exteriormente son exteriores d) Todo trapecio es convexo e) Un triángulo rectángulo carece de diagonales 3. Dadas las siguientes afirmaciones I. El lado es congruente con el radio en un hexágono II. Cada ángulo agudo en un triángulo rectángulo mide 45° III. Dos ángulos agudos son adyacentes Son verdaderas: a) Solo II b) Ninguna c) Todas d) Solo II e) I y II Cursillo Pi 52 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 4. Si se tienen las siguientes proposiciones I. Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos II. El romboide es paralelogramo III. Dos triángulos semejantes carecen de lados homólogos Son falsas: a) Ninguna b) Todas c) I y II d) I y III e) Sólo III 5. El doble producto entre la altura de un trapecio y la suma de sus bases corresponde a su: a) Área b) Semiárea c) Área duplicada d) Área cuadruplicada e) Área multiplicada por ocho 6. Cuando se triplica la altura de un triángulo isósceles y su base se reduce a sus dos tercias partes, entonces su área queda: a) Multiplicada por dos tercios b) Triplicada c) Duplicada d) Invariable e) Reducida a la mitad 7. Dado un cuadrado se traza una circunferencia con centro en uno de sus vértices y radio igual al lado. El cuádruplo del área exterior a la circunferencia e interior al cuadrado es: ) ) ) ) a) 4
b)
4
c)
4
d)
4
e)
4
8. Una de las dimensiones de un rectángulo es el triple de la otra, el rectángulo es equivalente a un cuadrado de 300
del lado. Las dimensiones del rectángulo (en metros) es: d) 3 ; 9 e) 2 ; 6 c) √3 ; 3√3 a) √2 ; 3√2 b) √5 ; 3√5 9. Observando el siguiente gráfico 80
;
200
;
0,5
; ; entonces (en ) mide: a) 8 b) 3 c) 9 d) 10 e) 5 10. El ángulo inscripto de una circunferencia cuyos lados contienen los extremos del mismo diámetro mide: b)
c) 270° d) 2
e) 45° a) 100 11. Desde un mismo punto exterior a una circunferencia se trazan: una secante de 1,2
y una tangente de 60
. El segmento de la secante interior a la circunferencia (en metros) mide: a) 3 b) 9 c) 6 d) 12 e) 2 12. El duplo de la cantidad de lados de un polígono de lados equivale a la cantidad de diagonales desde un vértice aumentando en ocho. Dicho polígono es un: a) Pentágono b) Undecágono c) Hexágono d) Decágono e) Encágono Cursillo Pi 53 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 13. Si 2 , entonces se afirma que: I. sen
0 ; cos
0 II. sen
0 ; cosec
0 III. tg
0 ; cos
0 Son validas: a) I y III b) Sólo II c) Ninguna d) Sólo I e) II y III 14. El extremo libre del vector que generó un ángulo en sentido antihorario alrededor de 0 , 0) es 3 , 4) ; entonces 5/4 corresponde a: a) Tangente b) Secante c) Cosecante d) Cotangente e) Secante y cosecante 15. El producto entre la función reciproca de cos y la cofunción de sen donde /3 , /4, es: b) √2/2 c) √2/4 d) 3√2 e) 2√2 a) √2 2 ; 4 cos 90°
16. Sabiendo que )
2 cotg 30°
tg 60°
2 sen
180°). El cociente entre cosec y cotg es: c) 2 d) 2 e) 1/2 a) √3 b) √3 17. El cociente entre el seno del suplemento de y el seno del complemento de es: I. Cofunción de cotg II. Función inversa de cotg III. Cotangente del complemento de Son falsas: a) Todas b) Sólo II c) I y III d) I y II e) II y III 18. Sabiendo que cos
; 0°
90° ; el valor del coseno del duplo de es: a) 1 b) 2
1 c)
1 d) 2 e) 2
1 19. Resolviendo la ecuación tg
cotg
2 sec se obtiene: a) 30° b) 60° c) 90° d) 45° e) 180° 20. Considerando tg
0 ; sen
0; entonces: a) 0°
90° b) 90°
180° c) 0°
180° d) 180°
270° e) 270°
360° 21. Cuando la abscisa del extremo libre de un ángulo es negativa y la ordenada es positiva se verifica que: I. El extremo libre de un ángulo esta en el 2 cuadrante II. La secante del ángulo es menor que la unidad III. El seno decrece en ese cuadrante Son falsas a) I y III b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Sólo III 22. La función reciproca de la cofunción de la función reciproca del seno del complemento de la diferencia entre y es: ) ) ) ) ) a) sen
b) cosec
c) sec
d) cos
e) cotg
Cursillo Pi 54 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría EVALUACION FORMATIVA 1. De las opciones siguientes la verdadera es: a) Toda recta secante a una circunferencia es una cuerda de la misma. b) Si una circunferencia está circunscripta a un octágono regular y a la vez está inscripta en un hexágono regular, entonces el radio del hexágono es igual al apotema del octógono. c) Si una diagonal de un cuadrilátero forma con los lados dos triángulos congruentes el cuadrilátero es siempre un paralelogramo. d) Si la distancia de los centros es 7 y los diámetros de las circunferencias son 6 y 8, entonces las circunferencias son tangentes exteriormente. e) La altura en un triángulo isósceles es también mediana. 2. En la siguiente figura , es un ángulo: a) Agudo menor o igual a 15° 80°
b) Cuyo suplemento es 100° c) Cuyo complemento es 65° d) Que es el doble de 15° e) Cuyo complemento es el suplemento de 125° 3. En la siguiente figura y son cuadrados. Si la medida de es igual a y y 4 es: mide 12
, entonces la media proporcional entre la medida de a)
b)
c)
d)
6√2 8 5 4√2 e) √3 4. Marca la afirmación falsa: a) En todo polígono convexo la apotema es el segmento perpendicular desde el centro del polígono hasta el punto medio de cada lado. b) Si la altura de un triángulo disminuye a la mitad y la base se duplica, entonces el área no varia. c) En un triángulo cualquiera el circuncentro equidista de los tres vértices. d) Los ángulos alternos internos entre paralelas pueden ser suplementarios. e) En un triángulo la altura a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. 5. En el siguiente gráfico se verifica: a)
b)
c)
d)
360° e) 60° 6. En la figura, representa un pentágono regular ( de 1
equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo ? a) 50 b) 60 c) 66 d) 73 e) 80 Cursillo Pi 55 de lado) y es un triángulo Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 7. En el gráfico la línea trigonométrica corresponde: a) Cotangente del primer cuadrante b) Coseno del tercer cuadrante c) Tangente del tercer cuadrante d) Cotangente del tercer cuadrante e) Coseno del primer cuadrante ) 3 2 sen
) ; con 200
8. Sabiendo que cos 90°
270°. La suma entre el duplo de cos y cotg es: c) 0 b) 2√3 d) √3 e) √3 a) 2√3 9. Sabiendo que cos
cos donde e son valores entre 0 y /2, podemos afirmar que: a)
b) sen
sen c) sen
0 d) cos . sen
0 e) sen
sen 10. El menor valor de , con real, es: a) 1/4 b) 1/5 c) 1/6 d) 1/7 e) 1 11. La función inversa del coseno es: I. Secante II. Seno III. Cosecante Son verdaderas: a) Ninguna b) Sólo I c) Sólo II d) Sólo III e) I y II 12. Las soluciones de la ecuación cos . tg
tg donde es un ángulo positivo menor que 360°, corresponde a un ángulo cuyo radio vector se ubica. a) En los cuadrantes pares b) Sobre el eje positivo c) Sobre el eje negativo d) Sobre el eje e) Ninguna 13. Dada la ecuación sen
3 2 , donde es variable, admite solución sí, y solo sí, cuando el número real satisface la condición: a)
1
1 b)
1
2 c) 1
1 d) 1
2 e)
0 14. Si 60°, la expresión cos
cos )
sen
sen ) es igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 15. Dado el triángulo rectángulo , donde 3 y 4, el valor de cotg
tg es: a) 3/4 b) 2/3 c) 4/3 d) 3/2 e) 1/2 Cursillo Pi 56 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría TRIGONOMETRÍA FECHA: octubre 2008 FILA 1 1. Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide: a) 156° b) 39° c) 78° d) 45° e) 18°30 2. En un hexaedro su diagonal mide . La expresión corresponde: a) Al área lateral b) Al área de las dos bases c) Al área total. d) A la mitad del área total e) Al área de una cara 3. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado , las aristas miden 2
. La altura de la pirámide expresada en función de y en es: a)
5
33
6
33
3
b)
33
6
c)
d)
33
12
e)
2
33
3
4. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide 3 la altura del prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en es: b) 54√3 c) 81√3 a) 27√3 5. En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide 2
d) 13,5√3 , su altura mide corresponde: a) Al cociente entre el volumen y el diámetro de la base. b) A la suma de las áreas de las dos bases. c) Al área lateral. d) Al área total. e) Al triple del área lateral. 6. Si el arco es del primer cuadrante y es del cuarto cuadrante. Siendo sen
) es: cos
13/85. El valor de la expresión tg
a) 2,09 b) 2,09 c) 2,51 d) 2,51 e) 1,47 FECHA: 2013 )
)
sec
1. En la identidad . Calcular 2 a) 5 Cursillo Pi e) 162√3 . La expresión 57 Ing. Raúl Martínez 33/65 y Geometría y Trigonometría 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
EVALUACIÓN FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA FECHA: 31/05/2013 FILA 1 El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. El suplemento del doble de la medida del ángulo es: a) 120° b) 45° c) 135° d) 600° e) 75° )
)
)
) . El En la recta se ubican los puntos consecutivos , y , si valor de es: a) b) 2 c) /2 d) /4 e) 4 En la siguiente figura . El ángulo conjugado interno de mide: a) 60° b) 125° 2
50°
c) 160° 3
5°
d) 90° e) 55° La razón de semejanza del triángulo con el triángulo es de 3:4. Si los lados del primero son 18,21 y 30, entonces los lados del segundo son: a) 24 ; 45 ; 60 b) 14 ; 15 ; 24 c) 28 ; 40 ; 24 d) 8 ; 25 ; 10 e) 13,5 ; 15,75 ; 45 En un triángulo ;
10 ;
4 y 8; se traza una bisectriz interior . El triple de la diferencia de las medidas de los segmentos y es: a) 17,5 b) 10,29 c) 2,86 d) 5,71 e) 14,2 La media proporcional entre las dos terceras partes de 40 y la razón reciproca de la tercera proporcional de 8 y 6 es aproximadamente: a) 2,58 b) 6,93 c) 101,82 d) 13,86 e) 2,43 El pentágono de la figura es regular, si 72°, entonces mide: a) 108° b) 72° c) 60° d) 54° e) 36° Dada la siguiente figura, los puntos y del cuadrado pertenecen a los lados y del cuadrado a) 15° b) 20° c) 22,5° d) 25° e) 30° Cursillo Pi . Si 70° entonces mide: 70°
58 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 9. En el rectángulo ,
y 10°. El ángulo mide: a) 130° b) 110° c) 100° d) 70° e) 55° 10. Se forman cuatro triángulos congruentes al trazar las diagonales de un: I. Rombo II. Rectángulo III. Romboide Es/son verdadera/s: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y II e) I, II y III 11. En la figura y . El valor de si 100°, es: a) 30° b) 50° c) 45° d) 40° e) 55° 12. En la figura: . Entonces: a) 45° b) 60° c) 2
3 d) 2
e) 13. De los puntos notables de un triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior del triángulo según el tipo de triángulo. Estos son: a) Baricentro y ortocentro b) Circuncentro y baricentro c) Incentro y baricentro d) Incentro y ortocentro e) Ortocentro y circuncentro 14. Dado un triángulo de lados de 4
,5
y 6
, la altura correspondiente al lado menor es: a) 3,31
b) 3,96
c) 4,76
d) 4,86
e) 4,96
15. De las siguientes afirmaciones: I.
Cada ángulo interno de un polígono convexo de lados mide: °
)
II.
El número de diagonales que se pueden trazar desde dos vértices consecutivos en un polígono convexo de lados es: 2
3) III. No existe polígono cuyo número de lados coincida con su número de diagonales IV. El polígono base de un polígono estrellado es un hexágono regular, entonces el ángulo en cada punta de la estrella mide 30° Es/son falsa/s: a) Ninguna b) Solo una c) Solo dos d) Solo tres e) Todas Cursillo Pi 59 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 16. Dadas las afirmaciones siguientes: I. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal pasa por el punto ; ), entonces el ángulo se encuentra en el primer cuadrante. II. La función cosecante en el cuarto cuadrante tiene signo contrario al del seno en el primer cuadrante. III. Las funciones tangentes y cotangente son cofunciones y reciprocas a la vez. IV. La función coseno es positiva en los cuadrantes en que su cofunción es creciente. Podemos asegurar que en el orden en que aparecen son: a) FFFF b) VVFV c) FFVV d) FVVV e) VVVV arcsen
17. Sean 3
y 2
1), entonces el valor de arccotg
a) 195° b) 15° c) 255° d) 75° e) Todas las anteriores 18. Sabiendo que 0
, entonces para que la expresión sen
debe de cumplir que: a)
b) 0
3
2
) puede ser: 2
3 tenga sentido, se 2 c)
2 d) 2
3
2
e) 1,5
2 19. Uno de los ángulos internos de un triángulo mide 120° y los otros dos e , tales que √
, la diferencia en radianes entre las medidas e es aproximadamente: a) 0,09 b) 0,17 c) 0,35 d) 0,44 20. El triángulo de la figura tiene perímetro , el valor de es: sen
sen
2 sen
sen sen
sen
c) sen
sen
sen
cos
a) sen
sen
e) 0,52 b) ) d) tg
e) sen
cos
cos
21. Las avenidas San Martin y España ambas rectilíneas se cruzan según un ángulo de 30°. El puesto de estación de servicio Estrella del Sur, se encuentra sobre la Av. San Martin siendo la distancia más corta entre la estación de servicio y la Av. España de 2000 metros. La distancia a que se encuentra la estación de servicio Estrella del Sur del cruce, en , es igual a: a) 4 b) 12 c) 2 d) 2√3 e) √3 Cursillo Pi 60 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría )
)
sec
22. Se sabe que igual a: a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 23. La suma de las soluciones de la ecuación 2 cos
360°
360° es: a) 390° b) 780° c) 330° 24. Sabiendo que sen
5 cos
3, con 0
a) √2 b) √2/4 sen
4 tg 4 tg3 tg4 5 tg2 1
b)
4 tg 4 tg3 tg4 6 tg2 1
c)
4 tg 4 tg3
tg4 4 tg2 1
d)
4 tg 4 tg3
tg4 3 tg2 1
e) 3 3
0 en el intervalo d) 300° /2, el valor de sen
d) 2 11 .cotg
cos 9
a)
sen b) cos c) sen
26. La expresión tg 4 es idénticamente igual a: a)
3√3 cos
c) √2/2 7
25. Al simplificar la expresión: sen
2
2 es es una identidad, entonces 11
2
e) 0° cos es igual a: e) 0 se obtiene como resultado: d)
cosec
e)
sec
4 tg 4 tg3
e) 4
8 tg2 1
tg
) . sen
) es idénticamente igual a: 27. La expresión: sen
cos a) cos
b) cos
2. cos c) cos
cos d) cos
2. cos e) cos
cos 28. Al transformar en producto la expresión: sen 5
sen se obtiene: a) sen 5 . sen b) sen 6 . sen 4 c) sen 3 . sen 4 d) sen . sen 4 e) sen . sen 6 29. En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica y algunas trigonométricas. Si entonces es igual a: a) sen
cos b) tg
cotg c) cosec
sen d) cosec
sec e) 1 Cursillo Pi 61 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 30. Si cotg cosec
a) sec
0, entonces: 1
tg
b) sec
1
c) cos
√1
d) cos
√1
tg
sen
sen
e) sen
√1 cos Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. Hallar el semiperimetro del triángulo, cuyos vértices son: 1, 2); 4 , 2); 3, 5). a) 21,30 b) 23,10 c) 20,31 d) 10,65 e) 15,60 2. El triángulo de vértices: 6 , 7); 8, 1); 2, 7) es: a) Rectángulo b) Equilátero c) Escaleno d) Isósceles e) No se forma 3. Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son: 2, 8); 6, 1); 0, 4) a)
4, 4) b)
4 , 5) c) 4 , 9/2) d) 4 , 9/2) e)
4 , 3) 4. Hallar la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo cuyos vértices son: 0 , 9); 4 , 1); 3 , 2) a) √26 b) √29 e) √28 d) √30 c) √27 5. La figura formada por los puntos: 1, 5); 2 , 1); 1 , 5); 2, 1) tiene: a) Dos lados perpendiculares b) Un par de lados paralelos c) Dos pares de lados paralelos d) Ningún par de lados paralelos e) Dos lados paralelos y dos lados perpendiculares 6. Las coordenadas del punto que equidista de los puntos 2, 3); 4 , 1) y 5 , 2) es: a) 3, 1) b)
3 , 1) c)
3 , 1) d) 3 , 1) e) 1 , 3) 7. Dados los siguientes puntos: I)
2, 3); 6, 1); 10, 1) II)
1 , 2); 3 , 10); 4 , 4) La afirmación correcta es: a) En I) se forma un triángulo y en II) no. b) En I) no se forma un triángulo y en II) sí. c) Los puntos en I) y II) son colineales. d) En I) y en II) se forman triángulos. e) Dos son correctas. 8. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto 3, 6). a) 3, 2) b) 3, 14) c)
3, 2) d) 3, 2) y 3, 14) e) 3, 2) y 3, 14) Cursillo Pi 62 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 9. Si a)
b)
c)
2, 5);
6, 3) y 3/4. Hallar las coordenadas de , ), tal que b)
c)
d)
e)
. 26
11
,
7
7
26 11
,
7 7
26
11
,
7
7
d) 4 , 2) e)
2 , 4) 10. Las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices: 3, 6);
a)
⁄
5 2
, 3 3
5 3
, 3 2
5
2
,
3
3
5
3
,
3
2
1 2
, 3 3
5, 2); 7 , 6) son: 11. La ecuación de la recta que pasa por el punto 2, 5) y forma un ángulo de 45° con 3
6 0 es: a) 2
1 0 b) 2
1 0 c) 2
1 0 d) 2
1 0 e)
1 0 12. Uno de los ángulos interiores del triángulo con vértices: 3, 1); 4, 4); 2, 3) es: a) 113° b) 90°29,4 c) 113°29,9 d) 64° 5 e) 87°5 12" 13. Sabiendo que el punto 9, 2) divide al segmento que determinan los puntos 6, 8) y , ) en la relación 3/7. Hallar las coordenadas de . a) 16, 12) b)
16, 12) c)
16, 12) d) 1 , 2) e) 16 , 12) 14. Hallar el área de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: 2, 1); 5, 2) y 2, 3) a) 55,6 b) 64,0 c) 16,0 d) 9,3 e) 37,1 15. La pendiente de una recta que pasa por los puntos , 2) y , 5) corresponde a una recta: a) Perpendicular al eje b) Perpendicular al eje c) Paralela al eje d) No se puede afirmar nada e) Don son correctas 16. La ecuación de la mediatriz al segmento cuyos extremos son 5, 1) y 7, 5) a)
2
3 0 b)
2
3 0 c) 2
3 0 d)
2
3 0 e)
2
3 0 Cursillo Pi 63 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 17. La pendiente de una recta que pasa por el punto 3, 2) es . Hallar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de a) 7, 5); 1, 1) b) 1 , 1); 7, 5) c) 7, 5); 1, 1) d)
7, 5); 1, 1) e) 7, 5); 1, 1) 18. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos 4, 5) y 3 , ) con la que pasa por 2 , 4) y 9 , 1). Es de 135°, el valor de es: a) 9 b) 7 c) 3/11 d) 11/3 e) 8 19. La recta forma un ángulo de /3 con , si la pendiente de es tg /4. Hallar la pendiente de . b)
c) √3 d) √3 1 e) 1 √3 a) √3 2 √3 2 20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2, 5) y forma un ángulo de 45° con la recta 3
6 0 a) 2
1 0 b) 2
1 0 c) 2
1 0 d)
2
1 0 e)
2
1 0 ); ,
); ,
). 21. Hallar el área del triángulo, cuyos vértices son: ,
a) 1 b)
c)
d) 9 e)
Prof. Ing. Gary F. Lozano Fecha: 19 de noviembre de 2008 1. Si a mitad del complemento de un ángulo la sumamos el doble de la medida del ángulo, resulta el suplemento del ángulo. La medida del ángulo es: a) 36° b) 54° c) 45° d) 22°,5 e) 67°,5 2. Observando la gráfica: , y son paralelas y distantes y 2 metros, forma 30° con y forma 60° con . La distancia expresada en y en función de es: 1
a) 4 √5 b) √39 c) √15 d) √13 2
2
3
e) 2 √5 3. En un trapecio isósceles, la base mayor mide las bases. La expresión a)
b)
c)
d)
e)
y la altura mide la semisuma de √2 corresponde: Al perímetro Al área A la mitad del perímetro A la medida de la diagonal Al cociente entre su área y su perímetro Cursillo Pi , la menor 64 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 4. Dado un triángulo cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado otro triángulo . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es: a) La relación entre las áreas de los triángulos y es 1 a 4. b) La relación entre los perímetros de los triángulos y es 1 a 2. c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden. d) Los incentros de ambos triángulo no coinciden. e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden. 5. Dentro de un cuadrado de lado , se desea construir un rectángulo de dimensiones y 2 de manera que al menos dos vértices del rectángulo coincidan con los del cuadrado y cuya diagonal sea la mayor posible. La longitud de dicha diagonal en función del lado del cuadrado es: e) b) √3 c) √2 a) √5 d) √5/2 6. Dentro de la circunferencia de radio se trazan dos circunferencias de radios iguales a /2 y otros dos más pequeñas de radio . El área sombreada expresada en función a es: a)
2
b)
2
c)
2
d)
e)
2
2
7. En el rombo de la figura, la diagonal menor mide igual al lado del rombo. El área sombreada expresada en función al lado del rombo es: 3√3 a) b) 2
3√3 3√3 c) d) 2
3√3 e) 2
3√3 8. Marcar la expresión incorrecta: a) Si se inscribe un triángulo rectángulo en una circunferencia, la hipotenusa siempre coincide con el diámetro. b) Si se inscribe un rectángulo en una circunferencia, una de las diagonales siempre coincide con el diámetro. c) Si dos cuerdas se cortan en un punto interior del círculo los segmentos son recíprocamente iguales. d) La suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita a un triángulo rectángulo isósceles es igual a la suma de los catetos. e) Si en una circunferencia se inscribe un hexágono regular y un triángulo equilátero, el lado del triángulo es el doble que el lado del hexágono. Cursillo Pi 65 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 10
9. Observando la figura: . El área del triángulo expresada en ,
y son puntos medios de y es: a) 25√3 b)
√3 c)
√3 d)
√3 e) 75√3 10. En el triángulo la base mide . La altura mide 6
. Por el vértice se trazan dos rectas que cortan al lado en los puntos y , estos segmentos dividen al triángulo en tres triángulos de áreas iguales. El ángulo es mayor que el . La distancia de a la base del triángulo expresada en es: a) 2 b) 3 c) 4 d)
√3 e) 6 11. Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide: a) 156° b) 39° c) 78° d) 45° e) 18°30’ 12. En un hexaedro su diagonal mide . La expresión corresponde: a) Al área lateral. b) Al área de las dos bases. c) Al área total. d) A la mitad del área total. e) Al área de una cara. 13. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado , las aristas miden 2
. La altura de la pirámide expresada en función de y en es: a)
5
33
6
b)
33
3
c)
33
6
d)
33
12
e)
2
33
3
14. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide 3 , la altura del prisma mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en es: b) 54√3 c) 81√3 a) 27√3 15. En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide 2
a)
b)
c)
d)
e)
corresponde: Al cociente entre el volumen y el diámetro de las base. A la suma de las áreas de las dos bases. Al área lateral. Al área total. Al triple del área lateral. Cursillo Pi d) 13,5√3 , su altura mide 66 Ing. Raúl Martínez e) 162√3 . La expresión Geometría y Trigonometría 16. Si el arco es del primer cuadrante y es del cuarto cuadrante. Siendo sen
) es: cos
13/85. El valor de la expresión tg
a) 2,09 b) 2,09 c) 2,51 d) 2,51 17. El valor de la expresión: 33/65 y e) 1,47 es: )
a) 1 b) 2 c) cos d) sec e) 1/2 18. Se trazan dos circunferencias de radios iguales de dentro del paralelogramo , cada circunferencia es tangente a tres lados del paralelogramo y a la otra circunferencia trazada. El área del paralelogramo expresada en función de es: a)
b)
c)
d)
e)
4
4
8
6
2
√3 √3 60°
)
19. Al simplificar se obtiene: )
a) tg
tg b) cotg c) cotg d) tg
tg e) tg 20. El producto de cinco funciones trigonométricas de un ángulo agudo es 1. La medida de dicho ángulo es: d) 60° e) 90° a) /6 b) /3 c) 50 21. En el círculo trigonométrico de la figura, el valor de en función de es: a) sec
tg b) sec
tg 1 cos
sen
c) 1 cos
cos
sen
e) 1 cos
d) 22. De las afirmaciones siguientes la falsa es: Se pueden calcular todos los elementos de un triángulo si se conocen: a) Un lado y dos ángulos. b) Dos lados y el ángulo comprendido. c) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. d) Dos ángulos. e) Dos lados y dos ángulos cualesquiera. Cursillo Pi 67 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría /2, el valor de 23. Si 0
sen
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 sen 2 cosec 2 sen 0 2 cosec 2
24. Dado cos
a)
2
2
2 2
)
cos
tg
2
2
2
sec
)
cotg 2
2
) es: cosec
0 y del segundo cuadrante, el valor de tg es: 2 , con b)
3
2
2 2
c)
2
2 d)
2
2
2 e)
2
2
2
2 25. Se sabe que 1 √2 tg
√2 sec y que 1 √2 tg
√2 sec y además e son ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles. El valor de sec
sec es: a) √2/2 b) √2
26. Si a)
b)
0,
d) √2⁄3 . El valor de e) √2
2 es: 2
c)
d)
e)
;
c) 3√2⁄2 2 2
3
tg
27. Dada la ecuación tg
ecuación es: a) 23° 4 uno de los valores de en el primer cuadrante que satisface la b) 22° c) 22°30’ 45°, el valor de 28. Si d) 45° e) 75° es: a) 1 b) 1/2 c) 1 e) √2/2 d) √2/2 29. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación al punto más alto de un campanario es 45°. Desde la parte más alta del poste, que tiene 9 de altura, se divisa el mismo punto bajo un ángulo de elevación de 30°. La altura del campanario es: a)
9 3 9
2
b)
27 3
2
c)
9 3 27
2
30. Si es la longitud de la hipotenusa de un triángulo triángulo se puede expresar como: ) a) 1⁄4) sen
b) 1/4) sen 2 c) 1/4) tg d) 1/2) cotg e) 1/2) tg Cursillo Pi d)
, 3 9
2
68 9 27 3
2
90°); entonces el área del e)
Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Guía de ejercicios N° 1 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega ,
1. Se tiene los ángulos consecutivos 3
a) 10° . Hallar la b) 15° 4.
5.
6.
7.
8.
60° y c) 20° ,
,
d) 25° ,
y ; tal que e) 30° 180°, 90° y 3
. Hallar la sabiendo además que las semirrectas y son las bisectrices de los ángulos y respectivamente. a) 54° b) 44° c) 37° d) 48° e) 52° Si el complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a la diferencia entre el complemento del ángulo y el suplemento del suplemento del mismo. Hallar el suplemento de complemento del ángulo. a) 100° b) 115° c) 120° d) 135° e) 120° Las sumas de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230°. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15°. Calcular el complemento, de la medida del mayor ángulo. a) 20° b) 15° c) 10° d) 5° e) 8° El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo. a) 120° b) 45° c) 135° d) 60° e) 75° Según el grafico ;
y . El valor de es: a) 25° b) 40° 6
c) 10° d) 30° e) 20° 2
Si . Calcule el valor de a) 150° 2
b) 130° c) 120° d) 160° e) 135° Si . Calcule la relación de y a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 Cursillo Pi 3
; tal que: 2. Se tienen los ángulos consecutivos 3.
y 69 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría ∆
9. En el gráfico: es equilátero y . Calcule el valor de . a) 100° b) 115° c) 105° d) 120° e) 110° 10. Si 130°. Calcule 2 . a) 10° b) 20° 2
c) 30° d) 40° e) 50° 11. Calcule el valor de , si y . a) 10° b) 15° c) 12° d) 18° e) 24° 3
12. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles en el que se inscribe el triángulo equilátero . La relación correcta entre ; y es: a) 0 b) c) 2
d) 2
e) 2
13. En la figura 36. Calcule el mayor valor entero de . a) 20 b) 21 10
c) 22 d) 25 e) 26 8
14. Calcule sabiendo que es un entero y además se cumple que a) 82° b) 83° c) 84° d) 85° e) 86° 4°
Cursillo Pi 70 . Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 15. En un triángulo se traza la mediatriz de que intercepta al lado en . Calcule el máximo valor entero de si 8 y 12. a) 17 b) 19 c) 20 d) 22 e) 24 16. En un triángulo donde 25; se traza perpendicular a la bisectriz interna del ángulo , luego se une al punto medio de con . Calcule si 4. a) 18 b) 15 c) 16 d) 17 e) 21 17. En la figura, calcular , si es un número entero. a) 75° b) 80° c) 85° 2
1
6
d) 90° e) 95° 3
1
). Si 18. En la figura el triángulo es isósceles 30°,
y , calcule . a) 76° b) 85° c) 55° d) 65° e) 75° 19. Del gráfico, calcular el valor de . a) 30° 2
b) 40° 3
c) 37° d) 60° 2
e) 53° 20. En un triángulo se tiene que 5,
6 y 8. Se traza la mediana y la bisectriz del ángulo , las cuales se intersectan en el punto , por el cual se traza una recta paralela al lado que intersectan al lado en el punto . Hallar . a) 8 b) 3 c) 3/8 d) 8/3 e) 3/5 21. En la figura, es paralela a ,
18,
27 y 36. Hallar el valor de para que el perímetro del triángulo sea igual al perímetro del trapecio . a) 14,25 b) 16,2 c) 12,5 d) 18,2 e) 19,25 Cursillo Pi 71 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Guía de ejercicios N° 2 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega 1. Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos; la medida de un ángulo externo aumentaría en 80°. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2. Un polígono tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida de otro. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 3 3. La suma de las medidas de cinco ángulos internos consecutivos de un heptágono convexo es igual a 700°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos internos de dicho polígono. a) 60° b) 50° c) 70° d) 80° e) 90° 4. Al triplicar el número de lados de un polígono regular, la medida del ángulo central es 2)°, siendo el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de dicho poligono. a) 150° b) 120° c) 130° d) 140° e) 150° 5. En un polígono se cumple que el cuádruple del número de diagonales es igual al cuadrado de la cantidad de vértices. Calcular el número de diagonales que se puede trazar de dos vértices consecutivos. a) 9 c) 6 d) 4 e) 5 b) 8 6. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número de diagonales de dicho polígono. a) 16 b) 100 c) 104 d) 150 e) 144 7. En la figura, , y ℓ son paralelas entre si, así mismo y lo son. Si 3, 5, 6 y 3 , hallar a) 1,4 b) 1,5 c) 1,6 d) 1,8 e) 1,9 ℓ
8. En un rectángulo, el lado 40 y 20 ¿A qué distancia de debe estar para que la diagonal sea bisectriz del ángulo ? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 9. En la figura, calcular a) 3 b) 4 c) 5 6
d) 6 e) 8 2
Cursillo Pi 72 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 10. En la siguiente figura es punto de tangencia. Si 4, entonces el área de la circunferencia es: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5 11. En el paralelogramo por se traza una recta que corta a la diagonal en , al lado en , y a la prolongación del lado en . Si 1 y 8. Hallar a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Hallar , si ;
,
3 y 9. a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 )
) 120 13. En un triángulo se traza la bisectriz interior . Hallar , si 2
; y 20. a) 6 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9 14. En la figura, es un romboide. Si 3,
4 y 9. Halle . a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 ), las alturas y se intersectan en , tal que: 15. En un triángulo isósceles 1 y 8. Calcula . a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 16. En un triángulo , se traza la bisectriz y luego por , una paralela a , de modo que intersecta a en . Hallar si 5 y 6. a) 13/7 b) 25/11 c) 21/4 d) 49/5 e) 3/8 Cursillo Pi 73 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Guía de ejercicios N° 3 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega 1. El triángulo es isósceles y además . La medida del ángulo en el vértice es: a) 15° b) 20° c) 25° d) 28° e) 30° 2. En la figura, y , las medidas de y son respectivamente: a) 50° y 80° b) 54° y 80° 46°
c) 50° y 84° d) 54° y 84° e) 50° y 76° 30°
20°
3. En un triángulo obtusángulo , el ángulo interior en mide 110°. Si es el ortocentro, el ángulo mide: a) 60° b) 80° c) 70° d) 75° e) 65° 4. En un triángulo equilátero , de 8
de lado, se traza paralelo al lado , de modo que el triángulo se descompone en un trapecio y un nuevo triángulo. El valor de para el cual el perímetro del trapecio sea igual al del triángulo es: a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. En la figura, el triángulo es isósceles, es base y , altura relativa al lado . Si 3 y 1, entonces vale: a) 1 b) 2 c) √5 d) √6 e) 3 6. El rombo está inscripto en el triángulo del rombo mide, en metros: a) 5 b) 3 c) 2 d) 4 e) 8 7. El triángulo de la figura es equilátero. a) 76/11 b) 77/11 c) 78/11 d) 79/11 e) 80/11 Cursillo Pi 74 . Si 12
5 y ,
8
y 6. El valor de Ing. Raúl Martínez 6
es: , el lado Geometría y Trigonometría 8. En un trapecio, cuyos lados paralelos miden 4 y 6, las diagonales se intersectan de modo que los menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3. La medida de la menor diagonal es: a) 3 b) 4 c) 9/2 d) 3 e) 15/2 9. Sean los triángulos rectángulos y , siendo y los vértices de los ángulos rectos. Entonces, la proposición falsa es: ∆
∆
a) Si , entonces ~
. ∆
∆
y , entonces ~
. b) Si ∆
∆
y , entonces . c) Si ∆
∆
, entonces ~
. d) Si ∆
∆
y , entonces . e) Si 10. De los cuatro puntos notables de cualquier triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior del triángulo conforme el tipo del triángulo. Estos puntos son: a) El baricentro y el ortocentro. b) El baricentro y el incentro. c) El circuncentro y el incentro. d) El circuncentro y el ortocentro. e) El incentro y el ortocentro. 11. En un triángulo una base mide 60
, la altura y la mediana en relación a esa base miden, respectivamente, 12
y 13
. Los otros dos lados del triángulo miden, en centímetros: a) √761 y √1320 b) √769 y √1369 c) √513 y √819 d) 5 y 7 e) 14 y 19 12. En el rectángulo de lados 4 y diagonal . El segmento mide: a) 3/2 b) 12/5 c) 5/2 d) 9/5 e) 2 13. En la figura, es un rectángulo. 4,
a)
b)
c)
d)
e)
1 y es perpendicular a la . Entonces √5/4 5/2 9/4 11/4 5/√2 Cursillo Pi 3, el segmento 75 Ing. Raúl Martínez vale: Geometría y Trigonometría 14. La suma de los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 32. La hipotenusa del triángulo mide: a) 6 b) 8 c) 3 d) 4 e) 5 15. En la figura, es un rectángulo. La medida del segmento es: 4
a) 0,8 b) 1,4 c) 2,6 3
d) 3,2 e) 3,8 Guía de ejercicios N° 4 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega 1. Los arcos cuyo coseno es √2 pueden estar en los cuadrantes: b) 1° y 2° a) 1° y 4° c) 1° y 3° d) 2° y 3° 2. Todos los valores de , de modo que la expresión sen
a)
1
3. Si a)
1 b)
3 /2 y cos
1; 0) b)
1
0 c)
1
2
2 d)
3
e) N.d.a 1
exista son: 1
0,5 e)
2
1; entonces, varia en el intervalo: 1; 0) c) 0; 1/2) d) 0; 1) 1
1/3 e) 1/2; 1) 4. El menor valor que asume la expresión 6 sen para variando de 0° a 360° es: a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) 1 5. Los cuadrantes donde están los ángulos , y tales que: sen
0 y cos
0; cos
0 y tg
0; sen
0 y tg
0; son respectivamente: a) 3°, 2°, 1° b) 2°, 3°, 1° c) 3°, 1°, 2° d) 1°, 2°, 3° e) 3°, 2°, 2° 6. Si e satisfacen 0
/2. Se cumple que: a) sen
sen b) cos
cos c) tg
tg d) sec
sec e) cosec
cosec 7. La función que mejor se adapta al gráfico es: a) sen b) cos c) d) e) sen 2 cos 2 sen 8. Si sen
a) 3/4 Cursillo Pi 2
1
2
0
2
3
4
1
24/25 y sec es negativa, entonces el valor de b) 3/5 c) 5/4 76 1 cos
es: 1 cos
d) 4/3 Ing. Raúl Martínez e) 1/2 Geometría y Trigonometría 9. Si sen
a)
1
, entonces, 1
2 1
b)
2
10. Las raíces de la ecuación 2
de es: a) 0 b) 2 11. La expresión a)
b)
c)
d)
e)
es igual a: 1
1
c)
1
1
d)
2
1
1
e)
1
2 1
0 son sen y cos , siendo un número real. El valor c) 4 d) 5 e) N.d.a es idénticamente igual a: cotg sec sen
cos tg
sec cosec 12. La expresión es equivalente a: a) cos
sen b) cos
sen c) cos d) sen e) N.d.a 13. Las raíces de la ecuación 2 tg )
1 0 son: a)tg
cosec b) tg
cos c) tg
sec d) N.d.a 14. El valor de , para el cual cos
sen )
sen cos
1 0 es una identidad, es: a) 1 b) 2 c) 0 d) 1 e) 2 15. En la figura el radio de la circunferencia vale 6. El segmento vale 3 y . La medida en radianes, de es: a) /3 b) /6 c) /4 d) /9 e) 3 /8 16. Considere la figura abajo. La longitud del segmento es: a) √2 1/2 b) √2 1/√2 c) √2 1 d) 1 √2/2 e) √2 1 17. Sabiendo que 45°
/3 y /2, entonces, sen
sen es igual a: d) 1/2 b) 1 c) √3/2 a) √2/2 e) √2 18. El seno de uno de los ángulos agudos de un rombo es igual a 1/2, por lo tanto la tangente del mayor ángulo interno es: a) 1 b) √3/2 c) √3/3 d) √3/3 e) √3/2 Cursillo Pi 77 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 19. Dado el ángulo 1782°, entonces: a) sen
sen 18° ; cos
cos 18° ; tg
tg 18° b) sen
sen 18° ; cos
cos 18° ; tg
tg 18° c) sen
sen 18° ; cos
cos 18° ; tg
tg 18° d) sen
sen 18° ; cos
cos 18° ; tg
tg 18° e) sen
sen 18° ; cos
cos 18° ; tg
tg 18° )
°
20.
)
°
)
°
°
a) cotg b)
)
°
)
°
)
°
)
°
)
tg 1 c)
es igual a: d) 1 e) N.d.a 21. Se sabe que tg 75° 2 √3 y tg 60° √3. El valor de tg 15° es: a) 1/3 c) √3 d) 2 √3 e) 2 √3 b) √3 22. La expresión sen cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 16 cos 32 es equivalente a: a) sen 36 b) sen 64 c) cos 64 cos 64
2
sen 64
e)
2
d)
23. Sabiendo que cos 2
2/3, entonces el valor de tg es: a) 11/5 b) 1 c) 3/5 d) 6/5 24. Si es un ángulo del primer cuadrante y sen
, la expresión 2 cos
a) 2 1 2 ) b) 2 1 2
2 ) c) 2 1 2 ) 4 √1
) d) 4 1
e) N.d.a 25. Si tg
, entonces, cos 2
sen 2 es equivalente a: 1
1
1 2
b)
1
e) 1/5 sen 2 es igual a: a)
c) 1
d) 1
e)
2
1 2
1
26. Si tg
a) 15° 27. Sea 0
a) tg
2
b) tg
2
c) tg
2
d) tg
e) tg
Cursillo Pi 2
y tg 2
3 ,
0, el ángulo mide: b) 60° c) 45° d) 30° /2. De la figura de abajo se puede concluir directamente: tg
2
sen
1 cos
1 cos
sen
sen
1 cos
1 sen
1 sen
e) 22°30’ 0 , 1)
1 , 0)
78 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 28. Si cotg
a)
b)
c)
d)
e)
√3, entonces: 2
sen
sen
sen
sen
N.d.a √3/2 √2/3 1/2 1 29. Simplificándose la expresión a) sen , se obtiene: b) cos 30. La expresión tg
a) 2 sen c) tg cotg para 0
2
b) 2 cos ,
c) 2 tg 0 y b)
√
4
4
e) √3 sen
3
2 sen 2
a) 2 cos 2 sen
sen 60°, se obtiene: sen 3 es igual a: 2
, la ecuación √1
No admite solución Admite como solución Admite como solución Admite como solución Admite como solución Cursillo Pi es igual a: 4 sen 2 cos 2
sen 2 cos 2 3 sen 2 cos 2 2 sen 2 cos 2 35. En el intervalo a)
b)
c)
d)
e)
2
2
b)
c)
d)
e)
4
d) √2 sen
34. sen
e) 2 cosec sen
c) 2 sen
d) 2 sec 0, podemos afirmar que tg
a) / b) 1 n⁄m c) √m/n d) n⁄m
e) N.d.a 32. Transformándose en producto la expresión cos 70°
a) 2 cos 5° cos 65° b) 2 sen 40° sen 20° c) 2 sen 20° cos 40° d) 2 cos 5° cos 65° e) 2 sen 40° cos 20° 33. La expresión sen
cos es idéntica a: a) √2 sen
e) cosec /2, es igual a: 2
31. Sabiendo que sen
d) cotg sen
cos
√2: 2 /3 3 /4 5 /6 79 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Guía de ejercicios N° 5 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega 1. Calcular el radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo isósceles de base ángulo opuesto a la base es a)
4 3
3
b)
8 y el 120° 8 3
2
c)
16 3
3
d)
8 3
3
e)
4 3
2
2. En un triángulo rectángulo recto en se sabe que el ángulo formado por las medianas es 30°. El ángulo mide: a) 2 arcsen
4
arccos
c)
arccosec
d) arcsec
3 3
b)
√
√
4
3 3
y 3. Una recta determina, sobre una circunferencia de radio 10, una cuerda de 16. La medida del ángulo central correspondiente a la cuerda es: a) 2 arcsen
4 5
arcsen
b)
c) 2 arccos 4/5) d)
arccos 4/5) 4. El mayor ángulo de un triángulo rectángulo de hipotenusa circunferencia inscripta es 2 a) arcsen
5
13
b) arccos
12
13
c) arcsen
12
13
13
, sabiendo que el radio de la d) arccos
5
13
5. Para medir la altura de una torre vertical se toma en el plano horizontal que pasa por su base , el segmento 12 y cuyo punto medio es . Se miden los ángulos ,
y verificándose que 45° y 60°. La altura, en metros, de la torre es: e) 6√3 d) 3√6 a) 3√7 b) 3√2 c) 6√2 6. Para obtener la altura de una chimenea, un ingeniero, con un aparato especial, estableció la horizontal y midió los ángulos chimenea es: tg
tg
tg
b) tg
tg
c) cotg
tg
d) tg
a) y una vez medido 1 1 1 1 Cursillo Pi 80 Ing. Raúl Martínez . La altura de Geometría y Trigonometría 7. Teniendo en cuenta la figura abajo, calcular : a) 90 b) 120 c) 40 d) 80 2
e) 130 60
60
8. Los lados de un triángulo son dados por 1, 2
1 y 1. El mayor de los ángulos del triángulo es: a) 130° b) 120° c) 110° d) 100° e) 90° 9. Un observador colocado a 25
de un edificio, ve la parte más alta del edificio sobre cierto ángulo. Si se aleja del edificio en línea recta 50 , el ángulo de elevación es la mitad del anterior. La altura del edificio es: a) 25 b) 25√3 d) 50√3 c) 50√2 10. El ángulo sobre el cual un observador ve una torre se duplica cuando él se aproxima 110 y se triplica cuando se aproxima 50 más. La altura de la torre es: a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88 11. El radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo de 20
, el cual tiene dos lados formando un ángulo agudo y con medidas 8
y 10 respectivamente: a) 5,4 b) 4,5 c) 4,05 d) 5,04 12. Si es la menor raíz positiva de la ecuación tg
1) 4 sen
3) 0, entonces el valor de sen
cos es: a) 5/16 b) 0 c) 1/4 e) 1/2 d) √3/2 2 0: 13. En el intervalo 0, 6 , la ecuación cos 2
2 sen
a) Posee una infinidad de raíces. b) Posee exactamente dos raíces. c) No posee raíces. d) Posee una única raíz. e) Posee exactamente tres raíces. 14. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo no isósceles son raíces de la ecuación (en ) 3 tg
cotg
4 . Entonces el valor de es: a) 1 d) 1/3 e) 1/2 b) √3/3 c) √3 15. En la figura, vale: a) 60 30°
b) 65 c) 70 50
d) 75 60°
e) N.d.a 16. Una persona de 1,70 de altura la parte más alta de un árbol sobre un ángulo . Si la persona está parada a metros del árbol, la altura aproximada, en metros, del árbol es 1,70 más: a) tg b) cos c) sen d) sec e) cotg Cursillo Pi 81 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría ,
17. En la figura, a) cotg
b) tg
c) cotg
d) tg
e) cotg
cotg
a) tg
cotg
tg
de la figura, 1 √2 √3 √3/2 2,
45° y 60°. Entonces el lado mide: un triángulo rectángulo recto en y sea su área. Entonces la afirmación verdadera es: sen c)
tg e) cos
. Entonces: tg
b)
d)
,
tg
18. En el triángulo a) √3
b) 2
c) 1
d) 1
19. Sea ,
2 sen 2
4
20. En la figura, es una circunferencia de radio , y son rectas tangentes a la circunferencia y 2 , entonces el ángulo de las rectas y verifica: 4
a) sen
5
3
b) sen
5
c) sen
√3/2 d) cos
√3/2 e) cos
1/2 21. Un navío, navegando en línea recta, pasa sucesivamente por los puntos , y , cuando el navío está en el comandante observa un farol , y calcula el ángulo 75°. ¿Cuántas millas separa el farol del punto ? c) 8/3 e) √3/2 d) √2/2 4 millas hasta , verifica el ángulo a) 4 b) 2√2 Cursillo Pi 30°. Después de navegar 82 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría ;
22. En la figura es: a)
;
y . El valor de , en función de y sen 2 b) 2 sen 2 c)
sen d) sen 2
e) 2 sen 23. Se desea construir una ferrovía uniendo el punto al punto que está a 40√2
al sudeste de . Un lago entre y impide la construcción en línea recta. Para evitar el lago, la ferrovía será construida en dos trechos rectos con vértices en el punto , que está a 36
al este y 27
al sur de .La longitud del trecho es: b) √183
c) √184
a) √182
d) √185
24. En un triángulo escaleno , los lados a los ángulos , y miden respectivamente , y . Entonces la expresión sen
sen
a)
sen
sen
sen
es igual a: sen sen
sen b) sen
c) 0 d) 1 e) N.d.a 25. En la figura tenemos que 2 . Entonces vale: a) 80° b) 70° 120°
c) 60° d) 40° e) 20° 26. En la figura, las medidas de los arcos , , y son expresadas en grados, por , 20 y 30, respectivamente. Entonces mide: a) 115° b) 110° c) 105° d) 100° e) 95° 27. En la siguiente figura, la medida de es: a) 96° 62°
b) 63°30’ c) 48° d) 34° e) 3° Cursillo Pi 83 Ing. Raúl Martínez 10, Geometría y Trigonometría 28. En la figura, el segmento es un diámetro de la circunferencia. Entonces vale: a) 50° b) 40° c) 70° d) 60° e) 80° 2
29. Si en la figura las medidas de los arcos , , y son 20°, 124°, 36° y 90° respectivamente, la medida de es: a) 34° b) 35°30’ c) 38°30’ d) 40° e) 70° 30. Dos circunferencias son tangentes interiormente. La distancia entre los centros es 8
y el radio de la circunferencia mayor mide el triple del radio de la menor. El radio de la mayor mide: a) 10
c) 14
d) 15
e) 18
b) 12
Guía de ejercicios N° 6 de Geometría y Trigonometría Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega 1. Si un triángulo rectángulo , recto en se cumple sen cotg sen
1
. Entonces tg 16
vale: b) √13 a) √11 2. En el siguiente gráfico: e) √19 d) √17 c) √15 . Calcular tg : tg 53°
2
tg 53°
b) 3
tg 53°
c) 4
tg 53°
d) 5
a) 53°
3. En el triángulo rectángulo , recto en , se cumple que: cotg
cotg
16 sen sen cos cos a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 4. En un triángulo rectángulo 90°), si tg
5
y 12
4. Calcular e) 1/4 21, el perímetro del triángulo es: a) 90 b) 120 c) 150 d) 75 e) 136 5. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de los tangentes de los ángulos agudos del triángulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Cursillo Pi 84 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría . Calcular 6. En la figura adjunta se cumple que: cotg
cos a) 3/4 b) 5/4 13
c) 7/4 d) 9/4 e) 11/4 12
7. En la figura mostrada, el área del triángulo en función de es: a) 4 sen b) 8 sen 2 c) 2 cos d) 5 sen e) 3 cos 2 4
4
8. Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12. Halle la altura de dicho trapecio y el producto de sus diagonales es 80. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 ) 9. En la figura halle en términos de y a) sen cos b) sen cosec c) sen cos d) sen cos e) sen cos 10. Si sen 25° 0,3. Calcular el valor de sen 205° cos 115° a) 0,3 b) 0,9 c) 0,3 d) 0,09 e) 0,09 a) 15° b) 30° 12. Simplifica la expresión: a) 1 13. En un triángulo )
°
11. Calcular la medida del ángulo , si cumple tg 230°
tg 50°
cotg 40°
, reducir c)
1 tg 3 4
tg
3
1 85 d) 60° e) 75° d) tg e) cotg ) sen cosec
a) 2 b) 1 c) 0 14. De las siguientes proposiciones: I.
Si , entonces cos
cos II.
Si /2, entonces tg tg
1 III.
Si 3 /2, entonces sen sec
1 Es o son verdaderas: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y III e) Todas Cursillo Pi )
°
c) 37° b) 2 °
d) 1 Ing. Raúl Martínez e) 2 Geometría y Trigonometría sen
15. En un triángulo se cumple: sen
triángulo seguro es: a) Rectángulo b) Isósceles c) Equilátero d) Obtusángulo e) Acutángulo 16. Si cosec
cotg
√3. Calcular tg
)
sen
cos
). Entonces el cotg /2. 2
a) √3 b) √3/2 c) √3/3 d) 2√3/3 e) 3√3/2 17. Siendo un arco en posición normal positivo y menor de una vuelta que pertenece al III C el cual 0,3. Calcular cumple: cos
a) b) 1 √20 sen 2
√7 tg 2 d) √2 c) 0 e) √5 f) √13 8, calcular cotg 18. Si en el gráfico a) 8 b) 1/8 c) 3/8 d) 8/3 e) 3/4 19. Si en el gráfico a) 8 b) 1/8 c) 3/8 d) 8/3 e) 3/4 Cursillo Pi 3
2
1, calcular tg /2 2
2
86 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. Las diagonales de un rombo miden y 2 . Al unir los puntos medios de sus lados resulta un polígono. La diferencia que existe el área del rombo y el área del polígono expresada en función a es: a)
/4 b)
1
/2) c)
d) 2 e)
/2 2. Dentro de un cuadrado de lado se desea construir un triángulo equilátero de manera que un vértice del triángulo coincida con un vértice del cuadrado y los otros dos vértices se encuentren sobre los lados del cuadrado no adyacentes al vértice común. La longitud del lado del triángulo en función al del cuadrado es: a)
1
2
√5 b)
1
2
√3 c)
3/2 d) 2 2 √3 e) 2 2 √3 3. En un semicírculo de radio igual a se inscribe un cuadrado (un lado del cuadrado descansa sobre el diámetro). El área del cuadrado en función a es: a)
d) 4 /5 b) 4 /25 e) 12 √3/5 c) 2 √5/5 , se puede afirmar que el radio expresado en 4. Si el área de una superficie esférica es igual a: a) 2 b) 2 /3 c) d) 4 e) /2 5. El volumen de un octaedro de arista igual a expresado en función a es: es a)
b) √3/2 c)
d) √2/4 e) √2/2 √3/4 √2/3 6. En un cilindro de radio de base y altura 2 , se coloca un cono de radio de base y altura . Si el volumen del cono es 1/3 de la del cilindro, la altura del cono mide: a) 2 /3 b) 3 c) 2 d) 6 e) 7. Dentro de una esfera de radio igual a , se colocan 4 esferas de radios iguales de manera que cada esfera pequeña sea tangente a otras dos esferas pequeñas y a la esfera de radio . Si además los centros de las cinco esferas se encuentran en un mismo plano, la relación entre los volúmenes de la esfera de radio con una de las pequeñas es: a) 4 b) √2
1 c) √2
1 d) √2
1 e) 2 √2 1 8. La base de un prisma recto es un hexágono regular inscripto en una circunferencia de radio . La 4
altura del prisma es 2 . La expresión a) Tercio del área total. b) Volumen dividido el radio c) Doble del área lateral d) Área lateral e) Área total Cursillo Pi √3 corresponde al: 87 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 9. De todas las afirmaciones siguientes, la correcta es: a) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces un ángulo recto como lados menos dos tiene el polígono. b) Sólo en el triángulo equilátero se cumple que el circuncentro y el incentro coinciden c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales d) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e) En todo triángulo se cumple que si un ángulo es el doble que otro, el tercer ángulo es recto 10. Si el complemento del suplemento del triple de un ángulo es igual al suplemento del complemento de la mitad del mismo ángulo, el ángulo mide: a) 51°25’ b) 36° c) 54° d) 72° e) 126° 11. Alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta se trazan dos semirrectas formando tres ángulos consecutivos , 2 y 3 . Si las bisectrices del segundo y tercer ángulo son ortogonales la medida de es: a) 30° b) 36° c) 45° d) 15° e) 22°30’ 12. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 5 diagonales, la medida de un ángulo interno es: a) 54° b) 120° c) 135° d) 30° e) 45° 13. Observando la figura , y son puntos medios de y respectivamente. Si el área del cuadrado es 128
. La medida aproximada de expresada en es: a) 11,31 b) 64 c) 16 d) 22,63 e) 18,47 14. De las siguientes expresiones marca la correcta a) En todo triángulo se cumple que la suma de las alturas es menor que la suma de las medianas. b) El incentro siempre es un punto que equidista de los vértices del triángulo. c) En todo triángulo siempre existe un punto interior del triángulo que equidista de los vértices del triángulo. d) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son siempre perpendiculares. e) En un triángulo isósceles, cada ángulo de la base es la mitad del suplemento del ángulo del vértice opuesto a la base. 15. Por un punto exterior a una circunferencia de radio se trazan dos secantes que cortan a la misma en los puntos , y , . La medida de 2 y dista del centro /2. El área del triángulo expresada en función de es: a) 9 /4 b) √3 /2 c) 3√3 /4 d) 3√5 /4 e) 3 /4 Cursillo Pi 88 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Prof. Ing. Gary F. Lozano 11. Un regador de agua de jardín, funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro de ida y vuelta de 60°. El chorro de agua alcanza 16 . El área de la superficie de pasto regada es de: a) 128
b) 134,04
c) 268,08
d) 110,85
e) 221,70
12. Se sabe que en la figura de abajo y además . La alternativa correcta es: a) Los triángulos y son congruentes b) Los triángulos y son congruentes c)
2
d) Los triángulos y son semejantes e) Los triángulos y son congruentes 13. En la figura de abajo, es tangente, siendo el punto de tangencia. El área de la corona circular expresada en es: a) 9 b) 12 3
c) 15 d) 3 e) 6 14. En la figura de abajo es un cuadrado y , , y son puntos medios de los lados del cuadrado. mide 6
. El área de la región sombreada es de: )
a) 9 6
)
b) 18 6
)
c) 6 18
)
d) 12 4
e) 18
3)
15. Dos circunferencias de centros y tienen como radios: y 2 , los centros y están separados 5 . La tangente común corta a en el punto . La medida en función de es: a) 5 /3 b) 2 c) 3 /5 d) 10 /3 e) 2 /3 16. Un avión vuela horizontalmente a 3
de altura. Un observador situado en el suelo ve al avión en un instante con un ángulo de elevación de 60° y en un instante ve al avión con un ángulo de elevación de 30°. La distancia recorrida por el avión, en , desde el intante hasta el instante es aproximadamente: a) 3,46 b) 6 c) 1,73 d) 1,50 e) 2,60 Cursillo Pi 89 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 17. En un triángulo , el ángulo interno mide el doble de lo que mide el ángulo interno , 1. Entonces la medida del ángulo es: b) 90° c) 120° d) 30° e) 45° sen
cos
3
1
18. Sea el sistema , donde es un ángulo del primer cuadrante, el valor de cos
sen
√2 y además a) 60° 3
es: a) √2/2 b)
c)
3
2
3
6
1
1
d) √2 e) √2/3 19. Un triángulo tiene lados de medidas ,
y . El coseno del menor de los ángulos es: a) 1/4 b) 1/4 c) 7/8 d) 7/8 e) 11/16 20. Si sen
5/7 y es un ángulo del segundo cuadrante, entonces de las siguientes afirmaciones 2 6
7 5 6
tg
12
7
cosec
5
cos
I)
II)
III)
Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III 21. El ángulo del primer cuadrante que satisface cos
a) 45° b) 60° d) I y III 3
1
2
c) 75° 22. Al transformar en producto la diferencia sen
25
. sen 25 3
25
25
2 cos . cos 6
2
25
2 sen . cos 25 3
25
25
2 sen . cos 6
2
25
25
2 sen . cos 2
6
50
3
sen ) es: d) 20° sen
e) Todas e) 30° 50
se obtiene: 6
a) 2 sen
b)
c)
d)
e)
) cos cos
23. La expresión sen sen
a) La inversa del coseno de b) La inversa de las secante de c) La reciproca de la secante de d) La reciproca del seno de e) La reciproca del coseno de 24. Dado que sen
a) 0 Cursillo Pi 1
y cos
2
) es equivalente a: 3
, el valor de 4
b) 1 c)
1/4 90 ).
)
).
)
es: d) 1/4 Ing. Raúl Martínez e)
1 Geometría y Trigonometría 25. Si cos
sen
, entonces: I)
tg
II)
tg
III)
sec
IV)
sec
2
Es o son verdaderas a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo IV e) I y IV 26. Dos lados de un triángulo oblicuángulo miden 32,45
y 27,21
y el ángulo comprendido mide 66°56 . La medida del menor ángulo del triángulo es: a) 48°58’ b) 66°56’ c) 17°58’ d) 113°4’ e) 64°6’ 27. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior, se observa con un ángulo de elevación de 30 grados sexagesimales y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados sexagesimales. La altura del edificio, en , es: 16 3
3
3
b) 8
3
a)
1 c) 16 d)
√3
1 e)
√3
3 28. Dado que tg
a) 2/5 1
y tg
2
3, el valor de cotg
b) 1 29. La expresión más simple de a) cos b) cotg c) sec d) sen e) tg 30. Si se sabe que sen
y es: a) 1 b)
c)
d)
e)
y cos
1 c)
) es: d)
2/5 e) 2/7 es: , con 0
/2. Entonces tg
/4) en función de Cursillo Pi 91 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11’52”. Calcular el valor del ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto. a) 23°48’8” b) 51°50’17” c) 52° d) 44° e) 53° 2. Los triángulos son equiláteros, mide: a) √7
√2 b) √19
3 c) √7
√3 d) √7
√3 e) √3 √2 3. Cuales son las proposiciones no falsas: I)
Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si. II)
Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros lados estarán en línea recta. III)
Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos. IV)
Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son perpendiculares. V)
Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementaros. a) I y II b) Solo I c) II, III y IV d) Solo V e) IV y V 4. Si el suplemento del ángulo es 4
, donde es el complemento de dicho ángulo, entonces: a) e son ángulos suplementarios. b) es agudo e es obtuso. c) esa como 1: 2 d) es a como 2: 1 e) e son ángulos congruentes 5. Los ángulos y de un cuadrilátero valen 78° y 114°. Calcular el valor del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos y a) 69° b) 78° c) 114° d) 90° e) 96° 6. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados? a) 145° b) 160° c) 135° d) 155° e) 165° 7. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de ellas el doble de la altura. a) 115° b) 130° c) 120° d) 128° e) 118° 8. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3 a) 53° y 55° b) 15° y 75° c) 30° y 60° d) 30°30’ y 59°30’ e) 29°30’ y 60°30’ Cursillo Pi 92 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 9. En el triángulo equilátero es: ,
2,
3 y 1. El perímetro del triángulo a) 5 √7 b) 5 √10 c) 5 √19 d) 5 √13 6√3 e) 5 √13 6√3 10. Un polígono regular de 12 lados inscripto en una circunferencia de radio 1, tiene como medida de su lado a: a) 2 √3 d) 1 √3 /2 e) √3 1 /2 c) √3 1 b) √2 √3 11. Un rombo tiene diagonales que miden 12 y 16
. La longitud en centímetros de la circunferencia inscripta a el rombo es: a) 24/5) b) 48/5) c) 42/5) d) 40/5) e) 56/5) 12. Dada dos circunferencias tangentes exteriores y de radios y respectivamente. La longitud del segmento tangente exterior común a las dos circunferencias es: a) 4√ d) √2 e) √
) c) 2√ b) 2
13. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 6
. El coseno del mayor de los ángulos interiores del triángulo es: a) 11/24 b) 11/24 c) 3/8 d) 3/8 e) 3/10 14. De las afirmaciones I)
Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes. II)
La intersección de dos rectas carecen de dimensión. III)
Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos. Son falsas a) Ninguna b) I y II c) Sólo I d) I y III e) Todas 15. De las opciones, marca la alternativa correcta: a) El rombo es un paralelogramo equiángulo. b) Un cuadrilátero es un paralelogramo. c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo. d) El cuadrado es un rombo equiángulo. e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa. 16. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo recibe el nombre de: a) Seno b) Coseno c) Cosecante d) Secante e) Tangente 17. En todo triángulo rectángulo de hipotenusa , catetos y , y (altura relativa a la hipotenusa), se verifica: a)
b)
c)
d)
e)
Cursillo Pi 93 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 18. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un hexágono de lado a)
1 √3 b)
7/4 √3 c)
d)
2 √3 e)
3 √3 √3/2 19. En el paralelogramo es punto medio de hallar , si 16. a) 4 b) 6 c) 8 d) 7 e) 5 20. Si y son bisectrices interna y externa de , hallar en metros, si 8 y 6 . a) 42 b) 48 c) 44 d) 24 e) 36 21. El triángulo es equilátero es un diámetro paralelo a . La razón entre las áreas del triángulo y del trapecio , si el radio de la circunferencia es 6 es: a) 5/4 b) 9/5 c) 9/7 d) 9/4 e) 8/5 22. es diámetro del círculo, la razón entre las áreas de los triángulos y es: a) 5/4 b) 4/3 c) 3/4 d) 1 e) √3/2 23. Se tienen 2 ángulos consecutivos y . Se traza la bisectriz del ángulo , hallar el ángulo y es igual a 140° y la diferencia de los ángulos y es 120°. a) 85° b) 95° c) 75° d) 65° e) 55° 24. Si el complemento de es al suplemento de , como el suplemento de es al complemento de . Halla la suma de las cifras de la medida del ángulo mayor. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Cursillo Pi 94 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. El valor de en la expresión °
√
°
°
°
°
a) 4 b) 1 c) 1/3 d) 19/9 2. Cual de las expresiones no es verdadera: I)
cotg 90° 0 II)
arccotg 3/4) 0,927
III)
arcsen 1,2) no existe IV)
sec 90°
∞ V)
cosec 180°
∞ a) Sólo III b) I y III c) I, II y III d) Ninguna 3. Que valores deberá tomar para que exista la función seno en: 2
1 sen
2
1 a) 2 b) 1 o 1 c) 0 o 2 d) No se sabe 4. Si cos /4) 1/2 y 0°
360° entonces vale: a) 240° b) /3 y 20 /3 c) 60° y 240° d) 60° y 300° e) 4 /3 y 20 /3 e)
10/4 e) IV y V e) Faltan datos 5. Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas: I. En radianes cos 2
0,416 II. sen α/2) cos α/2) 1 III. tg
α β)
tg α β) IV. sec
α β)
sec a β) V. Si P 1/2, y) es un punto que pertenece a la circunferencia trigonométrica, entonces el valor de y es √3/2 VI. El seno y el coseno son funciones periódicas de periodo 2 a) I, III y V b) I, II y IV c) I, II, III y V d) I, II y IV 6. Si sec . cosec
2. Hallar el valor de , si sen3
sen
a) 3/2 b) 3/2 c) 1/2 d) 1/2 e) 1 2 sen cos 7. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26
ángulo hace con la horizontal? a) 12°05 6" b) 14°34 27" c) 15°5 e) Todas cos3
cos
. Por cada 100
horizonrales. ¿Qué d) 13°7 e) 18°06 8. Encuéntrese el ángulo de elevación del sol si una persona de 1,75 de altura proyecta una sombra de 7 de largo. a) 13,78° b) 12,5° c) 14° d) 12,6° e) 66,2° Cursillo Pi 95 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 9. Un tirante de alambre atado desde un poste hace ángulo de 69° con el nivel del suelo y esta fijado al suelo a 4,27 de distancia del poste. Encuentre la longitud del alambre, en metros: a) 13,0 b) 10,5 c) 11,9 d) 8,5 e) 7,0 10. Un avión esta volando alejándose de un observador en tierra a una razón constante y mantiene una altura de 4572 . En cierto instante el observador mide el ángulo de elevación como 44°, 15
después como 31°. ¿Qué tan rápido esta volando el avión en / ? a) 960 b) 609 c) 550 d) 600 e) 690 11. Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que esta a 600 de distancia (horizontal). El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de 19,6° y el ángulo de depresión de la base de la torre es de 21,3° ¿Qué altura tiene la torre? a) 408 b) 448 c) 804 d) 434 e) 315 12. En un centro comercial la distancia vertical del primer piso al segundo es de 4,27 . La escalera mecánica que tiene un alcance horizontal de 14,63 , hace 12,5 segundos en llevar a una persona entre los dos pisos. ¿Qué velocidad lleva la escalera en SI? a) 1,22 c) 1,5 d) 0,5 e) 2,2 b) 2,0 13. Encuéntrese el radio en centímetros en cada uno de los siguientes círculos es ( : longitud de arco) a) 10 y 3 6
160,4°
b) 12 y 5 c) 0,3 y 14 d) 14 y 3 e) N.d.a 14. Una cuerda con punto inicial 0, 1) y con una longitud de 4 /3 se enrolla alrededor del círculo unitario en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del extremo? a) 0, 1) b) 0,1) d)
1/2, 0) c) √3, 1 e) √3/2, 1/2 ) tiene coordenadas en una circunferencia trigonométrica dada por , 1/2) Encuéntrese los dos valores posibles de Encuéntrese los ángulos para cada punto 15. Si I)
II)
√3/2; 210° y 300° √3/2; 7 /6 y 11 /6 a)
b)
c) √3 ; 210° y 270° d) 1/2 ; 30° y 210° e) √3/2 ; 60° y 240° Hallar el menor valor del ángulo que satisface a: 16. sen 2
60°) sen
30°) a) 45° b) 60° c) 30° 17. sec
2
Cursillo Pi e) 50° c) 36° d) 40° e) 60° c) 30° d) 15° e) 50° cosec 2 a) 45° 18. cos 45°
a) 45° d) 15° b) 30° )
sen 2
b) 60° 30°) 96 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 19. La ecuación es equivalente a: a) sen sen b) cos cos c) sen
sen d) cos cos / sen sen e) tg tg 20. Un triángulo tiene lados de medidas ⁄2 , 2 ⁄3 y ⁄3. El coseno del menor de los ángulos es: a) 1/4 b) 1/4 c) 7/8 d) 7/8 e) 11/16 21. De las proposiciones siguientes la correcta es: a) La inversa de cos
/2) es arcsen b) La recíproca de 1
es cosec cosec
c) La inversa de arcsec es arccos d) La inversa de sen es cosec ) es cosec e) La reciproca de sen /2
cos
22. El valor de para que se cumpla la identidad a) 1/2 23. En la ecuación tg
a) 45° b) 1 3
tg
c) 3/2 d) 5/2 sen es: e) 0 4 el valor de en el tercer cuadrante que satisface la ecuación es: b) 135° c) 251°33’54” d) 245° e) 252° EXAMEN FINAL DE TRIGONOMETRIA Prof. Ing. Gary F. Lozano 1. En la figura, expresar y en términos de , y a) cos
sen sen
cos b) cos
sen sen
cos c) cos
sen sen
cos d) cos
sen sen
cos e) cos
sen sen
cos 2. Si tg
cotg
2;
. Hallar cotg . a) 1 √2 b) 1 √2 c)
√2 1 /2 d)
1
√2 /2 e) √2 1 3. En un plano coordenado de origen 0 se tienen los puntos ) 1/2. Determinar . 1 y que cotg
a) 19/6 b) 19/4 c) 21/6 Cursillo Pi 97 2,
) y 10, 1). Sabiendo que d) 21/4 Ing. Raúl Martínez e) 5 Geometría y Trigonometría 4. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo del I cuadrante cuyo ángulo doble esta en el II cuadrante, su ángulo triple en el III cuadrante y su cuádruple en el IV cuadrante, pero inferior a 2 a) /4
/2 b) 5 /12
/2 c) /3
/2 d) 3 /8
/2 e) Faltan datos 5. Se tienen dos cias tangentes exteriormente de radio y . Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas cias y la recta que une los centros. ) a) 4 /
) b) 4 /
) c) 2 /
) d) 2 /
e)
/ √2
√2 6. Sea un triángulo con ángulos , y y lados opuestos , y , respectivamente. Simplificar sen ) cotg
cotg ) a)
b)
c)
d)
e)
7. Simplificar: ) sen 2
sen
sen
1)
) cos 2
cos
cos
1)
) a) cotg
b) cotg 2
1) c) tg
1) d) tg 2
1) ) e) tg
8. Dado sen
1 √3⁄3, calcular sec
a) 5/3 b) 5/2 c) 11/2 d) 1/2 e) 1/4 9. Si 0
/2 evaluar 3
) tg
) cosec
) sen
cos
sec
cotg 2
2
2
2
a) 2 sen b) 2 sen c) 2 cosec d) 2 cosec e) 0 10. Simplificar 1
tg
)
cotg
tg
1
)
cotg
a) tg
tg b) tg
tg c) cotg d) tg e) cotg Cursillo Pi 98 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 11. En un círculo trigonométrico se tiene que /2
I)
sen
sen |cos | |cos | II)
III)
cos
cos Es o son verdaderas a) Solo I b) Solo II c) Solo III 12. Si cos2
sen2
y 4 sen cos
2 cos2
2 sen2
sen cos
b) cos
c) cosec
d) sec
e) tg
d) I y II e) I, II y III entonces la diferencia entre y es igual a: a) 2/7) cotg 2 b) 7⁄2) cotg c)
7/2) cotg d)
7/2) cotg 2 e)
7/2) tg 2 13. Si /2
entonces siempre: a) sen
cos
0 b) tg
cotg
0 c) sec
cosec
0 d) cos
tg
0 e) sec
0 14. En un triángulo rectángulo los lados miden ,
ángulos se tiene que: a) sen
de las proposiciones 5 y 10. Entonces, se es el menor de los 5
10
10
10
5
10
15. Si /2
, la opción falsa es: a) sen /2) 0 b) cos 2
0 )
c) tg
0 d) 2 tg
0 e) 4 cos
0 16. Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30° y 60° respectivamente. Entonces: a) La altura de la primera torre es el triple de la otra b) La altura de la primera torre es la mitad de la otra c) La altura de la segunda torre es el triple de la primera d) Las alturas son iguales e) Las alturas de la primera y la segunda torre suman 5 unidades 17. Cuando el ángulo crece de a 3 /2, la grafica de la secante: a) Decrece de 0 a ∞ b) Crece de 1 a ∞ c) Decrece de 1 a ∞ d) Decrece de ∞ a 1 e) Crece de ∞ a ∞ Cursillo Pi 99 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 18. Los valores que puede asumir para que exista el seno de arco , que satisfaga la igualdad sen
4 a)
2 b) 1
3 c) 3
5 d)
3 e) 0
2 19. El ángulo formado por las manecillas del reloj a las 3 horas y 5 minutos es: a) 60° b) 63°30’ c) 64°30’ d) 61°30’ e) 62°30’ 20. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28,4°, en París, la torre Eiffel forma una sombra de 555,34 metros de largo. ¿Qué altura tiene la torre aproximadamente? a) 300 b) 3000
c) 924
d) 924 e) 435 21. Un decágono regular (10 lados iguales) esta inscripto en un círculo de radio . ¿Qué porcentaje del área del círculo es el área del decágono? a) 73,55 b) 83,55 c) 63,55 d) 88,55 e) 93,55 22. Sea el triángulo de lados , y , y de área 1/2. El producto de las cosecantes de su ángulo será. a)
)
b)
)
c)
d)
e) No se puede determinar )/
23. Dado sen
) calcular cotg a) 2
)/
b)
)
)/2
c)
)
)/2
d) 2
)/
) ) )/
e) 2
) 24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triángulo se puede resolver si se conocen: a) 1 lado y 2 ángulos b) 2 lados y el ángulo comprendido c) 2 lados y el ángulo opuesto a ellos d) 2 ángulos e) 2 lados y 2 ángulo Cursillo Pi 100 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 1.
2.
3.
4.
5.
Evaluación formativa de geometría y trigonometría. Fecha: 17/01/2013 Fila 1 De las siguientes proposiciones: I)
Dos ángulos complementarios son agudos. II)
Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser suplementarios. III)
Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares son complementarios. IV)
Dos ángulos adyacentes no pueden ser complementarios. V)
Un ángulo agudo siempre tiene complemento y suplemento. Es/son falsa/s: a) Solo I b) II y III c) I y III d) I, IV y V e) II, III y IV En una recta se tiene los puntos consecutivos , , , y ; de modo que 20 y /4, entonces la medida del segmento es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 La diferencia entre la suma de los suplementos y la suma de los complementos de dos ángulos, que se diferencian en 20°, es igual al doble de la suma de dichos ángulos. La medida del mayor es: a) 40° b) 55° c) 60° d) 75° e) 80° En la figura , entonces el valor de es: a) 10° b) 20° c) 15° d) 18° e) 12° En un polígono convexo de lados, si el número de lados aumenta en uno, entonces el número de diagonales: a) Aumenta en 1 b) Disminuye en 1 c) Disminuye en 1 d) Aumenta en 1 e) No aumenta ni disminuye Cursillo Pi 101 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 6. En un polígono regular de lados, la medida de un ángulo interior es cinco veces la medida del ángulo central, entonces el número de triángulos que se pueden formar al trazar todas las diagonales desde un solo vértice es: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7. En un triángulo se traza la bisectriz interior y el segmento , donde es un punto del lado . Si y se intersectan en el punto de modo que 2
y , entonces la medida de es: a) 45° b) 30° c) 36° d) 50° e) 42° 8. De las siguientes proposiciones, la falsa es: a) Todo triángulo equilátero es también isósceles. b) Si en un triángulo se cumple que los tres ángulos externos son obtusos entonces el triángulo debe ser acutángulo. c) Si un triángulo tiene un ángulo externo agudo entonces debe ser obtusángulo. d) Todo triángulo escaleno es también acutángulo. e) En todo triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos lados. 9. De las siguientes proposiciones, la falsa es: a) Las proyecciones de los lados congruentes de un trapecio sobre su base mayor son iguales a la semidiferencia de las bases b) Un paralelogramo que tiene dos lados consecutivos congruentes es un rombo. c) Un paralelogramo que tiene un ángulo recto es un rectángulo. d) Un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales es un paralelogramo. e) Un trapecio escaleno tiene los cuatro lados desiguales. 10. Considerando los siguientes enunciados: I)
Si .
. entonces es cuarta proporcional de , y . II)
Si , y son proporcionales a 2, 3 y 5, puede darse el caso en que 2,
3 y 5 III)
La recíproca de la razón entre la tercera proporcional de 4 y 3, y el reciproco de la cuarta proporcional 5 y 7 ; es 105/4 IV)
La media proporcional de y es la misma que la de y . V)
Si 4/3, entonces 4 y 3 En el siguiente orden son: a) VVFVF b) FVFVF c) FFVVV d) FFFVF Cursillo Pi 102 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría e) FFFVV 11. Siendo el baricentro de un triángulo . Si mínimo valor entero que puede tomar es: a) 8 b) 16 c) 18 d) 17 e) 10 8
( sobre 5
) y . El 12. En la figura . Si 5; 8; 6 y . La medida de es: a) 10 b) 9 c) 9,6 d) 10,2 e) 6 13. De los siguientes enunciados: I)
Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados. II)
Cualquier altura de un triángulo isósceles es también mediana, bisectriz y porción de mediatriz. III)
Tres o más rectas paralelas equidistantes determinan sobre cualquier recta, oblicua a ellas, segmentos congruentes. IV)
El producto de longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por su altura respectiva. V)
Toda recta que corta a dos lados de un triángulo dividiendo a estos en segmentos proporcionales, es par al tercer lado Es/son verdadera/s: a) Solo dos b) Solo cuatro c) Todas d) Ninguna e) Solo tres 14. En un cuadrado , la diagonal mide 18√2;
respectivamente. Si y 15. En el trapecio y son puntos medios de 82° y de la figura se cumple que y 42°. El menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos interiores y mide: a) 124° b) 118° c) 62° d) 56° e) 120° 16. Si sen
2 cos
0, entonces el valor de °
)
°
)
)
°
°
°
)
a) 5 b) 5 Cursillo Pi 103 Ing. Raúl Martínez )
° )
es: Geometría y Trigonometría c) 5⁄4 d) 5/4 e) 4 17. Marca la proposición falsa a) La función tangente siempre es creciente en los diferentes cuadrantes. b) La variación de la reciproca del seno es el conjunto de los números reales excepto los pertenecientes al intervalo 1, 1) c) La función secante esta definida para todos los números reales excepto en aquellos puntos donde el coseno se hace cero. d) Si 2 , entonces la variación de la cofunción de la cosecante es el conjunto de los números reales mayores a 1 y menores a 0. e) El periodo de la función coseno es 2 . 18. Sabiendo que . 90° 800°, siendo un ángulo en posición normal. Marca la afirmación correcta. a) Si 2 donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante. b) Si 2
1 donde es un número entero, entonces pertenece al cuarto cuadrante. c) Si 4
1 donde es un número entero, entonces pertenece al segundo cuadrante. d) Si 4
1 donde es un número entero, entonces pertenece al primer cuadrante. e) Si 3 donde es un número entero, entonces pertenece al tercer cuadrante. 19. Si y son ángulos agudos complementarios, al simplificar sen
2
cos 2
tg 2
tg 4
3
3
, se obtiene: a) √3 b) √2 c) √2 d) 1 e) 1 20. Marca la expresión incorrecta. ) cos
)
a) cos
2 sen . sen b) cosec
cotg ) cosec
cotg ) 1 c) Si sen ,
cos , entonces )
d)
)
sen )
e) cos
21. Si tg
1
, el valor de a)
b)
c)
d)
e)
)
cos ) sec sen 2 es: 22. Las soluciones de la ecuación sec 2
cuadrantes: Cursillo Pi sen
2, son ángulos cuyos lados terminales se ubican en los 104 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría a) Primero y segundo b) Primero y tercero c) Segundo y tercero d) Segundo y cuarto e) Primero, segundo, tercero y cuarto ) cotg
). El menor valor positivo que puede 23. Si /2 es una solución de la ecuación tg
asumir , es: a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 2 e) 7/2 24. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 4 y 5 respectivamente y forman un ángulo de 30°. El mayor de las diagonales del paralelogramo mide: a)
41
20√3 b)
41
20√3 c)
41
21√3 d) 41
e) √41 20√2 25. En un triángulo se sabe que 6 , 3 y 3 . El lado mide: a) 3 b) √3 c) 2√3 d) 3√3 e) 6√3 26. En un triángulo escaleno , los lados opuestos a los ángulos , y miden respectivamente )
, y . Entonces la expresión a)
b)
c)
)
°
)
es equivalente a: d) 1 e) 0 27. En un triángulo a)
b)
c)
d)
e)
,
30° y 45°. El área del triángulo es: 12 2√3 2 √12 2 4√3 2 3√3 12 3√3 Cursillo Pi 4
se sabe que 105 Ing. Raúl Martínez Geometría y Trigonometría 28. La anchura de una calle, que separa los edificios y , es de 20 . Desde la azotea del edificio se observa la azotea del edificio elevando la vista 45°. Si la altura del edificio excede a la altura del edificio en una cantidad igual a la mitad de la altura de , la altura del edificio es: a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100 29. Se sabe que tres ciudades , y , unidas por caminos rectos, forman un triángulo donde 120°,
2
y 99
. María estaba en la ciudad y viajó a la ciudad , pasando primero por . Si María hubiese tomado el camino que une a las ciudades y , habría recorrido por kilómetros menos. El valor de es: a) 21 b) 78 c) 111 d) 9 e) 18 30. El radio de la circunferencia (de centro ) de la figura es igual a 2
. El área del polígono es igual, es , a: a)
b)
c)
d)
e)
6
6 6
3
6
2√3 4√3 3√3 3√3 Cursillo Pi 106 Ing. Raúl Martínez