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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
ÁREA Y PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS
LINEA POLIGONAL: Se llama línea poligonal a la …gura formada por la unión de segmentos de recta.
FIGURA PLANA: Es una región del plano limitada por una línea cerrada.
POLÍGONO: Es una …gura plana limitada por una línea poligonal cerrada. Los segmentos de recta que
forman la poligonal se llaman lados del polígono.
Si los lados del polígono sólo se intersectan en los extremos, llamados vértices del polígono, y cualquier
línea recta que atraviesa el polígono, sólo lo interseca en dos puntos, decimos que el polígono es convexo,
en caso contrario decimos que es cóncavo.
Si todos los lados de un polígono convexo son congruentes, decimos que el polígono es regular.
Los polígonos reciben nombres especiales de acuerdo con el número de lados, así:
No.de lados
3
4
5
6
7
...
n
Nombre
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
...
Eneágono
1
CUADRILÁTEROS
De acuerdo con los lados y los ángulos, algunos cuadriláteros reciben nombres especiales,así:
Cuadrado: Es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son congruentes, y sus cuatro ángulos internos son rectos.
Rectángulo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y sus cuatro ángulos internos son
rectos.
Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Trapecio: Es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos.
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO: Es la suma de las medidas de los lados del polígono.
El perímetro se mide en unidades de longitud, como: milímetro [mm], centímetro [cm], pies [f t],entre otras.
ÁREA DE UN POLÍGONO: Es la medida de la super…cie limitada por los lados del polígono. El área
se expresa en unidades cuadradas
2
Unidad cuadrada:
Es la …gura limitada por un cuadrado cuyo lado mide una unidad de longitud. Se usan, entre otras:
Centímetro cuadrado [cm2 ]: …gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 cm.
Milímetro cuadrado [mm2 ]: …gura limitada por un cuadrado en el que cada lado mide 1 mm.
El área de un polígono es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir "perfectamente" la …gura
(sin traslapos).
CIRCUNFERENCIA: Es la línea cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto …jo llamado centro. A la distancia …ja la llamamos radio de la
circunferencia, y la denotamos r:
CÍRCULO: Es una …gura plana limitada por una circunferencia.
Se llama diámetro d de la circunferencia al segmento de recta que une dos puntos sobre la circunferencia,
y pasa por el centro, entonces d = 2r.
PERÍMETRO Y ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS
1. Rectángulo:
b: base.
h: altura.
Perímetro:
P = 2(b + h)
Área:
A = bh
3
2. Cuadrado:
l: lado
Perímetro:
P = 4l
Área:
A = l2
3. Paralelogramo:
b: base.
h: altura.
l: lado adyacente a la base.
Perímetro:
P = 2(b + l)
Área:
A = bh
4. Triángulo:
b: base.
h: altura.
a y c: los otros dos lados:
Perímetro:
P =a+b+c
Área:
1
A = bh
2
5. Trapecio:
B: base mayor.
b: base menor.
h: altura
a y c: los otros dos lados.
Perímetro:
P =a+B+b+c
Área:
1
A = (B + b) h
2
4
6. Círculo:
R: radio
d: diámetro
Longitud de la Circunferencia:
C=2 R= d
Área del círculo:
A = R2
En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al
ángulo recto se llama hipotenusa.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Si ABC es un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los catetos.
Prueba:
Sea h la medida de la hipotenusa, es decir de BC, y a; b las medidas de los catetos AB y AC del
Construyamos un cuadrado cuyos lados tienen longitud a + b, así:
Área del cuadrado de lado a + b : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Área del cuadrado de lado h : h2
ab
Área de los cuatro triángulos cuyos catetos son a y b : 4 = 2ab
2
5
ABC:
Luego, a2 + 2ab + b2 = 2ab + h2
Y así, h2 = a2 + b2
El teorema de Pitágoras se puede interpretar geométricamente diciendo que el área del cuadrado construido
teniendo la hipotenusa como lado, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de los cuadrados construidos
teniendo como lado cada uno de los catetos.
Esta a…rmación es válida si en vez de cuadrados, sobre los lados del triángulo se construyen …guras proporcionales.
Ejemplo:
¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero si la longitud de sus lados es 10 cm?
Solución:
Consideremos el ABC de la …gura.
Tracemos la altura del triángulo sobre AB y llamemos D al punto de intersección de ésta con el lado AB.
Como ABC es isósceles, la altura CD también es mediana y entonces AD = DB y cada uno mide 5 cm.
6
Si consideramos ahora
tenemos que:
CDB, rectángulo en D y cuya hipotenusa es CB, aplicando el Teorema de Pitágoras,
2
CB
102
100
2
CD
2
CD
CD
=
=
=
=
=
=
2
CD + DB
2
CD + 52
2
CD + 25
100 25
75
8:66 cm
2
Ejercicio:
Pruebe, justi…cando cada uno de los pasos, que en un triángulo equilátero de lado a, la altura h =
p
3
a.
2
Ejemplo:
Se tiene una ventana compuesta de un cuadrado y un semicírculo en la parte superior, como se muestra en
la siguiente …gura:
Si el perímetro de la ventana es 8 m, ¿qué cantidad de vidrio debemos comprar para cubrir la ventana?
Solución:
Sea x la longitud del lado del cuadrado. Entonces, el radio del semicírculo es
7
x
. (Ver …gura).
2
Área de la ventana = área del cuadrado + área del semicírculo.
1
x
1 2
Como el área del cuadrado es x2 y el área del semicírculo es ( ( )2 ) =
x , entonces el área de la ventana
2
2
8
1
es x2 (1 +
), y necesitamos calcular el valor de x:
8
Como el perímetro de la ventana es P = 3x +
tenemos que x 3 +
2
1h
2
2
x i
= 3x + x = x 3 +
;
2
2
2
= 8;
y entonces el valor de x es
x=
8 2
16
=
:
6+
6+
Calculemos ahora el área de la ventana,
A = x2 (1 +
Luego, debemos comprar 16
1
)=
8
2
16
6+
8+
8
= 16
8+
m2 de vidrio para cubrir la ventana.
6+
8
8+
:
6+