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Unidad I
Tema: Poligonos
Mtra. Claudia García Pérez
M. en C. Juan Adolfo Álvarez Martínez
http://www.uaeh.edu.mx/virtual
1
PRESENTACIÓN
Todo a nuestro alrededor son figuras geométricas, círculos: los platos en los que
comemos, cucharas, cuadros colgados en la pared, globos, logotipos; cilindros: el
tambor del niño que toca en la banda de guerra, el rollo de papel que se encuentra
en la cocina, la caja de los chocolates; esfera: las naranjas de los fruteros, los
balines de los durómetros que permiten tomar la dureza a las piezas; otras figuras:
el conjunto de estrellas en el cielo que forman figuras, los satélites, los planetas,
etc.
Las figuras geométricas tienen diferentes formas, tales como: triángulos,
rectángulos, pentágonos, hexágonos, etc. También pueden ser planas o con
volumen: triángulo y pirámide, por poner un ejemplo. Todas las figuras tienen
componentes: lados, ángulos y vértices.
Es importante conocer sus nombres y cómo calcular su área y volumen ya que al
estar presentes en cualquier ámbito de la vida, es necesario saber todo sobre de
ellas.
Un caso sencillo en donde podemos aplicar el tema de los polígonos es por
ejemplo: si una persona quisiera decorar con listón el contorno de un cuadro,
¿cuánto tendría que comprar del material? Primero debe saber las medidas de los
lados del cuadro, para que al sumar todos los lados, obtenga el perímetro.
Supongamos que es un rectángulo que tiene de largo 25 cm. y 10 cm. de alto. Por
lo tanto, el perímetro es 70 cm. Quiere decir que la persona debe comprar 70 cm
de listón.
2
Conceptos.
Un polígono es la porción de plano limitada por una curva cerrada, llamada línea
poligonal.
Tipos de polígonos

Convexo. El polígono es convexo cuando está formado por una poligonal
convexa.
Figura 1

Cóncavo. El polígono es cóncavo si está formado por una poligonal
cóncava.
Figura 2
3
Ángulos

Los ángulos internos o interiores de un polígono son los formados por
cada dos lados consecutivos.

Los ángulos exteriores o externos de un polígono son los ángulos
adyacentes a los interiores obtenidos prolongando los lados en un mismo
sentido.
A continuación se representan los ángulos en el siguiente polígono:
Figura 3
4
Partiendo de la figura 3, se tiene que:

Los lados del polígono son los lados de la poligonal: AB, BC, CD, etc.

El número de lados del polígono es igual al número de vértices y de
ángulos

El contorno es la línea poligonal que limita al polígono

El perímetro es la longitud de su contorno, es decir, la suma de sus lados:
Perímetro = : AB + BC + CD + DE + EF + FA
Polígono regular
Es el polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales, esto es, es equilátero y
equiángulo. Un ejemplo es el de la figura 1.
Polígonos de acuerdo al número de lados
Los polígonos reciben un nombre en base al número de lados que tengan, por
ejemplo: el de menor número de lados es el triángulo.
Número de lados
Nombre
Tres
Triángulo
Cuatro
Cuadrilátero
Cinco
Pentágono
Seis
Hexágono
Siete
Eptágono
Ocho
Octágono
Nueve
Eneágono
Diez
Decágono
Once
Endecágono
Doce
Dodecágono
Quince
Pentedecágono
5
Triángulos

Definición. Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan
dos a dos.
Figura 4
Partiendo de la figura 4, se tiene que:
o Los puntos de intersección son los vértices del triángulo: A, B y C.
o Los segmentos determinados, son los lados del triángulo: a, b y c.
o Los lados forman los ángulos interiores que se nombran por las
letras de los vértices. El lado opuesto a un ángulo, se nombra con la
misma letra pero minúscula.
o Un triángulo tiene elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
o Se llama perímetro de un triángulo a la suma de sus 3 lados: AB +
BC + CA = a + b + c

Clasificación
6
A continuación se indica la descripción de cada triángulo:
Es el que tiene dos lados iguales. El
lado desigual se suele llamar base del
triángulo.
AB = BC
ISOSCELES
Es el que tiene sus tres lados iguales.
Los tres ángulos también son iguales.
AB = BC = CA
EQUILATERO
Es
el
que
tiene
sus
tres
lados
diferentes. Sus ángulos son también
7
desiguales.
AB = BC = CA
ESCALENO
Es el que tiene los tres ángulos agudos.
ACUTÁNGULO
Es el que tiene un ángulo obtuso.
OBTUSÁNGULO
Es el que tiene un ángulo recto. Los
lados del triángulo rectángulo reciben
nombres especiales: Catetos, son los
lados que forman el ángulo recto: AB y
AC; Hipotenusa, es el lado opuesto al
ángulo recto: BC.
RECTÁNGULO
8

Rectas y Puntos notables en los triángulos
MEDIANA
Es el segmento trazado desde
un vértice hasta el punto medio
del lado opuesto: AR, BP y CQ.
Hay
tres
medianas,
una
correspondiente a cada lado. Se
designan con la letra “m” y un
subíndice que indica el lado:
AR = ma
BP = mb
CQ = mc
El punto de intersección, G, de
las tres medianas se llama
baricentro.
ALTURA
Es
la
perpendicular
trazada
desde un vértice, al lado opuesto
o a su prolongación: AM, BP y
CN.
Hay
tres
alturas,
una
correspondiente a cada lado. Se
designan con la letra “h” y un
subíndice que indica el lado:
El punto O donde concurren las
tres alturas se llama ortocentro.
AM = ha
9
BP = hb
CN = hc
BISECTRIZ
Es la recta notable que
corresponde a la bisectriz de un
ángulo interior.
Consecuentemente hay tres
bisectrices, una para cada
ángulo,
que
se
nombran
generalmente con letras griegas:
α (alfa), β (beta) y γ (gamma).
∠1 = ∠2
∠3 = ∠4
∠5 = ∠6
El punto I donde concurren las
tres
bisectrices,
se
llama
incentro.
MEDIATRIZ
Es la perpendicular en el punto
medio de cada lado. Hay tres
mediatrices que se denominan
con la letra “M” y un subíndice
que indica el lado.
KS = Ma
KU = Mb
KT = Mc
El punto K de intersección de las
tres
mediatrices,
se
llama
10
circuncentro.
Es importante mencionar que como un triangulo tiene 3 lados, entonces
tendrá: 3 medianas, 3 alturas, 3 mediatrices y 3 bisectrices.

Semejanza de triángulos
Definición. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos
respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El signo de semejanza
es ~.
Si ∠ A = ∠ A’, ∠ B = ∠ B’ y ∠ C = ∠ C’ y
̅̅̅̅
𝐴𝐵
̅̅̅̅̅̅
′ 𝐵′
𝐴
=
̅̅̅̅
𝐵𝐶
̅̅̅̅̅̅
𝐵′𝐶′
=
̅̅̅̅
𝐶𝐴
̅̅̅̅̅̅
𝐶′𝐴′
entonces ∆ABC
~∆A’B’C’.
Figura 5
Teorema de Pitágoras (demostración geométrica)
Definición. El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo,
el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos (a y b, los que conforman el ángulo recto).
11
Figura 6
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la
hipotenusa es c, se establece que:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
Demostración. Pitágoras demostró el teorema mediante semejanza de triángulos:
sus lados homólogos son proporcionales.
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la
hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los
catetos a y b, respectivamente.
Figura 7
12
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos
tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser
comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos
triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC: y dos triángulos son semejantes si hay
dos o más ángulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:
Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
pero
, por lo que finalmente resulta:
A continuación se muestra una tabla con las formulas de áreas y volúmenes de
figuras y cuerpos geométricos comunes.
Perímetros, Áreas y Volúmenes
Figura
Perímetro
Área
Triángulo
P = a+b+c
A= 2
Triángulo
P = a+b+c
Cuadrado
Rectángulo
Volumen
𝑏ℎ
-
A= 2
𝑎𝑏
-
P = 4a
A = 𝑎3
-
P = 2(a+b)
A = ba
-
Rectángulo
13
Paralelogramo
P = 2(a+b)
A = bh
-
Pentágono
P = nl
A=
𝑃𝑎
-
Hexágono
P = nl
A=
Heptágono
P = nl
A=
Octágono
P = nl
A=
Eneágono
P = nl
A=
Decágono
P = nl
A=
Círculo
P = 𝜋𝐷
A = 𝜋𝑟 2
P = 2𝜋𝑟
A=
cualquiera
2
𝑃𝑎
2
𝑃𝑎
2
𝑃𝑎
2
𝑃𝑎
2
𝑃𝑎
2
-
-
-
-
-
-
𝜋𝐷 2
4
Tetraedro
-
A = 1.7321 𝑎2
V = 0.1178 𝑎3
Hexaedro
-
A = 6 𝑎2
V = 𝑎3
Octaedro
-
A = 3.4642 𝑎2
V = 0.4714 𝑎3
Dodecaedro
-
A = 20.6457 𝑎2
V = 7.6631 𝑎3
Pirámide Regular
-
1
Al = Pa
2
V = 3 Ab h
1
1
At = 2 Pa+Ab
Cilindro Circular
-
Al = 2πrh
V = πr 2 h
14
Recto
At = 2πrh + 2πr 2
Esfera
A = 4πr 2
V=
4 3
πr
3
Ejemplos prácticos.
En los siguientes casos se muestran algunas aplicaciones sobre las figuras planas
y cuerpos geométricos, observa la importancia del uso de formulas para resolver
los ejemplos.
Caso 1. La imagen representa el diseño de una alberca que tiene una longitud de
12 metros de largo, 8 de ancho y 1.4 metros de fondo, asi como una parte de
circunferecia de radio 0.6 metros. Calcula la cantidad de loseta que se requiere
para recubrir el fondo de la alberca, la cantidad de azulejo requerida para forrar las
paredes y el volumen de agua que almacena dicha alberca.
Solución.
En este caso se tiene una área de un rectángulo + área de un semicírculo.
El dibujo nos indica las medidas de referencia, considerando diámetro de 1.2 mts.
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El área del rectángulo es: largo X ancho= 12X 8= 96 m2
El área del semicírculo es: π r2 = (3.1415)(0.6)2= 1.13 m2 /2 = 0.56 m2.
El área total es: 96 m2 + 0.56 m2 = 96.56 m2
Como el fondo mide 1.4 mts, entonces el volumen es: área total X fondo
Volumen= (96.56 m2)(1.4m)= 135.2 m3.
La cantidad de loseta para el fondo es: área total = 96.56 m2
El área de las paredes es:
Largo x fondo x 2 paredes= (12 m)(1.4m)(2)= 33.6 mts2.
La pared que no tiene sección curva es: Ancho x fondo= (8 m)(1.4 m) = 11.2 m2
Los 2 tramos rectos que están en la sección curva son de (3.4 m) x( 1.4m)
= 4.76 m2
El perímetro de La circunferencia es: 2 π r =( 2)(3.1415)(0.6 m)=3.76 m
Como es la mitad entonces tenemos: 1.88 m y el área de esa sección es:
(1.88 m)(1.4m)=2.63 m2
Por lo que la cantidad de material para las paredes laterales es:
33.6 mts2. +11.2 m2 + 4.76 m2 + 2.63 m2 = 52.2 m2.
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Caso 2. La imagen representa la fachada de una casa la cual está construida con
dos tipos de material, mármol blanco y tabique rojo. Las dimensiones se muestran
en la imagen, las ventanas grandes son cuadrados de 1.2 m de longitud, y las
pequeñas, cuadrados de 0.6 m de lado. Calcule la cantidad de mármol que se
requiere, y la cantidad de metros cuadrados necesarios para cubrir con tabique y
la cantidad de cristal para las ventanas.
En este caso el área de cada una de las ventanas es:
Ventana grande: (1.2 m) 2= 1.44 m2
Ventana pequeña: (0.6 m) 2= 0.36 m2
Total de cristal para ventanas= área 6 ventanas grandes + área 3 ventanas
pequeñas= (6x1.44 m2) + (3x0.36 m2) = 9.72 m2
Luego para material de mármol en planta baja es:
Área planta baja= (11 m)(1.8 m) = 19.8 m2
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Pero como la planta baja tiene 2 ventanas grandes y una pequeña, se restan estas
áreas al total del área de mármol de la planta baja; esto es:
19.8 m2 – (2X 1.44 m2 + 0.36 m2) = 16.56 m2 de mármol para planta baja
Área planta alta= (7m)(2.2 m)= 15.4 m2 la cual restamos el area de 2 ventanas
grandes y 2 pequeñas, quedando:
15.4 m2 – (2x1.44 m2 + 2x 0.36 m2)= 11.8 m2
Por lo que la cantidad total de mármol requerido es: 16.56 m2 + 11.8 m2
= 28.36 m2
En cuanto al tabique se tiene: para área de la pared en la planta baja:
= (13mx 0.7 m) = 9.1 m2.
La parte alta se tiene: (4m x2.2m)= 8.8 m2, pero como tiene 2 ventanas, restamos
estas áreas quedando: 8.8 m2 – (2x1.44m2)= 5.92 m2.
Finalmente la cantidad total de tabique es: 9.1 m2 + 5.92 m2 = 15.02 m2
RESUMEN
Se ha visto que los polígonos al ser una porción de plano limitada por líneas
rectas, tiene como componentes: lados, ángulos (internos o externos) y perímetro.
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Los triángulos se clasifican en base a los ángulos (acutángulo, obtusángulo y
rectángulo) y lados (isósceles, equilátero y escaleno).
Con el teorema de Pitágoras se puede calcular el valor de alguno de los lados de
un triángulo, partiendo de dos de ellos que se conozcan.
El uso de estos
conceptos permite resolver problemas como los planteados anteriormente.
REFERENCIAS

Baldor, J. A. Geometría Plan y del Espacio con una Introducción a la
Trigonometría. Publicaciones Cultural, S. A. México, 1984.

Pérez M. Matemáticas 2. Alfaomega. México 2006.
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