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Geometrı́a Plana II
Wilson Dı́az Cajo y Roy Sánchez Gutierrez
Febrero de 2015
1.
Semejanza de triángulos
Definición. Dos triángulos son semejantes si, y solamente se, poseen los
tres ángulos ordenadamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.

= ∠A0
 ∠A ∼
∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 ⇔ ∠B ∼
= ∠B 0

∠C ∼
= ∠C 0
y
b
c
a
= 0 = 0.
0
a
b
c
Dos lados homólogos (homo = mismo, logos = lugar) son tales que cada
uno de ellos está en un triángulo y ambos son opuestos a ángulos congruentes.
Proposición 1. De la definición de triángulos semejantes se tienen las
siguientes propiedades:
1. Reflexiva. ∆ABC ∼ ∆ABC.
2. Simétrica. ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 ⇒ ∆A0 B 0 C 0 ∼ ∆ABC
3. Transitiva. ∆ABC ∼ ∆A0 B 0 C 0 ∧ ∆A0 B 0 C 0 ∼ ∆A00 B 00 C 00 ⇒ ∆ABC ∼
∆A00 B 00 C 00
Teorema 2 (Teorema fundamental de la proporcionalidad). Si una recta
es paralela a uno de los lados de un triángulo e intercepta a los otros dos
1
en puntos distintos, entonces el triángulo que ella determina es semejante
al primero.
Triángulos 1
1.8.
Roy Wil Sánchez G.
Clasificación de los triángulos
Según las medidas de los ángulos interiores
1. Acutángulos. Cuando los ángulos interiores tienen medida menores a 90◦ .
2. Rectángulos. Un ángulo interior mide 90◦ .
Casos o criterios de semejanza
3. Obtusángulos. La medida de un ángulo interior es mayor de 90◦ .
Teorema 3 (Primer caso). Si dos triángulos poseen dos ángulos ordenadacongruentes,
ellos son semejantes.
Segúnmente
la longitud
de sus entonces
lados
Teorema 4 (Segundo caso). Si dos lados de un triángulo son proporcionales
a los homólogos de otro triángulo y los ángulos comprendidos son congruentes, entonces
losdel
triángulos
semejantes.
2. Isósceles.
Dos lados
triángulo son
tienen
la misma longitud. Al lado desigual se denomina
1. Escaleno. Es aquel triángulo cuyos lados son de diferentes longitudes.
base
del triángulo.
Teorema
5 (Tercer caso). Si dos triángulos tienen los lados homólogos
proporcionales, entonces son semejantes.
3. Equilátero. Los tres lados del triángulo son iguales.
1.9.
2.
Rectas y puntos notables en un triángulo
Líneas notables en un triángulo
Definición. Se llama ceviana de un triángulo aquel segmento que une un
1. Ceviana.
aquel segmento
de recta
que une un
vértice
triángulo
un punto
vértice delEstriángulo
con un punto
cualquiera
de su
lado del
opuesto
o decon
la procualquiera
lado
opuesto
o de la prolongación
de este lado.
denomina
ceviana
longación de
de su
este
lado.
Se denomina
ceviana exterior
si el Se
punto
está en
exterior
si el punto
en opuesto
la prolongación
y ceviana
interior
puntoestá
estáen
en elel lado
la prolongación
delestá
lado
y ceviana
interior
si si
el elpunto
lado opuesto
del triángulo.
(opuesto)
del triángulo.
B
A
E
C
F
Definición. Una
mediana
de un triángulo
esyaquel
segmento que une un
Figura
1.11: Cevianas:
BE interior
BF exterior
vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
En todo
se pueden
tres
una relativa
cadamedio
2. Mediana.
Es triángulo
aquel segmento
de rectatrazar
que une
un medianas,
vértice del triángulo
con el apunto
lado.
del
lado opuesto.
En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cada lado. Las tres medianas se intersectan en un punto denominado
Baricentro.
2
14
Triángulos 1
Roy Wil Sánchez G.
B
m
Teorema 6. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto
Triángulos 1
Roy Wil Sánchez G.
M
llamado baricentro.
m
B
A
C
m
M
Figura 1.12: Mediana AM en ∆ABC
m
3. Mediatriz. Es la recta perpendicular
a un lado del triángulo,
A
C que pasa por el punto medio
del lado y está contenido en el plano del triángulo.
Definición.
Unase mediatriz
detres
un mediatrices,
triángulo
esuna
la relativa
recta perpendicular
un de
En
todo triángulo
pueden
trazar
a cada lado. Ela centro
Figura
1.12:
Mediana
AM en
∆ABC
lado
del triángulo,
que pasa
el punto
medio
del lado y yestá
contenido
en El
la
circunferencia
circunscrita
al por
triángulo
se llama
circuncentro,
su radio
circunradio.
el plano del triángulo.
circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.
3. Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio
del lado y está contenido en el plano del triángulo.
B
En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices,
una relativa a cada lado. El centro de
L
la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro, y su radio circunradio. El
circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.
B
A
L
M
C
Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC
Figura 1.13: Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC
En todo triángulo Ase pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cada
C
M
lado.
4. Altura.
Es 7.
aquel
perpendicular
a la
recta quesecontiene
a un lado
delpuntriángulo,
Teorema
Lassegmento
tres mediatrices
de un
triángulo
intersectan
en un
trazado
desdecircuncentro.
el vértice opuestoEla dicho
lado, el otro
extremode(delos
la tres
altura)
está endel
la recta.
to llamado
circuncentro
equidista
vértices
triángulo.
1.13: trazar
Mediatriz
relativa
al relativa
AC en ∆ABC
En todo triánguloFigura
se pueden
tres L
alturas,
una
a cada lado. Las tres alturas
se intersectan
en un punto
El circuncentro
es el denominado
centro de laOrtocentro.
circunferencia circunscrita al triángulo
y su radio se denomina circunradio.
5.
interior.
Es una ceviana
interior aque
con contiene
cada unoadeunloslado
lados
4. Bisectriz
Altura. Es
aquel segmento
perpendicular
la forma
recta que
deladyacentes
triángulo,
Una
altura
de un
triángulo
aquel
segmento
a recta.
aDefinición.
ella ángulos
igual
medida.
trazado
desde de
el
vértice
opuesto
a dicho
lado, elesotro
extremo
(de la perpendicular
altura) está en la
la recta que contiene a un lado del triángulo, trazado desde el vértice opuesto
En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado. Las tres alturas
15
se intersectan en un punto denominado Ortocentro.
5. Bisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de los lados adyacentes
a ella ángulos de igual medida.
3 15
L
o
Vértice
Vértice
Lado
La base del triángulo es el lado sobre el cual descansa.
Otro elemento importante del triángulo es su altura.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO
La altura de un triángulo es el segmento de recta que es perpendicular a la base y que pasa
Triángulos 1
por el vértice opuesto a la base.
Definición 2
Roy Wil Sánchez G.
a dicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.
En la siguiente figura se muestra un triángulo con su altura denotada por h:
B
h
H
Triángulos 1
Roy Wil Sánchez G.
E
Base
B
Altura H relativa al AC en ∆ABC
Altura interna
Efraín Soto A.
C
A
www.aprendematematicas.org.mx
Figura 1.14: Altura H relativa al AC en ∆ABC
En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado.
Teorema 8. Las tres Halturas de un triángulo se intersectan en un punto
En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa a cada ángulo
denominado ortocentro.
interior. Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto denominado incentro. El
Definición. Se llama E
bisectriz interior a una ceviana
interior que forma
C inscrita
A de la circunferencia
incentro es el centro
en el triángulo y que equidista de sus tres
con cada uno de los lados adyacentes a ella ángulos de igual medida.
lados, siendo tangente a dichos lados.
En todo triángulo
pueden
trazar
tres bisectrices
interiores, una relativa
Figura se
1.14:
Altura
H relativa
al AC en ∆ABC
a cada ángulo interior.
6. Bisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.
Teorema 9. Las tres bisectrices interiores de un triángulo se intersectan
Teorema
1.13.trazar
La medida
del ángulointeriores,
formado por
bisectriz
interior
y una bisectriz exterior
En
triángulo
se pueden
tres bisectrices
unauna
relativa
a cada
ángulo
en todo
un punto
denominado
incentro.
El incentro
equidista
de
los tres
lados
es bisectrices
igual a la medida
delsetercer
ángulo en
entre
interior.
Las tres
interiores
intersectan
un dos.
punto denominado incentro. El
del triángulo.
incentro
es el centro
de centro
la circunferencia
inscrita en elinscrita
triánguloalytriángulo
que equidista
de sus tres
El incentro
es el
de la circunferencia
y siendo
P
lados,
siendo
tangente
a dichos lados.
tangente
a dichos
lados.
x
Definición.
Una ceviana
exterior
biseca
ángulo
exterior
del triángulo
6. Bisectriz
exterior.
Es aquella
cevianaque
exterior
queun
biseca
un ángulo
exterior
del triángulo.
B
se denomina bisectriz exterior.
t bisectriz interior y una bisectriz exterior
Teorema 1.13. La medida del ángulo formado por una
Teorema 10. La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y
es igual
a labisectriz
medida del
tercer ángulo
una
exterior
es igualentre
a lados.
medida del tercer ángulo entre dos.
P
u
u
A
B
t
x
Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y una exterior
t
Prueba.
u Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = 2 .
A
v v
C
v v
C
u
∆AP C : v = u + x
∆ABC : 2v = 2u + t
Teorema de una bisectriz interior y una exterior
Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y16
una exterior
4
Prueba. Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = 2t .
∆AP C : v = u + x
∆ABC : 2v = 2u + t
16
Demostración. Sea ∆ABC, figura 10. Por demostrar x = 2t .
∆AP C : v = u + x
Triángulos 1
Roy Wil Sánchez G.
∆ABC : 2v = 2u + t
Sustituyendo la segunda en la primera ecuación se obtiene el resultado x =
t/2.
Sustituyendo la segunda en la primera ecuación se obtiene el resultado x = t/2.
Relaciones
métricas
en unen
triángulo
rectángulo
1.10.
Relaciones
métricas
el triángulo
rectángulo
En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura ??, se dan importantes
resultados.
En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura 1.16, se dan importantes resultados.
B
a
v
c
h
m
n
v
C
b
Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
A
H
Teorema 11. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un
Figura 1.16: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
cateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección
ortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo
ABC,
Teorema 1.14. En todo triángulo rectángulo,
c2 = bm, ael2 cuadrado
= bn. de la longitud de un cateto es igual
al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto
Teorema 12 (Teorema de Pitágoras). En el triángulo rectángulo ABC,
a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.
2
2
2
b ∆ABC
= a +∼c ∆AHB
.
Prueba. Por semejanza de los triángulos
c triángulo,
m
a
n
Teorema 13. En todo
el cuadrado
longitud de la altura
=
⇒ c2 = bm,
= ⇒dea2 la
= bn
b
c
b
a las longitudes de las proyecrelativa a la hipotenusa es igual al producto de
ciones1.15
ortogonales
dede
losPitágoras).
catetos respecto
dicha hipotenusa.
En elb2triánguTeorema
(Teorema
En elde
triángulo
rectángulo ABC,
= a2 + c2 .
lo rectángulo
ABC
Prueba.
Del teorema
1.14,de la figura
2
c2 = bm, a2 = bnh ⇒=a2mn.
+ c2 = b(m + n) = b2
Demostración. Por semejanza de los triángulos ∆AHB ∼ ∆BHC
Teorema 1.16. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa
h de m
es igual al producto de las longitudes
proyecciones
= las ⇒
h2 = mn.ortogonales de los catetos respecto de
n
h
dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, h2 = mn.
Teorema
14. En de
todo
el producto de las longitudes de
Prueba.
Por semejanza
lostriángulo
triángulos rectángulo,
∆AHB ∼ ∆BHC
sus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura
h
m
relativa a dicha hipotenusa. En =
el triángulo
ABC, en la figura,
⇒ h2 = rectángulo
mn
n
h
ca = bh.
el producto de las longitudes de sus catetos es
Teorema 1.17. En todo triángulo rectángulo,
igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el
5
triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, ca = bh.
17
h
c
Teorema 1.18. En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura
relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de
sus catetos. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16,
1
1
1
= 2+ 2
h2
c
a
Prueba. De los teoremas precedentes: b2 = a2 + c2 y de
ca = hb ⇒ c2 a2 = b2 h2
Teorema 15. En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la
longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas
Entonces
de los cuadrados de las2 longitudes
de
sus catetos.
1
1 En1el triángulo rectángulo
2
2
2 2
ABC, en la figura, c a = (a + c )h ⇒ h2 = c2 + a2
1
1
1
= 2 + 2.
h2
c
a
1.11.
Relaciones métricas en un triángulo oblicuángulo
Relaciones métricas en un triángulo oblicuángulo
Un triángulo oblicuángulo es aquel donde ninguno de sus ángulos mide 90◦ . Obviamente no se
triángulo
aquel donde
ninguno oblicuángulo
de sus ángulos
mide por
puede usarUn
el teorema
de oblicuángulo
Pitágoras. Los es
problemas
en un triángulo
se resuelven
90◦ . Obviamente no se puede usar el teorema de Pitágoras. Los problemas
en un triángulo oblicuángulo se resuelven por leyes de senos y de cosenos.
leyes de senos y de cosenos.
Teorema 1.19 (Teorema de las proyecciones). En todo triángulo, la diferencia de los cua-
Teorema 16 (Teorema de las proyecciones). En todo triángulo, la diferencia
dradosdedelos
las cuadrados
longitudes de
es igualde
a la
diferencia
los cuadrados
de las longitudes
dedos
laslados
longitudes
dos
lados esdeigual
a la diferencia
de
de suslos
respectivas
proyecciones
ortogonalesderespecto
al tercer lado.
En la figura
1.17, el teorema
cuadrados
de las longitudes
sus respectivas
proyecciones
ortogonales
lado.
afirmarespecto
que a2 −alc2tercer
= m2 −
n2 . En la figura,
B
a
c
A
u
h
n
m
v
H
b
2
a − c2 = m2 − n2 .
C
Figura 1.17: a2 − c2 = m2 − n2
Demostración. Solo en el caso de un triángulo acutángulo, u < 90◦ , v <
◦
90 , figura.
Sobre el lado AC proyectamos 18
los lados AB y BC, con AH y HC, de
longitudes n y m, respectivamente.
∆BHC : a2 = m2 + h2
∆ABH : c2 = n2 + h2
Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2 .
Teorema 17 (Teorema de Euclides). En todo triángulo, el cuadrado de la
longitud de un lado que se opone a la medida de un ángulo agudo, es igual
a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el
doble del producto de las longitudes de uno de ellos y la proyección ortogonal
del otro sobre aquel.
6
∆BHC : a2 = m2 + h2
∆ABH : c2 = n2 + h2
Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2 .
Teorema 1.20 (Teorema de Euclides). En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un
lado que se opone a la medida de un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de las longitudes de uno de ellos y
la proyección ortogonal del otro sobre aquel.
◦ Si AH es la pryección de AB sobre el
Prueba. Demostración.
En el triángulo ABC
detriángulo
la figura 1.18,
u<
En el
ABC
de90la. figura,
u < 90◦ . Si AH es la
2
2
2
lado AC.
El teorema
afirma
queela lado
= b AC.
+c −
pryección
de AB
sobre
El2bm
teorema afirma que
B
a
c
A
h
m
u
b-m
H
v
C
b
a2 = b2 + c2 − 2bm.
Figura 1.18: Teorema de Euclides
En el triángulo ABC, por el teorema de las proyecciones a2 − c2 =
(CH)2 − m2 . Como CH = b − m entonces
2 −m2 . Como CH = b−m
En el triángulo ABC,
a2 −c22 = (CH)
2
2por el teorema
2 de las
2 proyecciones
2
2
2
a − c = (b − m) − m = b − 2bm ⇒ a = b + c − 2bm
entonces
Teorema 18
(Teorema del Coseno). En todo triángulo, el cuadrado de la
a2 − c2 = (b − m)2 − m2 = b2 − 2bm ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm
longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
Teorema
1.21 dos
(Teorema
del Coseno).
triángulo,
el cuadrado
de la
los otros
lados menos
el dobleEn
deltodo
producto
de las
longitudes
delongitud
dichos de un
lados
la cuadrados
medida del
determinado
por dos
ellos.
lado es
igualy aellacoseno
suma dedelos
de ángulo
las longitudes
de los otros
lados menos el doble
del producto
de las longitudes
dichos lados
y el
coseno de
medida del
determinado
Demostración.
En de
la figura,
por el
teorema
de laEuclides,
en ángulo
el triángulo
2
2
2
ABC
: a = b + c − 2bm. En el ∆ABH : m = c cos u. Reemplazando
por ellos.
Triángulos
1
Roy Wil Sánchez G.
2
2
2
Prueba. En la figura 1.18, por el teorema
a2 = b2de
+ Euclides,
c2 − 2bc en
coselu.triángulo ABC : a = b + c − 2bm.
En el ∆ABH
: m(Teorema
= c cos u. Reemplazando
Teorema
1.22
de Stewart). En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las
Teorema 19 (Teorema de Stewart). En todo triángulo, la suma de los
2
longitudes
de los lados
a auna
ceviana
las longitudes
b2 +lados
c2 −interior
2bc
cos multiplicados
u.
cuadrados
de lasadyacentes
longitudes
de= los
adyacentes
a una con
ceviana
interior de los
segmentos
parciales opuestos
a dichos lados
determinados
la ceviana
en su lado
relativo es
multiplicados
con las longitudes
de los
segmentospor
parciales
opuestos
a dichos
19
determinados
pordelala ceviana
endicha
su lado
relativo
igual al
igual lados
al producto
del cuadrado
longitud de
ceviana
con laeslongitud
de producto
su lado relativo
delproducto
cuadrado
de longitudes
la longitud
dicha
consegmentos
la longitud
de suEnlado
más el
de las
de de
dicho
lado ceviana
y el de los
parciales.
la figura
relativo más el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentos
parciales. En la figura
a2 m + c2 n = x2 b + bmn.
B
a
c
x
m
A
b
t 180-t
D
n
C
a2 m + c2 n = x2 b + bmn.
Figura 1.19: Teorema de Stewart
7
Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los
cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa
al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,
conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, se puede determinar la longitud de la
2
2
2
b2
m
A
b
t 180-t
D
n
C
Figura 1.19: Teorema de Stewart
Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los
Teorema
20 (Teorema
cálculo
de al
la doble
mediana).
En todo
triángulo,
cuadrados
de las longitudes
de dosdel
lados
es igual
del cuadrado
de la
mediana la
relativa
suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del
cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de
conociendo
la langitud
de lostercer
lados del
triángulo
ABC, se
puede determinar
la longitud
la longitud
de dicho
lado.En
la figura,
conociendo
la langitud
de los de la
b2
2
2
2
.
mediana,
c +
= 2m + 2ABC,
lados
dela triángulo
se puede determinar la longitud de la mediana,
al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,
B
c
a
m
b/2
A
b/2
b
Triángulos 1
D
C
c2 + a2 = 2m2 +
Roy Wil Sánchez G.
b2
2.
Figura 1.20: Teorema de la mediana
Teorema
1.24 (Teorema
del cálculo
de ladebisectriz
interior).
En todo
triángulo,
el cuadraTeorema
21 (Teorema
del cálculo
la bisectriz
interior).
En todo
triángudo delo,
la longitud
de la de
bisectriz
interiorde
es la
igual
a la diferencia
productos
de las longitudes
el cuadrado
la longitud
bisectriz
interiordeeslosigual
a la diferencia
los productos
las longitudes
lados adyacentes
a dicha
bisectriz
y en el
de losdelados
adyacentes de
a dicha
bisectriz y de
los los
segmentos
determinados
por dicha
bisectriz
20 bisectriz en el lado al cual es relativo,
2
los
segmentos
determinados
por
dicha
lado al cual es relativo, x = ca − mn.
B
u u
a
c
x
n
m
A
b
D
C
x2 = ca − mn.
Figura 1.21: Teorema de la bisectriz interior
Prueba. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulo △ABC.
B
u u
a
c
x
A
m
b
D
8
n
C
y
Figura 1.22: Teorema de la bisectriz interior
a
c
x
n
m
A
b
D
C
Figura 1.21: Teorema de la bisectriz interior
Sea C la
circunferencia
circunscrita
Prueba. Demostración.
Sea C la circunferencia
circunscrita
al triángulo
△ABC.al triángulo 4ABC.
B
u u
a
c
x
D
m
A
n
C
b
y
Figura 1.22:enTeorema
de la bisectriz
Por el teorema de isogonales
el triángulo
4ABC,interior
ca = x(x+y) = x2 +xy.
Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.
Por elObservaciones
teorema de isogonales
en el triángulo
△ABC,
ca = x(x + y) = x2 + xy.
1. Respecto
al teorema
anterior.
Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.
1. Rayos isogonales. Dos Rayos son isogonales con respecto a los lados
de 1.25.
un ángulo
con al
origen
en el
vértice del ángulo, cuando estando ambos
Observación
Respecto
teorema
anterior.
en el interior o en el exterior, forman ángulos congruentes con los lados
21
del ángulo.
2. Teorema de las isogonales. En todo triángulo se cumple que el
producto de dos lados es igual al producto de sus isogonales, donde una
de ellas está limitada por el tercer lado y la otra por la circunferencia
circunscrita al triángulo.
Teorema 22 (Teorema del cálculo de la altura). En todo triángulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversa de la longitud del lado al
cual es relativa multiplicada contre el semiperı́metro de la región limitada
por dicho triángulo y la diferencia de dicho semiperı́metro con la longitud
de cada uno de los lados.
Prueba.
h=
2p
p(p − a)(p − b)(p − c).
b
Proposición 23. La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita al
triángulo.
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3.
Ejercicios propuestos
1. Demuestra que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma
distancia de cada uno de los lados del ángulo.
2. Demuestra que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un
mismo punto.
3. Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un
solo punto.
4. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.
5. Demuestra que las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo
punto.
6. Demuestre el teorema 11.
7. Demuestre el teorema 12.
8. Demuestre el teorema 14.
9. Demuestre el teorema 15.
10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la mediatriz de AC
intersecta a BC y a AC en los puntos E y D respectivamente. Si se
cumple que µ (AC) = 20 y µ (AB) = 12, calcule el área de la región
ABED.
11. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la secante
P BC y la secante diametral P ED de modo que m (]EP C) = 2(m^ECP ),
µ (P C) = 5, y µ (EP ) = 2. Calcule µ (ED).
12. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AM y CN ,
las cuales se intersectan en I. Si µ (AB) 6= µ (BC) y µ (N I) = µ (IM ),
calcule m (^ABC).
13. En un cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales se intersecan en
M , si µ (AM ) = µ (M C), m (^BDC) = 2m(^BAC) y m (^BDA) =
2m(^BCA). Calcule m (^CM D).
14. En un triángulo ABC isósceles de base AC, se ubica el punto P
en la región interior, tal que m (^BCP ) = 20◦ , m (^P CA) = 50◦
y m (^AP C) = 100◦ . Calcule m (^AOP ) si O es circuncentro del
triángulo ABP .
10
15. En los arcos AB y BC, de la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, tal que la medida
d = mBN
d y mBM
d = mCN
d . Si M N interseca AB
de los arcos mAM
y BC en P y Q, ¿qué punto notable es el circuncentro del triángulo
ABC para el triángulo P BQ?
16. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AM , luego se ubican los puntos L y N en AM y AC respectivamente, M N ∩ LC =
{T }, tal que m (]ABM ) = m (]AM N ), BM = N C, AB = M C,
m (]M LC) = m (]M T L). Indique que punto notable es L para el
triángulo ABC.
17. En un triángulo isósceles ABC de base AC se traza la ceviana interior
AM , tal que M C = 2(M B), en AM se ubica el punto L, tal que
m (]BLC) = 90◦ , calcule m (]LBC), si m (]M AC) = 42◦ .
18. Un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de centro O, se ubican los circuncentros O1 y O2 de los triángulos BOC y AOC, las cuales
d
pertenecen a los arcos BC y AC respectivamente. Calcule mAB.
19. Entre todos los triángulos de perı́metro p, el equilátero es el de área
máxima.
20. Entre todos los triángulos inscritos en una circunferencia, ¿cuál es el
de mayor área?
21. Tres circunferencias de igual radio pasan por un punto P y se cortan dos a dos en los vértices de un triángulo ABC. Entonces P es el
ortocentro de ABC.
Referencias
[1] MOISE-DOWNS: Geometrı́a Moderna.
IBEROAMERICANA Única Edición; 1966.
ADISSON
WESLESY
[2] Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo: Fundamentos de matemática elementar 9 GEOMETRÍA PLANA. ATUAL EDITORA. 7a edición
[3] Araujo, José: Area y Volumen en la geometrı́a elemental. Red Olı́mpica
Argentina; 2000.
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