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Transformaciones 38
Capítulo 3
Transformaciones afines.
1.- Transformaciones perspectivas afines
1.2.- Definición.Una colineación que transforme una recta e punto a punto en si misma y tal que todas las
rectas r(P, P') engendradas por pares de puntos correspondientes P y P' ≠ P son paralelas se llama
transformación perspectiva-afin. e es el eje de afinidad, las rectas r(P, P') rectas de afinidad que fijan
la dirección de la afinidad.
Si e corta a las rectas de afinidad se trata de una transformación axial afín, en caso contrario, de una transvección.
Las figuras que se pueden transformaciones unas en otras mediante transformaciones perspectivas afines se dicen que son perspectivamente afines.
Elementos fijos son no sólo el eje de afinidad como recta de puntos fijos, sino además todas las rectas de afinidad como rectas fijas. Se conserva el paralelismo y la proporcionalidad de segmentos.
1.3.- Transformación axial afín
Las transformaciones de semejanza comprenden todas las colineaciones ortogonales. Colineaciones
más generales se obtienen a partir de la simetría axial debilitando la condición de que el eje corte al
segmento PP’ perpendicular en su punto medio.
Dado un punto P el eje e y su transformado P’ (1). Trazamos una recta que una P y P’, dirección de la
transformación (2).Para transformar otro punto Q del plano unimos P con Q, obteniendo le punto O
sobre e que será el centro de la perspectividad (3).
Desde O trazamos una recta que pase por P’ (4). Por Q trazamos una recta con la dirección PP’ el punto de intersección de la recta con el rayo será Q’ el transformado de Q.
Geometría
Transformaciones 39
El concepto de equipolencia de vectores fijos se basa en el de paralelismo. Esto es lo que caracteriza a la geometría afín En términos intuitivos, y sin pretender que esto sea definición rigurosa,
podemos decir que geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que se basan en el concepto de paralelismo de rectas, sin intervención de conceptos tales como perpendicularidad, distancia o
medida.
El estudio de las transformaciones características de la geometría afín, se llaman transformaciones afines o afinidades.
Transvección
Se tiene como corolario que la razón de las distancias
del punto P y de su transformado P' al eje e es constante para
todos los puntos no situados sobre e. Esta razón o su opuesta
se denomina razón de afinidad, según que P y P' estén del
mismo lado o a lados opuestos de e.
En una transvección (dirección de transformación paralela al eje e)la razón de afinidad es k = 1. Si k = -1, decimos
que se trata de una simetría afín. Si las rectas de afinidad son
perpendiculares al eje, tenemos las llamadas transformaciones
afines ortogonales.
Una simetría afín ortogonal es
simplemente una simetría axial.
Proyección perspectiva afín en el espacio
Otra manera de obtener una transformaciones perspectiva
afín consiste en proyectar paralelamente un plano del espacio sobre otro no paralelo y girar después los planos en
torno a su recta común e hasta que coincidan. Es fácil ver
que de este modo se obtiene una transformaciones perspectiva afín con eje e.
Las simetrías y las homotecias son afinidades.
1.4.- Teorema
El conjunto de todas las afinidades del plano (A2) es un grupo con respecto a la composición.
Geometría
Transformaciones 40
Este teorema ha sido demostrado en el capítulo I, al demostrar las composiciones de las
traslaciones, las simetrías, las rotaciones, diremos entonces que la composición de dos afinidades es
otra afinidad. Recordemos que hay que probar la asociatividad de la composición. Luego hay que demostrar que existe elemento neutro para la composición, para ello basta demostrar que la identidad I es
una afinidad, I ∈ A2 lo cual es evidente. Finalmente, hay que demostrar que cada elemento del plano
tiene un elemento simétrico respecto de la composición. Esto se logra así: sea T ∈ A2. Por ser afinidad, T es biyectiva (como función de E2 en E2). Pero toda función biyectiva tiene una función inversa
T-1, caracterizada por el hecho de que, si T(P) = Q, entonces T-1(Q) = P. Esta transformación inversa
actúa como elemento simétrico respecto de la composición, pues:
ToT-1 = T-1oT = 1,
0 sea que T-1 es también una afinidad.
1.4.- Definición
Se llama grupo afín del plano al grupo (A2 , o)
2.- Dirección y sentido
Se llama dirección de una recta r al conjunto de todas las rectas paralelas a r.
Dada una semirrecta s de origen A, consideremos una semirrecta t de origen B, paralela a s, es
decir, tal que la recta en que está incluida t sea paralela a la recta en que está incluida s. Entonces:
(i) Si s y t están incluidas en una misma recta, diremos que s está igualmente orientada que t
si, o bien s ⊂ t, o bien t ⊂ s.
(ii) Si s y t están incluidas en rectas paralelas, pero no coincidentes, diremos que s está igualmente orientada que t si ambas están incluidas en un mismo semiplano respecto de la recta
AB determinada por sus orígenes.
Es fácil ver que la relación de estar igualmente orientada es una relación de equivalencia en el conjunto
de todas las semirrectas del plano (o del espacio).
2.1.- Definición.Se llama sentido de una semirrecta s al conjunto de todas las semirrectas igualmente orientadas que s.
2.2.- Definición
Se llama dirección del vector fijo no nulo AB a la dirección de la recta AB, y se llama sentido
de AB (no nulo) al sentido de la semirrecta de origen A que contiene al punto B. Los vectores fijos nulos carecen de dirección y de sentido.
2.3.- Notas
1) Aceptamos sin demostración que la relación de "tener la misma dirección" y la de "tener el
mismo sentido" son relaciones de equivalencia en el conjunto de los vectores fijos no nulos (tanto en el plano como en el espacio).
2) Si x es un vector fijo no nulo, se llama sentido opuesto al de x, al sentido del vector opuesto -x. 0 sea que x y -x tienen por definición sentidos opuestos. Aceptarnos sin demostración que, si x e y tienen el mismo sentido, e y tiene sentido opuesto al de z, entonces x, z,
tienen sentidos opuestos.
Geometría
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c. Dos vectores equipolentes no nulos tienen la misma dirección y el mismo sentido. Aceptaremos este hecho sin demostración.
2.4.- Definición
Se llama dirección de un vector libre no nulo a la dirección de cualquiera de sus representantes, se llama sentido de un vector libre no nulo al sentido de cualquiera de sus representantes.
3.- Abscisas.
El concepto de medición en el plano o en el espacio escapa al ámbito de la geometría afín,
sabemos que este concepto es típico de la geometría ortogonal o métrica. Sin embargo, se pueden
efectuar mediciones en una recta en la geometría afín, para ello se introduce el concepto de abscisa sobre una recta.
La cuestión reside en la elección de una unidad. Se puede elegir una unidad cualquiera sobre
una recta y sobre rectas paralelas se pueden elegir unidades (vectores) equipolentes. Pero en rectas no
paralelas las unidades respectivas no pueden compararse entre sí en el ámbito de la geometría afín.
3.1.- Definición.
Dados sobre una recta r el vector fijo no nulo u = OA y el punto P se llama Abscisa del punto
P, y abscisa del vector fijo OP, con respecto a u al número k tal que k.u = OP
3.2.- Nota.
No hay ningún inconveniente en decir que el número k, es el cociente entre los vectores OP y u. En tal
OP OP
=
u
OA
Si se usa esta nomenclatura, conviene recalcar que solo se puede hablar de cociente entre vectores fijos, cuando:
1) Los vectores en cuestión están alineados.
2) Ambos vectores tienen el mismo origen.
caso, anotaremos k =
4.- Área de Polígonos.
Al considerar el área de las figuras trabajamos con líneas poligonales conexas y cerradas en
el plano formadas por segmentos tales que todo punto interior del segmento de la línea pertenece exactamente a un segmento y todo punto extremo exactamente a dos segmentos. Estas líneas poligonales
cerradas dividen al plano en dos regiones, “interior” y “exterior”, de los cuales la curva es la frontera.
La región interior se denomina polígono abierto y a la región interior con los puntos de la frontera polígono cerrado
4.1.- Definición.
Sea ℘ el conjunto de todos los polígonos P del plano. La aplicación A:℘→ R+ se llama función área si cumple las siguiente propiedades:
1) P1 = P2 ⇒ A(P1) = A(P2)
2) P = P1∪P2 ∧ P1∩P2 = ∅ ⇒ A(P) = A(P1) + A(P2)
3) A(Q) = 1 para un cuadrado Q de lado 1
4.2.- Nota.
Se definen volúmenes en el conjunto de los poliedros del espacio con sólo sustituir el cuadrado unidad por un cubo unidad.
4.3. Área del paralelogramo.
Geometría
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De la def. 4.1. se deducen las conocidas fórmulas del área de un paralelogramo (producto de
la longitud de un lado por la de la altura) y de un triángulo (la mitad de la expresión anterior). Dos
conceptos son importantes a este respecto:
En la figura vemos que el rectángulo ABEF tiene un área igual a
la suma de los cuadrados pequeños, como el número de cuadrados pequeños es igual al producto de FE por AF, por consiguiente se deduce que el área del rectángulo es base . altura.
En el paralelogramo ABCD podemos deducir que su área es igual
a la del rectángulo demostrando la congruencia entre los triángulos AFD Y ECB, al darse esta congruencia entre áreas decimos
que las figuras son equivalentes.
4.4.- Definición.
Dos polígonos se dicen equivalentes por descomposición si existen particiones de ambos en un número finito de triángulos con interiores disjuntos y los triángulos de uno son congruentes con sus correspondientes del otro.
4.5.- Definición.
Dos polígonos se dicen equivalentes por compleción si
ambos se pueden completar mediante un número finito de triángulos para formar polígonos equivalentes por descomposición y
los triángulos de uno son congruentes con sus correspondientes
del otro .
Los polígonos equivalentes por descomposición tienen la misma área. En cuanto a los polígonos equivalentes por compleción BOLYAI ha demostrado que son equivalentes por descomposición.
El área de un polígono se puede calcular como suma de áreas de triángulos. Se demuestra que el resultado es independiente de la triangulación.
4.6.- Área del triángulo:
Geometría
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Dado el paralelogramo ABCD, construimos el triángulo BCE de base doble a la del paralelogramo.
CE = 2 DC
El paralelogramo esta formado por la suma de las
figuras BCDM + ABM.
En el triángulo tenemos BCDM + MDE.
Las dos figuras tienen en común el área de BCDM,
demostramos por criterio de congruencia que los
triángulos ABM y DME son congruentes, por tener
un lado AB = ED y dos ángulos congruentes A = D y
B = E por alternos internos. Área (ABDC) = Área (BCE). El área del triángulo será:
Área(ABCD) = base . altura = DC . h = Área (BCE) (1)
Por (1) CE = 2 DC
1
1
Reemplazando Área (BCE) = CE.h = base . altura
2
2
4.7.- Área del trapecio
Construimos el triángulo de tal modo que su base sea igual a la suma de la base mayor + la
bse menor del trapecio. CA = CD + DA
El trapecio está compuesto por las figuras:
BCDM + EBM
El triángulo por BCDM + MDA.
Demostrada la congruencia entre los triángulos
MDA y EBM, las área son iguales.
1
CA.h
2
Como CA = CD + DA. El área del trapecio seÁ(EBCD) = Á(ABC) =
1
(CD + DA).h , como AD = EB por construcción tenemos:
2
1
: Á(EBCD) = (CD + EB).h
2
Para transformaciones perspectivas afines se tiene el:
4.7.- Teorema.
La razón de las áreas de dos triángulos perspectivamente afines es igual al valor absoluto de
la razón de qfinidad. Si k es positivo ambos triángulos tienen igual orientación (del perímetro), si k es
negativo, la contraria.
La demostración se realiza primero para triángulos con un lado paralelo al eje de afinidad y luego para
triángulos cualesquiera. El teorema se puede generalizar a polígonos e incluso a superficies aproximables mediante polígonos. Del Teorema. 1 se sigue que la razón de las áreas de dos figuras se conserva
mediante una transformaciones perspectiva a fin.
ra: Á(EBCD) =
5.- Aplicaciones afines generales
La composición de una aplicación perspectiva afín y una aplicación de semejanza se denomina transformación afín. Dos figuras que se transforman una en la otra mediante una transformación
afín se dice que son afines.
La proporcionalidad de segmentos, la razón de las áreas de dos Figuras y el paralelismo de
rectas son propiedades conservadas por las transformaciones afines.
Se demuestra que toda transformación afín se puede obtener por composición de a lo más tres
transformaciones perspectivas afines. Las transformaciones afines representan las colineaciones más
generales que se obtienen en el plano de la Geometría elemental.
Geometría
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5.1- Teorema: Toda colineación de R2 es una transformación afín que queda unívocamente determinada mediante tres puntos no colineales y sus transformados.
Demostración:
De la biyectividad de la transformación se deduce la conservación del paralelismo y, por consiguiente, se conserva también el punto medio de un segmento, pues todo segmento se puede imaginar
como diagonal de un paralelogramo y su punto medio como punto de corte de sus diagonales. De aquí
se deduce la conservación de la proporcionalidad entre las partes de un segmento. Sean ahora A, B, C,
tres puntos no colineales y A', B', C', sus transformados. Debido a la conservación de la proporcionalidad se puede construir de modo único la imagen de cualquier otro punto. Si tomamos ahora un punto
C' tal que ABC' ∼ A'B'C' se ve que ABC se transforma en ABC’ mediante una transformación Perspectiva afín de eje r(A, B) y éste en A'B'C' mediante una sucesiva transformación de semejanza. La transformación es pues afín en el sentido de la Definición.
Como corolario del Teorema se deduce que dos triángulos son siempre afines.
El conjunto de las transformaciones afines forma un grupo respecto a la composición, llamado
grupo afín. En este grupo se puede llevar a cabo una clasificación atendiendo al tipo y número de elementos fijos. Una transformación afin que no es perspectiva tiene a lo más un punto Fijo. Dado un
punto fijo el número de rectas fijas que concurren en él puede ser ninguna. una, dos o infinitas. En el
último caso se trata de una homotecia. Una transformación afín con al menos dos rectas fijas que se
cortan se llama afinidad euleriana y se puede expresar como composición de dos transformación Axial
afines tales que el eje de una determina la dirección de afinidad de la otra.
6.- Grupo de teoremas de Pitágoras.Según vimos en el desarrollo anterior del área. Las transvecciones conservan el área de las
figuras y su razón de afinidad vale 1.
Las transvecciones permiten demostrar algunos importantes teoremas sobre áreas en triángulos rectángulos.
6.1.- Teorema del cateto de Euclides:
En un triángulo rectángulo el cuadrado
construido sobre un cateto equivale en área al
rectángulo cuyos lados son la hipotenusa y la
proyección ortogonal del cateto sobre la hipotenusa.
La demostración se realiza mediante una transvección, un giro de 90' y una segunda transvección. Otra posible demostración consiste en
mostrar la equivalencia por descomposición de
las correspondientes superficies.
ACEF ≡ AFGB por igual base AF y altura AC
AFGB ≡ AKIC por rotación
AKIC ≡ AKLD base AK y altura AD
Se desprende que ACEF ≡ AKLD
AC2 = AB . AD
Geometría
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6.2.- Teorema de PITÁGORAS:
En un triángulo rectángulo el área
del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la suma de las áreas de los
cuadrados construidos sobre los catetos (
a2 +b2 = c2).
Este teorema admite un inverso: un triángulo de lados a, b, c, tales que a2 +b2=c2 es
rectángulo.
7.- Clasificación de triángulos y cuadriláteros
Toda transformación afín involutiva es o bien una simetría afin (caso particular: simetría axial) o una simetría puntual. Estas transformaciones pueden ser
utilizadas en la clasificación de figuras
buscando las propiedades que una figura
ha de poseer para transformarse en sí
misma mediante ellas. En el triángulo sólo las simetrías axiales son útiles, pues una simetría afín en torno a una mediana puede transformarlo
en sí mismo y no existen triángulos simétricos respecto a un punto. Se obtienen triángulos asimétricos
llamados escalenos (0), isósceles (1) y equiláteros (3) (se indica entre paréntesis el número de ejes de
simetría).
Un rectángulo que se transforma en sí mismo mediante una simetría afín tiene o bien dos lados paralelos (trapecio) o una diagonal que es dividida en dos partes iguales por la otra (cometa afín),
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