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Universidad de El Salvador Escuela de Matemática - 2015 ∼ GEOMETRÍA I ∼ HOJA DE PROBLEMAS 5 - La Circunferencia PERTENECE A: 1. Si el ∠M P Q = 20, determine el valor del ∠QON en la gura adjunta. 2. Dado un ángulo inscrito BAC , y su ángulo central BOC , se sabe que ∠BAC +∠BOC = 180°. Calcular el ∠OBC . 3. En la gura 1, BCDO es un rombo. Determine el valor del ángulo θ y la medida de las diagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6. Figura 1: 4. Un cuadrilátero cíclico ABCD satisface ∠ABC = 2∠CDA = θ. Calcule θ. 1 5. En la gura 2. Calcule el valor del ∠P QR. Figura 2: 6. En la gura adjunta, el ∠AF E = 100° y el ∠BCD = 150°. Calcule el ∠AGB . 7. Dado un ángulo ∠AOB , se trazan dos rectas l y m perpendiculares a los lados del ángulo en A y B respectivamente. Si P es el punto de corte de l y m, demuestre que A, B , O, P se ubican sobre una misma circunferencia. 8. En la gura 3 se ha tomado un punto C sobre la circunferencia de centro O; AC y BC cortan a la segunda circunferencia en D y E respectivamente. Probar que OC ⊥ DE . Figura 3: 2 9. Dada la gura 4, demuestre que AB k A0 B 0 . Figura 4: 10. En la gura 5, CR es una recta tangente en C , demuestre que AB k CR. Figura 5: 11. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (ver gura 6). Dos rectas que pasan por P cortan a Γ1 y Γ2 en A y C , y en B y D, respectivamente. Demuestre que AB k CD. 3 Figura 6: 12. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un punto P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en A y B , respectivamente. Demuestre que AO1 k BO2 . 13. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior común toca a una circunferencia en B y a la otra en C . Demostrar que ∠BAC = 90°. 14. En la gura 7, DE es tangente en D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre el valor del ángulo seminscrito ADE . Figura 7: 15. Determine el valor del ∠DCF , sabiendo BE es tangente en el punto D a la circunferencia de centro O. Ver Figura 8. 4 Figura 8: 16. Si el ∠AEB = 30◦ , ∠ADE = 20◦ y ∠ACE = 35◦ , calcule el ∠AF B . Ver gura adjunta. 17. Dada una circunferencia de diámetro BC , se toma un punto P en la prolongación de BC , y se traza la tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre que el 4AOC es equilátero. 18. Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunes externas forman segmentos iguales; análogamente, las tangentes comunes internas forman segmentos iguales. 19. 20. Teorema de Pithot. tos es igual. Demuestre que en todo cuadrilátero inscribible, la suma de lados opues- En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de lados opuestos es igual. Teorema de Steiner. 21. En la gura 9, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia paralela a AB . Demuestre que CD es bisectriz del ∠ACB . 5 Figura 9: 22. (X OMCC - P2, Aarón) Sea ABCD un cuadrilátero concíclico con diámetro AC , y sea O el centro de su circunferencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF . Demuestre que si E y F están sobre la circunferencia entonces ABCD es rectángulo. 23. Cuatro cilindros de diámetro 1 están pegados apretadamente por una cuerda muy na, como en la gura adjunta. Demostrar que la cuerda tine longitud 4 + π . Demostrar también que el área sombreada entre los cilindros es 1 − π4 . 24. En la gura 10, ABCD es un trapecio isósceles con AB k CD y DA = BC = 2; tomando DA y BC como diámetros, se construyen dos circunferencias tangentes. Si DC = 3AB , calcule el área del trapecio. Figura 10: 25. La gura 11 está formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre sí y tangentes a tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la cuarta parte del lado menor del paralelogramo, calcule la razón entre el lado mayor del paralelogramo y el radio de las circunferencias. 6 Figura 11: 26. Dado un 4ABC , sean X , Y , Z puntos sobre AB , BC , CA, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de 4AXZ , 4BY X , 4CZY tienen un punto en común M . Teorema de Miquel: 27. Sea ABC un triángulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del ángulo A con el lado BC y el circuncírculo de ABC respectivamente. Construimos la intersección M del circuncírculo de ABL con el segmento AC . Prueba que los triángulos BM N y BM C tienen la misma área. 28. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre la semicircunferencia y sobre AB , respectivamente.1 Sea P el centro de la circunferencia que pasa por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B , K y M . Demuestre que M P KQ es concíclico. 29. En la gura 12, ABCDEF es un hexágono regular y las circunferencias de centro en los vértices son tangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vértices B , D, F son iguales, demuestre que las circunferencias restantes son iguales. Figura 12: 30. Las circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en los puntos A y B . Por el punto A se traza una recta que corta nuevamente a las circunferencias Γ1 y Γ2 en los puntos C y D, respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en el punto M . Demuestra que M CBD es cíclico. 1 M y K son distintos de A y B. 7 31. El 4ABC cumple que ∠A = 90° y AB = AC . Se toma un punto E del segmento AB , se construye interiormente un triángulo equilátero AEF . EF corta BC en I , y se construye exteriormente un triángulo equilátero BIJ . Encuentre ∠EJB . 32. En la gura 13, se sabe que ∠AO1 B − ∠AO2 B = 70◦ y además la tangente EB forma el triángulo isósceles ABE , con AB = AE . Encuentre ∠EBC . Figura 13: 33. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en A y B . Una recta por A corta a Γ1 y Γ2 en C y D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta Γ1 y Γ2 en E y F , respectivamente. Demuestre que 4CDB ≡ 4EAF . 34. Sean X , Y y Z los pies de las alturas trazadas desde un punto P en el circuncírculo del 4ABC hacia AB , BC y CA, respectivamente. Demuestre que X , Y y Z están alineados. La Recta de Simson-Wallace. 35. Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que ∠AP C = 90◦ , Q es la intersección de AB y P C , y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D están alineados. 36. En la gura 14, ABCD es un trapecio rectángulo tal que la circunferencia de diámetro AB (y centro O) es tangente a CD. Demostrar que O pertenece a la circunferencia de diámetro CD y que esta circunferencia es tangente a BA. 8 Figura 14: 37. El 4ABC es rectángulo en C , la circunferencia de centro O es tangente a cada uno de los lados del 4ABC en los puntos P , Q y R (como se muestra en la gura 15), y se cumple que AP = 20 y BP = 6. Calcule OP . Figura 15: 38. Los vértices A y B de un triángulo equilátero 4ABC están sobre una circunferencia de radio 1 y el vértice C está en el interior de la circunferencia. Un punto D (distinto de B ) que esta en la circunferencia es tal que AD = AB . La recta DC corta por segunda vez a la circunferencia en E . Encuentre la longitud del segmento CE . Ver gura 16. Figura 16: 39. En la gura 17 se muestran tres semicircunferencias, una de diámetro AB (de centro O y radio 9 r), otra de diámetro AO y la última de diámetro OB . Determine la razón entre el radio de la circunferencia tangente a estas tres semicircunferencias y r. Figura 17: 40. El segmento AB es diámetro de un semicírculo con centro en O. Un círculo con centro en P es tangente a AB en O y también al semicírculo. Otro círculo con centro en Q es tangente a AB , al semicírculo y al círculo de centro en P . Si AB = 2, ¾cuál es el radio del círculo con centro en Q? Figura 18: 41. (OIM 2002, P-4) En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con D sobre AC . Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE k CF ) ⊥ BD, y sea M el punto sobre el lado BC tal que DM ⊥ BC . Demuestre que ∠EM D = ∠DM F . 42. (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diámetro de ella. Sea t la recta tangente a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E y F las intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF y DE . Demuestre que AH = AG. 43. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadrado ABCD y un punto E sobre el lado AB . La diagonal AC corta al segmento DE en el punto P . La perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF . 44. En la gura 19, la región delimitada por tres semicircunferencias mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o árbelos. Demostrar que las circunferencias sombreadas son congruentes. Teorema de Arquímedes: 10 Figura 19: Teorema de Arquímedes. 11