Download HOJA DE PROBLEMAS 5 - La Circunferencia

Universidad de El Salvador
Escuela de Matemática - 2015
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GEOMETRÍA I
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HOJA DE PROBLEMAS 5 - La Circunferencia
PERTENECE A:
1. Si el ∠M P Q = 20, determine el valor del ∠QON en
la gura adjunta.
2. Dado un ángulo inscrito BAC , y su ángulo central BOC , se sabe que ∠BAC +∠BOC = 180°.
Calcular el ∠OBC .
3. En la gura 1, BCDO es un rombo. Determine el valor del ángulo θ y la medida de las
diagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6.
Figura 1:
4. Un cuadrilátero cíclico ABCD satisface ∠ABC = 2∠CDA = θ. Calcule θ.
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5. En la gura 2. Calcule el valor del ∠P QR.
Figura 2:
6. En la gura adjunta, el ∠AF E = 100° y el ∠BCD =
150°. Calcule el ∠AGB .
7. Dado un ángulo ∠AOB , se trazan dos rectas l y m perpendiculares a los lados del ángulo en
A y B respectivamente. Si P es el punto de corte de l y m, demuestre que A, B , O, P se
ubican sobre una misma circunferencia.
8. En la gura 3 se ha tomado un punto C sobre la circunferencia de centro O; AC y BC cortan
a la segunda circunferencia en D y E respectivamente. Probar que OC ⊥ DE .
Figura 3:
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9. Dada la gura 4, demuestre que AB k A0 B 0 .
Figura 4:
10. En la gura 5, CR es una recta tangente en C , demuestre que AB k CR.
Figura 5:
11. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (ver gura 6). Dos
rectas que pasan por P cortan a Γ1 y Γ2 en A y C , y en B y D, respectivamente. Demuestre
que AB k CD.
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Figura 6:
12. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un punto
P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en A y B ,
respectivamente. Demuestre que AO1 k BO2 .
13. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior común
toca a una circunferencia en B y a la otra en C . Demostrar que ∠BAC = 90°.
14. En la gura 7, DE es tangente en D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre el valor
del ángulo seminscrito ADE .
Figura 7:
15. Determine el valor del ∠DCF , sabiendo BE es tangente en el punto D a la circunferencia de
centro O. Ver Figura 8.
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Figura 8:
16. Si el ∠AEB = 30◦ , ∠ADE = 20◦ y ∠ACE = 35◦ ,
calcule el ∠AF B . Ver gura adjunta.
17. Dada una circunferencia de diámetro BC , se toma un punto P en la prolongación de BC , y
se traza la tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre que el
4AOC es equilátero.
18. Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunes externas
forman segmentos iguales; análogamente, las tangentes comunes internas forman segmentos
iguales.
19.
20.
Teorema de Pithot.
tos es igual.
Demuestre que en todo cuadrilátero inscribible, la suma de lados opues-
En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de
las longitudes de lados opuestos es igual.
Teorema de Steiner.
21. En la gura 9, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia
paralela a AB . Demuestre que CD es bisectriz del ∠ACB .
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Figura 9:
22. (X OMCC - P2, Aarón) Sea ABCD un cuadrilátero concíclico con diámetro AC , y sea O el
centro de su circunferencia. Se construyen los paralelogramos DAOE y BCOF . Demuestre
que si E y F están sobre la circunferencia entonces ABCD es rectángulo.
23. Cuatro cilindros de diámetro 1 están pegados apretadamente por una
cuerda muy na, como en la gura adjunta. Demostrar que la cuerda
tine longitud 4 + π . Demostrar también que el área sombreada entre los
cilindros es 1 − π4 .
24. En la gura 10, ABCD es un trapecio isósceles con AB k CD y DA = BC = 2; tomando DA
y BC como diámetros, se construyen dos circunferencias tangentes. Si DC = 3AB , calcule el
área del trapecio.
Figura 10:
25. La gura 11 está formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre sí y
tangentes a tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la cuarta
parte del lado menor del paralelogramo, calcule la razón entre el lado mayor del paralelogramo
y el radio de las circunferencias.
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Figura 11:
26.
Dado un 4ABC , sean X , Y , Z puntos sobre AB , BC , CA, respectivamente. Demuestre que los circuncírculos de 4AXZ , 4BY X , 4CZY tienen un punto en
común M .
Teorema de Miquel:
27. Sea ABC un triángulo, y sean L y N las intersecciones de la bisectriz del ángulo A con
el lado BC y el circuncírculo de ABC respectivamente. Construimos la intersección M del
circuncírculo de ABL con el segmento AC . Prueba que los triángulos BM N y BM C tienen
la misma área.
28. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Se colocan los puntos M y K sobre la semicircunferencia y sobre AB , respectivamente.1 Sea P el centro de la circunferencia que pasa
por A, K y M ; sea Q el centro de la circunferencia que pasa por B , K y M . Demuestre que
M P KQ es concíclico.
29. En la gura 12, ABCDEF es un hexágono regular y las circunferencias de centro en los
vértices son tangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vértices B , D, F son iguales,
demuestre que las circunferencias restantes son iguales.
Figura 12:
30. Las circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en los puntos A y B . Por el punto A se traza una recta
que corta nuevamente a las circunferencias Γ1 y Γ2 en los puntos C y D, respectivamente. Por
los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en el punto
M . Demuestra que M CBD es cíclico.
1
M
y
K
son distintos de
A
y
B.
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31. El 4ABC cumple que ∠A = 90° y AB = AC . Se toma un punto E del segmento AB , se
construye interiormente un triángulo equilátero AEF . EF corta BC en I , y se construye
exteriormente un triángulo equilátero BIJ . Encuentre ∠EJB .
32. En la gura 13, se sabe que ∠AO1 B − ∠AO2 B = 70◦ y además la tangente EB forma el
triángulo isósceles ABE , con AB = AE . Encuentre ∠EBC .
Figura 13:
33. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 se cortan en A y B . Una recta por A corta a Γ1 y Γ2 en C y
D, respectivamente, y la paralela a CD por B corta Γ1 y Γ2 en E y F , respectivamente.
Demuestre que 4CDB ≡ 4EAF .
34.
Sean X , Y y Z los pies de las alturas trazadas desde un
punto P en el circuncírculo del 4ABC hacia AB , BC y CA, respectivamente. Demuestre que
X , Y y Z están alineados.
La Recta de Simson-Wallace.
35. Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que ∠AP C = 90◦ , Q es la intersección de AB
y P C , y R el pie de la perpendicular por Q a CA. Demuestre que P , R y D están alineados.
36. En la gura 14, ABCD es un trapecio rectángulo tal que la circunferencia de diámetro AB
(y centro O) es tangente a CD. Demostrar que O pertenece a la circunferencia de diámetro
CD y que esta circunferencia es tangente a BA.
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Figura 14:
37. El 4ABC es rectángulo en C , la circunferencia de centro O es tangente a cada uno de los
lados del 4ABC en los puntos P , Q y R (como se muestra en la gura 15), y se cumple que
AP = 20 y BP = 6. Calcule OP .
Figura 15:
38. Los vértices A y B de un triángulo equilátero 4ABC están sobre una circunferencia de radio
1 y el vértice C está en el interior de la circunferencia. Un punto D (distinto de B ) que esta en
la circunferencia es tal que AD = AB . La recta DC corta por segunda vez a la circunferencia
en E . Encuentre la longitud del segmento CE . Ver gura 16.
Figura 16:
39. En la gura 17 se muestran tres semicircunferencias, una de diámetro AB (de centro O y radio
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r), otra de diámetro AO y la última de diámetro OB . Determine la razón entre el radio de la
circunferencia tangente a estas tres semicircunferencias y r.
Figura 17:
40. El segmento AB es diámetro de un semicírculo con centro en O. Un círculo con centro en P
es tangente a AB en O y también al semicírculo. Otro círculo con centro en Q es tangente a
AB , al semicírculo y al círculo de centro en P . Si AB = 2, ¾cuál es el radio del círculo con
centro en Q?
Figura 18:
41. (OIM 2002, P-4) En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con D sobre
AC . Sean E y F puntos sobre la recta BD tales que (AE k CF ) ⊥ BD, y sea M el punto
sobre el lado BC tal que DM ⊥ BC . Demuestre que ∠EM D = ∠DM F .
42. (OMCC 2003, P-2) Sea S una circunferencia y AB un diámetro de ella. Sea t la recta tangente
a S en B y considere dos puntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E y F las
intersecciones de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con CF y DE .
Demuestre que AH = AG.
43. (The 59th Romanian Mathematical Olympiad District Round) Considere un cuadrado ABCD
y un punto E sobre el lado AB . La diagonal AC corta al segmento DE en el punto P . La
perpendicular por P a DE corta al lado BC en F . Probar que EF = AE + CF .
44.
En la gura 19, la región delimitada por tres semicircunferencias
mutuamente tangentes, es conocida como cuchilla de zapatero o árbelos. Demostrar que las
circunferencias sombreadas son congruentes.
Teorema de Arquímedes:
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Figura 19: Teorema de Arquímedes.
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