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MATERIAL DE APOYO PARA LA PREPARACIÓN EN EL CONTENIDO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA APUNTES PARA UNA EXPERIENCIA ELABORADO POR M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS 2010 1 Preliminares La geometría analítica constituye uno de los contenidos del programa de preparación de los estudiantes para el ingreso a la Educación Superior, su redacción algebraica y su comprensión geométrica (o viceversa), es un tema pendiente aún en nuestras aulas, le mostramos algunos ejemplos en este folleto de cómo desde nuestra concepción se puede atenuar esta deficiencia. Los ejercicios que se muestran no agotan todo el contenido del programa vigente, se han elaborado con la intención de atenuar las dificultades detectadas en nuestros alumnos y docentes. Conceptos esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de ejercicios sobre el contenido de geometría analítica, ordenados alfabéticamente: 1. Distancia de un punto a una recta.. 2. Distancia entre dos puntos en el plano. 3. Ecuación cartesiana de una recta en el plano. 4. Pendiente de una recta en el plano determinada por dos puntos 5. Pendientes. 6. Punto de intersección de dos rectas. 7. Punto medio de un segmento. Contenidos en el programa vigente para el ingreso a la Educación Superior relacionados con la geometría analítica. Distancia entre dos puntos en el plano. Pendiente de una recta en el plano determinada por dos puntos y su relación con el ángulo de inclinación. Condiciones de paralelismo o perpendicularidad de dos rectas en el plano en función de sus pendientes. Fórmulas para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento. Ecuación cartesiana de una recta en el plano. Punto de intersección de dos rectas. Distancia de un punto a una recta. En el plano. Aplicaciones. 2 Una información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos anteriores: PENDIENTE La pendiente m de una recta que pasa por los puntos Ax1 ; y 2 y Bx2 ; y 2 se define como el cociente: m y 2 y1 x 2 x1 La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que ésta forma con el eje horizontal: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si Ax; y y Bx1 ; y1 la distancia entre los puntos A y B se determina por la fórmula d A, B x x1 2 y y1 2 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Ax By C 0 ECUACIÓN DE LA RECTA DE FORMA EXPLÍCITA y A C x B B y mx n CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS En dos rectas cualesquiera del plano m1 m2 las rectas son paralelas En dos rectas cualesquiera del plano m1 m2 las rectas se cortan en un punto. Si se cumple que m1 1 las rectas son perpendiculares m2 Dados los puntos Ax1 ; y 2 y Bx2 ; y 2 el punto medio del segmento que x x 2 y1 y 2 ; contiene a los puntos dados tiene por coordenadas M 1 2 2 3 SISTEMA DE EJERCICIOS 1. En un sistema de coordenadas se han representados los puntos A y B como se muestra a continuación: y a) Completa los espacios en blancos de manera que se 0 -1 B x obtenga una proposición verdadera para cada caso. A COMPLETA Las coordenadas de un punto C de manera que el segmento REALIZA UN ESBOZO DE TU RESPUESTA BC sea paralelo al eje “ OX ” son _________. 0 1 B 0 1 B A Las coordenadas de un punto D de manera que el segmento AD sea paralelo al eje “ OY ” son _________. A 4 Las coordenadas de un punto F de manera que se cumpla que el segmento OA ( O origen de coordenadas) sea paralelo al segmento FB son _________. 0 1 B A Las coordenadas de un punto G de manera que el triángulo formado por los puntos A , O (origen de coordenadas) y G sea rectángulo son __________ 0 1 B 0 1 B 0 1 B A Las coordenadas de un punto E de manera que el segmento OE ( O origen de coordenadas) sea perpendicular al segmento AB son _________. A Las coordenadas de un punto E de manera que el segmento OE ( O origen de coordenadas) sea perpendicular al segmento AB y los puntos A , E y B estén alineados son _________. A 5 Las coordenadas de un punto R tal que la longitud del segmento AR sea igual a la longitud del segmento OB ( O origen de coordenadas) son _________. 0 1 B 0 1 B A Las coordenadas del punto H de manera que se cumpla que AH sea altura del triángulo formado por los puntos A , B y el punto de coordenadas 1;0 A 6 2. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado el y triángulo equilátero ABC A a) Completa los espacios en blanco de C 3 0 x manera que cada proposición sea verdadera y justifica tu respuesta. B RESPONDE ARGUMENTA Un punto D de manera que el segmento AD sea paralelo al lado BC del ABC debe estar situado en el _________ cuadrante La longitud de la altura relativa al lado AB del triángulo es de _________. Las coordenadas de un punto M de manera que el ABC sea igual al BCM son _________. 7 Las coordenadas de dos puntos P y Q de manera que el ABC sea semejante al PBQ son _________ y _________ respectivamente. Las coordenadas de un punto D de manera que el cuadrilátero ABCD sea un rombo son _________. Si el punto X tiene como coordenadas 4;0 , el área del BCX es de _________. El área del triángulo formado por los puntos medios de los lados del ABC es de _________. Si x es la mitad del segmento AC y h la longitud de una de una de las alturas del ABC pruebe que: x 3 h 3 h Las coordenadas de un punto D de manera que el ABD sea rectángulo en B son _________. 8 3. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado el ABC . Escoja de las líneas dadas, aquellas proposiciones verdaderas y argumenta cada y una de las escogidas. 3C 0 1 F 6 -3 A a) _____ El segmento AB es paralelo al eje “ OX ”. x B b) _____ F es punto medio del segmento BC . c) _____ El ABC es semejante al OFC ( O origen de coordenadas). d) _____ El segmento AB es una de las alturas del triángulo ABC . e) _____ El ABC 450 f) _____ El segmento BC tiene una longitud de 12 unidades. g) _____ El segmento AF es una de las alturas del triángulo ABC . h) _____ El área del triángulo ABC es el doble del área del OFC ( O origen de coordenadas). i) _____ El segmento OF está contenido en una de las paralelas medias del ABC . j) _____ Los triángulos ABF y ACF tienen igual área. k) _____ El ABF es semejante al ACF . l) _____ El perímetro del ABC es igual a la mitad del perímetro del OFC ( O origen de coordenadas). m) _____ El cuadrilátero PABC es un rombo; si el punto P tiene como coordenadas 6;3 . n) _____ El área del cuadrilátero PABC se puede calcular por la fórmula 2 BC A . 2 9 4. Resuelve la siguiente tabla Representa en el sistema de coordenadas de la derecha a) Un segmento tal que: uno de los vértices sea el punto O0;0 , y tenga una longitud de 5 0 1 unidades. b) Un triángulo isósceles tal que: el lado base sea paralelo al eje “ OY ”, que una de las alturas del triángulo este contenida en 0 1 el eje de las abscisas, que tenga un área de 3 unidades cuadradas. c) Un cuadrado tal que; el punto de intercepción de las diagonales sea el origen de coordenadas, que las diagonales estén 0 1 contenidas en las bisectrices del primer y segundo cuadrante respectivamente, y su área sea de 4 unidades cuadradas. 10 d) Un paralelogramo tal que: un lado sea el segmento OP , siendo O0;0 y P2;3 , y el lado consecutivo al OP sea de 6 unidades. 1 0 e) Un rombo tal que: uno de sus lados sea el segmento AB , determinado por los A 3;0 y puntos B 2;3 . 0 1 f) Un trapecio que tenga: un lado en el segmento PQ ( con P 2;0 y Q0;2 ), un vértice R 2;3 en el punto 0 1 11 g) Un trapezoide simétrico que tenga: una diagonal contenida en la recta y 2 x 1 1 0 5. En la figura aparece representado en un sistema rectángulo de coordenadas ABCD , coordenadas) punto O (origen medio un de y del segmento AB . C5 a) Determine las coordenadas del 2,5 vértice A . D 5 b) Calcula el perímetro del triángulo OAD . B O 2,5 x A c) Pruebe que el triángulo OAD es igual al triángulo OBC . d) Calcula el área del triángulo ODC . e) Prueba que: Área del ODC 1 Área del OAD Área del OBC ¿Se cumplirá esta relación para cualquier rectángulo dado? Demuéstralo. 12 h) Determine las coordenadas de un punto H de manera que el cuadrilátero formado por los puntos D, O, C y H sea un cuadrado. Justifique. i) Calcule la amplitud del DCO . j) Demuestre que el DOC es semejante al OBC y determine la razón de semejanza. k) Selecciona un punto P perteneciente al segmento, de manera que el cuadrilátero OADP sea un cuadrado. 6. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado un ABC equilátero B C 0 1 A a) Determina las coordenadas del vértice B. b) Calcule el área del ABC . c) Pruebe que si P es el perímetro del ABC y h una de las alturas del triángulo, se cumple que P h 2 . 13 7. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado un paralelogramo ABCD D C 0 1 A B a) Si el perímetro paralelogramo ABCD es de 14 unidades, determine las coordenadas de los vértices C y B. b) Determine las coordenadas del punto de intercepción de las diagonales. c) Calcule el área del paralelogramo ABCD . 8. De un triángulo isósceles ABC de base AC se conoce que vértices A y C tienen por coordenadas los puntos 1;1 y los 4;1 respectivamente. a) Si se conoce que el vértice B tiene como ordenada el valor 5, determine la abscisa. b) Escribe las coordenadas donde se interceptan las rectas que contienen a los lados AB y BC . c) Clasifica el triángulo ABC según sus ángulos. Justifique su respuesta. d) Calcule la longitud de la altura relativa al lado AC . e) Calcule la amplitud del ABC . 14 f) Determine las coordenadas de un segmento PQ contenido en una de las paralelas medias del ABC . g) Si se prolongan a partir de A y C los segmentos AB y BC , determine las coordenadas de los puntos D y F , si estos son los puntos de intercepción de los segmentos AB y BC con el eje “ OX ”. h) Calcule la razón Área del ABC . Área del BDF i) Calcule el valor de K si K sen 2 ACB cos 2 ACB . 9. En un sistema de coordenadas se han representados los puntos A(0:2) y C(0;-4) si se sabe que AC es la diagonal del cuadrado ABCD. Escribe: a) Las coordenadas de los vértices D y B. b) Calcula el perímetro del cuadrado ABCD. c) Calcula el área del triángulo ABD. d) Determina las coordenadas del punto de intersección de las diagonales. 10. Para restaurar un cuadro en forma de rombo, al cual se le ha deteriorado una de sus esquinas, Miguel ha construido con los vértices A , B y C el sistema de coordenadas como se muestra la figura. Si el conoce que el lado del rombo es de 1,5m , y que A , B y C están sobre los ejes de coordenadas. B A C 15 a) ¿Qué condiciones consideras debe cumplir el vértice D para que el cuadro siga manteniendo su condición de rombo?. 11. En el sistema de coordenadas que se muestra se ha representado los vértices A , B y C de un trapecio ABCD . B 4 C 3 A 0 3 D a) ¿Qué condiciones debe cumplir el vértice D para que ABCD sea un trapecio rectángulo?. b) Escriba las coordenadas del vértice A . c) ¿Existirá otro punto en el plano F para el cual ABCF sea también un trapecio rectángulo?. Justifique. 12. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado el cuadrado ABCD, al cuál se le han doblado tres de sus esquinas, si se sabe que el cuarto vértice coincide con el origen de coordenadas y que el lado OA ( O origen de coordenadas) está contenido en el eje “OY”. a) Escriba que condiciones consideras debe cumplir el punto C cuando se desdoble sobre el plano el cuadrado ABCD. b) ¿Cuáles son las coordenadas de B si se sabe que el perímetro del cuadrado es de 24,4cm ?. 16 c) Si a partir de los dobleces en los vértices A , B y C , hacemos coincidir a estos tres vértices con el origen de coordenadas, que figura se obtiene. Calcule su área. B A 13. En la figura C aparece representado 2 un rectángulo: a) Determine el conjunto formado por todos los puntos x; y 4 2 2 que son vértices de los ángulos rectos que se forman en la figura dada. b) Selecciona en la figura un triángulo isósceles y escribe las coordenadas de sus vértices. 17 c) Selecciona un triángulo rectángulo y calcula la longitud de la hipotenusa del mismo. d) Auxiliándote de una tabla trigonométrica calcula el seno de uno de los ángulos agudos del triángulo seleccionado. 14. Los segmentos AD y DC tienen como un extremo común D ¿Qué condición debe cumplir el punto B , para que ABCD sea un paralelogramo? a) Determine la longitud del segmento AB . b) Qué relaciones puedes establecer entre los segmentos DA y BC . c) Determina las coordenadas de un punto F (F pertenece al eje de las abscisas), de manera que el triángulo con vértices en C, F y D sea rectángulo en F. d) ¿Será posible encontrar sobre el plano otro punto X para el cual el triángulo CXD sea rectángulo?. Justifique. A1 D 2 1 B C 18 15. t s B D Sobre las rectas s y t ambas paralelas entre si al eje “OX” se han situado los puntos B 2;3 y D2;2 ( B s y D t ). a) Determina las coordenadas de dos puntos A y C ( A s y C t ) de manera que el cuadrilátero ABCD sea un rectángulo. b) Calcula la longitud de AC . c) Determina 3 puntos A1 , C 1 y D1 A1 s y C 1 , D1 t de manera que el cuadrilátero A1 BC 1 D1 sea un cuadrado. d) ¿Será el origen de coordenadas el punto donde se interceptan las diagonales del rectángulo ABCD ?. Justifique. e) ¿Existe alguna relación de igualdad o semejanza entre los triángulos ABC y el A1 BC 1 ?, Justifique. 19 16. En el siguiente sistema de x coordenadas, se ha representado el y cuadrado ABCD, el origen de coordenadas punto es donde B A el O se interceptan las diagonales del D cuadrado: C a) Diga el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B. b) Determina las coordenadas de los vértices de dos triángulos semejantes que se formen según los datos que ofrece el ejercicio. c) Prueba que si F es el punto medio del segmento AD entonces los segmentos CF y FB son perpendiculares. 20 17. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O, de manera que: AB BC CA . a) Clasifica el triángulo ABC según sus lados. b) Calcula la longitud de una de las alturas del triángulo dado, si el perímetro del triángulo es de 28 unidades. A O B C 18. Las diagonales AD y BC del cuadrado ABCD están contenidas en las rectas: r1 : y x y r2 : y x . a) Determina los vértices A, B, C y D si se conoce que el perímetro del cuadrado es de 36 u. b) Por el punto de intersección de las diagonales se traza una circunferencia que contiene a los vértices del cuadrado. calcula la longitud de la circunferencia. c) Escriba la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos A y B y tiene vértice en el punto de intersección de las diagonales. d) Escriba la ecuación de la función cuadrática que tiene como coordenadas de su vértice el punto medio del segmento CD y pasa por los puntos A y B. e) Calcula el ángulo que forma la diagonal AC con el lado BC. 21 7. Sea el segmento AB en el plano de coordenadas, con A (0;3) y B (4;y), si AB’09), si AB = 5,0 u, entonces el valor de y es: ___6 ; ___5 ; ___-3 ; ___-1 a) Sea el segmento MN en un plano de coordenadas con M (0; 6) y n (x ; 0 ) si MN = 10 u entonces el valor de x es: ___4; ___-6; ___8; ___10 8. En un ∆ABC, en un plano de coordenadas se conoce que A tiene coordenadas (1; 2) y B (5; 2), el triángulo es isósceles de base AB, las coordenadas del punto medio del lado AC son M (2; 4), entonces: a) Las coordenadas del vértice C son: ___ (2,5; 6), ___(3; 4), ___ (2,5; 5), ___ (3; 6). b) El área del triángulo es: ___16 u ; ___4,0 u²; ___8,0 u²; ___15 u². 9. Sea el ∆ABC isósceles de base BC, en un plano de coordenadas con, A (-1; 1) y B (4; 1). a) Las coordenadas del vértice C son: ___(4; 3), ___(3; 4), ___(-1; 3), ___(0; -5). b) El área del ∆ABC es: ___15 u², ___6 u², ___7,5 u², ___12 u². 10. Sea el paralelogramo ABCD, en un plano de coordenadas con A (0; 1) y D (5; 1) como se muestra en la figura. Si ABCD es un rombo entonces : a) Las coordenadas de B son (4; __) y las de C son (___:___) b) El área del rombo ABCD es:______________ 22 c) Las diagonales del rombo se cortan en el punto O de coordenadas (___;___) DIAGNÓSTICO MARCA CON UNA X LA RESPUESTA CORRECTA A) El punto de intersección entre la recta r, de ecuación r: 3x – 2y – 5 = 0 y el eje “y” es: a) ___ (0; 5 ) 3 b) ___ (– 5 ; 0) 2 c) ___ ( 5 ; 0) 3 d) ___ (0; – 5 ) 2 r1 y r2 de ecuaciones r1 : ( 2) x y 1 0 y r2 : y 2 x 2 . r r Para que las rectas 1 y 2 no tengan puntos comunes en el plano, los valores que puede tomar son: B) Sean las rectas a) ___ 2 ó 1 b) ___ 2 ó -1 c) ___ -1 ó -2 d) ___ -2 ó 1 C) Si r1 y r2 son rectas paralelas, P1 un punto de r1 y, P2 un punto de r2, entonces la distancia entre r1 y r2 es necesariamente: a) ____ igual a la distancia de P1 y P2 b) ____ menor o igual a la distancia de P1 y P2 c) ____ mayor que la distancia de P1 y P2 d) ____ mayor o igual que la distancia de P1 y P2 COMPLETA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES DE MANERA QUE SEAN VERDADERAS. A) Sean A y B dos puntos del plano . Si d ( A, B) 2 2 u , A(0;3) y B( x;1) es un punto que pertenece al primer cuadrante, entonces las coordenadas de B son: ___________ B) Sea r una recta que pasa por los puntos (0; –1) y (2; 1) y t, una recta que interseca a la recta r en el punto (2; 1). Si r t en el punto (2; 1), entonces la abscisa del punto de intersección de la recta t con el eje de las X es: ______________ C) El triángulo formado por los vértices A (2; 6), B (5; – 9) y C (– 2; 0) según sus lados se clasifica en: ____________. D) Dados los puntos A (-3; 5), B (5;-1) y C (-5;-6), la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y es perpendicular a la recta AB es: _____________ 23 E) Las rectas r1: 3 x 4 y 10 r2: 2 x y 5 se interceptan en El punto de coordenadas ____________ F) Se dan las rectas r1 , r2 y r3 cuyas ecuaciones son: r1 y - kx + 3 = 0; r2 : 2x - y = 8 r3: 4y = 3x - 2 a) El valor de k para que las rectas se corten perpendicularmente es: 24