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GEOMETRÍA ANALÍTICA
U
N
E
X
P
O
1
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
Prof. Esther Morales
INTRODUCCIÓN: La geometría analítica combina el Álgebra y la Geometría. Establece
mutuas relaciones entre los lugares geométricos y las ecuaciones que lo representan.
Mediante métodos y procedimientos algebraicos estudia las propiedades de las figuras
geométricas. Además, con ilustraciones graficas de las funciones algebraicas y de otra
índole, la geometría analítica hace más objetivas y accesibles las soluciones de ciertos
problemas.
El objeto de esta sección es presentar algunos de los conceptos fundamentales de la
Geometría Analítica Plana. En particular, se hará notar cómo se generalizan muchas de las
nociones de la geometría elemental por los métodos de la Geometría Analítica. Esto se
ilustrará con aplicaciones a las propiedades de las líneas rectas y de las figuras rectilíneas.
Objetivos específicos:




o
o









Ubicar en el plano cartesiano un punto cualquiera del cual se conocen sus coordenadas.
Calcular la distancia entre dos puntos conociendo sus coordenadas.
Definir y calcular la pendiente de una recta conociendo dos puntos de ella
Obtener la ecuación de una recta si se conocen:
dos puntos sobre ella
un punto y la pendiente
Graficar una recta conociendo su ecuación y determinar su pendiente.
Pasar, sin dificultad, de una forma de la ecuación de la recta a otra forma cualquiera
prefijada.
Determinar si dos rectas cualesquiera se cortan, son paralelas o coinciden; conociendo sus
ecuaciones.
Determinar si dos rectas son perpendiculares.
Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos conocidos.
Calcular la distancia (perpendicular) de un punto de coordenadas conocidas a una
recta cuya ecuación conocemos
Determinar si tres puntos de coordenadas conocidas son o no colineales.
Encontrar la intersección entre dos rectas conociendo sus ecuaciones.
Determinar lugar geométrico que representa una ecuación dada
1. Sistemas de coordenadas, gráfica de una ecuación y lugares geométricos
1.1. Segmentos.
La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento. Los
dos puntos se llaman extremos del segmento.
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2
A
B
Así, en la recta anterior, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del
segmento AB se representa por AB .
Dados los puntos A , B y C sobre una recta tal que C esta entre A y B resulta
AB  AC  CB
A
C
B
Los segmentos dotados de dirección, longitud y sentido reciben el nombre de vectores. Los
vectores son frecuentemente utilizados para la representación de ciertas cantidades físicas,
tales como fuerzas, velocidades, etc. En este capítulo no trataremos los segmentos dirigidos.
1.2. Sistema de coordenadas rectangulares.
Consta de dos rectas numéricas X e Y llamadas ejes coordenados, perpendiculares entre sí
y de modo que se cortan en el origen. Como se muestra en la figura 1
Fig. 1
La recta X se llama eje de las abscisas o eje x, la recta Y es el eje de las ordenadas o eje
y, y su punto de intersección 0 es el origen.
En lo relativo a los signos de la abscisa y la ordenada se tienen las siguientes reglas:
A. La abscisa es positiva a la derecha del origen, y negativa a la izquierda.
B. La ordenada es positiva hacia arriba del origen y negativa hacia abajo.
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Los ejes de coordenadas x e y, dividen el plano real en 4 regiones llamadas cuadrantes,
que se nombran de la manera siguiente:
I. Primer cuadrante.
II. Segundo cuadrante.
III. Tercer cuadrante.
IV. Cuarto cuadrante.
Fig. 2
Todo punto P1 del plano puede localizarse por medio del sistema rectangular. En efecto, la
proyección ortogonal de P1 sobre el eje de las abscisas se representa por x y se llama
abscisa de P1 ; la proyección ortogonal de P1 sobre el eje de las ordenadas se representa
por y, y se llama ordenada de P1 . Los dos números reales, x e y, se llaman coordenadas
rectangulares o cartesianas de dicho punto. (Ver fig 1).
Para expresar que el punto P1 tiene como coordenada
x1 , y1 , se emplea el símbolo:
P1 (x1 ,y1 ) , siendo convenientemente hacer notar que se escribe la abscisa primero.
Para el caso en que el punto es tal que se mueve en el plano y por lo mismo tiene
coordenadas desconocidas , usualmente se emplea la anotación: P( x , y) .
En la figura 2 aparecen indicados los respectivos signos de la abscisa y la ordenada en cada
cuadrante.
Nótese que cualquier punto sobre el eje de las abscisas tiene coordenadas (a, 0), donde a 
R y sobre el eje de las ordenada (0, b), donde b  R.
1.3. Localización de un punto en el plano real.
En la figura siguiente se ilustra el procedimiento práctico para la localización de puntos en el
plano.
Por ejemplo: el punto P (2,-2) se localiza ubicándonos a dos unidades positivas del origen
(hacia la derecha) y luego trasladándonos a dos unidades hacia abajo (negativamente),
paralelamente al eje de las y
El punto Q (-1,-1) se localiza ubicándonos a una unidad negativa del origen (hacia la
izquierda) y luego trasladándonos a una unidad hacia abajo (negativamente), paralelamente
al eje de las y
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En forma análoga han sido situados los puntos R y S.
Y
R (0,4)
P (1,1)
X
Q (-1,-1)
S (2,-2)
EJERCICIOS 1
1. Localizar los siguientes puntos en el plano real:
1
3
C( ,2 )
A (3, 2)
B(-1, -1)
G(5, 7)
H(4, -5)
I(- 3 , 0)
M(-4 , 4)
N( 2 ,0)
O(7.5 , -3.5)
R(-1.8, -2.4)
D(2, 7)
1
2
S(1.5, - )
J(3
1
, 1)
2
E(0, -1)
K(0, 8)
P(-6 , 0)
3
4
9 7
L(- , )
2 3
Q(0,   )
F(-5 ,4 )
9
2
T(0, - )
2. a) ¿Cuál es el valor de la ordenada en cualquier punto del eje de las x?
b) ¿Cuál coordenada es nula en un punto cualquiera del eje de las y?
3. a) ¿Qué determina el conjunto de todos los puntos cuya abscisa en todos ellos es igual
a 3?
b) ¿Qué determina el conjunto de todos los puntos cuya ordenada en todos ellos es
igual a -5?
4. Un cuadrado mide por lado 6 unidades. Cuáles son las coordenadas de sus vértices
en los siguientes casos:
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5
a) Si un vértice es el origen y dos de sus lados coinciden respectivamente con el lado
negativo del eje x y el eje y.
b) Si la intersección de sus diagonales está en el origen y sus lados son paralelos a los
ejes de coordenadas.
c) Cuando sus diagonales coinciden con los ejes coordenados.
5. La base de un triangulo isósceles mide 8 unidades. Si la base coincide con el eje x
siendo bisecada por el origen de coordenadas, ¿Cuáles son las coordenadas de los
vértices? (dos soluciones).
6. dos de los vértices de un triangulo equilátero son respectivamente los puntos A (-1,3)
y B (7,3). ¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice? (Dos soluciones).
1.4. Distancia entre dos puntos dados.
Supongamos que queremos encontrar la distancia que hay entre los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y
P 2 ( x 2 y 2 ).
Trazamos por P 1 una paralela al eje x, y por P 2 otra paralela al eje y. Estas se cortan en
R (x 2 ,y1 ) , formándose el triángulo rectángulo P 1 RP 2 .
Y
P 2 (x 2 , y 2 )
R (x 2 ,y 1 )
P 1 (x 1 ,y 1 )
X
Fig. 3
Por el teorema de Pitágoras la distancia de P1 a P2 , es decir d  P1 ,P2  = P 1P 2 esta dada por:
d  P1 ,P2  =
 P R  +  RP 
2
1
2
2
Si A y B son las proyecciones de P 1 y P 2 , sobre el eje x, los segmentos P1R y AB de
longitud respectivamente P1R y AB son lados opuestos de un rectángulo, de manera que
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P1R = AB . Pero AB = x 2 -x1 , por consiguiente P1R = x 2 -x1 . De igual forma RP2 = y 2 -y1 .
Por lo tanto,
d  P1 , P2  =
2
2
x 2 -x1 + y 2 -y1 =
 x 2 -x1  +  y 2 -y1 
2
2
(I)
Ejemplo 1: Consideremos los datos de la fig.3, donde P 1 ( 2,3) y P 2 (10,6), aplicando la
formula (I), tenemos que d(R,P2) esta dada por:
d( P1 ,P2) = (10  2) 2  (6  3) 2 = 73
Ejemplo 2: Probar que el triangulo, cuyos vértices son: M (-1, 1), N (1, 3) y P (- 3 , 2 +
es equilátero.
Solución:
Aplicando la formula de distancia entre dos puntos:
MN  (1  1) 2  (3  1) 2 =
PN =
44 =

(1  3 ) 2  3  (2  3 )

= 1 2 3  3  1 3
8
2 =
2 =
= 1 2 3  3 1 2 3  3  8

PM  (1  3 ) 2  1  (2  3)
2 
= 1  2 3  3  (1  3 ) 2 =
= 1 2 3  3 1 2 3  3 = 8
Luego, como MN = PN  PM , el triángulo es equilátero.
EJERCICIOS 2
1. Encontrar la distancia del origen a cada uno de los siguientes puntos:
a) (8 , 6)
b)(-3, -4)
c)(-1,
3
)
4
d) (1 + 7 , 1- 7 )
2. Hallar la longitud de los segmentos que unen a cada par de puntos:
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3)
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7
1 1 1 1
1 2
1 2
d) ( , ) ( , )
2 6 4 3
2 3
4 3
e) (a, 0), (0, b)
f)(-3a, 3b), (-3a,b) g) ( 5 ,2), (4 5 ,6)
3
1
1
1
h) (3 5,  5 3 ), (10 3, 6 5 )
i) (m, m) , (-n, m) j) ( a,  b), ( a,  b )
4
5
2
5
a) (-2, -4), (-18, -4)
b)(5, 0), (5, -3)
c) ( , ) ( , )
3) Determinar el valor del perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) (1, 5)
(-2,3)
(4, -3)
b) (-3, 2)
(1, -1)
(9, 7)
c) (3, -5)
(-5, -6)
(10, 2)
4) Calcular el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son:
A (3, 4) B (-3, 3) C (-5, -2) D (3,- 3)
5) Probar que son isósceles los triángulos que tienen los vértices que se dan en cada
caso.
a) (1, -2)
(4, 2)
(-3, -5)
b) (4, 3)
(-1, -1)
(3, 2)
c) (4, 8)
(3, -1)
(-5, 7)
6) Probar que el cuadrilátero cuyos vértices son M (1, 3), N (3, 6), P (0, 5) y Q (-2, 2), es un
paralelogramo.
7) Probar que el triángulo formado por los 3 puntos dados en cada caso, es un triángulo
rectángulo.
a) (1, 2)
(3, 4)
(-1, 4)
b) (1, -2)
(-2, 2) (9, 4)
8) Calcular el área de los círculos circunscritos a los triángulos rectángulos del punto 7.
Sugerencia: Considerar que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
9) Hallar los longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: (-2, 5), (6, 7), (6, 3).
10) Siendo los vértices consecutivos de un paralelogramo los puntos
A (5, -4), B (-2, -1)
C (1, 10), D (8, 7); probar que sus diagonales se cortan mutuamente por mitad.
1.5. Punto medio de un segmento.
La obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento, se puede considerar
como un caso particular de la división de un segmento por un punto, cuando la razón de
división es igual a 1.
De esta manera dado un segmento AB donde A ( x1 , y1 ) y B( x 2 , y 2 ) ; siendo P( x, y) el
punto medio, por
AP
 1 , se tiene:
PB
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8
x +(1)x
x=
y=
1
1+1
y +(1)y
1
1+1
2
2
x +x
; x=
; y=
1
2
y +y
1
2
2
(I)
2
(II)
En conclusión podemos decir que la abscisa del punto medio de un segmento es igual al
promedio de las abscisas de los extremos y la ordenada, al promedio de las ordenadas de
los extremos.
Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos
A(-2,1) y B(2,-5)
Solución:
Aplicando las formulas I y II de punto medio se tiene:
x
2  2
0
2
y
1  5 4

 2
2
2
Luego P 0,2
Verificación gráfica:
EJERCICIOS 3
1. Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(10, -9) , (-8, -1)
(-1,0), (0,-2)
(-3,-4), (-5,-1)
(0,0), (6,8)
(0, -9), (0,5)
(-1, -2), (0, -1)
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3. Los puntos A (-3, -4), B (3,-2), C (5,5) y D (-1, 3), son, en el mismo orden, los vértices
consecutivos de un paralelogramo. Considerando que sus diagonales se cortan mutuamente
por mitad; ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección?
4. los vértices consecutivos de un cuadrado son M (-5, -8) N (3, -4), P (-1, 4) y Q (-9, 0)
¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita?
5. Encontrar la razón en la cual el punto P (2, 3) divide el segmento que une A (3,8) con B (1, -12),
6. Determinar la razón en la cual el punto (10, 6) divide al segmento que une M (4, -3) con N
(8, -5).
7. El punto P (7, -4) Divide al segmento AB en la razón 3:4. Siendo las coordenadas de A
(10, -2,5), ¿Cuáles son las coordenadas del B?
1.6. Pendiente de una recta
La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje de las x; y
se representa por  . Dicho ángulo debe considerarse engendrado en sentido contrario al
movimiento de las manecillas del reloj, tal como se muestra en las siguientes figuras.
Y
Y


0
0
X
X
Si la recta es paralela al eje de las x, su inclinación es cero.
La tangente del ángulo de inclinación de la recta se conoce con el nombre de pendiente de la
recta y se representa por m.
La pendiente de una recta puede expresarse en términos de las coordenadas de dos puntos
cualesquiera de ella. Por ejemplo, en la figura 5, consideremos la recta que pasa por los
puntos P (x ,y ) y P (x ,y )
1
1
1
2
2
2
Trazando por P 1 una paralela al eje de las x y por P 2 una paralela al eje de las y, se
observa que dichas rectas se cortan en Q
Como P1Q  x 2  x1 ,
QP2  y 2  y1 entonces,
QP2 y 2  y1
(1)
m = tan  .=

P1Q x 2  x1
y
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10
Y
P2 (x 2 , y 2 )
P1 ( x 1 , y 1 )
y 2 - y1

Q
0
x 2 - x1
X
Fig. 5
Cuando una recta es paralela o coincide con el eje x, entonces y 1  y 2 y la pendiente es igual
a cero. Si la recta es paralela o coincide con el eje y, su pendiente no existe. ¿por qué?
Por otra parte, si el ángulo de inclinación está comprendido entre 0º y 90º, la pendiente de la
recta es positiva y si esta comprendido entre 90º y 180º, la pendiente es negativa.
Ejemplo 1. Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos (-1, 5) y (7, -3).
Aplicando la formula (1), tenemos que: m =
35 8

 1
7 1
8
Luego, para obtener el ángulo de inclinación de la recta cuya pendiente es -1, se despeja 
 = tang 1 (-1) = 135º. Por lo
de (1), de la siguiente manera: tang  = m = -1, luego
tanto  = 135º.
1. 7. Rectas paralelas.
Las rectas paralelas tiene iguales inclinaciones y por lo tanto las mismas pendientes.
Recíprocamente, si varias rectas tienen pendientes iguales son paralelas. De esta manera, si
las pendientes de dos rectas (r 1 y r 2 ) son respectivamente m 1 y m 2 , éstas son paralelas si
y sólo si m 1 = m 2 .
r1
r2
Y


0
X
1.8. Rectas perpendiculares.
Dos rectas son perpendiculares (r 1  r2 ) si la inclinación de una con respecto al eje de las x
es 90º más que la otra.
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Sean 1 y  2 los respectivos ángulos de inclinación de dos rectas perpendiculares, no
r1 y r2 se tiene:
horizontales ni verticales, luego para
 2  1 + 90º
(1)
porque un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes.
r1
r1
Y
90º
1
2
0
X
Utilizando algunas fórmulas trigonométricas conocidas, resulta:
Tan  2 = tan ( 1 + 90º) = -cot 1 = -
1
tan 1
(2)
Sustituyendo las tangentes por m 2 y m1 se tiene:
m2= -
1
, o también, m 1 m 2 = -1 (3)
m1
Luego, si dos rectas son perpendiculares tienen pendientes reciprocas y de signo contrario,
es decir, el producto de sus pendiente es -1 y recíprocamente, si el producto de las
pendientes de dos rectas es -1, se demuestra que estas dos rectas son perpendiculares.
Ejemplo 1. Probar que la recta que pasa por los puntos (-1, -5) y (6, -2) es paralela a la recta
que pasa por (-2, -4) y (5 -1).
Solución:
Primero calculamos las pendientes de las rectas que pasan por los puntos dados, las cuales
llamaremos respectivamente m 1 y m 2 :
m1=
25 3

6 1
7
y
m2 =
1 4 3

52
7
Como m 1 = m 2 , entonces las rectas son paralelas
Ejemplo 2. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son A (5, -3), B (4, 4) y C (1, 0) es
rectángulo.
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Solución:
Para probar que el triángulo es rectángulo se deberían calcular previamente las pendientes
de las rectas que unen los diferentes vértices; m 1 de AB, m 2 de BC y m 3 AC y luego
verificar que el producto de dos de ellas da como resultado -1, así dos lados del triángulo
formarían un ángulo recto y se concluiría que el triángulo es rectángulo.
Veamos:
m1=
43
 7
45
4
3
m2=
04 4

1 4 3
m3=
03
3

1 5
4
3
4
Como m 2 . m 3 = ( ) ( )   1 , entonces BC  AC y por consiguiente el triángulo es
rectángulo
Ejemplo 3. Probar que “Las diagonales de un paralelogramo se cortan mutuamente por la
mitad”.
Para realizar dicha comprobación, nos basaremos en los aspectos tratados previamente, sin
embargo es importante señalar que no podemos resolver dicho problema particularizando, es
decir asignando cantidades particulares, sino generalizando.
Solución:
Dibujamos un paralelogramo con un vértice en el origen y uno de sus lados coincidiendo con
el eje de las x.
Y
C(c, b)
O (0, 0)
B(a + c, b)
A(a, 0)
X
Designamos a continuación los vértices O(0, 0), A (a, 0) B (a + c, b), C (c, b) y consideramos
que M’ y M’’ son respectivamente los puntos medios de OB y AC .
Por lo estudiado para coordenadas del punto medio de un segmento se tiene:
M’ (
ac b
ac b
, ) y M' ' (
,
2 2
2 2
)
Luego, los puntos M’ M’’ coinciden en el punto de intersección M. Además, el punto M de
intersección es el punto medio de cada diagonal.
Ejemplo 4:
Probar que “la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralela al
tercer lado e igual a su mitad”.
Solución:
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Para facilitar la solución de este problema trazamos un triángulo con un vértice en el origen,
y un lado coincidiendo con el eje de las x.
Y
B( b, c)
D
E
O (0, 0)
A(a, 0)
X
Luego designamos los vértices por O(0, 0) A(a, 0), B(b, c) y consideramos que D y E
son los puntos medios de OB y AB.
Por coordenadas del punto medio de un segmento.
D ( 1 b, 1 c)
2
2
y
1 
1
E  (a  b), c .
2
2 

La pendiente de DE es:
m=
1
1
c c
0
2
2

0
1
1
1
(a  b )  b
a
2
2
2
Luego, si la pendiente de DE es cero, DE es paralela al eje x y por consiguiente DE
es paralela a OA
Además, DE = 1 (a+b)- 1 b= 1 a= 1 OA
2
2
2
2
EJERCICIOS 4
1. Hallar la pendiente de cada una de las rectas que pasan por los puntos dados en el
inciso 2, ejercicio 2.2.
2. Determinar el ángulo de inclinación de cada recta según la pendiente dada.
a) m = 1
b) m = -1
c) m = 0
3
3
d) m =
3
e) m = - 3
f) m =
g) m = -
3
3
h) m = 0.10657
i) m = 1.8
3) Encontrar las pendientes de los lados de los triángulos cuyos vértices son:
A. (-4, -4),
B (2, 7)
y C (-7, 10).
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4) Hallar las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: A (2, 6), B (8,
3)
y C (-2, -1)
5) Probar que los puntos A (7, 8), B (10, 1), C (-1, -2), D (-4, 5) son los vértices
consecutivos de un paralelogramo.
6) Probar que los puntos A (3, 4), B (-3, 0), C (-4, -7) y D (6, 1) son vértices de un
trapezoide.
7) ¿Son los puntos A (-3, 0), B (3, 4), C (6, 1) y D (-4, -7) los vértices consecutivos de un
trapecio?
8) Utilizando las pendientes, probar que A, B y C están sobre una recta.
a) A (-2, -3),
b) A (1, 1),
c) A (7, -9)
d) A (-1.5, -8),
B (2, -1),
C (10, 3)
B (-4, 3),
C (6, -1)
B (-1, 5),
C (-5, 12)
B (2.5, 0), C (-3.5, -1.2)
9) Probar que la recta que pasa por los puntos (9, 3) y (0, 12), es perpendicular a la que
pasa por los puntos (7, 10) y (-4, -1).
10) Probar que los triángulos de vértices A, B y C son rectángulos
a) A (4, 8), B (0, 12),
b) A (-5, -7), B (10,-6),
c) A (-1,0), B (6, 7),
C (-3, 1)
C (3,1)
C (3, -4)
11) Probar que los puntos dados en cada caso corresponden a los vértices de un
rectángulo.
a) (1, -2), (5, 1), (2, 5), (-2, 2)
b) (-5, 1), (3, 7), (6, 3), (-2, -3)
c) (8, -3), (-1, 6), (-9, -2), (0, -11)
12) Probar que las rectas determinadas por los pares de puntos (-1, -2), (7, 6) y (1,
2), (8, -5), son perpendiculares entre sí.
13) Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos
(-5, -4) y (3, -2).
14) Comprobar analíticamente los teoremas siguientes:
a) Las diagonales de un rectángulo son iguales.
b) Si dos segmentos perpendiculares se bisecan entre si, todo punto, de uno cualquiera
de ellos. Equidista de los extremos del otro.
c) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre si.
d) Si por un punto equidistante de dos paralelas se trazan dos rectas, los segmentos
que determinan en las paralelas son iguales.
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
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e) El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es equidistante a los tres
vértices
f) Si de uno de los vértices de un cuadrado se trazan segmentos a los puntos medios
de los lados del ángulo opuesto, estos segmentos son iguales.
g) La recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio, es igual
a la semisuma de los lados paralelos y paralelas a ellos.
h) Si dos triángulos isósceles tiene una misma base, la recta que une los vértices
opuestos a la base, es la perpendicular bisectriz de la base.
i) Los segmentos que unen los puntos medios de los lados consecutivos de un
cuadrilátero, forman un paralelogramo, cuyo perímetro es igual a la suma de las
diagonales del cuadrilátero.
j) El segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero, y
el que une los puntos medios de las diagonales, se bisecan mutuamente.
k) La suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera a dos vértices
opuestos de un rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a
los otros dos vértices.
l) La suma de los cuadrados de los lados de un rectángulo, es igual a la suma de los
cuadrados de las diagonales.
m) Las medianas trazadas a los lados iguales de un triangulo isósceles, son iguales.
n) La suma de los cuadrados de las medianas de un triangulo, es igual a las tres cuartas
partes de la suma de los cuadrados de los lados
1.9 Ecuaciones.
En matemáticas, diversas situaciones se expresan por medio de ecuaciones que relacionan
cantidades constantes y variables.
Ejemplo 1. El costo c de cierto artículo es igual al triple de la mano de obra más Bs. 5000
de impuestos.
Ecuación: c = 3m + 5000
Variables: c y m; c representa el costo del artículo y m representa la mano de obra
Constantes: 3 y 5000
Ejemplo 2. Para todo triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 8 cm., la relación entre sus
catetos a y b, se expresa así:
Ecuación: a 2 + b 2 = 8 2
Variables: a y b; las cuales representan los catetos del triángulo rectángulo
constantes: 2 y 8
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
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1.10. Lugar geométrico, ecuación de un lugar geométrico y su gráfica.
Un lugar geométrico se establece por un conjunto de puntos que tienen una misma
propiedad común o también se puede definir como el conjunto de todos los puntos (x,y) que
pertenecen al plano y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfagan una
ecuación de la forma f(x,y) = 0 .
Ejemplo 1. El lugar geométrico de los puntos (x,y) del plano que equidistan 2 unidades del
origen es una circunferencia.
Y
2
-2
0
2
X
-2
Ejemplo 2. El lugar geométrico de los puntos (x,y) del plano equidistantes de los ejes
coordenados es una bisectriz del I y III cuadrantes, o del II y IV.
Y
0
X
Ejemplo 3. El lugar geométrico de los puntos (x,y) del plano de ordenada constante es una
recta paralela al eje de las x.
Y
0
X
En Geometría Analítica plana el lugar geométrico puede ser una recta, una o más curvas, o
varios puntos aislados.
Ecuación de un lugar geométrico
La propiedad común a todos los puntos que forman un lugar geométrico, se expresa
mediante una ecuación.
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La ecuación que corresponde a cada uno de los lugares geométricos citados en los ejemplos
anteriores son:
2
2
Ejemplo1. x + y = 4
Ejemplo2. y = x ó y =-x
Ejemplo3. y = c, c>0
Ejemplo. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,1) es siempre igual
a su distancia del eje y. Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Solución:
Dibujemos los eventos principales de este problema
Sea P(x,y) un punto cualquiera del lugar geométrico. Entonces, la distancia de P al eje y es
x y la distancia al punto (2,1) es:
 x - 2  +  y - 1
2
2
Al igualar las dos distancias se obtiene:
2
2
 x - 2  +  y - 1 =
 x - 2  +  y - 1
2
2
x
= x2
x 2 - 4x + 4 + y 2 - 2y + 1 = x 2
y 2 - 4x - 2y + 5 = 0 La cual representa la ecuación del lugar geométrico buscado
Gráfica de un lugar geométrico:
Dada la ecuación de un lugar geométrico, es posible construir la gráfica que corresponde a
dicho lugar. En los ejemplos anteriores se muestra la gráfica respectiva de cada uno de los
lugares geométricos correspondientes.
Para trazar la gráfica de un lugar geométrico se procede en primer término a elaborar una
tabla de valores, asignando valores arbitrarios a una de las variables para obtener, de este
modo, el valor o valores de la otra. Elaborada la tabla, se sitúan los puntos que tienen la
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propiedad común expresada por la ecuación y se unen por una recta o curva si procede. De
esta manera, se tiene la gráfica del lugar geométrico de la ecuación dada.
Es importante destacar que este proceso de graficación se hace fácil o difícil dependiendo de
la curva que estamos tratando, por lo tanto es necesario conocer más significativamente
sobre las características esenciales de cada lugar geométrico que se quiere representar en
el plano para facilitar la elección de puntos que favorezcan la graficación. Es el resto del
capítulo estudiaremos algunos lugares geométricos en especiales, tales como la recta y las
cónicas.
EJERCICIOS 5
1. ¿Qué lugar geométrico representa cada ecuación?
a) y = 0
b) x = 0
c) y = 2
d) x = -5
e) y = -1
f) x = 6
g) x = y
h) x = -y
i) y = 3 x
k) y = 2x -1
2. Escribir la ecuación de cada lugar geométrico:
a)
b)
c)
d)
De ordenada constante igual a 10
De los puntos de abscisa igual a cero
De los puntos de abscisa constante.
De los puntos equidistantes de los ejes coordenados. (Dos soluciones)
3. Obtener la ecuación del lugar de los puntos equidistantes de cada par de puntos.
a) (2, 5), (6, 2)
c) (-3, 4), (-3, -6)
b) (-4, 1), (-2, 3)
d) (5, 2), (-7, 2)
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