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TERMODINÁMICA
aletos
PROCESOS
Física para Ciencias e Ingeniería
1
DE DOS GASES PERFECTOS
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A
La figura representa un cilindro de paredes adiabáticas
con un émbolo móvil adiabático, sin rozamiento, que separa
dos compartimentos A y B.
En cada uno de ellos hay n moles de un mismo gas perfecto cuyo índice adiabático es γ = 1,5.
La presión, volumen y temperatura iniciales son iguales
en ambos compartimentos. Se suministra calor al gas A por
medio de una resistencia eléctrica hasta que la presión del
gas B es de 27/8 de la presión inicial Pi.
Calcúlese en función de n, R y Ti:
a) El trabajo realizado sobre el gas B.
b) La temperatura final de cada gas.
c) El calor suministrado al gas A.
B
SOLUCIÓN:
El gas A se dilata obligando al émbolo a desplazarse hacia la derecha, comprimiendo al gas B hasta que la presión en ambos compartimento es la misma, quedando el émbolo en equilibro mecánico.
a) La evolución del gas A no es adiabática, porque, aunque las paredes del cilindro y el pistón son aislantes térmicos, el gas recibe calor por medio de la resistencia eléctrica. En cambio, el gas B sí evoluciona adiabáticamente.
Por consiguiente, el trabajo realizado sobre el gas B queda expresado por la relación
W=
Sustituyendo
1
(PB VB − PB VB )
1−γ
f
f
i
[1]
i
γ y PBf
W=
1
(
27
1 − 1,5 8
PB VB − PB VB ) = −2 (
i
f
i
i
27
8
PB VB − PB VB )
i
f
i
i
[2]
Aplicando la ecuación de estado al estado inicial del gas B, se obtiene,
PB VB = nRTB
i
i
[3]
i
de donde
PB =
nRTB
i
VB
i
[4]
i
Sustituyendo en [3] y [4] en [2]
 V

 nRT

27 Bf
27
Bi



VB − nRTB = −2nRTB 
− 1
W = −2
8 V
f
i 
i 

V
8
Bi
Bi




[5]
El cociente de los volúmenes se puede obtener aplicando la ecuación de la adiabática que relaciona la presión y
volumen iniciales con la presión y volumen finales del gas B:
PB VBγ = PB VBγ
i
i
f
f
Sustituyendo valores, operando y despejando
PB VBγ =
i
VBγ
f
V
γ
Bi
27
i
=
8
PB VBγ
i
f
8
27
3
V
 Bf
V
 Bi
VB
f
VB
i
 2  3
 = 2
 

3

2
2 4
=   =
3 9
[6]
2
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Sustituyendo [6] en [5]
 27 4 
3 
W = −2nRTB 
− 1 = −2nRTB  − 1 = −nRTB = −nRTi
i
i
i
8 9 
2 
[7]
b) La temperatura final del gas B se puede calcular aplicando la ecuación de estado a los estados inicial y final
de dicho gas, dividiendo miembro a miembro y despejando:
PB VB = nRTB
i
i
i
PB VB = nRTB
f
f
PB VB
i
i
PB VB
f
=
f
f
nRTB
i
nRTB
f
Sustituyendo la presión final, y el cociente de volúmenes a partir de la relación [6]
PB
i
⋅
9
=
TB
i
27
4 TB
PB
f
i
8
Simplificando, operando y despejando
8 9 TBi
⋅ =
27 4 TB
f
3
3
TB = TB = Ti
f
2 i 2
Para calcular la temperatura final del gas A, es preciso calcular previamente el volumen final de dicho gas.
Teniendo en cuenta que la suma de volúmenes iniciales y finales de ambos gases es la misma, y que los volúmenes iniciales son iguales,
VA +VB =VA +VB
i
i
f
f
VA =VB
i
i
Sustituyendo y operando
4
4
2VA =VA + VB =VA + VA
i
f
i
f
9
9 i
4
2VA − VA =VA
i
f
9 i
14
VA = VA
f
9 i
Dividiendo ahora las ecuaciones de estado de los estados inicial y final del gas A
PAVA = nRTA
i
i
i
PA VA = nRTA
f
f
f
PAVA
i
i
=
PA VA
f
f
nRTA
i
nRTA
f
Sustituyendo valores, simplificando y operando
PAVA
i
i
=
TA
i
27
TA
14
P ⋅ V
f
8 Ai 9 Ai
TA
1
= i
27 14 TA
⋅
f
8 9
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Finalmente,
TA =
21
TA =
21
T
4
4 i
c) El calor suministrado al gas A se calcula aplicando el primer principio de termodinámica a dicho gas
f
i
[8]
ΔU A =QA −WA
[9]
QA = ΔU A +WA
[10]
Despejando QA
La variación de energía interna se puede calcular siempre a partir de
ΔU A = ncV (TA −T A )
f
[11]
i
donde cV se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la definición del índice adiabático y la
relación de Mayer, de los calores específicos cP y cV:
c
 P = γ = 1,5
cV

 cP −cV = R
Operando se obtiene
cV = 2R
[12]
Sustituyendo [8] y [12] en [11]
ΔU A = 2nR(
21
4
TA −T A ) =
i
i
17
2
nR
[13]
Por otra parte, teniendo en cuenta que el gas A experimenta una expansión, y el gas B, una compresión, el trabajo realizado por el gas A es igual y de signo contrario al trabajo realizado sobre el gas B. Por consiguiente,
WA = −WB = −(−nRTi ) = nRTi
[14]
Sustituyendo [13] y [14] en [10]
QA =
17
2
nRTi + nRTi =
19
2
nRTi
[15]