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TERMODINÁMICA aletos PROCESOS Física para Ciencias e Ingeniería 1 DE DOS GASES PERFECTOS Contacto: [email protected] A La figura representa un cilindro de paredes adiabáticas con un émbolo móvil adiabático, sin rozamiento, que separa dos compartimentos A y B. En cada uno de ellos hay n moles de un mismo gas perfecto cuyo índice adiabático es γ = 1,5. La presión, volumen y temperatura iniciales son iguales en ambos compartimentos. Se suministra calor al gas A por medio de una resistencia eléctrica hasta que la presión del gas B es de 27/8 de la presión inicial Pi. Calcúlese en función de n, R y Ti: a) El trabajo realizado sobre el gas B. b) La temperatura final de cada gas. c) El calor suministrado al gas A. B SOLUCIÓN: El gas A se dilata obligando al émbolo a desplazarse hacia la derecha, comprimiendo al gas B hasta que la presión en ambos compartimento es la misma, quedando el émbolo en equilibro mecánico. a) La evolución del gas A no es adiabática, porque, aunque las paredes del cilindro y el pistón son aislantes térmicos, el gas recibe calor por medio de la resistencia eléctrica. En cambio, el gas B sí evoluciona adiabáticamente. Por consiguiente, el trabajo realizado sobre el gas B queda expresado por la relación W= Sustituyendo 1 (PB VB − PB VB ) 1−γ f f i [1] i γ y PBf W= 1 ( 27 1 − 1,5 8 PB VB − PB VB ) = −2 ( i f i i 27 8 PB VB − PB VB ) i f i i [2] Aplicando la ecuación de estado al estado inicial del gas B, se obtiene, PB VB = nRTB i i [3] i de donde PB = nRTB i VB i [4] i Sustituyendo en [3] y [4] en [2] V nRT 27 Bf 27 Bi VB − nRTB = −2nRTB − 1 W = −2 8 V f i i V 8 Bi Bi [5] El cociente de los volúmenes se puede obtener aplicando la ecuación de la adiabática que relaciona la presión y volumen iniciales con la presión y volumen finales del gas B: PB VBγ = PB VBγ i i f f Sustituyendo valores, operando y despejando PB VBγ = i VBγ f V γ Bi 27 i = 8 PB VBγ i f 8 27 3 V Bf V Bi VB f VB i 2 3 = 2 3 2 2 4 = = 3 9 [6] 2 TERMODINÁMICA PROCESOS aletos Física para Ciencias e Ingeniería DE DOS GASES PERFECTOS Sustituyendo [6] en [5] 27 4 3 W = −2nRTB − 1 = −2nRTB − 1 = −nRTB = −nRTi i i i 8 9 2 [7] b) La temperatura final del gas B se puede calcular aplicando la ecuación de estado a los estados inicial y final de dicho gas, dividiendo miembro a miembro y despejando: PB VB = nRTB i i i PB VB = nRTB f f PB VB i i PB VB f = f f nRTB i nRTB f Sustituyendo la presión final, y el cociente de volúmenes a partir de la relación [6] PB i ⋅ 9 = TB i 27 4 TB PB f i 8 Simplificando, operando y despejando 8 9 TBi ⋅ = 27 4 TB f 3 3 TB = TB = Ti f 2 i 2 Para calcular la temperatura final del gas A, es preciso calcular previamente el volumen final de dicho gas. Teniendo en cuenta que la suma de volúmenes iniciales y finales de ambos gases es la misma, y que los volúmenes iniciales son iguales, VA +VB =VA +VB i i f f VA =VB i i Sustituyendo y operando 4 4 2VA =VA + VB =VA + VA i f i f 9 9 i 4 2VA − VA =VA i f 9 i 14 VA = VA f 9 i Dividiendo ahora las ecuaciones de estado de los estados inicial y final del gas A PAVA = nRTA i i i PA VA = nRTA f f f PAVA i i = PA VA f f nRTA i nRTA f Sustituyendo valores, simplificando y operando PAVA i i = TA i 27 TA 14 P ⋅ V f 8 Ai 9 Ai TA 1 = i 27 14 TA ⋅ f 8 9 TERMODINÁMICA aletos PROCESOS Física para Ciencias e Ingeniería 3 DE DOS GASES PERFECTOS Finalmente, TA = 21 TA = 21 T 4 4 i c) El calor suministrado al gas A se calcula aplicando el primer principio de termodinámica a dicho gas f i [8] ΔU A =QA −WA [9] QA = ΔU A +WA [10] Despejando QA La variación de energía interna se puede calcular siempre a partir de ΔU A = ncV (TA −T A ) f [11] i donde cV se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la definición del índice adiabático y la relación de Mayer, de los calores específicos cP y cV: c P = γ = 1,5 cV cP −cV = R Operando se obtiene cV = 2R [12] Sustituyendo [8] y [12] en [11] ΔU A = 2nR( 21 4 TA −T A ) = i i 17 2 nR [13] Por otra parte, teniendo en cuenta que el gas A experimenta una expansión, y el gas B, una compresión, el trabajo realizado por el gas A es igual y de signo contrario al trabajo realizado sobre el gas B. Por consiguiente, WA = −WB = −(−nRTi ) = nRTi [14] Sustituyendo [13] y [14] en [10] QA = 17 2 nRTi + nRTi = 19 2 nRTi [15]