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TEORICO CORRIENTE CONTINUA Y VARIABLE Versión 1.7/ CÁTEDRA DE FÍSICA/ FFYB/ UBA/ TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA LEY DE OHM Hemos visto en electrostática que en un material conductor el campo Eléctrico en su interior es nulo, incluso cuando en dicho conductor existe un exceso de carga, en éste caso, el exceso de carga se distribuye sobre la superficie del conductor tratando cada carga de estar lo más alejada posible una de otra. Ahora, si logramos mantener en un conductor (electroneutro) un campo eléctrico distinto de cero y constante, por ejemplo cuando lo conectamos a una batería, los portadores de carga dentro del conductor comenzarán a moverse y se establecerá en su interior una Corriente eléctrica. Conductor: Material, sustancia o solución en el/la cual partículas con carga pueden moverse libremente. Nota: En rigor, todos los materiales conocidos son conductores, la diferencia entre lo que llamamos conductor y un aislante, es que el primero ofrece baja resistencia al flujo de cargas a través de sí, mientras que el segundo ofrece una alta resistencia al flujo de cargas a través de sí, en ambos casos se está considerando para campos eléctricos ordinarios a temperatura ambiente. Sin ahondar en detalles, diremos que: En un conductor perfecto, las cargas circularían por él sin ninguna resistencia; por su parte, un aislante perfecto no permitiría que se movieran las cargas a través de él. No se conoce ninguna sustancia que presente alguno de estos comportamientos extremos a temperatura ambiente. A esta temperatura, los mejores conductores ofrecen una resistencia muy baja (pero no nula) al paso de la corriente y los mejores aislantes ofrecen una resistencia alta (pero no infinita). En los conductores sólidos (ejemplo: metales) la corriente eléctrica es transportada por el movimiento de los electrones; y en disoluciones y gases, la corriente eléctrica es transportada por los iones. Los materiales sólidos en los que los electrones están fuertemente ligados a los átomos se conocen como aislantes, no conductores o dieléctricos. Algunos ejemplos son el vidrio, la goma o la madera seca. Si un fluído carece de iones disueltos en su interior se comportará como aislante. Corriente eléctrica: Definimos corriente eléctrica o intensidad de corriente eléctrica (i) como: Cantidad de cargas (q) que pasan por un punto de un conductor en la unidad de tiempo (t). La unidad es el Ampere: 1 coulomb/1 segundo i dq dt ¡ES UNA MAGNITUD ESCALAR! Es normal mencionar el sentido en el cual se desplaza la corriente eléctrica a través de un conductor. Por convención, se ha definido dicho sentido como aquel en el que se mueven las cargas positivas. Cátedra de Física-FFYB-UBA [2] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Ahora, si la corriente tiene un sentido ¿No es ésta un vector? Pues no, ya que la intensidad de corriente es una magnitud escalar. ¿Podemos encontrar entonces una MAGNITUD VECTORIAL con la cual el movimiento de los portadores de carga quede definido por esa magnitud vectorial y qué dicha magnitud guarde relación directa con la intensidad? Pues sí. Recordemos que cuando se aplica un campo eléctrico constante a un conductor aparece sobre los portadores de carga (consideremos sólo los positivos) una Fuerza eléctrica tal que: Fe q.E Sí éstos portadores de carga no rozaran contra partícula alguna dentro del conductor ideal, se manifestaría sobre ellos una aceleración constante, de ésta manera, su velocidad se incrementaría indefinidamente y esto experimentalmente no sucede. ¿Qué ocurre entonces? Cuando los portadores de carga comienzan a moverse, actúa sobre ellos una Fuerza de rozamiento, dirigida en sentido contrario al movimiento de los portadores de carga y proporcional a su velocidad de desplazamiento, esto es: Froz k v Como ambas fuerzas (eléctrica y rozamiento) están actuando sobre cada portador de carga, llegará un momento en que las mismas serán iguales en magnitud, pues mientras la fuerza eléctrica es constante, la de rozamiento no lo es mientras la velocidad del portador de carga esté variando (aumentando en éste caso) y esto sucederá hasta que el módulo de la fuerza de rozamiento sea de igual magnitud (pero sentido contrario) a la fuerza eléctrica, en ese instante, en la dirección en la que se están evaluando ambas fuerzas, la sumatoria de fuerzas será nula y entonces ambas fuerzas serán iguales en módulo: Fe Froz Si la sumatoria de fuerzas es nula significa que la aceleración sobre cada portador de carga es nula también y entonces, llegado ese momento, los portadores de carga se moverán a velocidad constante. (Éste concepto será ampliado en electroforesis, pero una analogía ya ha sido vista en la Ley de Stokes para una esfera que se desplaza dentro un líquido newtoniano). Entonces, si en un conductor (no ideal) se aplica un campo eléctrico constante, los portadores de carga alcanzarán rápidamente una velocidad de desplazamiento constante (gracias a la fuerza de rozamiento) y esto significa que se obtiene una Corriente continua constante. Entendemos por continua que la intensidad circula siempre en el mismo sentido y por constante que el módulo de la intensidad no varía. Nota: El concepto de la fuerza de rozamiento es muy importante pues, en todo sistema (no ideal) en el que una partícula se mueva, siempre aparecerá sobre la misma una fuerza de rozamiento con las características ya discutidas. Un punto más a tener en cuenta cuando hay rozamiento es la generación de Calor, es decir, la transformación de la Energía potencial eléctrica (UE) que poseen los portadores de carga en Calor (Se ampliará cuando se lleguemos al concepto de Resistencia). Cátedra de Física-FFYB-UBA [3] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Consideremos un tramo de un conductor de longitud L y sección transversal A constante, en el cual se aplica un campo eléctrico E en su interior, los portadores de carga se moverán con una velocidad constante v, como ya se ha discutido. Como la velocidad de los portadores de carga es constante, la cantidad de portadores de carga que habrá en un diferencial de volumen del tramo conductor será constante. Antes de explicar ¿Por qué? Hagamos un repaso del concepto de velocidad. Breve repaso del concepto de velocidad: Cuando un cuerpo ha cambiado su posición, decimos que se ha desplazado, indicando desde donde hacia donde lo ha realizado. Esto implica una dirección y un sentido, además de la cantidad de cuanto se ha desplazado y por estas razones, el desplazamiento es un vector Definimos entonces el vector desplazamiento, como el vector que tiene como origen la posición inicial, y como extremo la posición final (vector rojo en la Figura) siendo su módulo, la distancia entre las posiciones. S Podemos escribir: S Distancia del arco de trayectoria entre A y B r r 2 r1 Los vectores ri, corresponden a los vectores posición respecto al sistema referencial elegido. Se puede observar que: al elegir otro sistema de referencia fijo al anterior, cambian los vectores posición, siendo invariante el vector desplazamiento. el módulo del vector desplazamiento, es generalmente menor a la distancia recorrida, siendo iguales en el caso de trayectoria rectilínea. Velocidad Definimos la velocidad media, como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo empleado en realizar dicho desplazamiento. r v t Cátedra de Física-FFYB-UBA [4] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Así, el vector velocidad tendrá siempre igual dirección y sentido que el vector desplazamiento. Consideremos el caso de un cuerpo que realiza cierto recorrido, volviendo el punto de partida. En este caso el desplazamiento es cero, y la velocidad media, de acuerdo a la definición, es cero. Esto quiere decir que tenemos un cuerpo que se está moviendo y su velocidad media es nula. Entonces, esta definición tiene el inconveniente de no dar una idea clara de si el cuerpo se está moviendo o no, ni cuán rápidamente lo está haciendo. Además, salvo que la trayectoria sea recta, el módulo del vector desplazamiento, es menor a la distancia recorrida, así, el módulo de la velocidad media, generalmente es menor que la “rapidez media”. Entendemos por “rapidez media” (u), el cociente entre la distancia real recorrida y el tiempo empleado en recorrerla: u S t La “rapidez instantánea” se puede definir como la rapidez media para un tiempo infinitesimal (dt), es decir, cuando t tiende a cero, tiempo en el cual el cuerpo recorrerá una trayectoria infinitesimal (dS) S dS dt t 0 t u lím En forma semejante a la rapidez instantánea, se define la velocidad instantánea como la velocidad media para un tiempo infinitesimal (dt), es decir, cuando t tiende a cero, tiempo en el cual el cuerpo se desplazará una distancia infinitesimal (dr) y así, dr tiende a dS Entonces la velocidad instantánea es: r dr v lím dt t 0 t Para determinar este límite, primero consideramos un t cualquiera y determinamos el vector desplazamiento en este intervalo de tiempo dibujado con rojo en la figura siguiente: Observamos que si hacemos tender a cero el intervalo de tiempo t, el punto “B” estará más cerca del punto “A”, y al vector desplazamiento, le disminuye su módulo mientras cambia su dirección, como se puede observar con flechas rojas punteadas en la figura. En el caso límite, el vector desplazamiento adopta la dirección tangente a la trayectoria. Por esta razón, el vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria. Cátedra de Física-FFYB-UBA [5] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA El módulo de la velocidad instantánea que es su valor absoluto lo calculamos de la siguiente manera: r dr v lím dt t 0 t si t 0 dr dS y, podemos escribir dS v u dt vemos entonces, que el módulo de la velocidad instantánea, es igual al valor absoluto de la rapidez instantánea Ahora sí estamos en condiciones de entender que si la velocidad de los portadores de carga es constante, la cantidad de portadores de carga que habrá en un diferencial de volumen del tramo conductor será constante. La “rapidez instantánea” la acabamos de definir como: u dS dt En el caso del conductor considerado, la distancia infinitesimal dS es sinónimo de dL, así para un diferencial de tiempo (dt) los portadores se moverán dentro del conductor un diferencial de longitud (dL) y como la sección A es constante, se puede ver claramente que los portadores de carga habrán recorrido un diferencial de volumen (dVol = A dL) en ese tiempo, así, la cantidad de portadores de carga que habrá en ese diferencial de volumen será siempre constante. Se puede deducir que en un nuevo diferencial de tiempo, los portadores de carga originales habrán abandonado el diferencial de volumen original considerado y en dicho diferencial de volumen habrá ingresado el mismo número de portadores de carga que han salido, si no fuera así, la rapidez no sería constante. Corolario: En un diferencial de volumen considerado del conductor, siempre habrá un número constante de portadores de carga si los mismos están en reposo o se desplazan en su interior con rapidez constante. Si definimos n como el N° de portadores de carga por unidad de volumen (q / Vol), podemos calcular la cantidad de portadores de carga que habrá en el tramo total del conductor de la figura como: q nAL Si recordamos la definición de corriente eléctrica Entonces: i i dq dt dq dL nA dt dt En el caso del conductor recto, como el vector velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria, la “rapidez instantánea” coincide con la “velocidad instantánea”, así dL uv dt , la ecuación anterior se puede expresar como: i n Av Cátedra de Física-FFYB-UBA [6] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Y sabiendo que la intensidad es un escalar, evidentemente en ésta ecuación debe existir otro vector que multiplicado escalarmente por el vector velocidad da como resultado un escalar. Se define así un vector área tal que su sentido siempre es hacia fuera del volumen encerrado y su módulo el valor del área. i n Av cos Donde es el ángulo formado entre el vector área y el vector velocidad. Pero no olvidemos nuestro objetivo, encontrar una magnitud vectorial con la cual el movimiento de los portadores de carga quede expresado por esa magnitud vectorial. ¡Y ya la hemos encontrado! Se define un nuevo vector, el vector Densidad de corriente J como J nv Y no es otra cosa que cantidad de cargas (q) que pasan por unidad de área de sección transversal del conductor en la unidad de tiempo (t). Hemos llegado a nuestro objetivo donde el movimiento de los portadores de carga queda definido por una magnitud vectorial. Entonces la intensidad se puede expresar así: iJ A Ahora, si la velocidad de los portadores de carga no fuera constante, como sucede por ejemplo en la corriente alterna, ó el área no permaneciera constante, lo correcto es expresar la ecuación anterior como: i J . dA Así, la intensidad de corriente es la integral del producto escalar entre el vector Densidad de corriente y el vector diferencial de área. Toda ésta introducción se ha realizado para obtener una Ley muy útil cuando se aborda el estudio de los circuitos eléctricos: LA LEY DE OHM ¿Podremos obtener la Ley de ohm en términos de los vectores Campo eléctrico E y Densidad de corriente eléctrica J? Veamos: Experimentalmente se observa que para un material conductor, cuanto mayor es el campo eléctrico aplicado al conductor mayor es la Densidad de corriente obtenida. Cátedra de Física-FFYB-UBA [7] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA E A EJ Existe entonces una proporcionalidad directa entre E yJ J: Esta ecuación se transforma en una igualdad incorporando L una constante de proporcionalidad llamada resistividad (ρ) E .J Esta expresión es la LEY DE OHM VECTORIAL Recordando que es más fácil trabajar con “Potenciales” que con “Campos” y que el campo eléctrico se define como el gradiente del potencial tomado con signo negativo E V y V V V E x y z VB x VA z L 0 Para un conductor de longitud L dispuesto sobre el eje x resulta: V - V E B A V L 0 V E x Entonces tenemos por una parte: E L i JA Y por otro lado: V - V V E A B L L Reemplazando en LA LEY DE OHM VECTORIAL (E . J ) Despejando la diferencia de potencial llegamos a: V Tomando: R L A V i L A L i A Donde R recibe el nombre de Resistencia. Aquí es posible observar las dependencias de la resistencia para un material conductor. Dos de ellas son geométricas y la tercera tiene que ver con la naturaleza propia del material conductor (se estudiará en los TP). Así, obtenemos entonces: V Ri Esta expresión es la LEY DE OHM ESCALAR Cátedra de Física-FFYB-UBA [8] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA CIRCUITOS ELÉCTRICOS Comenzaremos estudiando circuitos en los que la intensidad de corriente se mantiene “circulando” siempre en el mismo sentido y su valor constante, es decir, CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CONSTANTE. (CC) Partiremos del circuito más sencillo posible en el que tendremos solamente los tres componentes básicos: FEM, CONDUCTOR, RESISTENCIA PRIMER COMPONENTE DEL CIRCUITO: LA FEM Para que exista una corriente continua necesitamos una fuente de Energía potencial eléctrica, lo que se dice, una FUENTE DE FUERZA ELECTROMOTRIZ (FEM): La FEM proporciona a los portadores de carga la Energía Potencial Eléctrica (U E) necesaria para que los mismos realicen su trayecto completo a través del circuito. Se simboliza así: donde el “borne” más largo es el positivo. La unidad de la FEM es el Voltio (V). Como ejemplos de FEM podemos mencionar: La BATERÍA que transforma energía química en energía eléctrica. El GENERADOR que transforma energía mecánica en energía eléctrica. (Éste último será tratado en detalle más adelante pues no brinda una FEM continua ni constante). En el caso de la BATERÍA dos magnitudes importantes caracterizan a la misma: Su FEM y su RESISTENCIA INTERNA (ri) (NOTA: En el TP se desarrollará en detalle como determinar ambas magnitudes). SEGUNDO COMPONENTE DEL CIRCUITO: CABLE CONDUCTOR A los CONDUCTORES “idealmente” los consideraremos con resistencia nula, es decir en ellos, NO SE GASTARÁ LA ENERGÍA QUE BRINDA LA FEM En los conductores no ocurrirá transformación energética alguna. Sabemos ya que esto no es cierto por todo lo discutido al comienzo, pero frente al tercer componente que mencionaremos a continuación, podemos considerar a los conductores como elementos del circuito cuya resistencia es DESPRECIABLE. (Habrá excepciones que serán discutidas en los Trabajos prácticos). TERCER COMPONENTE DEL CIRCUITO: RESISTENCIA Son elementos del circuito en los que se DISIPA ENERGÍA. Es decir, la energía que brinda la FEM será transformada en CALOR. En ciertos casos éste es el objetivo buscado, como ejemplo podemos mencionar una plancha, una tostadora, una estufa eléctrica. Cátedra de Física-FFYB-UBA [9] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA La función de una resistencia en un circuito es precisamente lograr una caída de potencial entre sus extremos y lograr así distribuir la corriente y también el potencial entre los diferentes elementos que formarán parte de un circuito. Pero muchas veces, en un circuito nos encontramos con elementos cuya función es la de transformar la energía que brinda la FEM en ENERGÍA ÚTIL como sucede por ejemplo con un MOTOR ELÉCTRICO que transforma la ENERGÍA ELÉCTRICA en ENERGÍA MECÁNICA. Pero como no es un elemento ideal presenta RESISTENCIA y parte de la energía que brinda la FEM será disipada en el MOTOR como CALOR. Así un MOTOR transforma la ENERGÍA ELÉCTRICA que brinda la FEM en una parte útil (ENERGÍA MECÁNICA) y una parte inútil (CALOR). La resistencia se simboliza en un circuito así: La unidad de la RESISTENCIA es el ohm (Ω). Supongamos tener el siguiente circuito: ri = 0 ε i R En éste circuito simple, como en cualquier otro, se cumple el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (UE) que entrega la FEM es la misma que la que se DISIPA en la RESISTENCIA. Si queremos evaluar la “rapidez” con la que ocurre dicha transformación energética, lo que estaremos determinando es lo que se conoce como POTENCIA. P dU E dt Recordando que cuando estábamos en presencia en el espacio de un campo eléctrico constante y se trasladaba una carga de A hasta B se verificaba: E AB AB V U q Esta diferencia de potencial eléctrico (ΔV) es para una carga puntual pero podemos considerar un diferencial de carga VAB dUE AB dq Así, reemplazando en la ecuación obtenida para Potencia: Se puede observar aquí que el cociente dq dt P VAB.dq dt es la intensidad de corriente entonces: P VAB.i Cátedra de Física-FFYB-UBA [10] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Y utilizando la LEY DE OHM ésta ecuación se puede expresar también como: P VAB.i P R.i 2 P VAB 2 R Éstas tres ecuaciones son: EXPRESIONES EQUIVALENTES DE LA LEY DE JOULE. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA (CC) ri≠0 A B R1 R2 R3 En el circuito arriba graficado es importante poder determinar el número de nodos y de mallas que tiene. Diremos que un Nodo es aquel sitio del circuito donde la corriente se divide en 2 o más trayectos y/o donde la corriente de dos o más trayectos convergen. Así en el circuito considerado podemos distinguir 2 nodos: A y B. En el nodo A ocurre la división de la corriente y en el nodo B ocurre la convergencia de dos corrientes. (Dado por la orientación de la FEM). Entre 2 Nodos se pueden establecer “ramas” o “trayectos”, en el circuito considerado existen 3 trayectos (Por la FEM, por R1 y por (R2+R3)) Por otro lado, una Malla es un trayecto cerrado que se obtiene al recorrer el circuito partiendo de un Nodo y volviendo al mismo Nodo. Para el circuito graficado, partiendo del Nodo A podemos obtener 3 Mallas: 1) Partimos del Nodo A y avanzamos por R2 y R3, llegamos al nodo B y a partir de allí continuamos por arriba a través de la FEM para volver nuevamente al Nodo A. 2) Partimos del Nodo A y avanzamos por R1, llegamos al nodo B y a partir de allí continuamos por arriba a través de la FEM para volver nuevamente al Nodo A. 3) Partimos del Nodo A y avanzamos por R2 y R3, llegamos al nodo B y a partir de allí continuamos por R1 para volver nuevamente al Nodo A. Con evaluar en un circuito el siguiente N° de Nodos y el siguiente N° de Mallas tal que: N° de Nodos = (N° Nodos totales – 1) y N° mallas = [N° de trayectos totales – (N° Nodos totales – 1)] Tendremos las ecuaciones suficientes para resolver el circuito. Luego de ésta introducción y aprovechando el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA en todo circuito eléctrico definiremos la PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF. Cátedra de Física-FFYB-UBA [11] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF (TEOREMA DE LAS MALLAS): La suma de los cambios de potencial en el recorrido de una malla en un circuito es cero. N V n n 1 0 Y aprovechando el PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA en todo circuito eléctrico definiremos la SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF (TEOREMA DE LOS NODOS): Para cualquier Nodo la suma de las corrientes (i) debe ser cero. N i n 1 n 0 CONVENCIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS 1) Cuando al recorrer una malla en un circuito, se atraviesa una resistencia en el sentido en el que se mueve la intensidad, hay una caída de potencial dada por (- R i ). Es lógico que esto sea así, ya que los portadores de carga al atravesar la resistencia perderán energía potencial eléctrica y así el potencial será menor. Si se atraviesa la resistencia en el sentido contrario en el que se mueve la intensidad, hay una elevación de potencial dada por (+ R i ). 2) Cuando al recorrer una malla en un circuito, se atraviesa una FEM del borne negativo (-) al borne positivo (+), la FEM debe sumarse (pues eleva el potencial de los portadores de carga). Si se atraviesa la FEM del borne positivo (+) al borne negativo (-), la FEM debe restarse. En ambos casos cuando se trata de la FEM, NO DEPENDE DEL SENTIDO DE LA INTENSIDAD EN DICHO TRAYECTO. ARREGLO DE RESISTENCIAS EN UN CIRCUITO RESISTENCIAS EN SERIE: Dos o más resistencias están en serie cuando por ellas circula la misma intensidad de corriente habiendo un único trayecto de conducción entre ellas. La resistencia equivalente surge de la aplicación de la PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF N Req n Rn n1 Aquí, la Req será mayor que la mayor de las resistencias de la asociación. RESISTENCIAS EN PARALELO: Cátedra de Física-FFYB-UBA [12] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Dos o más resistencias están en paralelo cuando la diferencia de potencial que se aplica a cada una de ellas es la misma en todas, es decir, las resistencias comparten entre sí los mismos nodos. A B La resistencia equivalente surge de la aplicación de la SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF N 1 1 Req n n 1 Rn Aquí, la Req será menor que la menor de las resistencias de la asociación. EJEMPLO Dado el siguiente circuito: iT ri≠0 R1 i1 B A i2 R2 C Rv Analice que sucede con: iT, i1, i2, VAB, VAC y VCB si aumenta Rv OBTENGAMOS LAS ECUACIONES DEL CIRCUITO 1) En general, cuando se trabaja con circuitos sencillos, en la mayoría de los casos, puede dicho circuito reducirse a lo que se denomina CIRCUITO EQUIVALENTE. De donde se puede deducir: iT εeq Req Ec. N°1 ¡Esta será la primera ecuación a considerar! Cátedra de Física-FFYB-UBA [13] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Pues, lo interesante en esta ecuación, es que cualquier modificación que se produzca en una resistencia del circuito, afectará a la Req y entonces se verá afectada la iT . Por ejemplo: Si se reemplaza la R1 por otra resistencia de mayor valor, la Req nueva será mayor que cuando estaba la R1. Si aumenta la Rv, la Req nueva será mayor que cuando la Rv no había aumentado. Prestar atención a los 2 ejemplos siguientes: Si se coloca una resistencia en paralelo con la R2, la Req nueva será menor que la que había antes de colocar ésta nueva resistencia ¿Por qué? Porque el efecto que se obtiene es como si la R2 hubiese sido reemplazada por una nueva resistencia de menor valor que la R2. Nuevamente nos preguntamos ¿Por qué? Pues la R2 y la nueva resistencia están asociadas en paralelo entre sí y la Req entre la R2 y ésta nueva resistencia será menor que la menor de ellas. Si se coloca una resistencia en serie con la R1, la Req nueva será mayor que la que había antes de colocar ésta nueva resistencia ¿Por qué? Porque R1 y la nueva resistencia están asociadas en serie entre sí y la Req entre la R1 y ésta nueva resistencia será mayor que la mayor de ellas. Corolario: NO SIEMPRE EL HECHO DE AGREGAR UNA NUEVA RESISTENCIA A UN CIRCUITO AUMENTA LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO, PUES CUANDO LA RESISTENCIA QUE SE AGREGA ESTÁ EN PARALELO CON ALGUNA DE LAS EXISTENTES, LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO SERÁ MENOR. 2) En el circuito tenemos 2 nodos, con sólo evaluar lo que sucede en 1 alcanza y utilizando la SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF podemos escribir i T i1 i 2 3) Ec. N°2 Cuando el circuito lo permite por su sencillez, es conveniente escribir todas las ecuaciones de las trayectorias o ramas que en él existen, así para el circuito en cuestión observamos que entre los Nodos A y B existen 3 trayectorias: A través de la FEM A través de la R1 A través de la R2 y Rv En éste último caso, veremos también que ésta trayectoria se puede subdividir en el “tramo” que va de A hasta C y el “tramo” que va de C hasta B. (Observar que “tramo” difiere de “trayectoria”, “trayectoria” es entre 2 Nodos y el punto marcado como C en el circuito no es un Nodo). A través de la FEM: Si partimos del Nodo A y vamos hasta el Nodo B a través de la FEM los cambios de potencial serán los siguientes en base a las convenciones mencionadas. VA - + ri iT = VB VAB - ri iT Ec. N°3 Si partimos del Nodo A y vamos hasta el Nodo B a través de la R1 los cambios de potencial serán los siguientes: VA – R1 i1 = VB VAB R1 i1 Ec. N°4 Si partimos del Nodo A y vamos hasta el Nodo B a través de la R2 + Rv los cambios de potencial serán los siguientes: Cátedra de Física-FFYB-UBA [14] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA VA – R2 i2 – Rv i2 = VB VAB R2 i2 R v i2 Ec. N°5 Observar en la última ecuación obtenida que R2 i2 representa VAC y Rv i2 representa VCB Es decir, si se recorre el “tramo” AC se obtiene: VAC R2 i2 Y si se recorre el “tramo” CB se obtiene: VCB R v i2 Ec. N°6 Ec. N°7 De manera que a través de la última trayectoria analizada también puede expresarse VAB VAC VCB Ec. N°8 Observar que la ecuación N°5 y la N°8 son equivalentes. Tenemos así todas las ecuaciones para analizar el circuito planteado. Respondamos entonces al problema planteado: Aumentó la Rv. Tengamos presente que el único cambio en el circuito fue el aumento de la Rv, el resto de las resistencias y el valor de la FEM no fue modificado. Recordemos que cualquier modificación que se produzca en una resistencia del circuito, afectará a la Req y entonces se verá afectada la iT . Entonces, al aumentar la Rv, aumenta la Req y por lo tanto disminuye la iT. (Ec. N°1). Inmediatamente se puede observar que en la Ec. N°2 y en la Ec. N°3 está involucrada la i T. En la Ec. N° 2 todavía no sabemos que ocurrió con i 1 y con i2 por lo tanto por ahora no la utilizaremos. Veamos entonces la Ec. N° 3: La FEM no ha variado y la ri tampoco, por lo tanto se puede deducir que si disminuye la iT, aumentará VAB. Muy bien, hemos hallado un nuevo dato: VAB aumenta ¿Encontramos VAB en otras ecuaciones que nos permitan continuar con nuestro análisis? Pues sí: La Ec. N°4, la Ec. N°5 y la Ec. N°8 contienen a VAB. Ya hemos mencionado que la ecuación N°5 y la N°8 son equivalentes, y mientras no sepamos que ocurrió con V AC ni con VCB por el momento no nos sirve continuar nuestro análisis por allí. Tomemos entonces la Ec. N°4: VAB aumenta y la R1 se mantiene constante por lo tanto, i1 aumentará. Otro dato valioso. Ahora sí podemos volver a la Ec. N°2 y deducir que si la iT disminuye y la i1 aumenta, evidentemente la i2 disminuirá en mayor medida de lo que la i1 aumentó. Otro nuevo dato valioso: la i2 disminuye. Pues bien ¿En cuáles ecuaciones está involucrada la i 2? Cátedra de Física-FFYB-UBA [15] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA La i2 está presente en las ecuaciones: N°5, N°6, N°7 y N°8 y se puede observar que de todas ellas la ecuación la ecuación a tener en cuenta es la N°6 ¿Por qué? Pues en las ecuaciones N°5, N°7 y N°8 tenemos un término todavía indeterminado, no sabemos si es más importante el aumento de Rv que la disminución de la i 2 y por lo tanto, todavía hasta aquí no sabemos que sucede con VCB. Tomemos entonces la Ec. N°6 ¿Qué nuevo dato nos aporta? Como R2 es constante e i2 disminuye, el nuevo dato que aporta es que VAC disminuirá. Ahora sí tenemos el dato faltante para saber que sucede con el producto indeterminado V CB. Tomando la Ec. N°8 y sabiendo que: VAB aumentó, VAC disminuyó, se deduce que VCB debió entonces aumentar. Por lo tanto, fue más importante el aumento de la Rv que la disminución de la i 2. Conclusión: iT disminuye, i1 aumenta, i2 disminuye, VAB aumenta, VAC disminuye y VCB aumenta. Físicamente ¿Cómo se interpretan éstos resultados? Veamos: 1. 2. 3. Es lógico que si en el circuito hay mayor resistencia la intensidad que circule por él mientras la FEM no cambie, será menor. La resistencia que aumentó está en la trayectoria (R 2 + Rv) por lo tanto, la iT se bifurcará en el Nodo A y la mayor parte de la corriente irá por el trayecto de la R 1 pues ofrece menor resistencia. (Si idealmente la Rv aumentara hasta un valor infinito, no circularía corriente a través de éste trayecto). Lo mencionado en el punto anterior nos permite deducir algo más, si se colocara un cable conductor (ideal) en paralelo con los trayectos R1 y (R2 + Rv) entonces toda la iT que llegue al Nodo A circulará TODA por el conductor agregado ya que éste no ofrece resistencia y los otros 2 trayectos sí lo hacen. (Esto se conoce como BYPASS). ANÁLISIS DEL CIRCUITO CON LAS 2 LEYES DE KIRCHHOFF: iAA ri≠0 I iB R1 iB A iC B iC II R2 iAA C Rv Recordando que con evaluar en un circuito el siguiente N° de Nodos y el siguiente N° de Mallas tal que: A) N° de Nodos = (N° Nodos totales – 1) y B) N° mallas = [N° de trayectos totales – (N° Nodos totales – 1)] Cátedra de Física-FFYB-UBA [16] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Tendremos las ecuaciones suficientes para resolver el circuito. Veamos: A) N° de Nodos a evaluar = 2 – 1 = 1 B) N° de mallas a evaluar = 3 – (2 – 1) = 2 Por lo tanto, con la ecuación de 1 Nodo y de 2 mallas tenemos el circuito completo. Aplicando la PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF para el Nodo A: iA iB iC Aplicando la SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF para la Malla I: Partiendo del Nodo A, yendo por R1 y regresando por la FEM: VA – R1 iB – ri iA + ε = VA R1 i B ri i A Aplicando la SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF para la Malla II: Partiendo del Nodo A, yendo por (R2 + Rv) y regresando por la R1: VA – R2 iC – RV iC + R1 iB = VA 0 R1 iB R2 R V iC Se obtienen así 3 ecuaciones con 3 incógnitas donde las incógnitas son las intensidades. Si al obtener las intensidades, alguna de ellas tiene valor negativo, significa únicamente que el sentido elegido originalmente para el sentido de la misma en el trayecto considerado, es el contrario. El módulo de dicha intensidad estará bien. OTRO EJEMPLO: Considerando el siguiente circuito: 1 = 2V 2 = 1V 3 = 3V R1 = 4 R2 = 2 R3 = 3 Encontrar los valores de intensidad que atraviesan cada una de las resistencias del circuito e indicar el sentido de las mismas. Considere que todas las resistencias internas de las FEM valen cero. Se puede plantear por ejemplo que las intensidades circulan de la siguiente manera: Cátedra de Física-FFYB-UBA [17] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA IB IC IA SOLUCIÓN: ECUACIONES DEL CIRCUITO: Por la malla I se llega a: Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: 1 - 2 = R1 iB – R2 iC i por la R1: 0,5 A de B a A Por la malla II se llega a: i por la R2: 0,5 A de B a D 2 + 3 = R3 iA + R2 iC i por la R3: 1,0 A de C a B Nodo B: i A = i B + iC Mostraremos a modo de ejemplo como se llega a la ecuación POR LA MALLA I: Partiendo del Nodo B: VB – R1 iB + 1 + R2 iC - 2 = VB Así, simplificando VB se llega a 1 - 2 = R1 iB – R2 iC Como al resolver el ejercicio planteado de la siguiente manera, todas las intensidades obtenidas tienen valor positivo, significa que el sentido elegido para cada intensidad es el correcto. Si algún valor de intensidad hubiese dado negativo, significa como ya hemos mencionado, que el sentido elegido es contrario a lo que en la realidad ocurre, mientras que el módulo de la intensidad seguiría siendo correcto. Para corroborar lo dicho en el párrafo previo, se propone al estudiante, invertir el sentido de la intensidad C y resolver nuevamente el ejercicio. Cátedra de Física-FFYB-UBA [18] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA CORRIENTE VARIABLE LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY Faraday con un dispositivo “semejante” al de la figura siguiente, encontró que solamente cuando el interruptor se abría o se cerraba, el Galvanómetro acusaba pasaje de corriente. Un experimento similar que pone de manifiesto la aparición de una corriente inducida en la bobina que pertenece al circuito con el galvanómetro, es con un dispositivo como el siguiente, donde el campo magnético lo aporta un imán permanente en este caso. Observar que cuando el imán se acerca a la espira, el flujo del campo magnético que la atraviesa es mayor y al alejarse, el flujo del campo magnético a través de la espira vuelve a disminuir. CONCLUSIÓN: SÓLO SE OBTIENE CORRIENTE INDUCIDA EN LA ESPIRA PERTENECIENTE AL CIRCUITO QUE CONTIENE AL GALVANÓMETRO, CUANDO EL FLUJO DEL CAMPO MAGNÉTICO B A TRAVÉS DEL ÁREA QUE ENCIERRA DICHA ESPIRA, ES VARIABLE CON EL TIEMPO. Con el último dispositivo se puede intuir que si se genera una CORRIENTE INDUCIDA en la espira, debe existir entonces un suministro de ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (UE ) a los portadores de carga, para que éstos se muevan. Es decir, se debe generar una INDUCIDA durante el tiempo en el que el flujo del campo magnético B está variando a través del área que encierra la espira. Ésta INDUCIDA es la responsable de la generación de la INTENSIDAD DE CORRIENTE INDUCIDA que aparece en la espira. Recordando la LEY DE GAUSS para el Flujo del Campo Magnético B a través de un área abierta: Cátedra de Física-FFYB-UBA [19] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA ΦB B.dA B dA cos θ y considerando que el contorno de la figura corresponde a la espira de alambre, lo que LA LEY DE FARADAY expresa es: dΦB εinducida dt El signo menos se relaciona con el sentido de la que se induce. El sentido de la que se induce está dado por La LEY DE LENZ. LEY DE INDUCCIÓN DE LENZ El sentido de la corriente inducida (dada por la que se induce) es tal, que siempre se opone al cambio que la produce. Es decir, la “aparición” de la inducida, es contrarrestar la perturbación provocada sobre el sistema. ¿Cuál es esta perturbación? O bien el aumento o bien la disminución del flujo del campo magnético con respecto al tiempo, a través del área que encierra la espira. ¡Es consecuencia directa del principio de Conservación de la Energía! ¿Por qué? Porque si el flujo de campo B inducido estuviera en la misma dirección del flujo de campo B que lo induce, la corriente inducida crecería indefinidamente y esto no es posible. ¿De qué flujo de campo B inducido estamos hablando? Si aparece una corriente inducida en la espira es porque entendemos que una FEM inducida le dio origen y esta FEM inducida apareció en la espira y en dicho circuito II pues una variación temporal de un flujo de campo magnético B a través del área encerrada por la espira (y ajeno a ella) le dio origen, entonces el sistema del circuito II con la espira y el galvanómetro en definitiva lo que busca es oponerse a la variación temporal del flujo B ajeno tratando de generar un flujo B propio inducido (fue inducido por la variación del primero) a través de su espira contrario al que empezó a cambiar y originó el que llamamos inducido. Cuando se acerca un polo Norte a la espira, en ella debe generarse un polo Norte de manera de contrarrestar (rechazar) al Polo Norte que se acerca y así se deberá gastar cierta energía para poder acercar dicho Polo Norte, lo contrario sucederá cuando se quiera alejar el Polo Norte de la espira, se generará en ella un Polo Sur de manera que se deberá gastar cierta energía para alejar el Polo Norte del imán. Esa Energía gastada no se pierde, sino que, aparece en la espira en forma Energía Potencial Eléctrica (U E ).(Responsable de la aparición FEM inducida y por lo tanto de la corriente inducida) ¡LA ENERGÍA GASTADA NO SE PIERDE, SÓLO SE TRANSFORMA! Cátedra de Física-FFYB-UBA [20] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Ahora bien, esa energía potencial eléctrica (UE ) que da movimiento a los portadores de carga, genera en la espira energía térmica debido al movimiento de los portadores de carga, energía térmica que se disipa como calor pues, como el material del que está construida la espira no es un conductor ideal, sabemos ya, que cuando los portadores de carga se mueven en un conductor real rozan y éste rozamiento genera calor. Esquemas donde se visualizan las corrientes inducidas y el campo magnético en la espira: Ahora, recordando que La Ley de Gauss para el Campo Magnético B a través del Área que encierra la espira es: ΦB B.dA B dA cos θ Aquí se puede observar que el B depende de: EL CAMPO MAGNÉTICO B DEL ÁREA DE LA ESPIRA DE LA ORIENTACIÓN ENTRE EL CAMPO MAGNÉTICO B Y EL ÁREA DE LA ESPIRA. Con que varíe una de ellas, dará lugar a una INDUCIDA. Empecemos por VARIAR EL AREA: A L x ( A área) Consideremos un “sistema” formado por un conductor con forma de “U” sobre el cual puede desplazarse otro conductor (varilla) móvil de longitud “L”. Cátedra de Física-FFYB-UBA [21] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Supongamos que éste sistema se encuentra inicialmente quieto e inmerso en un campo magnético B constante. Supongamos también que el vector área formado por el conductor en “U” y la varilla móvil, cuyo módulo vale Lx, es paralelo al campo magnético B, es decir, se encuentran formando un ángulo de cero grados entre ellos, entonces: cos 1 ¿Qué sucederá a medida que la varilla móvil se vaya desplazando en el Campo B a velocidad constante? Observando la Ley de Gauss podemos visualizar que para cada instante de tiempo, el B encerrado por la espira será: ΦB B L x Por otro lado también sabemos que la varilla móvil se desplaza a velocidad constante, entonces: Aplicando la Ley de Faraday: εinducida dΦB dt reemplazando Como B y L son constantes y no varían con el tiempo, entonces εind εind BL( v dx dt d(BLx) dt dx ) dt Y sabiendo que lo que quedó entre paréntesis es la velocidad con la que se desplaza la varilla móvil: εind BLv VARIANDO LA ORIENTACIÓN: Es la base para convertir ENERGÍA MECÁNICA en ENERGÍA ELÉCTRICA (GENERADOR) NOTA: Las líneas de fuerza en el esquema, en rigor, deberían extenderse desde el Polo Norte del imán de la izquierda hasta el Polo Sur del imán de la derecha, haciendo contacto en ambos polos ya que las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas. Comencemos el análisis: Si la espira comenzara a rotar sobre su eje con una cierta velocidad angular constante (), entonces, el ángulo en un instante t quedará descripto por: ΦB BA cos(t ) Cátedra de Física-FFYB-UBA [22] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA εinducida Recordando la Ley de Faraday-Lenz: dΦB dt Por lo tanto derivando respecto del tiempo la ecuación del flujo del campo magnético tenemos: εinducida dΦB BA sen(t ) dt Y si hay N espiras la ecuación anterior resulta: εinducida dΦB NBA ω sen(t ) dt Observar las dependencias de la inducida así obtenida: A mayor número de espiras mayor inducida A mayor campo magnético B mayor inducida A mayor área de las espiras mayor inducida A mayor velocidad angular mayor inducida. Una consecuencia importante es que la corriente (o intensidad de corriente) que aparece en la espira asociada a esta inducida oscila con la misma frecuencia y se la denomina CORRIENTE ALTERNA (CA) Cátedra de Física-FFYB-UBA [23] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Para recolectar la corriente generada se utiliza el siguiente dispositivo: En cada rama hay un anillo que gira solidariamente con la espira y la corriente que en cada uno se obtiene se recoge por una escobilla en contacto con el anillo. Inicialmente tenemos: B BAcos0 BA BA sen0 0 Estudiemos la situación en varios instantes de tiempo (describiendo ángulos definidos) a medida que la espira comienza a girar en sentido antihorario: GIRO DE 30°: B BAcos30 0,866BA BA sen 30 0,500BA Al variar el ángulo, el flujo del campo magnético (B) a través del área que encierra la espira es menor que en la situación inicial, ya que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es menor, es decir, menor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira cuando ésta gire. Por lo tanto, está disminuyendo el flujo del campo magnético, entonces, por la Ley de Faraday-Lenz debe generarse en la espira una corriente inducida cuyo sentido (dada por la que se induce) debe oponerse al cambio que la Cátedra de Física-FFYB-UBA [24] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA produce, en éste caso, evitar que el B disminuya y puede visualizarse en el esquema, en la sección de la espira más gruesa en color verde, como tiene que circular la corriente para oponerse a ésta disminución. En el gráfico de voltaje en función del tiempo se observa la evolución del mismo. GIRO DE 45°: B BAcos45 0,707BA BA sen 45 0,707BA Continúa disminuyendo el B por lo tanto la corriente continuará circulando en el mismo sentido para contrarrestar dicha disminución. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez menor al incrementarse el ángulo y menor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Continuemos incrementando el ángulo de giro hasta alcanzar los 90°, graficamos a continuación las situaciones para los ángulos de 60° y de 90°. GIRO DE 60°: B BScos60 0,500BS BS sen 60 0,866BS GIRO DE 90°: Cátedra de Física-FFYB-UBA [25] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA B BScos90 0 BS sen 90 BS A los 90° observamos una situación especial, el flujo se hace cero pues el vector área es perpendicular a las líneas de fuerza y la inducida es máxima. GIRO DE 120°: B BAcos120 0,500BA BA sen 120 0,866BA Físicamente se observa que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo (desde los 90°) y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Por lo tanto, está aumentando el flujo del campo magnético, entonces, por la Ley de Faraday-Lenz debe generarse en la espira una corriente inducida cuyo sentido (dada por la que se induce) debe oponerse al cambio que la produce, en éste caso, evitar que el B aumente y puede visualizarse en el esquema, en la sección de la espira más gruesa en Cátedra de Física-FFYB-UBA [26] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA color verde, como tiene que circular la corriente para oponerse a éste aumento. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo (desde los 90°) y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. GIRO DE 135°: B BAcos135 0,707BA BA sen 135 0,707BA Continúa aumentando el B por lo tanto la corriente continuará circulando en el mismo sentido para contrarrestar dicho aumento. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Continuemos incrementando el ángulo de giro hasta alcanzar los 180°, graficamos a continuación las situaciones para los ángulos de 150° y de 180°. GIRO DE 150°: B BAcos150 0,866BA BA sen 150 0,500BA Cátedra de Física-FFYB-UBA [27] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA GIRO DE 180°: B BAcos180 BA BA sen 180 0 A los 180° observamos una nueva situación especial, el flujo se hace máximo pues el vector área es paralelo a las líneas de fuerza y la inducida es nula. GIRO DE 210°: B BAcos210 0,866BA BA sen 210 0,500BA Al continuar aumentando el ángulo, el flujo del campo magnético (B) a través del área que encierra la espira es menor que en la situación anterior, ya que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es menor, es decir, menor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira cuando ésta gire desde los 180°. Por lo tanto, está disminuyendo el flujo del campo magnético, entonces, por la Ley de Faraday-Lenz debe generarse en la espira una corriente inducida cuyo sentido (dada por la que se induce) debe oponerse al cambio que la produce, en éste caso, evitar que el B disminuya y puede visualizarse en el esquema, en la sección de la espira más gruesa en color verde, como tiene que circular la corriente para oponerse a ésta disminución. Cátedra de Física-FFYB-UBA [28] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA En el gráfico de voltaje en función del tiempo se observa como continúa la evolución del mismo. GIRO DE 225°: B BAcos225 0,707BA BA sen 225 0,707BA Continúa disminuyendo el B por lo tanto la corriente continuará circulando en el mismo sentido para contrarrestar dicha disminución. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez menor al incrementarse el ángulo y menor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Continuemos incrementando el ángulo de giro hasta alcanzar los 270°, graficamos a continuación las situaciones para los ángulos de 240° y de 270°. GIRO DE 240°: B BAcos240 0,500BA BA sen 240 0,866BA GIRO DE 270°: Cátedra de Física-FFYB-UBA [29] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA B BAcos270 0 BA sen 270 BA A los 270° observamos una nueva situación especial, el flujo se hace cero pues el vector área es perpendicular a las líneas de fuerza y la inducida es máxima (pero con signo contrario). GIRO DE 300°: B BAcos300 0,500BA BA sen 300 0,866BA Físicamente se observa nuevamente que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo (desde los 270°) y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Por lo tanto, está aumentando el flujo del campo magnético, entonces, por la Ley de Faraday-Lenz debe generarse en la espira una corriente inducida cuyo sentido (dada por la que se induce) debe oponerse al cambio que la produce, en éste caso, evitar que el B aumente y puede visualizarse en el esquema, en la sección de la espira más gruesa en color verde, como tiene que circular la corriente para oponerse a éste aumento. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo (desde los 270°) y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Cátedra de Física-FFYB-UBA [30] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA GIRO DE 315°: B BAcos315 0,707BA BA sen 315 0,707BA Continúa aumentando el B por lo tanto la corriente continuará circulando en el mismo sentido para contrarrestar dicho aumento. Se puede observar que el área “eficaz” expuesta al campo magnético es cada vez mayor al incrementarse el ángulo y mayor cantidad de líneas de fuerza quedarán encerradas en el área que encierra la espira. Continuemos incrementando el ángulo de giro hasta alcanzar los 360°, graficamos a continuación las situaciones para los ángulos de 330° y de 360°. GIRO DE 330°: B BAcos330 0,866BA BA sen 330 0,500BA GIRO DE 360°: Cátedra de Física-FFYB-UBA [31] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA B BAcos 360 BA BA sen 360 0 A los 360° observamos una nueva situación especial, el flujo se hace máximo pues el vector área es paralelo a las líneas de fuerza y la inducida es nula nuevamente. ¡ESTO QUE ACABAMOS DE DESARROLLAR ES UN GENERADOR DE CORRIENTE ALTERNA! Si la espira girara a muy alta velocidad angular para lograr generar una inducida y una CORRIENTE ALTERNA elevada, las escobillas sufrirían un deterioro rápido. Para evitar este inconveniente y aprovechando la “relatividad” de los movimientos, lo que se hace es: Dejar la espira fija Mover el imán Este dispositivo recibe el nombre de ALTERNADOR El alternador al igual que el Generador producen CORRIENTE ALTERNA, la misma puede “Rectificarse”, es decir, hacerse “continua” pero “no constante” mediante el uso de diodos. El diodo no es objeto de estudio del curso, sólo diremos que el mismo permite el pasaje de corriente en un sentido y no en el sentido contrario dentro de ciertos límites de voltaje, y así, con un arreglo especial formado por diodos, se puede rectificar la corriente. En el caso del Generador también puede “rectificarse” la corriente mediante el uso de un dispositivo sencillo llamado RECTIFICADOR DE PACCINOTTI ESTE DISPOSITIVO SE DENOMINA DÍNAMO Cátedra de Física-FFYB-UBA [32] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Cada vez que en la espira se produce un cambio en la corriente los semianillos logran mantener su polaridad. En el gráfico de voltaje ( inducida) en función del tiempo puede observarse como la corriente queda “rectificada”. VARIANDO EL CAMPO MAGNÉTICO: Volvamos al ejemplo de la varilla móvil pero ahora dejemos la varilla quieta, fijémosla de manera que ya no se pueda desplazar y hagamos VARIAR AL CAMPO MAGNÉTICO Supongamos que el campo B está aumentando, una manera de visualizar esto en el esquema es que las cruces que representan líneas de fuerza del campo magnético que están entrando, comiencen a apretarse unas contra otras, así en un instante posterior al del esquema, la cantidad de líneas de fuerza que quedan comprendidas dentro de la espira será mayor y por lo tanto estaría aumentando el flujo del campo magnético a través del área que encierra la espira. ΦB B L x En la ecuación, L y x son constantes mientras que B aumenta y así aumenta el B. Este aumento de B induce una corriente en la espira de acuerdo con la Ley de Lenz como también se observa indicado en el esquema. Ahora, si nos focalizamos nuevamente en la varilla que antes era “móvil” ¿Cuál es la causa para que los portadores de carga que inicialmente estaban en reposo comiencen a moverse debido a la variación del Campo Magnético B? Desarrollemos este ejemplo considerando una espira conductora circular inmersa en un Campo magnético B y hagamos variar al mismo. Se puede observar que la fuerza debe ser tangencial a la espira en todo momento ¿Podrá deberse entonces a una fuerza magnética actuando sobre los portadores de carga en la espira? Si recordamos que: FB q(v x B) Cátedra de Física-FFYB-UBA [33] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Esto significa que la fuerza magnética en todo punto de la espira, actúa en forma perpendicular a la misma sobre los portadores de carga. Si el campo magnético estuviera disminuyendo: Deducimos entonces que NO puede ser una Fuerza Magnética, pues en todo momento la fuerza magnética actúa en forma perpendicular en todo punto de la espira sobre los portadores de carga y la fuerza que pone en movimiento a los portadores de carga debe ser tangencial a la espira en todo momento. Por lo tanto deducimos que: ¡LA FUERZA ACTUANTE SOBRE LOS PORTADORES DE CARGA DEBE SER ELÉCTRICA! FE q E La INDUCIDA se interpreta entonces como EL TRABAJO POR UNIDAD DE CARGA REALIZADO POR ESTA FUERZA ELÉCTRICA INDUCIDA SOBRE LOS PORTADORES DE CARGA CONFORME DAN LA VUELTA COMPLETA AL CIRCUITO DE LA ESPIRA εinducida WFE q Recordando que se define trabajo al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento aplicado sobre una partícula, el trabajo total a lo largo de la trayectoria entre dos puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales entre dichos puntos B B A A W F .dr Ft ds cos Cátedra de Física-FFYB-UBA [34] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Donde Ft es la componente tangencial de la fuerza F, ds es el módulo del vector desplazamiento y es el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s. Ahora bien, en el ejemplo que estamos desarrollando, la espira constituye un camino cerrado, entonces debemos calcular WFE q FE . dL q Donde FE es la fuerza eléctrica y dL es la trayectoria cerrada de la espira. Continuando con el desarrollo como Entonces FE q E FE . dL q E . dL q q Y por propiedad transitiva: q E . dL E . dL q εinducida E.dL ¿Que nos enseña la última ecuación? Nos enseña que: La variación del flujo del Campo magnético B a través de la espira da origen a un Campo eléctrico E inducido Se visualiza mejor si recordamos que: Entonces: E . dL εinducida dΦB dt o dΦB dt E . dL d B.dA dt Cátedra de Física-FFYB-UBA [35] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Esta expresión indica que: La integral de línea del campo eléctrico E inducido a lo largo de un camino cerrado, es proporcional a la variación del flujo del campo magnético B respecto del tiempo a través de la superficie limitada por dicho camino. Es decir, La variación TEMPORAL del Flujo del Campo magnético B a través del área que encierra la espira, da origen a un Campo eléctrico E inducido ESPACIAL “circulando” sobre el contorno de la espira. ¡Esta expresión es válida incluso en ausencia de espiras conductoras! Significa esto que, si en alguna región del espacio existe un flujo de campo magnético variable, dicha variación dará origen a un campo eléctrico inducido Obsérvese que como ya hemos visto el flujo del campo magnético puede variarse haciendo variar: El campo magnético B (último ejemplo desarrollado). El área de la espira El ángulo entre el vector campo magnético B y el vector área de la espira. Es importante mencionar que el Campo eléctrico E inducido NO ES CONSERVATIVO. Es diferente de los que se han estudiado en ELECTROSTÁTICA. Cuando el Campo eléctrico es conservativo, es decir, está producido por una distribución estática de carga lo que se obtiene es: 0 era Esta es la 1 E . dL Ley de Kirchhoff en términos de Campo Eléctrico Cátedra de Física-FFYB-UBA [36] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Considerando el siguiente esquema que representa una carga positiva estática generando un campo eléctrico conservativo, donde se observan superficies equipotenciales, la sumatoria de los ∆V a lo largo del camino cerrado que podemos suponer de cuatro tramos bien diferenciados, partiendo de un vértice y volviendo al mismo vértice de partida, es cero. Recordando que V E L Se llega a 0 V 1 V 2 V 3 V 4 .L1 .L2 .L3 .L4 L1 L2 L3 L4 LEYES DE MAXWELL A lo largo de los teóricos ya hemos visto algunas de las ecuaciones de Maxwell, en esta etapa las enunciaremos, haciendo cuando corresponda algún desarrollo adicional, lo importante de destacar, es que todas las leyes del electromagnetismo se resumen en las 4 ecuaciones de Maxwell, es decir, Maxwell fue el primero que logró fusionar al campo eléctrico y al campo magnético y todos los fenómenos que de éstos campos se conocían antes de la aparición de su “Teoría dinámica del campo electromagnético”(1864), con ésta teoría, Maxwell logró predecir la existencia de ondas electromagnéticas y postuló que “la luz” sería una de ellas. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO (ELECTROSTÁTICA) E.dA S Recordando que q ε0 ΦE E.dA es el flujo del Campo eléctrico a través de una superficie cerrada, S la ley de Gauss para el campo eléctrico estático establece que: EL FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE CERRADA, ES PROPORCIONAL A LA CARGA NETA CONTENIDA EN EL VOLUMEN ENCERRADO POR DICHA SUPERFICIE. Es común encontrarla definida de la siguiente manera: E.dA S 1 ρdV ε 0 V Donde ρ es la densidad de carga volumétrica. Cátedra de Física-FFYB-UBA [37] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA En el dipolo, ambas cargas son de igual magnitud pero de signo contrario, de esta manera, se puede observar que a través de la superficie A1 y de la A4 el flujo de campo eléctrico es cero, pues el número de líneas de fuerza que ingresan en la superficie considerada es el mismo que el número de líneas de fuerza que salen de dicha superficie. En la superficie A2 el flujo de campo eléctrico es positivo pues la cantidad de líneas de fuerza que salen es mayor que la que ingresan, de hecho, no ingresa ninguna y todas son salientes. En la superficie A3 ocurre exactamente lo contrario que en A2 el flujo de campo eléctrico es negativo. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO ESTÁTICO B.dA 0 S Recordando que ΦB B.dA es el flujo del Campo magnético a través de una superficie cerrada, S la ley de Gauss para el campo magnético estático establece que: EL FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE CERRADA ES CERO. Esto se debe a la naturaleza del campo magnético: NO EXISTEN MONOPOLOS MAGNÉTICOS, LAS LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO SIEMPRE SE CIERRAN SOBRE SÍ MISMAS. LEY DE FARADAY-LENZ dΦB E . dL dt d O E . dL dt B.dA S Esta expresión indica que: Cátedra de Física-FFYB-UBA [38] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA LA INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO ELÉCTRICO INDUCIDO A LO LARGO DE UN CAMINO CERRADO, ES PROPORCIONAL A LA VARIACIÓN DEL FLUJO DEL CAMPO MAGNÉTICO RESPECTO DEL TIEMPO A TRAVÉS DE LA SUPERFICIE LIMITADA POR DICHO CAMINO. Es decir, La variación TEMPORAL del Flujo del Campo magnético B a través del área que encierra la espira, da origen a un Campo eléctrico E inducido ESPACIAL “circulando” sobre el contorno de la espira. ¡Esta expresión es válida incluso en ausencia de espiras conductoras! Significa esto que, si en alguna región del espacio existe un flujo de campo magnético variable, dicha variación dará origen a un campo eléctrico inducido. LEY DE AMPERE B . dL μ 0 i Esta expresión indica que: LA INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO MAGNÉTICO INDUCIDO A LO LARGO DE UN CAMINO CERRADO, ES PROPORCIONAL A LA CORRIENTE ENLAZADA POR DICHO CAMINO. A B En A el lazo elegido enlaza corriente, en B el lazo elegido no enlaza corriente. Vamos a realizarle 2 modificaciones: Cátedra de Física-FFYB-UBA [39] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA PRIMERA MODIFICACIÓN: Recordando que en el teórico de corriente continua la expresión más general que encontramos para la intensidad era i J .dA S Entonces la Ley de Ampere se puede expresar como: B . dL 0 J .dA S SEGUNDA MODIFICACIÓN (REALIZADA POR MAXWELL): Con ella Maxwell introdujo un nuevo concepto al que llamo CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO. Para entender el concepto primero debemos comprender que cuando decimos que un lazo “enlaza” una corriente, dicho lazo delimita una superficie. Ahora lo que importa es que la superficie que queda contenida con el lazo como contorno, no tiene porque estar en un solo plano, puede salirse del plano del lazo A B En A el lazo elegido delimita una superficie plana contenida en el plano del lazo, en B el lazo elegido sigue siendo el límite de la superficie sólo que ahora dicha superficie no está en el plano del lazo. Consideremos un tramo conductor por el que está circulando una corriente i constante, tomemos un lazo de tal manera que enlace al conductor y consideremos para dicho lazo las 2 superficies (pueden haber infinitas) ejemplificadas anteriormente. Representamos a continuación una vista lateral: Se puede observar que tanto por S1 como por S2 pasa la misma intensidad de corriente. Si pasara mayor intensidad por la S2 que por la S1 entonces, existiría una acumulación de carga entre S1 y S2 y esto no sucede. Consideremos ahora la siguiente situación: Un capacitor en proceso de carga (con capacidad muy grande sólo para que el efecto sea más prolongado y mantener la intensidad de corriente “constante”). La S2 está siendo atravesada por la intensidad i, mientras que la S1 no está siendo atravesada por dicha intensidad. ¡Aquí aparece una inconsistencia en la Ley de Ampere pues la corriente “enlazada” parece depender de la superficie elegida para el MISMO CONTORNO! Cátedra de Física-FFYB-UBA [40] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Aquí es donde el genio de Maxwell intervino: Consideró que en la situación anterior: Existe una CORRIENTE IMAGINARIA equivalente a la que circula por el cable que está ATRAVESANDO LA S1, así ¡LA CORRIENTE ENLAZADA POR EL CAMINO CERRADO SIEMPRE ES LA MISMA para CUALQUIER SUPERFICIE DELIMITADA POR DICHO CAMINO! Cuando estudiamos capacitores, encontramos que para el CAPACITOR de placas paralelas: E E A E: Campo eléctrico entre las placas A: Área de una placa q Y además que: E despejando q: 0A Tomando dq dt q 0 AE reemplazando el producto AE: q 0E tenemos: i dq dΦE 0 dt dt es decir: i 0 dΦE dt En la última ecuación, el término a la izquierda del igual representa a la intensidad que atraviesa la S2, es la llamada CORRIENTE DE CONDUCCIÓN. El término a la derecha del igual corresponde a la variación del E respecto del tiempo es a través de la S1, Maxwell llamó a éste término CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (Id), observar que tiene unidades de intensidad. Entonces mientras la corriente de conducción atraviesa la S 2, la corriente de desplazamiento atraviesa la i = id S1, y siempre Con ésta modificación, MAXWELL salvó la inconsistencia y La LEY DE AMPERE queda así: B . dL μ 0 i Id Distribuyendo 0: B . dL μ 0 i μ 0Id Reemplazando Σ i de conducción por su igual e Id por lo que acabamos de hallar: B . dL 0 J .dA 0 0 S dΦE dt Cátedra de Física-FFYB-UBA [41] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Esta expresión indica que: La integral de línea de un campo magnético B inducido a lo largo de un camino cerrado, es proporcional a la suma de términos: CORRIENTE DE CONDUCCIÓN + CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO, a través de la superficie limitada por dicho camino. A través de la S2, sólo hay corriente de conducción, mientras que a través de la S1, sólo hay corriente de desplazamiento. La ley de Ampere así expresada nos muestra que: LA VARIACIÓN TEMPORAL DEL FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO E A TRAVÉS DE S1, DA ORIGEN A UN CAMPO MAGNÉTICO B INDUCIDO ESPACIAL “CIRCULANDO” SOBRE EL CONTORNO DEL CAMINO CERRADO MAXWELL entendió que sus 2 últimas ecuaciones encerraban un concepto importante E . dL dΦB dt B . dL 0 0 dΦE dt Para ese entonces MAXWELL también conocía la llamada ECUACIÓN DE ONDA y sabía que: Si en un sistema se verifica la ECUACIÓN DE ONDA, es de esperar que existan ondas en dicho sistema ECUACIÓN DE ONDA 2 y 1 2 y x 2 v 2 t 2 El término 2 y da idea del grado de curvatura de un elemento de onda. x 2 El término 2 y da idea de la aceleración de un elemento de onda. t 2 Y por supuesto v es la velocidad de desplazamiento de la onda. Cátedra de Física-FFYB-UBA [42] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA y y x 2 y x 2 Las mismas gráficas se obtienen si se hace y = f(t), es decir, “y” como función del tiempo. Es así que MAXWELL con el concepto de estas 3 ecuaciones: E . dL dΦB dt B . dL 0 0 2 y 1 2 y x 2 v 2 t 2 dΦE dt Llegó a éstas 2 nuevas ecuaciones: 2 Ey x 2 0 0 2 Ey t 2 2 BZ 2 BZ 0 0 x 2 t 2 En ambas ecuaciones cuando Maxwell las comparó con la ecuación de onda original observó que no solamente se trataba de 2 nuevas ecuaciones de onda sino que además: Despejando v 0 0 1 v2 12 4 2 1 0 0 Sustituyó por los valores conocidos y obtuvo: v 4 10 1 7 2 2 kg.m / s . A . 8,85.10 s . A / kg.m 3 3.108 m c s MAXWELL predijo así la existencia de ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y postuló que la “LUZ” sería una de ellas Cátedra de Física-FFYB-UBA [43] TEORICO CORRIENTE VARIABLE II 1.5 / TEORICOS / FISICA Bibliografía: ta FISICA. Resnick – Halliday – Krane. Volumen II. 4 Ed.. Editorial Continental th FISICA UNIVERSITARIA. Sears – Zemansky – Young – Freedman. 11 Ed. Editorial Pearson Addison Wesley era FISICA CLÁSICA Y MODERNA– Gettys – Keller – Skove. 1 Ed. Editorial Mc Graw Hill. ta FISICA. Wilson-Buffa. 5 Ed. Pearson Prentice Hall ta ANÁLISIS INSTRUMENTAL –Skoog-Leary. 4 Ed. Editorial Mc GrawHill. Cátedra de Física-FFYB-UBA [44]
