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ASIGNATURA FISICA II
AÑO 2012
GUIA NRO. 12
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA – INDUCTANCIA OSCILACIONES ELECTRICAS
Bibliografía Obligatoria (mínima)
Capítulos 31 y 32 Física de Serway – Tomo II
Apunte de cátedra: capítulos XII y XIII
PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA
Las “preguntas sobre la teoría” pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de
expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía.
Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los
“problemas” y contestar las “cuestiones”.
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
1- Indicar qué ocurre en una espira conductora cerrada si varía el FLUJO DE CAMPO
MAGNÉTICO que la atraviesa.
2- Exprese la LEY DE FARADAY de la INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA,
explíquela conceptualmente. ¿Cuáles son las unidades de cada uno de los componentes
de esta expresión?
3- La inducción electromagnética implica la presencia de un campo eléctrico no
conservativo. ¿Qué significa esto?
4- En base a lo anterior describa el funcionamiento de un generador eléctrico.
5- ¿Qué sucede si la corriente de un SOLENOIDE varía en el tiempo?
6- ¿A qué se denomina AUTOINDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA?
7- Indique la expresión matemática para la FEM AUTOINDUCIDA y las unidades de
todos sus componentes.
8- Deduzca el COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN de un solenoide.
9- ¿Qué es una INDUCTANCIA? ¿Qué efectos produce en un circuito eléctrico?
10- Describa el fenómeno de INDUCCIÓN MUTUA.
11- Deduzca y explique las expresiones matemáticas de la INDUCTANCIA
EQUIVALENTE correspondientes a las asociaciones de:
a) inductancias en serie
b) inductancias en paralelo
12- ¿En qué condiciones se producen las CORRIENTES PARÁSITAS?
¿En qué casos resulta indeseable? ¿Qué aplicaciones tiene?
INDUCTANCIA Y OSCILACIONES ELÉCTRICAS
13- ¿Qué es un circuito RL?
14- ¿Cuáles son las expresiones matemáticas que rigen la evolución de la corriente
eléctrica en el tiempo durante los “transitorios” de un circuito RL?
15- ¿Qué significado tiene su CONSTANTE DE TIEMPO?
16- ¿Cómo podemos calcular la ENERGÍA ALMACENADA en un INDUCTOR?
17- ¿Y en un campo magnético en general, cuál es la DENSIDAD DE ENERGÍA
presente?
18- ¿A qué se denomina circuito LC?
19- Para las oscilaciones eléctricas que se producen en un circuito LC deduzca las
expresiones matemáticas de:
a) la evolución en el tiempo la energía acumulada en el inductor y en el capacitor
b) la variación función del tiempo de la carga en el capacitor y la corriente en el
circuito
c) la frecuencia angular de oscilación.
20- Plantee las semejanzas entre las oscilaciones eléctricas y las oscilaciones mecánicas.
21- ¿En qué consiste el denominado circuito RLC?
22- Para las oscilaciones eléctricas que se producen en un circuito RLC deduzca las
expresiones matemáticas de:
a) la evolución en el tiempo la energía acumulada en el inductor y en el capacitor
b) la variación función del tiempo de la carga en el capacitor y la corriente en el
circuito
c) la frecuencia angular de oscilación.
23- Describa el funcionamiento de un TRANSFORMADOR ELECTRICO.
24- Unidades de: flujo magnético, coeficiente de autoinducción, constante de tiempo.
PROBLEMAS
Resolver los “problemas” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman
parte de la Guía a situaciones concretas.
1- La espira conductora de la figura se encuentra sumergida en un campo magnético
uniforme saliente del plano de la hoja. ¿Cuál es el sentido de la corriente inducida si:
a) la espira gira 90º sobre un eje vertical imaginario.
b) la espira es aplastada cambiando su forma hasta la correspondiente a la línea de
trazo.
2- Una bobina rectangular de 50 vueltas, de 5 cm por 10 cm, gira desde una posición
donde el flujo magnético Φ = 0 hasta una posición donde el B está dirigido
perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la fem media resultante en la bobina
si el desplazamiento ocurre en 0,25 s y el módulo del B uniforme es de 0,5 T.
3- En la figura se muestra un marco conductor fijo con forma de “C”. Una barra también
conductora puede moverse rozando el marco. Todo se encuentra sumergido en un
campo magnético uniforme entrante al plano del papel. Si se tira de la barra hacia la
derecha con una fuerza F, describa ¿qué fenómeno se produce?
Ahora suponga que la resistencia es de 6 Ω, l = 1,2 m y que el campo magnético
uniforme de 2,5 T está dirigido entrante al plano de la hoja. ¿Con qué velocidad debería
moverse la barra para producir una corriente de 0,5 A en la resistencia?
4- La corriente de un solenoide en el vacío se incrementa a razón de 10 A/s. El área de la
sección transversal del solenoide es de 10 cm2 y tiene 300 vueltas en sus 15 cm de
longitud. ¿Cuál es la fem autoinducida que actúa en oposición al incremento de la
corriente?
5- Una bobina cuadrada de 20 cm por 20 cm que consta de 100 vueltas de conductor
gira alrededor de un eje vertical a 1500 rpm, como se indica en la figura. La componente
horizontal del campo magnético terrestre en la región donde se coloca la espira es de 2 x
10-4 T. Calcular la máxima fem inducida en la bobina por el campo magnético terrestre.
6- La semiespira de la figura, de radio “a”, se encuentra en presencia de un campo
magnético uniforme entrante al plano de la hoja y gira con velocidad angular constante
tal como se muestra en la figura. Hallar la fem inducida en la misma.
7- Calcule la inductancia en un circuito RL en el cual R = 0,5 Ω y la corriente se
incrementa a un cuarto de su valor final en 0,5 s.
8- Un inductor de 140 mH y una resistencia de 4,9 Ω se conectan con un interruptor a
una batería de 6 V como se muestra en la figura.
a) Si el interruptor se cierra entre A y B ¿cuánto tiempo pasa antes de que la
corriente alcance los 220 mA?
b) ¿Cuál es la corriente que circula por el inductor 10 s después de que el interruptor
se cierra?
c) Después de que el interruptor ha estado cerrado entre A y B un tiempo
suficientemente largo para que la corriente alcance su valor máximo se abre y se cierra
rápidamente entre A y C
c1) ¿cuánto tiempo debe pasar antes de que la corriente caiga a 160 mA?
c2) ¿en cuánto tiempo alcanzará la corriente el 25 % de su valor máximo?
9- Si se le solicita construir una inductancia de 1 H ¿qué criterios aplicaría y cuáles
serían sus especificaciones?
10- Un circuito LC tiene una inductancia de 2,81 mH y una capacitancia de 9 pF en
paralelo según se indica en la figura. El capacitor se carga inicialmente con una batería
de 12 V cuando el interruptor S1 está abierto y el interruptor S2 cerrado. En el instante
en que se abre S2 el interruptor S1 se cierra de manera que el capacitor queda conectado
con el inductor.
a) encuentre la frecuencia de oscilación.
¿cuáles son los valores máximos de la carga en el capacitor y de la corriente en el
circuito?
Calcule las siguientes cantidades en el instante t = 2,0 ms.
a) la energía almacenada en al capacitor
b) la energía almacenada en el inductor
c) la energía total en el circuito
11- Una inductancia constante de L = 1,05 µH se conecta en serie con un capacitor
variable en la sección de sintonía de una radio ¿qué capacidad sintonizará en la señal de
una emisora que transmite con una frecuencia de 96,3 MHz?
12- Considere el circuito de la figura. Sea R = 7,6 Ω, L = 2,2 mH y C = 1,8 µF.
a) calcule la frecuencia de la oscilación amortiguada del circuito
b) ¿cuál es el valor de la resistencia crítica del circuito
CUESTIONES
Contestar las “cuestiones” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman
parte de la Guía a situaciones concretas.
1- Si se deja caer un imán dentro de un largo tubo de cobre ¿producirá corriente en el
tubo?
2- Se tiene una espira moviéndose respecto de un hilo conductor rectilíneo con
corriente tal como se indica en la figura. ¿Qué sentido tendrá la corriente inducida en
la espira?
4- Utilice la Ley de Lenz para dar respuesta a las siguientes preguntas relativas a la
dirección de las corrientes inducidas:
a) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “a”
cuando el imán de la barra se mueve hacia la izquierda?
b) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “b” en
el instante que se cierra el interruptor S?
c) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “c”
cuando la corriente I disminuye rápidamente hasta cero?
d) Una barra de cobre se mueve hacia la derecha mientras su eje se mantiene
perpendicular al campo magnético, como se muestra en la figura “d”. Si el extremo
superior de la barra es positivo en relación con el extremo inferior ¿cuál es la dirección
del campo magnético?
a)
b)
c)
d)
5- Una placa de aluminio colocada entre los polos de un imán con forma de herradura se
usa en algunas balanzas para disminuir la oscilación de la misma en el equilibrio ¿qué
fenómeno ocurre que explique ésto?
6- Un resorte soporta un cierto peso. Se hace pasar una corriente constante por las
espirales del resorte, transformando así en bobina. ¿En qué sentido son afectados :
a) la posición de equilibrio
b) el período de sus pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio.
7- Explique por que la ley de Lenz es una consecuencia directa del principio de
conservación de la energía.
8- Un circuito que consta de una bobina, una resistencia y una batería se encuentra en
estado estacionario, esto es, la corriente ha alcanzado un valor constante. ¿Tiene la
bobina una inductancia? ¿Afecta la bobina el valor de la corriente del circuito?
9- ¿Depende la inductancia de la bobina de la corriente que circula por ella? ¿De qué
parámetros depende la inductancia de la bobina?
10 Suponga que el interruptor del circuito RL de la figura ha sido cerrado por un lapso
prolongado de tiempo y de repente se abre ¿cae instantáneamente la corriente a cero?
¿por qué aparece una chispa en el contacto del interruptor cuando éste se abre?
11- Si la corriente en un inductor se duplica ¿en qué factor se ve incrementada la energía
almacenada?
12- Discuta la similitud que existe entre la energía almacenada en el campo eléctrico de
un capacitor cargado y la energía almacenada en el campo magnético de una bobina por
la cual circula una corriente.
13- En un circuito LC, cuando el mismo se encuentra oscilando, la carga en el capacitor
algunas veces es cero, aún cuando exista una corriente en el circuito ¿cómo es posible
ésto?
APLICACIONES TECNOLOGICAS
Generador eléctrico
Transformador eléctrico
Ensayo no destructivo: corrientes parásitas
OBJETIVOS ESPECIFICOS DE LA UNIDAD TEMATICA N° 12
(GUIA NRO.12)
Al finalizar esta unidad el alumno podrá:
Describir el fenómeno de la inducción electromagnética en general y en ese marco
explicar los fenómenos de autoinducción e inducción mutua en particular.
Explicar la ley de Faraday-Lenz.
Enunciar y explicar los conceptos de campo eléctrico no conservativo, fuerza
electromotriz inducida y corriente eléctrica inducida.
Aplicar los conocimientos sobre indución electromagnética para explicar el
funcionamiento de generadores y transformadores eléctricos.
Comprender y explicar que la autoinducción es un fenómeno intrínseco de los circuitos
eléctricos mediante el análisis de transitorios en un circuito RL.
Describir los elementos denominados inductores, sus especificaciones y características y
demostrar que el valor de inductancia depende de sus parámetros geométricos.
Deducir la energía asociada a una inductancia en función de parámetros macroscópicos,
reconociendo a dicha energía como ubicada en el campo magnético de la misma.
Deducir las expresiones matemáticas de la variación en el tiempo de la corriente
eléctrica en un circuito RL.
Describir el fenómeno de las oscilaciones eléctricas distinguiendo las amortiguadas de
las que no lo son.
Describir las equivalencias existentes entre un circuito oscilante LC y un oscilador
mecánico ideal.
Describir el concepto de frecuencia de resonancia de un circuito LC.
Describir las equivalencias existentes entre un circuito oscilante RLC y un oscilador
mecánico real.
Deducir las expresiones matemáticas de la variación en el tiempo de la corriente
eléctrica y la carga en el capacitor para un circuito oscilante RLC.
Distinguir entre circuitos RLC sobre o subamortiguados y de amortiguamiento crítico.
Explicar la evolución de la energía en el inductor y en el capacitor durante la oscilación
de un circuito LC, y durante la oscilación de un circuito RLC.
Aplicar estos conocimientos para resolver situaciones problemáticas similares a las de la
Guía.
APÉNDICE MATEMÁTICO –PRÁCTICA XII – FÍSICA II
Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, a coeficientes
constantes.
Razón de cambio
La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la
ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la
vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En
probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se
requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales,
circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos
anteriores están en función del tiempo "t"
La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento
tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por
por lo
=
El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente
los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración
,
La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la
razón de cambio
Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la
representación grafica de tales funciones es una función de la forma y = m x + b
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio
infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio
infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones
de cambio infinitesimales),
Encontramos integrando
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, la característica que tiene viene
dada por poder despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de
ecuaciones diferenciales son:
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada.
El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que
en ella aparece
Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración
Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que
define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.
Es una solución general de la ecuación diferencial
Ejemplo 2
En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede
representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución más general al problema a esta
constante arbitraria se la conoce como constante de integración
Ejemplo 3
Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0
La solución general de la función es
para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables
Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro
resultado
Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en
términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.
Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales
Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como
se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra
que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes
arbitrarias,
Demostrar que
Es una solución de la ecuación diferencial
Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de
variables satisface la ecuación,
Demostrar que
Es una solución particular de la ecuación diferencial
Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 2 grupos:
Grupo 1) Ecuaciones diferenciales de variables separables.
Una ecuación de primer orden puede reducirse a la forma
Siendo M y N funciones de X e Y
Grupo 1) Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables.
1.
cambios de masa
2.
cambios temperatura
3.
cambio población en el tiempo
los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de
ecuaciones de variables separables , para tal observación se be encontrar el incremento y la
razón de cambio
La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se
representa por
Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada
por "k"
La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior
Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuación diferencial
que represente tal afirmación
la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0
Grupo 2) Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una ecuación lineal homogénea tiene la forma
donde "P" y "Q" son funciones de "X"
La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo
Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto
Determinamos "u" integrando la ecuación
Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que
Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos
Grupo 2) Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas
1.
Desleimiento continuo de una solución
2.
Cinemática , oposición al movimiento
3.
Circuitos eléctricos simples en serie
Un tanque contiene una solución con una densidad de "s" si se la vacía la misma solución
con una densidad "s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el comportamiento del
problema
Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solución "s" en cualquier
volumen está dada por
supongamos que un volumen "
dada por:
" se vacía en el tanque. La cantidad de solución "s" está
Podemos encontrar la razón de cambio
Por lo tanto –
En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer
la 1.residencia en R (ohmios) del circuito
2. la inductancia
Ecuación 1 : la siguiente ecuación emplearse en el caso de un circuito en serie combinación
resistencia e inductancia
Ecuación 2 : la siguiente ecuación representa un circuito acumulador y resistencia
Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservación de la carga y energía (ley de
kirchoff)
La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo
La energía electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente
proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"
La capacitancia "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje
"E" e inversamente proporcional a la carga "Q"
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Circuito en serie combinación resistencia "R" y un acumulador "C"
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Circuito en seria combinación resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L"
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Circuito en serie, combinación resistencia "R" y transformador "L"
El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporción por la fricción (aire)
Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representación del problema
Usando la solución general ecuaciones homogéneas con "t"=0 y "v"=0
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar
El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general,
que contendrá "n" constantes arbitrarias
Ejemplo –
Las siguientes ecuaciones tiene la forma
Donde "Y" es una función de "y" únicamente
Lo anterior es válido por
El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e
"y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez
Ecuaciones
constantes
diferenciales
lineales
de
segundo
orden
con
coeficientes
Las ecuaciones tiene la forma
La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución
Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos
Sustituyendo en la forma general obtenemos que
Donde y=
es una solución de la ecuación y "r" son las raíces de la función y distintas
Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma
la solución será:
Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será
Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0
Usando la sustitución
y resolviendo para "r"
Sustituimos las condiciones iniciales en la solución
Encontrar la solución de la ecuación
Usando la sustitución encontramos
Resolviendo para "r" encontramos
Por lo tanto la solución general es:
Oscilador Armónico simple
Imagínese una masa "m" en una superficie sin fricción colgando de un resorte la
observación del movimiento nos da la suposición que al aumenta la fuerza "F" de igual
manera aumentara la longitud del resorte "X" lo anterior puede representarse como:
La fuerza es directamente proporcional a la longitud, para crear una igualdad podemos
calcular la razón de cambio
Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos que
Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la
ley de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original. la razón de
cambio nos indica que la función de fuerza en razón de la distancia F(x) tiene la forma
y =m x + b una línea recta.
De lo anterior podemos definir una ecuación diferencial que resuelva la oscilación de un
resorte
La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleración por
lo tanto
Aplicando la solución de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes
encontramos:
Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"
Siendo A = amplitud del resorte posición alargamiento después de equilibrio y B=0
Es posible también escribir la solución de un problema de la forma anterior sin tener las
condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase
=
La amplitud "X" puede definirse como
El Angulo de fase debe ser en radianes