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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Dependientes del Tiempo
DEPARTAMENTO DE FISICA
Cátedras: Física General - Física II
Prof.Titular Ing. Jorge A. Maidana
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
β
V  
Vε
d 
dt
El fenómeno de inducción ocurre cuando en las
inmediaciones de un campo magnético se coloca
un conductor cerrado observándose una corriente
en el circuito mientras el flujo magnético a través
del conductor esté variando con el tiempo.
L
Al aproximar o alejar un imán a un
conductor cerrado, se induce una
fem en el mismo siendo su valor
absoluto función de la rapidez del
movimiento dΦβ/dt
Vε
El campo β aumenta
Vε
El campo β disminuye
Cuando el flujo magnético aumenta, la fem inducida
actúa en sentido negativo, mientras que cuando el
flujo disminuye Vε lo hace en sentido positivo.
“En un campo magnético variable se induce una fem en cualquier circuito cerrado, la cual es
igual a menos la deriva con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito”
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Cambios del flujo del campo
magnético
I
I
v
I
v
Fem inducida por
movimiento del conductor
I
v
v
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por
movimiento de un imán
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
LEY DE FARADAY – HENRY
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Si dividimos la superficie delimitada por L en elementos infinitesimales
dS, el flujo a través de L es

     .uN dS
S
La fem Vε implica la existencia de un campo E
 
tal que su circulación es
V   E.dl
L
Remplazando en la ecuación
Ley de Faraday-Henry
V  
d 
dt
uN
L
β
dS
dl
E
 

d
LE.dl   dt S  .uN dS
“Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un
campo eléctrico tal que su circulación a lo largo de un camino arbitrario
cerrado es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo
magnético a través de una superficie limitada por el camino”
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FEM INDUCIDA
por el movimiento relativo de un
conductor y un campo magnético
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Un conductor PQ se mueve en un campo β uniforme cerrando un circuito PQRS.
Cada carga del conductor PQ está sujeta a una fuerza v x β que actúa de Q a P.
Y
Recordando que v y β son perpendiculares,
la misma fuerza podría suponerse que es
debida a un campo eléctrico Eeq

 
q.Eeq  qv  

 
Eeq  v    v sen
β
Eeq  v
Si PQ es igual a l hay una diferencia de
potencial entre P y Q
R
Z
Q
Vε
V  Eeq .l   vl
La circulación de Eeq a lo largo del circuito


PQRS será:
E
L
eq
  
PQRS

 .uN dS  lx
d 
dt
S
.dl  vl
El flujo de β a través de PQRS y su derivada
con respecto al tiempo es:

X
d
lx   l dx  lv
dt
dt
l
x
v
P
Comparando se observa el
cumplimiento de la Ley de
Faraday- Henry


d 
L Eeq .dl  vl  dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por el
movimiento de un conductor
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FEM INDUCIDA
por el movimiento relativo de un
conductor y un campo magnético
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Se dispone de un circuito rectangular rotando con velocidad angular ω en un
campo β uniforme observándose que las cargas presentes en los tramos PQ y
RS se mueven con velocidad v tal que su campo Eeq será:

 
ω
Eeq  v    v sen PQ  SR  l   t
P
x
La circulación de Eeq a lo largo del circuito
S
vxβ


PQRS será:
V   Edl  Eeq PQ  SR  2lv sen
L
Si el radio de la circunferencia descrita por las cargas es
r=½ x; su velocidad v = ω½ x; el área del circuito S= lx y el
ángulo θ = ωt reemplazando:
v
l
vxβ
V  2l12 x  sent   lx sent  S sent
V  S sent
El flujo de β a través de PQRS y su
derivada con respecto al tiempo es:

    .uN S  S cos  S cos t
θ
β
uN
v
Q
R
(1)
d
 S sent (2)
dt
Comparando (1) y (2) se
comprueba la Ley de
Faraday- Henry
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
β
l
v
F
FEM INDUCIDA
Movimiento de una varilla aislada en
un campo magnético
La fem se induce en una barra o en un alambre
conductor que se mueve en el seno de un campo
magnético incluso cuando el circuito está abierto
y no existe corriente. Alli se puede establecer que
las cargas se mueven por la acción de un campo E
o de un campo β.
F  Fm
F  qE Fm  qv
E  v
La diferencia de potencial a
través de la barra será:
El
 V  vl
“La ley de inducción electromagnética Vε = - dΦβ/dt se puede aplicar, bien
cuando la variación de flujo magnético Φβ se debe a una variación del campo
magnético β, bien cuando se debe al movimiento o deformación del circuito a lo
largo del cual se calcula la fem, o cuando se deba a ambos”
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por el
movimiento de un
electroimán
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por una fuente
de corriente alterna
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
DEPARTAMENTO
DE FISICA
AUTOINDUCCION
Flujo propio de una espira
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
De acuerdo a la Ley de Ampere la
corriente produce un campo magnético
que es proporcional a I. Se puede calcular
el flujo magnético a través del circuito
debido a su propio campo, es decir su
Flujo Propio:
 I  LI
VL  
dLI 
dt
I
L es un parámetro constante del circuito
Si la corriente I varía con el tiempo el flujo
ΦI también varía y de acuerdo con la ley
de inducción se induce una fem en el
circuito. Este caso de inducción se llama:
Auto inducción :
d
VL  
β
I
dt
VL   L
dependiente de la geometría
conductor medido en Henrio [H]
VL
I
I
VL
I en aumento
dI
dt
del
I en disminución
El signo negativo indica que VL se
opone a la variación de I.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
AUTOINDUCCION
Flujo propio de una bobina
Al cerrar el interruptor S, aparece un campo
β1 debido a la corriente I1 que circula por el
bobinado.
El cambio de flujo genera una corriente
inducida I2 que a su vez origina un campo
β2 para oponerse a ese cambio.
Este hecho es conocido como fenómeno
autoinducción.
A
R
β1
I1
β2
I2
S
La fem puede determinarse aplicando el
segundo termino de la Ley de FaradayHenry: Vε = - dΦβ/dt para lo que habrá
que definir el flujo propio del dispositivo
magnético.
 I  LI Donde I=I1 es la corriente que desencadena
el fenómeno y L el coeficiente de inductancia
o autoinducción.
VL  
d I
dI
 L
dt
dt
L es un parámetro constante y activo de un
circuito que depende de las características
geometricas del conductor. Su unidad es el
Henrio [H]
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
DEPENDIENTES DEL TIEMPO
FENOMENOS DEPENDIENTES
DEL TIEMPO
FENOMENOS TRANSITORIOS
FENOMENOS CICLICOS
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Circuito RL
Caídas de Tensiones
R
I
L
I
Vε
S1
VR  RI
I
R
dI
dt
RI  V  VL
S2
VR
VL   L
VL
L
 dI 
RI  V  L 
 dt 
dI
RI  V   L
dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
RI  V  VL
RI  V  LdI / dt 
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL Circuito de Carga
Conexión a la pila cerrando S1
RI  V  LdI / dt 
RI  V / R  LdI / dt 
I
V
R
Separando variables e integrando
para t=0 I=0.
dI
R
  dt
I  V / R
L

I
0
V

ln  I  
R


 V
  ln   

 R
 I  V / R 
R
   t
ln 
L
  V / R 
I  V / R
 Rt
e L
 V / R
RI  V  LdI / dt 
I
dI
R t
   dt
I  V / R
L 0
R

 t
L

I
e
t
I
O
V
R
1  e  t t 




L
t
R
t
Constante de Tiempo Inductiva: t =L/R [s]
Tiempo para alcanzar I el 63% del valor
final de equilibrio
V
V  Rt
V V  Rt
I    e L I     e L
R
R
R R
V 
 Rt 
I  1  e L 

R
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL Circuito de Descarga
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  0
Desconexión a la pila cerrando S2
RI  VL
RI  LdI / dt
I
RI  LdI / dt 
I  I0
Separando variables e integrando
para t=0 I=I0=Vε/R
dI
RI   L
dt

I
dI
R t
   dt
I
L 0
R
V 
ln I  ln     t
L
R
I
V
e
R
Rt

L
I
t
dI
R
  dt
I
L
V
R
IR  L
dI
0
dt
V  t t
e
R
I0
e
O
t
L
R
Constante de Tiempo:t =L/R [s]
Tiempo para alcanzar el 63% del valor final de equilibrio
t
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
ENERGIA DEL CAMPO β
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Energía del campo magnético Eβ
Para mantener una corriente hay que suministrar
energía. La energía que se necesita por unidad de
tiempo es decir potencia es VεI
V  RI  L
dI
dt
V .I  RI 2  LI
dI
dt
Donde:
RI2 = energía / tiempo para mover las cargas.
LIdI/dt = energía / tiempo para establecer la
corriente o su campo magnético asociado.
La rapidez de aumento de Eβ es:
dE
dt
 LI
E  
E
0
dI
dt
I
dE   LIdI 
0
1
LI 2
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Circuito RC
Caídas de Tensiones
R
q
C
q
Vε
S1
VR  RI
q
RI  V  VC
S2
VR
R
VC  
VC
dq
q
 V 
dt
C
dq
q
R
 V  
dt
C
R
C
q
C
I
dq
dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
RI  V  VC
I
dq
dt
R
dq
q
 V 
dt
C
V C q
dq V
q


 
dt
R RC
RC
Conexión a la pila cerrando S1
q

0
dq
1 t

dt
q  V C
RC 0
t
dq
dt

q  V C  RC
t
q  V C 1  e t 


t  RC
O
1
lnq  V C   ln V C   
t
RC
t
Constante de Tiempo capacitiva: t =RC [s]
Tiempo para alcanzar q el 63% del valor
final de equilibrio
 q  V C 
1
  
ln
t

V
C
RC



q  V C
t
 e RC
 V C
dq
q
 V 
dt
C
q  V C
Cambiando de signo, separando
variables e integrando para t=0 q=0.
q
R
t
q  V C  V Ce
RC
t
q  V C  V Ce
RC
t

q  V C 1  e RC 


DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  0
R
RI  VC
I
dq
q

dt
C
Desconexión a la pila cerrando S2
dq
dt
q
R
q  q0
dq
q

dt
RC
dq
q

dt
C
q  V Ce
t
t
t
Separando variables e integrando
para t=0 q=q0=VεC dq
dt
q
ln q  ln V C  
1
t
RC

RC
dq
1


dt
V C q
RC 0
q
t
O
t  RC
Constante de Tiempo capacitiva: t =RC [s]
Tiempo para alcanzar q el 63% del valor
final de equilibrio
 q 
1
  
ln
t
V
C
RC
  
t
q
 e RC
V C
t
q  V Ce
t
RC
q  q0 e
t
RC
V  t RC
dq
I
 e
dt
R
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos oscilantes
OSCILACIONES ELECTRICAS
OSCILACIONES LIBRES
OSCILACIONES FORZADAS
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Sistemas oscilantes
Sistema
Sistema
Masa-resorte
(M - K)
Inductor-capacitor)
(L - C)
Energías de
MyK
Energías de
ε yβ
1
Em  mv 2
2
1 q2
E 
2 C
EK
1
 kx 2
2
E 
1
LI 2
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Energías de
ε yβ
Eβ Eε
(3)
Eβ Eε
Eβ Eε
(2)
(4)
1 q2
E 
2C
E 
E β Eε
Eβ Eε
(1)
(5)
1 2
LI
2
Sistema
Masa-resorte
Eβ Eε
Eβ Eε
(8)
(6)
E β Eε
(7)
Em 
1
mv 2
2
ER 
1 2
kx
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC Oscilaciones Libres
La energía total disponible según el principio
de conservación es:
1
E   LI 2
2
1 q2
E 
2C
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
Como no hay perdidas la
variación de energía total
con el tiempo será
dET
dI q dq

0

LI

dET/dt=0
dt
dt C dt
2
dq
dI
d
q
dET
dq d 2q q dq
I
 2
0L

dt
dt dt
dt
dt dt 2 C dt
d 2q q
L 2  0
dt
C
Ecuación diferencial que describe la carga en
un circuito LC (ec. de 2 orden con coeficientes
ctes) cuya solución propuesta es: q  q cos( t   )
0
ET  E   E
L
C
Eβ
Eε
La energía total es igual a la
energía que el capacitor
almacenó según su capacidad
y es la que compartirá con la
inductancia al momento de su
descarga.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC Oscilaciones Libres
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
ET  E   E
Establecimiento de la carga y de la intensidad
de corriente en un circuito LC :
q  q0 cos( t   )
dq
  q0 sen ( t   )
dt
q0
q
t
I   I 0 sen ( t   )
Cálculo de la frecuencia “ω”
dq
  q0 sen ( t   )
dt
I0
I
d 2q
  cos( t   ) q0 2
2
dt
t
0
T/2
T
3T/2
Reemplazando en la ecuación diferencial y
despejando ω:
2
L

dq q
 0
dt 2 C

q
L  cos( t   ) q0  0 cos( t   )  0
C
2
1
L 
C
2

1
LC
2T
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Amortiguadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
La energía total disponible según el Principio
de Conservación es:
1
E   LI 2
2
1 q2
E 
2C
ET  E   E
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
L
Como hay perdidas debido a la presencia
de R la variación de energía total con el
tiempo será dET/dt=-I2R
dET
dI q dq
  I 2 R  LI

dt
dt C dt
Simplificando I, derivando y ordenando
dET
d 2q q
  IR  L 2 
dt
dt
C
q  q0 e

C
Eβ
Eε
La energía total es igual a la
energía que el capacitor
almacenó según su capacidad
4L
y
con la
R 2es
 la que compartirá
2 4L

inductancia
alRmomento
de su
C
C
descarga.
d 2q
dq q
L 2 R
 0
dt
dt C
Ecuación diferencial que describe la carga en un
circuito LRC (ec. de 2 orden con coeficientes
ctes) cuya solución propuesta es:
R
Rt
2L
cost   
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Amortiguadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Establecimiento de la carga y de la intensidad
de corriente en un circuito LRC :
q  q0 e

Rt
2L
cost   
I
I
ET  E   E
dq
dt
t
Rt


d 
2L


I
q
e
cos

t


 0

dt 

I  I 0e

Rt
2L
sent   
Frecuencia amortiguada “ωa”
a 
a 
1
R2
 2
LC 4L
1  R 


LC  2 L 
I
R2 
4L
C
t
2
1
a 
 2
LC
R2 
4L
C
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Forzadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Se dispone de un circuuito RLC alimentado
por una fuente oscilante del tipo: V  V sen t

0
f
L
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
La energía total será:
Como las perdidas debido a la presencia de R
son compensadas por la fuente Vε el balance
de tensiones será:
dI
q
L
dt
 RI 
C
Derivando y reemplazando I=dq/dt se tiene la
ecuación
d2 I
dI I
L
dt 2
R
dt

C
  f V0 cos  f t
que describe la corriente en un circuito LRC
cuya solución es:
I  I sen 
0
V  V0 sen f t
I  I 0 sen f t   
 V0 sen f t
d 2q
dq q
L 2 R
  V0 sen f t
dt
dt C

f
t 
C
R
Amplitud máxima
I0 
V 0
Z
V 0

R2  x2
Impedancia: Z  R 2  X 2
Reactancia:
X  f L 
Angulo de fase: tg 
X
R
1
f C
  tg 1 ( X / R )
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos Resistivos Puros
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  V0 sent
X  X L  XC
R
I  I 0 sent
VR ; I
π
I0
0
X L  XC
1
C
V0R
I0
I0
V0
X
R
V  V0 sen f t
V0
π/2
X  L 
tg 
ωt
π
α =0º
ωt
2π
1
C
X 0
L 
3π/2
tg  0
  0
La intensidad de corriente a través de la
resistencia está en fase con la tensión.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos Inductivos Puros
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  V0 sent
X  X L  XC
L
I  I 0 ( cos t )  I 0sen(t  90º )
VL ; I
V0L
V0
I0
I0
π
0
X
R
1
C
V  V0 sen f t
V0
π/2
π
α=+90º
X  L 
tg 
α=+90º
I0
ωt
2π
α
ωt
X  XL
3π/2
X  L
XL
R
  90
tg 
La intensidad de corriente a través de la
ìnductancia está atrasada 90º con respecto
a la tensión.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos Capacitivos Puros
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  V0 sent
X  X L  XC
C
I  I 0 cos t  I 0sen( t  90º )
VL ; I
α= - 90º
π/2
X  L 
π
V0
α= - 90º
I0
ωt
π
0
X  XC
3π/2
1
C
V  V0 sen f t
I0
V0
tg 
1
C
X
tg  C
R
  90
X 
I0
2π
α
ωt
V0C
La intensidad de corriente a través de la
ìnductancia está adelantada 90º con
respecto a la tensión.
X
R
DEPARTAMENTO
DE FISICA
ELEMENTOS PUROS DE
UN CIRCUITO
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
INTENSIDAD DE CORRIENTE
ELEMENTOS
PUROS
RESISTENCIA
(R)
INDUCTANCIA
(L)
I
I=I0senωt
I=I0cosωt
V
V=V0senωt
V=V0cosωt
V0
sen t
R
V0
cos t
R
V
I L  0 sen t
L
IR 
V
R
1
Vdt

L
1 dV
CAPACITANCIA
IC 
C dt
(C)
IL 
IR 
IL 
V0
 cos t 
L
IR 
IC   CV0cos t I C  CV0  sen t 
DEPARTAMENTO
DE FISICA
ELEMENTOS PUROS DE
UN CIRCUITO
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
TENSION EN BORNES
ELEMENTOS
PUROS
RESISTENCIA
(R)
INDUCTANCIA
(L)
I
I=I0senωt
I=I0cosωt
V
V=V0senωt
V=V0cosωt
VR  IR
VR  RI 0 sent
VR  RI 0cos t
VL  L
CAPACITANCIA
1
VC 
(C)
C
dI
dt
VL  LI 0cost VL  LI 0  sen t 
 Idt VC 
I0
 cos t  VC  I 0 sen t
C
C
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Circuitos Resistivos
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
L
VT
I
R
α
=0º
V0
C
XL=XC
V  V0 sen f t
V0L
I  I 0 sen f t   
I0
α
=0º
I0
0
π
2π
V0R
V0T
ωt
ωt
V0C
La intensidad de corriente a través del
circuito está en fase con la tensión.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Circuitos Inductivos
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
L
VT
I
R
α (+)
V0
C
XL>XC
α (+)
V  V0 sen f t
V0L
I  I 0 sen f t   
I0
V0T
+α
0
V0R
I0 ωt
π
2π
ωt
V0C
La intensidad de corriente a través del
circuito está retrasada (+α) con la tensión.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Circuitos Capacitivos
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
L
VT
I
R
α (-)
V0
C
XL < XC
α (-)
V  V0 sen f t
I  I 0 sen f t   
I0
V0L
0
π
2π
ωt
I0
-α
V0R
ωt
V0C - V0L
V0T
V0C
La intensidad de corriente a través del
circuito está adelantada (-α) con la tensión.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ
De la Corriente y laTensión
VALOR MEDIO: Se llama valor medio de una tensión (o corriente) alterna a la media
aritmética de todos los valores instantáneos medidos en un intervalo de tiempo.
En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un período es nulo: en
efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Vm = 0 en cambio,
durante medio periodo, el valor medio siendo V0 el valor máximo será:
2V
Vm 

0
VALOR EFICAZ: Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría
una corriente continua que produjera la misma potencia que la corriente alterna, al
aplicarla sobre una misma resistencia.
Conocido el valor máximo I0 de una corriente, se aplica a una resistencia y se mide la
potencia. Se busca un valor de corriente continua que produzca la misma potencia
sobre la resistencia. A este se le llama valor eficaz de corriente (la alterna).
I
I ef 
Para una señal sinusoidal, el valor eficaz de la tensión es:
Vef 
La potencia eficaz resultará ser la mitad de la potencia máxima
0
2
V0
2
Pef  Vef I ef 
La tensión o la potencia eficaz, se nombran muchas veces por las letras RMS.
Decir 10 VRMS ó 15 WRMS significarán 10 voltios eficaces ó 15 watios eficaces,
V0 I 0 V0 I 0

2
2 2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Frecuencia de Resonancia
Existe un caso especial en un circuito serie RLC. Éste se produce cuando XC=XL y por lo tanto X=0. En
un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se podrá dar y ello ocurre a una frecuencia muy
determinada (recordemos la dependencia de XC y XL respecto de la frecuencia f de la tensión de
alimentación). Cuando tal ocurre decimos que el circuito está en resonancia, y la frecuencia para la que
ello ocurre se llamará frecuencia de resonancia. Igualando XC y XL podremos conocer su valor:
X L  XC
1
C
1

LC
  2
L 


2
En el grafico se representa el valor del módulo de la corriente que recorre el circuito según la frecuencia
de la tensión de alimentación. Calculando la frecuencia de resonancia se observa que su máximo
corresponde a 5033Hz. Para frecuencia inferiores y superiores a la de resonancia el valor de la corriente
será menor, ya que sólo para la frecuencia de resonancia la diferencia de reactancias será cero.
Para frecuencias inferiores a la de resonancia predomina la reactancia capacitiva, siendo la inductiva la
que predomina para frecuencias superiores a la misma.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Consideremos dos circuitos. Si por el primero circula
una intensidad I1 se genera un campo magnético que
es proporcional a I1, observándose en el segundo
circuito un flujo magnético Φ2 . M= coeficiente de
inductancia mutua.
Φ2  MI1
Análogamente, si por el segundo circuito circula una
corriente I2 se genera un campo magnético
proporcional a I2 que produce en el primero un flujo
magnético Φ1.
Φ  MI
1
2
Si I1 es variable, Φ2 también lo es, induciéndose una
fem en el segundo circuito. El fenómeno se repite para
el primero.
VM 2   M dI1 dt
Aplicando la Ley de Ohm, operando y
ordenando se tiene:
RI  V  V  V
1
L1
C1
M1
VL1   L1 dI1 dt VC1   q1 C1 I1  dq1 dt
VM1   M dI 2 dt
d 2 I1
dI1 1
Md 2 I 2
L1 2  R1

I1  
dt
dt C1
dt 2
d 2 I2
dI 2
1
Md 2 I1
L2 2  R2

I2  
dt
dt C2
dt 2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Al cerrar el interruptor S, aparece un campo
β1 debido a la corriente I1 que circula por el
bobinado.
El cambio de flujo genera una corriente
inducida I2 que a su vez origina un campo
β2 para oponerse a ese cambio.
Este hecho es conocido como fenómeno
de inducción mutua.
La fem puede determinarse aplicando el
segundo termino de la Ley de FaradayHenry: Vε = - dΦβ/dt para lo que habrá que
definir el flujo mutuo del dispositivo
magnético.
2  MI1 1  MI 2
VM1
dI
dI
  M 2 VM 2   M 1
dt
dt
INDUCCION MUTUA
A
R
B
β1
β1
I1
I2
β2
S
Donde I1 es la corriente que
desencadena el fenómeno I2 la
de inducción y M el coeficiente
de inductancia mutua.
M medido en Henrio [H] es un coeficiente
que depende de las formas de ambos
circuitos y de sus orientaciones relativas
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Ejemplo: Un solenoide largo y estrecho, de espiras apretadas, está
dentro de otro solenoide de igual longitud y espiras apretadas, pero de
mayor radio. Calcula la inducción mutua de los dos solenoides.
l
r2
r1
N1
N2
M 12  M 21  M  0n1n2l r12
Para calcular la inducción mutua entre dos conductores, basta con suponer que por
uno de ellos circula una corriente I y calcular el flujo de campo magnético a través
del otro conductor. El cociente entre el flujo y la corriente es la inducción mutua.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Un transformador es un dispositivo utilizado para
aumentar o disminuir el voltaje en un circuito sin
pérdida apreciable de potencia. Consta de dos
bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.
El flujo que atraviesa cada espira en ambos
arrollamientos es el mismo, luego las tensiones
que aparecen serán:
d
V1  N1
dt
V2  N 2
N1
V1
d
dt
Transformador
Elevador
Comparando las
dos ecuaciones
V2 
N2
V1
N1
N2
Transformador
Reductor
Primario
Secundario
N2  N1
 V2 V1
N2  N1
 V2 V1
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Principio de Conservación de la carga
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Consideremos una superficie cerrada S con una carga q neta dentro de ella. Como las cargas libres
se están moviendo a través de la superficie, pueden haber mas cargas salientes que entrantes
originando una disminución de carga neta encerrada en S o bien en otro momento ocurrir todo lo
contrario. Si los flujos de cargas entrantes y salientes son iguales, la carga neta dentro de la
superficie permanece constante. El Principio de Conservación exige que:
uN
S
q
dS
j
Pérdida de carga = flujo de carga saliente - flujo de carga entrante
Pérdida de carga = flujo neto de carga saliente.
La pérdida de carga dentro de
la superficie S es:
dq

dt
(1)
La carga neta saliente por unidad

de tiempo es:
I   j .uN dS (2)
S

dq

 j .uN dS
dt S

d 
dq
d 
  0  E.uN dS   0  E.uN dS   j .uN dS
S
dt S
dt
dt S
Igualando (1) y (2) se obtiene el
Principio de Conservación
Aplicando Gauss,
derivando y operando:
q  0 
S

E.uN dS
Conservación en
campos variables.
Conservación en
campos estacionarios.

d 
S j .uN dS   0 dt S E.uN dS  0

S

j .uN dS  0
d 
E  f t    E.uN dS  0
dt S
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
LEY DE AMPERE-MAXWELL
La Ley de Faraday-Henry establece una relación entre β y E en una región del
espacio. Ello sugiere que debiera existir una relación análoga que vincule la
circulación de β con la derivada con respecto al tiempo del flujo de E en el
mismo lugar.

  d
 E.dl
L

 .u

dt
S
N
dS
(1)
La Ley de Ampere vincula la circulación de β con el flujo de la densidad de
corriente j es decir I, pero no aparece ninguna derivada con respecto al
 

tiempo en la ecuacción:
  .dl   
L
0
S
j .uN dS
( 2)
Es de esperarse que la Ley de Ampere no contenga ninguna derivada con
respecto al tiempo precisamente porque se la obtuvo en condiciones
estacionarias.
Tal como se expresa en el segundo termino de la Ley de Ampere de la
ecuación (2) el flujo se evalúa a través una superficie abierta S limitada por
una curva L, siendo la superficie totalmente arbitraria.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
S
LEY DE AMPERE-MAXWELL
S
L
S
En la figura se tiene una superficie abierta limitada por una curva. Si la curva L se
encoge, la circulación de β disminuye, y se anula cuando L se convierte en un punto,
justamente cuando la superficie S se transforma en cerrada.

La ley de Ampere exige que si la superficie es cerrada el flujo será:
j .u dS  0

S
Esto concuerda con el principio de conservación para campos
estacionarios pero para campos dependientes del tiempo la
ecuación correcta será:

d 
S j .uN dS   0 dt S E.uN dS  0
N
(3)
S
Reemplazando
(3) en la ecuación de Ampere (2) se tiene la Ecuación de Apere-Maxwell:
 

d 

.
d
l


j
.
u
dS



E.uN dS
0
N
0 0
L

S
S
dt
 
d 

.
d
l


I



E.uN dS
0
0 0
L

S
dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
ECUACIONES DE MAXWELL
LEY
Ley de Gauss para el
Campo Eléctrico
Ley de Gauss para el
Campo Magnético
Ley de Faraday-Henry
Ley de Ampere-Maxwell
FORMA INTEGRAL


q
E .uN dS 


 .uN dS  0
S
S
0
 

d
LE.dl   dt S  .uN dS
 
d 
L  .dl  0 I  0 0 dt S E.uN dS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Dependientes del Tiempo
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
[1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004) Física
Universitaria. Volumen 2.. México.
[2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de Física II.
Editorial Aguilar. Madrid.
[3] ALONSO, M. y FINN, E. (1970) Física. Vol II: Campos y ondas. Fondo
Educativo Interamericano. U.S.A.
[4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico.
[5] FISICA II. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM.