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Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Objetivo general: Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas, como solución de ejercicios y problemas provenientes de la cultura cotidiana y sistematizada. Cuatro formas de resolver ecuaciones trigonométricas son: a) b) c) d) despejando factorizando escribiendo la ecuación en términos de una sola función trigonométrica y elevando “a la dos” cada miembro de la ecuación. Concepto de ecuación En este documento se asume como ecuación toda igualdad válida para un subconjunto de los números reales. En contraposición, la identidad es una igualdad que todo número real satisface. Ecuación trigonométrica Por extensión una ecuación trigonométrica es una igualdad donde intervienen funciones trigonométricas, válida sólo para un subconjunto de números reales. Solución de una ecuación trigonométrica En el planteamiento de un ejercicio de ecuaciones trigonométricas debe indicarse en cuál conjunto se debe resolver. Es usual solicitar las soluciones en el intervalo 0 ; 360º . Cuando se quieren las soluciones en radianes, el intervalo se escribe como: 0 ; 2 . Si no se indica el conjunto donde se debe resolver, entonces se asume el conjunto de números reales. En este documento se darán las respuestas en grados, si se desea su equivalente en radianes se toma la solución y se multiplica por y para la solución general se agrega 2 • k • , donde k es un número 180º entero. Toda ecuación trigonométrica con una solución en el conjunto de números reales, posee una cantidad infinita de soluciones. A una solución en el intervalo 0º ; 360º o sea en 0 ; 2 , se le suma o resta 360º o bien 2, cualquier número de veces para obtener una nueva solución. Además se debe buscar si existe otra solución en el intervalo 0º ; 360º . Ejemplo: sen x 3 2 . Si no se conoce esta solución, se usa la calculadora científica1: 3 Después de verificar que la calculadora esté en el modo de grados (degree, en inglés 2), se introduce el valor 1 3 en la calculadora y se presiona INV, ARC, shift o f y luego sen o sin . Y recibimos la solución 60º. 2 Se sabe que una solución es 60º o sea Con la solución 60º, se procede a determinar las otras soluciones: 1 2 La explicación es para el uso de calculadora tradicional, pues es la más usada en nuestros colegios públicos. A veces los alumnos se confunden con la abreviatura Grad y la usan en lugar de “Deg”, la cual es la correcta. 1 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” Por los conocimientos en el círculo trigonométrico, sabemos que la función seno es positiva en el I y II 3 cuadrante, por lo tanto sen x tiene otra solución en 0º ; 360º y es 2 180º – 60º = 120º ( más adelante aparecen otros ejemplos aclaratorios de cómo determinar este otro ángulo). Todas las soluciones de la ecuación se obtienen de sumar o restar k veces 360º a cada solución hallada en 0º ; 360º . 3 , en el conjunto de números reales, son: 2 x = 60º 360º k y x = 120º 360º k donde k es un número entero. Las soluciones de sen x Así por ejemplo, además de 60º y 120º, son también solución los siguientes ángulos: x 60 360 5 1860 x 60 360 3 1120 x 120 360 480 x 120 360 240 Procedimientos de solución I. Despejando. 1) 3 tan w + 3 =0 3 tan w = - 3 tan w = 3 3 Una solución puede obtenerse con la calculadora: –30º Se sabe que la función tangente es negativa en los cuadrantes II y IV. –30º está en el IV cuadrante. ¿Cuál será el ángulo en el segundo cuadrante 2 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 que cumple tan w = 3 ? 3 ? 30º -30º -30º Entre el ángulo buscado y el eje x negativo hay 30º, porque entre –30º y el eje x se forma un ángulo agudo de 30º. Entonces la solución en el 2º cuadrante es igual a 180º – 30º = 150º.(por ángulo de referencia) Las soluciones de la ecuación son: Una w 330 360 k y otra w 150 360 k En 0º donde k es un número entero. ; 360º , se reportan w = 150º y w = –30º + 360º = 330º. S 150 , 330 en 0º ; 360º 2) 2 cos y 1 1 2 Una solución, hallada con la calculadora es 60º. La función coseno es positiva en los cuadrantes I y IV. 60º está en el primer cuadrante. ¿Cuál será la solución en el cuarto cuadrante? cos y Entre la solución dada por la calculadora y el eje x se forma un ángulo agudo de 60º, entonces con la otra solución ocurre lo mismo. (por ángulo de referencia) ? 60º 60º ¿Cuál es el ángulo en el IV cuadrante que forma un ángulo agudo de 60º con el eje x? Una “vuelta completa” es 360º entonces el valor buscado es 360º – 60º = 300º..(por ángulo de referencia) 3 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” Todas las soluciones son: y 60 360 k , y 300 360 k donde k es un número entero. 3) 2 sen a 3 0 2 sen a 3 sen a 3 2 Con la calculadora se determina una solución, a = –60º. ? -60º 60º La función seno es negativa en los cuadrantes III y IV. El ángulo en el tercer cuadrante debe formar un ángulo agudo con el eje x de exactamente 60º. Observe que para hacer el ángulo buscado se da media vuelta (180º), y luego se agrega el ángulo agudo 60º entre el eje x y el ángulo incógnita. .(por ángulo de referencia) Por lo tanto: otra solución es a = 180º + 60º = 240º. Todas las soluciones son: a 300 360 k y también a 240 360 k donde k es un número entero. Si se desean sólo las soluciones en el intervalo 0º ; 360º , la respuesta es: a 240 y a 60 360 300 S 240 , 300 4) sen w 1 La calculadora indica como solución w 90 La representación de esta solución está a la derecha. En el intervalo 0º -90º ; 360º esta es la única solución. Y la solución general es w 90 360 k , donde k es un número entero. 5) 2 cos 2 x 0 8 cos 2 x 2 cos2 x 1 1 1 cos x 4 2 4 Con la calculadora se obtiene x = 60º para cos x 1 1 y 120º para cos x 2 2 4 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 Las otras dos soluciones son: cos x = 0,5 cos x = -0,5 120º 60º ? ? 60º 60º x 360 60 300 Las soluciones en 0º ; 360º x 180 60 240 son: 60º; 120º; 240º y 300º. La solución general es: x = 60º 360º k ; x = 120º 360º k; x = 240º 360º k y x = 300º 360º k; donde k es un número entero. II. Por factorización. Primero se iguala a cero, luego se factoriza. Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada nueva ecuación. 6) cosa 2 cosa sen a cosa 2 cosa sen a 0 cos a 1 2 sen a 0 igualando a cero cos a 0 1 2 sen a 0 Al igualar el primer factor a cero se obtiene cos a 0 a 90 360 k factor común se iguala cada factor a cero El segundo factor se iguala a cero 1 2 sen a 0 2 sen a 1 1 sen a 2 a 330 360 k a 210 360 k La otra solución es a = 180º – 30º = 150º ? 30º 30º La ecuación cosa 2 cosa sen a tiene como solución general : a 90 360 k , a 330 360 k , a 210 360 k donde k representa un número entero. 5 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” 7) 2 sen x sen x 1 2 2 sen 2 x sen x 1 0 Igualando a cero 2 sen x 1 sen x 1 0 factorización por inspección Un producto es igual a cero si alguno de los factores es igual a cero. 1 2 Segundo factor sen x 1 0 sen x 1 Entonces: primer factor 2 sen x 1 0 sen x 1 , se obtiene en la calculadora x 30 , al buscar la solución en el tercer cuadrante se obtiene 2 x = 210º y en el IV cuadrante se obtiene x 330 De sen x 1 se obtiene en la calculadora x 90 cuya solución es 90° en sen x La solución general es: x 210 360 k , x 330 360 k x 90 360 k con k un número entero. 8) tan 2 w 2 tan w 1 0 tan w 1 0 Factorización por fórmula notable Una potencia es igual a 0 si la base es cero tan w 1 0 tan w 1 2 Con la calculadora se encuentra la solución w 45 Como la tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante, existe un ángulo w en el 2º cuadrante que satisface tan w 1 El ángulo de referencia para – 45º es también ángulo de referencia para este ángulo w del 2º cuadrante. El ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el eje x y el ángulo en cuestión, en este caso, 45º. La solución que buscamos está en el 2º cuadrante y forma con x un ángulo de 45º, ¿cuál es? _______. Las soluciones en el intervalo 0º ; 360º son: w = – 45º + 360º = 315º y w = 180º – 45º = 135º. ? 45º La solución general se puede denotar como: w = 135º 360º k y w = 315º 360º k ; donde k es un número entero. 6 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” III. Se escribe la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Cuando aparecen dos o más funciones trigonométricas se escribe la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, usando identidades trigonométricas o realizando algún cambio que no disminuya su número de soluciones. 3 (1 sen x ) 9) cos 2 x 2 3 1 sen x Por la identidad sen 2 x cos 2 x 1 1 sen 2 x 2 3 1 sen x 1 sen 2 x 2 2 1 sen 2 x 3 1 sen x 2 2 sen x 3 3 sen x 2 2 sen 2 x 3 sen x 1 0 2 sen x 1 sen x 1 0 factorizando por inspección De ahí se tienen dos nuevas ecuaciones, a saber: 1 2 sen x 1 sen x x 30 2 sen x 1 0 sen x 1 x 90 1 Buscando otras soluciones para sen x , se halla x = 180º – 30º = 150º. 2 En 0º ; 360º la solución de la ecuación original es: x = 90º; x = 150º y x = 30º. ¿Cuál es la solución general? ______________________________________ 10) tan 2 w 3 2 sec2 w Por la indentidad tan 2 w 1 sec2 w se sustituye en la ecuación tan 2 w 3 2 tan 2 w 1 tan w 3 2 tan 2 w 2 tan 2 w 1 tan 2 w 1 resolviendo para “w” se obtiene tan w 1 En 0º ; 360º la solución es: w = 45º; w = 135º; w = 225º y w = 315º Escriba la solución general en radianes: ______________________________ 2 IV. Se eleva a la dos cada miembro de la ecuación. Cuando se recurra a este procedimiento se deben comprobar las soluciones, pues de este procedimiento se obtendrán más soluciones de las que en realidad hay. 11) sen x cos x La ecuación no se puede despejar ni factorizar. Si se escribe en términos de una sola función, se introducen radicales, los cuales hacen más complicada la solución, por lo tanto se eleva a la dos a ambos lados: 7 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” sen 2 x cos2 x 1 cos2 x cos2 x 2 cos2 x 1 cos2 x resolviendo para x se tiene cos x 1 2 1 2 x 45 ,135 , 225 , 315 Al realizar la comprobación, se descartan x = 135º y x = 315º. Indique la solución general: _______________________________________ Actividad Resuelva las siguientes ecuaciones: 1. 1 tanw sec w 5. 2 tan 2 x sec2 x 2 2. 4 sen 2 t 8 sen t 3 6. csc2 w 2 cot 2 w 3. sen x cos x 0 7. 2 cos y cot y 4. sen x cos x 1 8. cos t 3 sen t 1 Respuesta: 1. 0 360 k , donde k Z , se descarta 180º 2. 30 360 k , 150 360 k , donde k Z 3. 0 360 k , 90 360 k , 180 360 k , 270 360 k. donde k Z 4. 0 360 k , 90 360 k , donde k Z , se descartan 180° y 270° 5 7 11 5. 2 k , 2 k , 2 k , 2 k para k Z 6 6 6 6 3 5 7 6. 2 k , 2 k , 2 k , 2 k para k Z 4 4 4 4 5 3 7. 2 k , 2 k , 2 k , 2 k para k Z 6 2 6 2 4 5 8. 0 2 k , 2 k , 2 k , 2 k para k Z 3 3 8 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” Resolver los ejercicios de ecuaciones trigonométricas 1.El conjunto solución de 1 csc x csc tal que x 0 , 2 a) corresponde a 5 , 6 6 2 c) , 3 3 7 11 d) , 6 6 2.Las soluciones en b) 0 , 2 de la ecuación 1 2 sen 0 corresponden a 3 4 4 3 5 b) y 4 4 5 7 c) y 4 4 3 7 d) y 4 4 3.El conjunto solución de 2 tan x tan x 3 , con x 0 , 2 a) y 5 , 3 3 4 b) , 3 3 2 4 , c) 3 3 2 5 , d) 3 3 4. El conjunto solución de cos x 1 sen x 0 con x 0 , 2 a) 0 , es igual a es igual a a) b) c) d) 0, 2 3 , 2 3 , 2 2 9 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” 5. El conjunto solución de 2 sen x cos x sen x con x 0 , 2 es igual a 5 a) , 3 3 2 b) 0 , , 3 3 5 c) 0 , , , 3 3 2 4 5 d) , , , 3 3 3 3 6. Las soluciones de 5 3 tan 6 en el intervalo 0 , 2 corresponden a 4 a) y 3 3 7 b) y 6 6 2 5 c) y 3 3 5 11 d) y 6 6 7. Las soluciones de 6 3 tan 5 en el intervalo 0 , 2 corresponden a 4 a) y 3 3 7 b) y 6 6 2 5 c) y 3 3 5 11 d) y 6 6 8. El conjunto de soluciones de 1 2 cos x sen x 0 con x 0 , 2 es igual a a) 0 , 3 5 b) , 3 c) 0 , , 3 5 d) 0 , , , 3 3 10 Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3 “La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti” 9. El conjunto solución de csc x 2 cot x con x 0 , 2 es igual a a) 4 3 b) 4 7 c) , 4 4 3 7 d) , 4 4 10. Dos soluciones de la ecuación sen 2 x sen x 0 si x 0 , 2 corresponden a a) y 2 3 b) y 2 3 c) y 2 2 3 d) y 4 4 11. El conjunto solución de 2 cos x 3 sec x 2 0 con x 0 , 2 es igual a a) , 6 3 5 b) , , 6 3 3 11 , c) , 6 3 6 11 5 , , d) , 6 3 3 6 12. Dos soluciones de 4 tan 2 x 3 sec2 x con x 0 , 2 corresponden a 5 a) y 3 6 5 b) y 3 3 7 c) y 6 6 2 d) y 6 3 Resp: 1. ( a ), 2. ( c ), 3. ( d ), 4. ( d ), 5. ( c ), 6. ( b ) 7. ( d ), 8. ( d ), 9. ( c ), 10. ( b ), 11. ( d ), 12. ( b ) 11