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Materia II examen Parcial del III Trimestre para la sección 11-3
“La mejor sección del Colegio Nocturno Jose Marti”
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivo general: Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas, como solución de ejercicios y problemas
provenientes de la cultura cotidiana y sistematizada.
Cuatro formas de resolver ecuaciones trigonométricas son:
a)
b)
c)
d)
despejando
factorizando
escribiendo la ecuación en términos de una sola función trigonométrica y
elevando “a la dos” cada miembro de la ecuación.
Concepto de ecuación
En este documento se asume como ecuación toda igualdad válida para un subconjunto de los números reales.
En contraposición, la identidad es una igualdad que todo número real satisface.
Ecuación trigonométrica
Por extensión una ecuación trigonométrica es una igualdad donde intervienen funciones trigonométricas,
válida sólo para un subconjunto de números reales.
Solución de una ecuación trigonométrica
En el planteamiento de un ejercicio de ecuaciones trigonométricas debe indicarse en cuál conjunto se debe
resolver. Es usual solicitar las soluciones en el intervalo  0 ; 360º  .
Cuando se quieren las soluciones en radianes, el intervalo se escribe como:  0 ; 2  . Si no se indica el
conjunto donde se debe resolver, entonces se asume el conjunto de números reales.
En este documento se darán las respuestas en grados, si se desea su equivalente en radianes se toma la

solución y se multiplica por
y para la solución general se agrega  2 • k •  , donde k es un número
180º
entero.
Toda ecuación trigonométrica con una solución en el conjunto de números reales, posee una cantidad infinita
de soluciones. A una solución en el intervalo  0º ; 360º  o sea en  0 ; 2  , se le suma o resta 360º o
bien 2, cualquier número de veces para obtener una nueva solución.
Además se debe buscar si existe otra solución en el intervalo  0º ; 360º  .
Ejemplo:
sen x 
3
2

. Si no se conoce esta solución, se usa la calculadora científica1:
3
Después de verificar que la calculadora esté en el modo de grados (degree, en inglés 2), se introduce el valor
1
3
en la calculadora y se presiona INV, ARC, shift o f y luego sen o sin . Y recibimos la solución 60º.
2
Se sabe que una solución es 60º o sea
Con la solución 60º, se procede a determinar las otras soluciones:
1
2
La explicación es para el uso de calculadora tradicional, pues es la más usada en nuestros colegios públicos.
A veces los alumnos se confunden con la abreviatura Grad y la usan en lugar de “Deg”, la cual es la correcta.
1
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Por los conocimientos en el círculo trigonométrico, sabemos que la función seno es positiva en el I y II
3
cuadrante, por lo tanto sen x 
tiene otra solución en  0º ; 360º  y es
2
180º – 60º = 120º
( más adelante aparecen otros ejemplos aclaratorios de cómo determinar este otro ángulo).
Todas las soluciones de la ecuación se obtienen de sumar o restar k veces 360º a cada solución hallada en
 0º ; 360º  .
3
, en el conjunto de números reales, son:
2
x = 60º  360º k y x = 120º  360º k donde k es un número entero.
Las soluciones de sen x 
Así por ejemplo, además de 60º y 120º, son también solución los siguientes ángulos:
x  60  360  5  1860
x  60  360  3  1120
x  120  360  480
x  120  360   240
Procedimientos de solución
I. Despejando.
1) 3 tan w +
3 =0
 3 tan w = - 3
 tan w =
 3
3
Una solución puede obtenerse con la
calculadora: –30º
Se sabe que la función tangente es negativa
en los cuadrantes II y IV.
–30º está en el IV cuadrante.
¿Cuál será el ángulo en el segundo cuadrante
2
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que
cumple
tan
w
=
 3
?
3
?
30º
-30º
-30º
Entre el ángulo buscado y el eje x negativo hay 30º, porque entre –30º y el eje x se forma un ángulo agudo de
30º.
Entonces la solución en el 2º cuadrante es igual a 180º – 30º = 150º.(por ángulo de referencia)
Las soluciones de la ecuación son:
Una w  330  360  k y otra w  150  360  k
En
 0º
donde k es un número entero.
; 360º  , se reportan w = 150º y w = –30º + 360º = 330º.
S   150  , 330 
 en  0º
; 360º

2) 2  cos y  1
1
2
Una solución, hallada con la calculadora es 60º.
La función coseno es positiva en los cuadrantes I y IV.
60º está en el primer cuadrante.
¿Cuál será la solución en el cuarto
cuadrante?
 cos y 
Entre la solución dada por la calculadora y el
eje x se forma un ángulo agudo de 60º,
entonces con la otra solución ocurre lo
mismo. (por ángulo de referencia)
?
60º
60º
¿Cuál es el ángulo en el IV cuadrante que
forma un ángulo agudo de 60º con el eje x?
Una “vuelta completa” es 360º entonces el valor buscado es 360º – 60º = 300º..(por ángulo de referencia)
3
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Todas las soluciones son:
y  60  360  k , y  300  360  k donde k es un número entero.
3) 2 sen a  3  0
2 sen a   3
 sen a 
 3
2
Con la calculadora se determina una
solución, a = –60º.
?
-60º
60º
La función seno es negativa en los
cuadrantes III y IV.
El ángulo en el tercer cuadrante debe formar
un ángulo agudo con el eje x de exactamente
60º.
Observe que para hacer el ángulo buscado se da media vuelta (180º), y luego se agrega el ángulo agudo 60º
entre el eje x y el ángulo incógnita. .(por ángulo de referencia)
Por lo tanto: otra solución es a = 180º + 60º = 240º.
Todas las soluciones son:
a  300  360  k y también a  240  360  k donde k es un número entero.
Si se desean sólo las soluciones en el intervalo  0º ; 360º  , la respuesta es:
a  240 y a   60  360  300  S   240  , 300 

4) sen w   1
La calculadora indica como solución w   90
La representación de esta solución está a la derecha.
En el intervalo
 0º
-90º
; 360º  esta es la única solución.
Y la solución general es w   90  360  k , donde k es un número entero.
5) 2  cos 2 x  0
 8 cos 2 x   2
cos2 x 
1
1
1

 cos x  
4
2
4
Con la calculadora se obtiene x = 60º para cos x 
1
1
y 120º para cos x 
2
2
4
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Las otras dos soluciones son:
cos x = 0,5
cos x = -0,5
120º
60º
?
?
60º
60º
x  360  60  300
Las soluciones en
 0º
; 360º
x  180  60  240
 son: 60º; 120º; 240º y 300º.
La solución general es:
x = 60º  360º k ; x = 120º  360º k; x = 240º  360º k y x = 300º  360º k;
donde k es un número entero.
II. Por factorización.
Primero se iguala a cero, luego se factoriza. Cada factor se iguala a cero y se resuelve cada nueva ecuación.
6) cosa   2 cosa  sen a
 cosa  2 cosa  sen a  0
cos a   1 2 sen a   0
igualando a cero
cos a  0

1  2 sen a  0
Al igualar el primer factor a cero se obtiene
 cos a  0  a  90  360  k
factor común
se iguala cada factor a cero
El segundo factor se iguala a cero
 1  2 sen a  0  2 sen a   1
1
 sen a 
2
 a  330   360   k
 a  210   360   k
La otra solución es a = 180º – 30º = 150º
?
30º
30º
La ecuación cosa   2 cosa  sen a tiene como solución general :
a  90  360  k , a  330  360  k , a  210  360  k
donde k representa un número entero.
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7) 2 sen x  sen x  1
2
 2 sen 2 x  sen x  1  0 Igualando a cero
  2 sen x 1    sen x 1   0
factorización por inspección
Un producto es igual a cero si alguno de los factores es igual a cero.
1
2
Segundo factor sen x  1  0  sen x  1
Entonces: primer factor 2 sen x  1  0  sen x 
1
, se obtiene en la calculadora x   30 , al buscar la solución en el tercer cuadrante se obtiene
2
x = 210º y en el IV cuadrante se obtiene x  330
De sen x  1 se obtiene en la calculadora x  90 cuya solución es 90°
en sen x 
La solución general es:
x  210  360  k , x  330  360  k
x  90  360  k con k un número entero.
8) tan 2 w  2 tan w  1  0
  tan w  1   0 Factorización por fórmula notable
 Una potencia es igual a 0 si la base es cero
 tan w  1 0  tan w   1
2
Con la calculadora se encuentra la solución w   45
Como la tangente es negativa en el 2º y en el 4º cuadrante, existe un ángulo w en el 2º cuadrante que satisface
tan w   1
El ángulo de referencia para – 45º es también ángulo de referencia para este ángulo w del 2º cuadrante. El
ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el eje x y el ángulo en cuestión, en este caso, 45º.
La solución que buscamos está en el 2º cuadrante
y forma con x un ángulo de 45º, ¿cuál es? _______.
Las soluciones en el intervalo  0º ; 360º  son:
w = – 45º + 360º = 315º y w = 180º – 45º = 135º.
?
45º
La solución general se puede denotar como:
w = 135º  360º k y w = 315º  360º k ; donde k es un número entero.
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III. Se escribe la ecuación en términos de una sola función trigonométrica.
Cuando aparecen dos o más funciones trigonométricas se escribe la ecuación en términos de una sola función
trigonométrica, usando identidades trigonométricas o realizando algún cambio que no disminuya su número
de soluciones.
3 (1  sen x )
9) cos 2 x 
2
3   1  sen x 
Por la identidad sen 2 x  cos 2 x  1
1  sen 2 x 
2

3

1

sen x 
1  sen 2 x 
2
 2  1  sen 2 x  3   1  sen x 


 2  2 sen x  3  3 sen x
2
  2 sen 2 x  3 sen x  1  0
   2 sen x  1    sen x  1   0 factorizando por inspección
De ahí se tienen dos nuevas ecuaciones, a saber:
1
 2 sen x   1  sen x 
 x  30
2
sen x  1  0  sen x  1  x  90
1
Buscando otras soluciones para sen x  , se halla x = 180º – 30º = 150º.
2
En  0º ; 360º  la solución de la ecuación original es:
x = 90º; x = 150º y x = 30º.
¿Cuál es la solución general? ______________________________________
10) tan 2 w  3  2  sec2 w
Por la indentidad tan 2 w  1  sec2 w se sustituye en la ecuación

tan 2 w  3  2  tan 2 w  1

 tan w  3  2  tan 2 w  2   tan 2 w   1  tan 2 w  1
 resolviendo para “w” se obtiene tan w  1
En  0º ; 360º  la solución es: w = 45º; w = 135º; w = 225º y w = 315º
Escriba la solución general en radianes: ______________________________
2
IV. Se eleva a la dos cada miembro de la ecuación.
Cuando se recurra a este procedimiento se deben comprobar las soluciones, pues de este procedimiento se
obtendrán más soluciones de las que en realidad hay.
11) sen x  cos x
La ecuación no se puede despejar ni factorizar. Si se escribe en términos de una sola función, se introducen
radicales, los cuales hacen más complicada la solución, por lo tanto se eleva a la dos a ambos lados:
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sen 2 x  cos2 x  1  cos2 x  cos2 x  2  cos2 x  1  cos2 x 
resolviendo para x se tiene cos x  
1
2
1
2
 x  45 ,135 , 225 , 315 
Al realizar la comprobación, se descartan x = 135º y x = 315º.
Indique la solución general: _______________________________________
Actividad
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1.
1  tanw  sec w
5.
2 tan 2 x  sec2 x  2
2.
4  sen 2 t  8  sen t   3
6.
csc2 w  2  cot 2 w
3.
sen x  cos x  0
7.
2  cos y  cot y
4.
sen x  cos x  1
8.
cos t 
3  sen t  1
Respuesta:
1.
0  360  k , donde k  Z , se descarta 180º
2.
30  360  k , 150  360  k , donde k Z
3.
0  360  k , 90  360  k , 180  360  k , 270  360  k. donde k Z
4.
0  360  k , 90  360  k , donde k Z , se descartan 180° y 270°

5
7
11
5.
 2 k ,
 2 k ,
 2 k ,
 2 k para k  Z
6
6
6
6

3
5
7
6.
 2 k ,
 2 k ,
 2 k ,
 2 k para k  Z
4
4
4
4


5
3
7.
 2 k ,  2 k ,
 2 k ,
 2 k para k  Z
6
2
6
2
4
5
8.
0  2 k ,   2 k ,
 2 k ,
 2 k para k  Z
3
3
8
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Resolver los ejercicios de ecuaciones trigonométricas
1.El conjunto solución de 1 csc x   csc tal que x  0 , 2 

a)
corresponde a

  5 
 ,

 6 6 
  2 
c)  ,

 3 3 
 7 11 
d) 
,

6 
 6
2.Las soluciones en
b)
 0 , 2 
de la ecuación 1 
2 sen   0 corresponden a
3
4
4
3 5 
b)
y
4
4
5
7
c)
y
4
4
3
7
d)
y
4
4
3.El conjunto solución de 2 tan x  tan x  3 , con x   0 , 2
a)

y
  5 
 ,

 3 3 
  4 
b)  ,

 3 3 
 2 4 
,
c) 

 3 3 
 2 5 
,
d) 

 3 3 
4. El conjunto solución de cos x  1  sen x   0 con x   0 , 2
a)  0 ,  

es igual a

es igual a
a)
b)
c)
d)
  
 0, 
2 

3 

,

2 

  3 
 ,

 2 2 
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5. El conjunto solución de 2 sen x  cos x  sen x con x   0 , 2  es igual a
  5 
a)  ,

3 3 
  2 
b)  0 , ,

 3 3 
5 
 
c)  0 , ,  ,

3 
 3
  2 4 5 
d)  ,
,
,

3 3 3 3 
6. Las soluciones de 5  3  tan  6 en el intervalo  0 , 2   corresponden a
 4
a)
y
3 3
 7
b)
y
6 6
2 5
c)
y
3
3
5 11
d)
y
6
6
7. Las soluciones de 6  3  tan   5 en el intervalo  0 , 2   corresponden a
 4
a)
y
3 3
 7
b)
y
6 6
2 5
c)
y
3
3
5 11
d)
y
6
6
8. El conjunto de soluciones de  1  2 cos x  sen x  0 con x   0 , 2  es igual a
 

a)  0 , 
3 

5 

b)   ,

3 

 

c)  0 ,  ,

3 

 5 

d)  0 ,  , ,

3 3

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9. El conjunto solución de csc x  2  cot x con x   0 , 2  es igual a
 
a) 

 4 
 3 
b) 

 4 
  7 
c)  ,

 4 4 
 3 7 
d) 
,

4 
 4
10. Dos soluciones de la ecuación sen 2 x  sen x  0 si x   0 , 2  corresponden a

a)  y
2
3
b)  y
2

3
c)
y
2
2

3
d)
y
4
4
11. El conjunto solución de 2 cos x  3   sec x  2   0 con x   0 , 2  es igual a
  
a)  , 
 6 3 
   5 
b)  , ,

 6 3 3 
  11  
, 
c)  ,
6 3 
 6
  11  5 
, ,
d)  ,

6
3 3 
 6
12. Dos soluciones de 4 tan 2 x  3 sec2 x con x   0 , 2  corresponden a
 5
a)
y
3
6
 5
b)
y
3
3
 7
c)
y
6
6
 2
d)
y
6
3


Resp:
1. ( a ), 2. ( c ), 3. ( d ), 4. ( d ), 5. ( c ), 6. ( b )
7. ( d ), 8. ( d ), 9. ( c ), 10. ( b ), 11. ( d ), 12. ( b )
11