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ARITMÉTICA
UNIDAD 9
Numeración
Denominamos Numeración al capítulo de la Aritmética que estudia la correcta
formación, lectura y escritura de los números.
Número
Es la idea que tenemos sobre la cantidad de los elementos de la naturaleza.
Numeral
Es la representación figurativa del número mediante un conjunto de
símbolos.
Cifra (Dígito)
.c
om
Son los símbolos que convencionalmente utilizamos para escribir los numerales;
es decir:
em
at
ic
a1
0; 1; 2; 3; 4; ...
.M
at
SISTEMA DE NUMERACIÓN
w
w
w
Es el conjunto de normas, leyes, principios, reglas y convenios que nos permiten
la correcta formación, lectura y escritura de los números.
Base de un Sistema de Numeración
Es un número natural mayor que la unidad e indica la cantidad de cifras que se
emplean para escribir a todos los números en dicho sistema de numeración.
Observación
En un sistema de numeración de base «n»; con «n» unidades de cualquier
orden, se puede formar una unidad de orden inmediato superior.
En los sistemas mayores que la base 10, convencionalmente se ha establecido
lo siguiente:
La cifra 10 se denota por α o A
La cifra 11 se denota por β o B
La cifra 12 se denota por γ o C
U N F V – C E P R E V I
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ARITMÉTICA
Clasificación de los Principales Sistemas de Numeración
Base Sistema de
Numeración
Cifras o Dígitos
2Binario
3
Ternario
4
Cuaternario
5
Quinario
6
Senario
7
Heptanario
8
Octanario
9
Nonario
10
Decimal
11
Undecimal
0; 1
0; 1; 2
0; 1; 2; 3
0; 1; 2; 3; 4
0; 1; 2; 3; 4; 5
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
0; 1; 2; 3; 4, 5; 6; 7; 8; 9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α ; β ; γ

n
Enesimal
0; 1; 2; 3; .....................; (n – 1)
em
at
ic
a1
.c
om
Duodecimal
Trece-esimal

at
12
13

.M
Representación literal de un numeral
w
w
w
Consiste en representar a las cifras de un numeral por letras minúsculas,
teniendo en cuenta que toda expresión entre paréntesis representa una cifra.
Números de dos cifras:
ab = 10, 11, 12, ........, 99
En base 10:
En base 6:
ab = 10 , 11 , 12 , ......., 55
6
6
6
6
6
Consecutivas:
(n)(n + 1) : 12; 23; 34; ......
Números de tres cifras:
abc = 100, 101, ......., 999
En base 10:
En base 9:
a( a )(2a) :
2
80
abc = 100 , 101 , ........., 888
9
9
9
9
214; 428; ....
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ARITMÉTICA
Número Capicúa
Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales.
aba :
101; 323; 454; ...
abba :1001; 5885; ...
Aplicación:
Hallar un número de 3 cifras tal que la 1ra. sea los 3/5 de la 3ra. cifra, y la 2da.
cifra la semisuma de las otras 2.
Nº: abc
om
.c
a = 3

c = 5
a1
∴
b=4
abc = 345
ic
em
5a = 3c
at
a= 3c
5 a
b = +c
2 .M
at
Valor Absoluto y Valor Relativo de una cifra
w
w
w
Toda cifra en un numeral tiene dos valores: valor absoluto y valor relativo.
Descomposición Polinómica:
Es la suma de los valores relativos de un numeral.
VALOR ABSOLUTO. Es el valor que representa la cifra por su forma o
símbolo.
VALOR RELATIVO. Es el que adopta la cifra por su orden dentro del
numeral.
Valor Abs.: 2
Valor Abs.: 4
Valor Relat.: 40
Valor Relat.: 200
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ARITMÉTICA
Ejemplo:
5247 = 5000 + 200 + 40 + 7
= 5.103 + 2.102 + 4.101 + 7
3246 = 3.62 + 2.61 + 4
13579 = 1.93 + 3.92 + 5.91 + 7
En general:
abcden = axn4 + bxn3 + cxn2 + dxn1 + e
abc = 100 a + 10b + c
ab = 10a + b
om
APLICACIÓN
.M
at
em
at
ic
a1
.c
Hallar un número de 2 cifras que si es leído al revés, es el doble del número
que sigue al original.
= 2(10a + b + 1)
10b + a
= 20a + 2b + 2
2(4b – 1)
∴
82
w
10b + a
8b – 2
w
ba = 2( ab + 1 )
w
N = ab
= 19a
= 19 a
ab = 25
a = 2

b = 5
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DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA EN BLOQUE:
Ejemplo:
abab = abx10 2 + ab = 101ab
abab n = 101n.abn = (n2 + 1)abn
abcabc n = 1001n abc n = (n3 + 1).abc n
APLICACIÓN:
Si: abcd = 2.ab.cd
Hallar: a + b + c + d.
ab.10 2 + cd = 2.ab.cd
Descomponiendo en bloque:
y
4 ab = cd 
em
∴a + b + c + d = 1
ab = 13
at
ic
2 x ab - 1 = 25
at
cd = 52
.M
a1
.c
om
100 ab = 2.ab.cd - cd
25 . 4 . ab = cd (2 ab -1)
w
w
w
13
CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN:
1er CASO: De base «n» a base 10
Método: Descomposición Polinómica
Ejemplo:
Convertir 3421(5) a base 10
3
2
1
3421(5) = 3.5
1
+ 4.5
 + 2.5
+

375
100
11
3421(5) = 486
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83
ARITMÉTICA
2
do
CASO: De base 10 a base «n»
Método: Divisiones Sucesivas
Ejemplo:
Convertir 265 a base 5.
Se divide sucesivamente entre 5 formando el último cociente y los residuos
hallados.
∴ 265 = 2030 5
3er Caso: De base «m» a base «n» (n y m ≠ 10)
Método: Indirecto
om
I. El numeral en base «m» se convierte a base decimal.
a1
.c
II. Seguidamente el resultado se convierte a base «n».
at
ic
Ejemplo:
at
em
Convertir 4327 a base 9.
OBSERVACIONES:
219 9
3 24 9
62
w
II. 219 a base 9.
w
w
.M
I.4327 = 4.72 + 3.7 + 2 = 196 + 21 + 2 = 219
4327 = 2639
Las cifras empleadas en un sistema de numeración son siempre menores que
la base.
Ejemplo:
3a2b(8)
2c 08(n)
Siendo a y b < 8
Siendo c < n
Si un número se expresa en dos Sistemas distintos; en la representación:
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APLICACIÓN:
Si:
203(n) = 104(m) ; n < m
aob (8) = boa ; a > b
Bases Sucesivas
Condición: Que sean numerales de 2 cifras y que su primera cifra sea 1:
n + a + b + c +………. + z
APLICACIÓN:
Si los siguientes numerales están correctamente escritos:
31m( 4) ; 21n(m) ; pp0(n)
31m( 4) ; 21n(m) ; pp0 (n) om
.c
at
ic
a1
0<p<n<m<4
↓ ↓ ↓
1
2
em
m<4 ;n<m ;p<n ;p>0
3
at
Ordenando: ;
.M
; Hallar: m + n + p
APLICACIÓN (2):
w
w
w
Luego: m + n + p = 6
Hallar: a×b×n; si: a2b(9) = a72(n)
7 < n
; (Nº mayor
7 < n < 9
base menor): n < 9
n=8
Reemplazando: a2b 9 = a72 8
a . 92 + 2 . 91 + b = a . 82 + 7.81 + 2
81a + 18 + b = 64a + 58
17a + b = 40
a = 2

2 6
b = 6
Luego: a x b x n = 96
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ARITMÉTICA
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Al convertir el número 247 8 al
sistema decimal se obtiene un
número cuyo producto de cifras
es:
A) 40 B) 35 C) 46
D) 42 E) 50
9. Convertir el número: 1( n + 2)3n + 3 a
base «n + 2». dar como respuesta
la cifra de primer orden.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Hallar «n» si: 443(n) = 245(11)
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
10.Si aaa14 = ( n ) n10( a ) determinar
el valor de «a + n»
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
2
3.Si: a55( b ) = ( a − 1) aa ( 7 ) hallar
«a.b»
A) 20
B) 16
C) 15 D) 32
E) 24
"k"cifras
A) 49 B) 64
D) 100
E) 121
C) 81
ic
a1
.c
om
12.Si
w
w
w
.M
at
5. Si 1050(n) = 24 n hallar n2
A) 4
B) 9
C) 16
D) 36
E) 49
em
at
4. El mayor número de 3 cifras de la
base «n» se escribe en el sistema
senario como 2211. hallar «n»
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6
E) 16
2
11.Si 111
111


 (2) = 255 hallar «k »
6. Sabiendo que 1331 (n) = 260 (9).
convertir 43(n) al sistema decimal
y dar como respuesta la suma de
sus cifras.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
7.Si n0n = 12110 n hallar «n2»
A) 9 B) 16 C) 25
D) 36 E) 49
8.Si aba n = m1n 9 determinar el
valor de «b» sabiendo que m > 5
a) 3 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
86
hallar «n - a»
A) 6 B) 10
D) 15
E) 19
C) 13
13.Si mnmnmn ( 3) = mnn 0 ( 7 ) . hallar
(m + n)2.
A) 4
B) 9
C) 16
D) 25
E) 36
14.Si: 280 = aa 0 ( b ) hallar «a + b»
A) 10 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
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22.Si 2345(n) = 1442(n+1). hallar «n»
"k "cifras




A) 25 B) 36 C) 49
16
15.S i 777...7 (8) = 5 1 2
- 1
D) 16 E) 64
23.Sabiendo que:
2541 = 3a + 3b + 3c + 3d + 3e
hallar «a + b + c + d + e» a) 16
b) 17
c) 18
D) 19 E) 20
Determinar el valor de «k»
A) 37 B) 39 C) 47
D) 48 E) 53
16.determine «a + b + n»
C) 10
24.A l convertir 7161 del sistema
decimal a base «n» se obtiene
ababab , determinar «a + b + n»
17.S i: a 00 a ( 6 ) = bc1 determinar:
«a + b + c»
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
25.calcular «a» si
18.Expresar E en base 11 y determine
la suma de sus cifras.
E=7x114+12x115+15x113+8x11+49
A) 18 B) 21 C) 30
D) 25 E) 14
a1
si: ab0ab ( n ) = 715
A) 8 B) 9
D) 11
E) 12
w
w
w
.M
at
20.Si 226(9) = 272(n) representar 107
en base «n»
A) 143(n)
B) 121(n) C) 153(n)
D) 165(n) E) 163(n)
21.El número 201(8) se convierte a
base «n» y se obtiene un número
de tres cifras iguales. hallar «n»
A) 5 B) 6 C) 7
D) 9 E) 11
B) 7 E) 10
A) 4
D) 7
B) 5
E) 8
C) 6
26.S i : abc ( 6 ) = 1abc ( 5) e s c r i b i r e l
mayor número abd ( 6 ) en base 5.
A) 131(5)
B) 213(5) C) 414(5)
D) 313(5) E) 210(5)
27.Convertir el mayor número de la
forma a (a + b) b (8) a la base 6.
Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
A) 4 B) 5 C) 6
D)7 E) 3
28.Se convierte el número 15015 a
base «n» y resulta escrito como
3xy 27 . Hallar «x + y + z».
A) 11 D) 13 U N F V – C E P R E V I
C) 8
om
.c
ic
em
at
19.S i 33221 (7) se expresa en otro
sistema de numeración, se escribe
con 6 cifras diferentes, siendo una
de estas la cifra 5 ¿Cuál es la suma
de las cifras restantes?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
A) 5
D) 9
B) 10
E) 14
C) 12
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ARITMÉTICA
30.Hallar «a + b + n»; si:
cab soles y durante
«c» días gastó ab soles por día,
entonces le quedó abc soles.
29.Jorge tenía
11ab ( n ) = 79( n 2 )
A) 10 D) 13 ¿Cuánto tenía al inicio?
A) 218 B) 316 C) 214
D) 812 E) 324
B) 11
E) 9
C) 12
CLAVES
02. D
03. E
04. B
05. D
06. B
07. B
08. C
09. C
10. D
11. B
12. E
13. B
14. B 15. D
16. B
17. A
18. B
19. B
20. C
21. B
22. B
23. E
24. C
25. D
26. A
27. A
28. A
29. A
30. A
w
w
w
.M
at
em
at
ic
a1
.c
om
01. D
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