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ARITMÉTICA
CEPRE-UNAM-2015
JUEVES, 06-10-14
________________________________________________________________________________________
TENER EN CUENTA LO SIGUIENTE:
NUMERACIÓN
-
De las cifras.- Las cifras cumplen las siguientes
condiciones :
Pertenecen a Z (las cifras son números enteros)
Toman valores enteros menores que la base.
La cifra máxima es una unidad menor que la
base cifra (base – 1
o
n-1 )
Si la base es “n”; se pueden utilizar en las
cifras:
0,
1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) máxima cifra
-
Numeral de 3 cifras de base “n” : abc(n )
-
Numeral de 4 cifras de base “n” : abcd(n )
-
ab : numeral de 2 cifras:
(10, 11, 12, ................ 98, 99)
abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ...........
998, 999)
aaa : numeral de 3 cifras iguales:
(111, 222, 333, ..........., 999)
18 ab : numeral de 3 cifras que empiezan en 18.
-
(1800, 1811, 1812, .......)
cifras significativas
cifra no significativa
-
Principales sistemas de numeración
Numeral
a( a  1)(a  2)
de
tres
cifras
consecutivas. (123; 456; 567.....)
OBSERVACIONES:
Base
Sistema de Numeración
Cifras
2
Binario o Dual
0,1
3
Temario
0, 1, 2
4
Cuaternario
0, 1, 2, 3
5
Quinario
0, 1, 2, 3, 4
6
Senario y Sexanario
0, 1, 2, ........... 5
7
Heptanario
0, ..........., 6
8
Octonario
0, ..........., 7
9
Nonario
0, ...........; 8
10
Decimal (indo arábigo)
0, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9
11
Undecimal
0, ..........., 9, (10)
12
Duodecimal
0, ..........., 9(10), (11)
 SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE
LEÍDO DE IZQUIERDA A DERECHA O VICEVERSA SE
LEE IGUAL.
aa , aba , abba
EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887
 No se puede escribir números empezando con
cero, como por ejemplo:
01 , 002, 0014, 05 , etc., porque el cero no es
una cifra significativa. Lo correcto sería escribir:
1 , 2, 14 , 5.
 Todo número entre paréntesis representa una
sola cifra excepto la base:
 4 (12) 8 (13)
tiene 3 cifras y no 4
Con frecuencia se estila utilizar las siguientes
letras parea denotar algunas cifras:
Alfa   10
Beta   11
Gamma   2
Delta   13
Epsilon   14
Representación literal de un numeral
Cuando se quiere representar un número y no
se conocen las cifras se utilizan letras del
alfabeto y una barra encima de las cifras.
Ejemplo:
Un número de 3 cifras: abc
Un número de 4 cifras en base 5 abcd (5)
abc
1 cifra
1 cifra
1 cifra

7 (16) (13) 6
(20)
tiene 4 cifras y no 6
1 cifra
1 cifra
1 cifra
1 cifra
 abc
abc
es un número de 3 cifras , y
abc = a x b x c (3 cifras que se multiplican)
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
APLICACIONES BÁSICAS…
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CEPRE-UNAM-2015
JUEVES, 06-10-14
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1.
Hallar un número de 3 cifras tal que la 1ra. sea
los 3/5 de la 3ra. cifra, y la 2da. cifra la
semisuma de las otras 2.
2.
Si:
a1  a 2  a 3  .......... ..  a 8  6bc
A)
I) 104(3)
hallar: “a + b + c”
3.
8. Hallar un número de 2 cifras que si es leído al
revés, es el doble del número que sigue al
original.
9. Indique qué números están mal escritos:
III) aba (b 1)
(b > a > 0)
(a, b enteros)
II) 806(9)
Si el siguiente numeral:
a) I
𝐛−𝐚
𝐜
𝐛(𝐛 − 𝟓) (
) (𝐚 + 𝐛 − 𝐜) ( ) (𝐚 − 𝟐)𝟖
𝟑
𝟒
Es capicúa, calcule a + b + c
b) II
B)
I) c34 (6)
Valor Absoluto y Valor Relativo de una
cifra
Toda cifra en un numeral tiene dos valores:
valor absoluto y valor relativo.
VALOR ABSOLUTO. Es el valor que representa
la cifra por su forma o símbolo.
VALOR RELATIVO. Es el que adopta la cifra
por su orden dentro del numeral.
Valor Abs. : 2
Valor Abs. : 4
c) III
II) 483(9)
d) I y II
e) I y III
III) 12345(4)
(c > 6)
a) I
b) II
c) III
d) I y II
e) I y III
10. ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números,
si están bien escritos?
ab2(8)
I)
tiene: _____________
II) (10) (11) 84(13)
tiene: ____________
III) a(a  1)c(7)
tiene: _____________
11. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de
5 2 4 7
Valor Relat.: 40
Valor Relat.: 200
Descomposición
Polinómica
de
un
NÚMERO
Es la suma de los valores relativos de un
numeral.
abcde(n) = axn4 + bxn3 + cxn2 + dxn1 + e
abc = ax102 + bx10 + c
abc = 100a + 10b + c
ab = 10a + b
APLICACIONES
4. Descomponer : 3972
“a” en?
A)
I) a86(9)
II) a(a  1)( a  2)(4)
B)
I) a3(6)
II) a(a  3)( a  1)(6)
12. ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”
en?
A)
a a
II) 1  
I) 2a(2a)(6)
 2  3 (6)
B)
a
II) 8 (2a)
I) 2a(3a)(7)
2
13. Hallar los valores de “a”, “b”, “c” y “d”, si los
5. Convertir 324(6) a base 10
siguientes números están bien escritos.
como respuesta la suma de cifras.
6. Convertir 542(7) a base 10
7. Hallar el valor de a + b + c
si: abc (7 ) = 318(9)
a) 3
d) 10
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
a1(b)
;
b1(d)
;
2d3(c)
b) 4
e) 12
;
Dar
c1(5)
c) 8
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JUEVES, 06-10-14
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RETOS…….INVESTIGAR Y RESOLVER :
14. Hallar los valores de “a” y “b” si los siguientes
números están bien escritos.
respuesta la suma de “a + b”
b8( a)
;
Dar como
22. ¿Cómo se expresa en base 5 el menor número
 b  b 
a   
 3  2 
a) 10
d) 15
de 3 cifras de la base 6?
a) 122(5)
b) 102(5)
d) 111(5)
e) 100(5)
b) 12
e) 18
c) 13
23. ¿Cómo se expresa en base 4 el mayor número
de 2 cifras de la base 7?
a) 302(4)
b) 330(4)
d) 320(4)
e) 303(4)
15. Hallar el valor de “a” si:
A)
a6(7)
a) 1
b) 2
B)
1a1( 4)
a) 0
b) 1
= 41
c) 3
d) 4
e) 5
d) 3
e) 4
de 3 cifras diferentes de la base 8?
a) 150(6)
b) 151(6)
d) 125(6)
e) 152(6)
i.
Expresar el menor número de la base 10,
cuya suma de cifras es 23, en el sistema
heptal. Dar como respuesta la suma de sus
cifras.
a) 9
b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
ii.
Expresar el menor número, cuya suma de
cifras es 19, en el sistema senario. Dar
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
A)
a7(8)  a3(9)
B)
b) 2
e) 5
c) 3
a3(6)  a4(5)
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
a) 7
d) 10
31(x) + 23(x) = 54(6)
b) 3
c) 4
26. Si: mnp (8) = 312(7)
Hallar: m + n + p
17. Hallar “x” si:
a) 2
c) 115(6)
25.
16. Hallar el valor de “a” si:
a) 1
d) 4
c) 300(4)
24. ¿Cómo se expresa en base 6 el menor número
= 25
c) 2
c) 121(5)
d) 5
e) 6
EJERCICIOS DE EXAMEN - PNP
18. Si: a + b + c = 15 y ab + bc = 104
Hallar: “ a.b.c “
19. Hallar “ a + b + c “ si se cumple:
436(7) = abc(8)
20. Si: 101111(2) = abc(4)
Hallar “ a + b + c “
b) 8
e) 11
c) 9
27. Si: abc (9) = 175
Hallar: a + b + c
a) 3
d) 9
b) 5
e) 11
c) 7
28. Hallar “x” si:
xxx
= 4210(5)
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
21. Hallar “ a + b + c + d “ , si:
da7b + b7ac + abc7 = 12656
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3.
DIVISIBILIDAD

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD BÁSICOS
A) Divisibilidad por 2.- Un número es divisible por 2
cuando termina en cero o en cifra par.
Ejemplo: 426; 272; 36; 48; 50
B) Divisibilidad por 4.- Un número es divisible por 4
cuando sus dos últimas cifras de la derecha son
ceros o forman un múltiplo de cuatro. Ejemplo: 112;
116; 268; 64; 104
C) Divisibilidad por 3.- Un número es divisible por 3
cuando la suma de los valores absolutos de sus
cifras es un múltiplo de 3. Ejemplo: 537; 435; 81; 294
D) Divisibilidad por 5.- Un número es divisible por 5
cuando el número termina en cero o cinco. Ejemplo:
525; 135; 645; 50; 185.
E) Divisibilidad por 8.- Un número es divisible por 8
cuando sus tres últimas cifras de la derecha son
ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplo: 664; 512;
72; 88; 6512.
F) Divisibilidad por 9.- Un número es divisible por 9
cuando la suma de los valores absolutos de sus
cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 792; 459; 234; 351.
G) Divisibilidad por 7.- Un número es divisible por 7
cuando separando la primera cifra de la derecha,
multiplicándola por 2, restándole este producto de lo
que queda a la izquierda y así sucesivamente da
cero o múltiplo de 7. Ejemplo: 441; 273; 483
H) Divisibilidad por 11.- Un número es divisible por 11
cuando la diferencia entre la suma de las cifras de
lugar impar y la suma de las cifras de lugar par, de
derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11.
Ejemplo: 264; 407; 525; 748.
I) Divisibilidad por 25.- Un número es divisible por 25
cuando sus dos últimas cifras de la derecha son
ceros o forman un múltiplo de 25.
Ejemplo: 1250; 100; 525; 775.
J) Divisibilidad por 125.- Un número es divisible por
125 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son
ceros o forman un múltiplo de 125.
Ejemplo: 1125; 375; 750; 1375.
APLICACIONES:
1.

4bca  5
y
a) 0
d) 4
4.
b) 2
e) 5
Hallar el valor de “a” si:

b3a  11
a) 7
5.
b) 5
c) 9
d) 8
e) 0

b) 2
c) 3
437 b
d) 4
entre
e) 5

Si: 864 a  11
Calcular el residuo de dividir:
4.
a) 0
7.

4b  5
y
Si: b43b  5
Calcular el residuo de dividir:
9.
a) 1
6.
c) 3
b) 1
c) 2
d) 3
dba 8
entre
e) 4
¿Cuántos múltiplos de 8 hay en:
1; 2; 3; 4; 5; … ; 300?
a) 30
d) 37
b) 33
e) 38
c) 34
RETO… INVESTIGAR Y RESOLVER…
1) Hallar el residuo que se obtiene al dividir
295 entre 9
3) Hallar el residuo que se obtiene al dividir
123062 entre 8

483a  25  8
2.
7 a6  3
2) Hallar el residuo que se obtiene al dividir
60432 entre 7
Hallar “a”, si:
a) 4
d) 1
Hallar el valor de “a” si:
b) 3
e) 0
4) Un comerciante tiene entre 275 y 300 naranjas.
Si los embolsa de 6 en 6 le sobran 3. Si los
embolsa de 9 en 9 le sobran 6 ¿Cuántas naranjas
tiene el comerciante?
c) 2
Hallar “a”, si:

a36482 a  9  2
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
Prof. Roberto W. Ramirez Q.
c) 2
5) Karina tiene una cierta cantidad de caramelos,
si los agrupa de 5 en 5 le sobran 3, si los agrupa
de 7 en 7 le sobran 5; pero si los agrupa de 6 en
6, le faltarían 2. ¿Cuántos caramelos tiene Karina
si es menor que 300?
[email protected]