Download ¿Con qué tipo de números podrías expresar la posición de cada

+40
-----­ - - --­ --------­
,(
+30
+20
+10
o
- 10
-20
-30
-40
-50
¿Con qué tipo de números podrías expresar la posición
de cada objeto con relación al nivel del mar? ¿Y sus
posibles movimientos? Comprobarás que los números
naturales (O, 1, 2, 3, . . .) no bastan. Necesitarás unos
números nuevos: los negativos.
Con el número +30 indicamos la posi­
ción del científico en el globo. ¿Qué nú­
meros asignarías al helicóptero, al barco
y al batiscafo?
Desde el globo se deja caer una sonda
que se sitúa a 20 metros de profundidad
(-20). ¿Cuál es la longitud de la cuerda?
¿Cuál es la diferencia de altura entre el
globo yel batiscafo? ¿Y entre el batiscafo
y el barco hundido?
l. Los números enteros.
nles de comenzar, recuerda Cómo ordenar los números
118turales en la recta numérica
Ejemplo
El número 19 está a la izquierda de 2l. 19 es menor que 21.
I
I
~;
•
I
li
~1~
T
I
•
I
I!
?
!
!
!
!
I
[él
I
I
1 ¿Qué números asocias a los puntoS A y B de la recta?
¿Ya los puntos C y D?
Algunas técnicas para
IDS cálculos en las expresiones
con sumas v restas
EJemplo
15 - 7 + 6 - 8 - 4 = 15 + 6 - 7 - 8 - 4 =
~ Nos dan 15 y 6;
nos quitan 7, 8 Y 4.
= 21 - 19 = 2
~ En total, nos dan 21 y nos quitan 19.
Salimos ganando 2.
2 Calcula el valor de estas expresiones:
El significado de los paréntesis
El paréntesis "empaqueta"
en un resultado todo
lo que lleva dentro.
a) 20 - 8 - 3 + 5
b)18-15+6-7+8-5
c) 9 - 12 + 11 - 4 - 3
d) 7 + 12 - 5 + 3 - 10
Ejemplo
12 - 7 + 3 = 5 + 3 = 8
~j
12\j:12_10:2
2
8
3 Calcula y compara.
8+4
c) 20 - 11 - 4
a) 15 -
En qué orden han de hacerse
las operaciones
b)15-(8+4)
d) 20 - (11 - 4)
Ejemplo
(5 + 3) . 2 = 8 . 2 = 16
5+3·2=5+6=11
• Primero, los paréntesis.
• Después, las multiplicaciones
y las divisiones.
• Y, por último, las sumas
y las restas.
BIEN
BIEN
4 Opera.
a) 6 + 2 . 4
b) (6 + 2) ·4
c) 5 . 3 + 2 . 4 - 3 . 6
d) 15 - 7·2
e) (15-7)·2
f) 25 - (4 . 2) . 3 + 8
úmeros positivos V negativos Los números naturales se utilizan para expresar matemáticamente multitud de
situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para cuantificar las situé.­
ciones contrarias asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los m: ­
meros negativos.
Por ejemplo:
• Estamos a ocho grados centígrados. ~
Estamos a ocho bajo cero.
GIJ
--7
N.o natural
8J
--7
N .o negativo
1+20 I --7
1-201 --7
• Julián gana 20 euros. Julián gasta 20 euros.
N.O natural
N. ° negativo
• Llamamos números negativos a los que están por debajo del cero.
• Los números negativos se escriben precedidos del signo menos: -1, -2, -3 , -4, -5, . . . • Cuando un número no lleva signo, entendemos que es positivo: 3 = +3
+15=15 • Cuando se plantean operaciones con números negativos, estos se suelen
escribir entre paréntesis:
5 + (-2)
--7
El número positivo 5 se suma con el negativo -2.
(-4) . (-3)
--7
El número negativo -4 se multiplica por el negativo -3.
U
lIIidad de los números positivos v negativos
• Los números positivos y los números negativos sirven para expresar cantida­
des o posiciones fijas.
~ Ejemplos
• En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un
sótano:
Sexto piso
~
+6 Segundo sótano
~
-2 • Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en
números rojos (negativo):
Rosa tiene ciento cincuenta euros.
~
+ 150
Francisco debe ochenta y cinco euros.
~
-85 Los números positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de
cantidad.
TRASTERO
VIVIE NDA
VIVI ENDA
.. Ejemplos
ACADE MI A
• Con el ascensor del ediftcio puedes subir o bajar a otra planta:
PELUQU ERíA
Subes del segundo al quinto (tres plantas).
~
-5
Hace más calor. El termómetro ha subido dos grados.
~
+2
Está refrescando. El termómetro ha bajado dos grados.
~
-2
Bajas del tercer piso al segundo sótano (cinco plantas).
TIENDA
GI MN ASIO
• La temperatura que marca el termómetro sufre variaciones:
D escribe tres situaciones en las que se hace necesario e!
uso de números negativos.
Por ejemplo, para expresar las lecturas de! termómetro
de ambiente.
Escribe tres elementos más en cada una de las sigui en­
(es series numéricas: d) El termómetro ha bajado cinco grados.
e) El ascensor ha subido cuatro plantas.
f) El ascensor ha bajado cuatro plantas.
g) He perdido una moneda de 2 € .
Expresa con un número los saltos en cada escalera:
a) 0, 1, -1,2, -2, .. . b) 6,4,2,0 , -2, . . . c) 20, 15, 10, 5,0 , ... d) -21, -20, -18, -15, -11, . .. e) 8, 7, 5, 2, -2, .. . Asocia un número positivo o negativo a cada uno de los enunciados siguientes: a) Mercedes tiene en e! banco 2500 euros. b) Miguel debe 150 euros. Escribe un número para cada movimiento en la recta:
c) Vivo en el séptimo piso. d) Tengo el coche aparcado en el segundo sótano. e) El termómetro marca 18
oc. o
5
15
10
f) El termómetro m arca tres grados bajo cero. g) Tengo un billete de 10 € . Asocia un número a cada enunciado:
h) Debo 2 €
a) La temperatura ha baj ado de 21 °C a 18
a un amigo. Expresa numéricamente cada enunciado:
a) He ganado 60 €
con una quiniela.
b) He pagado una factura de 60 € .
c) El termómetro ha subido cinco grados.
oc.
b) He subido del segundo sótano al segundo piso.
c) La semana pasada tenía 37 €
solo tengo 34 € .
en la hucha y ahora
d) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora, a
mediodía, tenemos 3
oc.
I coniunto de los números enteros El
conjunto z
Si al conjunto IN de los números naturales le añadimos los correspondientes nú­
meros negativos, obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemáticas co­
mo conjunto de los números enteros y se designa por la letra e:.
El conjunto 7L de los números enteros está formado por:
• Los naturales, que son los positivos
) +1, +2, +3, +4, ...
• El cero
O
• Los correspondientes negativos
-1, -2, -3, -4, ... Los números enteros se representan, ordenados, en la recta numérica: ....
-9 -8 -7 -6 -5 -4 - 3 -2 -1 O 1 2 3 4
.
l
5 6 7
8 9
··' ,
I
~
V
lor absoluto de un úmero entero
O bserva
El conjunto ~ no tiene ni principio
ni fin. Siempre se pueden encontrar
más positivos a la derecha y más ne­
gativos a la izquierda.
El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa
del cero en la recta numérica. Se expresa escribiéndolo entre barras:
El valor absoluto de -7 es 7 -7 1-71
=
7
El valor absoluto de +4 es 4 -7 1+41 = 4
O
1- 71 = 7
I
I
+4
I
I
-7
I
I
141 = 4
I
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al
quitarle el signo.
lal
------7
valor absoluto de a
puesto de un entero
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero en la recta. Es
decir, el que está a la misma distancia del cero, pero del lado contrario.
-5
+5
I
ASí se escribe
Opuesto de (+5) -7 (-5)
Opuesto de (-5) -7 (+5)
I
~-----------------------6 ------------------------_,'
Los números 5 y -5 son opuestos el uno del otro.
El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto, pero de sig­
no contrano.
C omparaCión de números enleros
Observa la ilustración y piensa quién tiene más y quién tiene menos.
sí se escribe
-20 < -8 < o < +8 < +20
+20 > +8 > o > -8 > -20
2. Los números enteros están orde­
nados.
Como puedes ver:
• Quien más tiene es el chico que tiene 20 € .
• Quien no tiene nada, tiene más que los que deben.
o
• Quien menos tiene es la chica que debe 20 € .
rden en la recta
Si un número, a, es menor que otro,
b, entonces a esta a la izquierda de
b en la recta.
-4
=1=1 1
- 1 O
-4
1
I
<
-1
+3
1 1 1
<
1=4=
+3
• Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
Por ejemplo: +20 > +s.
• Cualquier número positivo es mayor que el cero, y el cero es mayor que
cualquier negativo. Por ejemplo: +S > O > -s.
• Entre dos enteros negativos, es mayor el de menor valor absoluto. Por
ejemplo: -s > -20
Copia estos números y rodea de azul los enteros y de ro­
jo los naturales:
- 6
+5
-1
+10
-2
+1
+4
+7
-5
-11
¿Qué observas?
Escribe el valor absoluto de: Copia y completa. a) Opuesto de (+3)
-7 ...
e) Opuesto de (-12) -7 ...
b) Opuesto de (-7)
-7 .. . d) Opuesto de (+15)
-7 .. . Dos números enteros opuestos distan en la recta 12 unidades. ¿Qué números son? Representa en la recta y ordena de menor a mayor.
a) -5
b) +8
e) -3 d) +4
e) -7
f) + 1 -7,+4 , -1,+7,+6, -4,-5,+3,- 11
Copia y coloca el signo < o el signo > según corres­
ponda. Completa. a) 1-61 = ...
b)I+61=···
e) 1-21 = ... a) (+8) .. . (+3)
b) (-8) ... (+3)
e) (+8) ... (-3) d) 1+91 = ...
e)l-lll=···
f)1+101=··· d) (-2) .. . (-5)
e) (+2) .. . (-5)
f) (-2) ... (+5) Escribe dos números distintos que tengan el mismo valor absoluto. ¿Qué número entero es opuesto de sí mismo? 1 Ordena de menor a mayo r.
a) +5,-3,-7,0, +1, +6,-12,-5
b)-6,-3,-9 , 0,-1 , -5,-12,-4
l
umas v restas de úmeros enteros Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones más sencillas, que son las que
no tienen paréntesis.
S umas v restas de dos números
• WS DOS NÚMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO
- Si me dan 4 y me dan 3, gano 7.
4+3=+7
----7
• Si me quitan 3 y me quitan 8, pierdo 11. ----7 -3 - 8
=
-11
Cuando los dos números llevan el mismo signo:
• Se suman los valores absolutos.
• Se pone el mismo signo que tenían los números .
• LOS DOS NÚMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO
T en en cuenta
• Si me quitan 2 y me dan 8, gano 6.
El orden no cuenta mientras cada
número conserve su signo:
----7
-2 + 8 = +6
• Si me dan 4 y me quitan 9, pierdo 5. ~ +4 - 9 = -5
-5
I
I
I
~
J.
-3
Cuando los dos números llevan distinto signo:
I
I
I
O
• Se restan los valores absolutos.
• Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.
+2-5=-3
-5
~
--j-
-3
.-1
I
I
O
-5+2=-3
I
S umas V restas de más de dos números
Para resolver estas expresiones, puedes actuar de dos formas diferentes.
+2-5=-5+2=-3
Ejercicio resuello
Calcular: 3 - 8
+
6- 4
Puedes ir operando, paso a paso,
en el orden en que aparecen los nú­
meros.
S e expresa así
- 3-8+6-4=-5+6-4=
=1-4=-3
· 3-8+6-4=3+6-8-4=
=9-12=-3
3-8+6-4
~
I I
-5 + 6 - 4
~
I
o
puedes sumar los positivos por
un lado y los negativos por otro.
Después, se restan los resultados.
3-8+6-4
I
X
I
3+6-8-4
~/
V
12
1-4
9
V
'-........./
-3
-3
-
• Si me dan 6 y me dan 7, gano 13. ~ +6 + 7 = .. .
Opera, siguiendo los pasos del ejercicio resuelto an­
tenor.
• Si me dan 3 y me quitan 8, pierdo ... ~ +3 - 8 = .. .
a)10-3-5
b) 15 - 9 - 6
c)
• Si me quitan 4 y me dan 6, ... ~ -4 + 6 = ...
d) 9 - 3 + 5
e) -2 + 2 + 7
0-10+8+6
• Si me quitan 5 y me quitan 4, ... ~ -5 - 4 = ...
g)-10-3+8
h) -4 - 3 - 2
i)-1-5-7
Copia y completa.
2 Calcula,
teniendo en cuenta que ambos números tie­
nen el mismo signo.
a) 6
5
b) +4 + 8
c)+10+7
d) -6 - 2
e) -4 - 6
0-5 - 9
g) +8 + 7
h) -8 - 7
i) -12 - 4
+
Ifl E ercicio
b) +3 - 7
c)+6-10
d) -2 + 7
e)-15 + 5
f) -11 + 8
g) 7 - 12
h) 11 - 4
i) -18 + 10
a) + 6-7
b) -8 + 7
c) -5 - 1
d) +8 + 2
e) +10-12
f) -16 + 20
g)+11+21
h) -13 - 12
i)-18+11
resuelto
Resolver, sumando primero los números del mismo
signo: 6 - 15 + 4
6-15+4
~
Opera, teniendo en cuenta que los dos números llevan
signos diferentes.
a) +9 - 5
5- 8 + 4
10 - 15
6-15+4=10-15=-5
V
-5
1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
Calcula.
1
a) 9 - 2 - 3
b) 12 - 4 - 6
c) 3 - 7 + 4
d) 5 - 9 + 8
e) -13 + 6 + 4
0-2 + 10 - 15
g) -11 - 4 + 8
h) -5 - 3 - 4
i) -8
+
5+6
Resuelve paso a paso, como en el ejemplo.
7 - 5 - 8 - 4 = 2 - 8 - 4 = -6 - 4 = -10
Obtén el resultado de las expresiones siguientes:
a) 51 - 28
b) -32 + 49
c) -22 - 36
d)+18+27
e) -92 + 49
0-62 - 31
Copia, sustituyendo cada punto por un número. 5-9-13+6 5-9-13+6
~
- e -
I
I I
e + e
~
)<><
v
- . +.
e
-
Ve
~
-.
- e
110
Resolver, operando en el orden en que aparecen las
operaciones: 12 - 4 - 6
12 - 4 - 6
~
2
b) 6 -7
c) 5 + 8 - 9 - 6
d) -4 - 9 + 6 + 2
e) -3 - 5 + 7 + 7
f) -4 - 8 - 2 - 5
4- 3
gativos por otro, como en el ejemplo.
-4+6-8+7=6+7-4-8=13-12=1
a) 5 + 7 - 2 - 4
b) 2 - 6 + 4 - 9
c) 9 - 6 - 7 + 2
d) -4 - 5 + 3 + 8
e) -8 + 2 - 7 + 6
0-1+5+6-7
Escribe dos expresiones para los movimientos realiza­
dos en las rectas, y resuélvelas.
le~r~:::; I~~
II
II
~
I rARTI DA ~ ~
12-4-6 =8-6=2
+
1 Resuelve juntando los positivos por un lado y los ne­
J::!::EGADAI
"'J I
8-6
a) 2 - 4 - 5 + 8
II
I
III I~~I I IIIIIIIIII
~o
.~
I LLEGADA I
I
urnas 11 restas con paréntesis Los números enteros, en las operaciones, se suelen presentar entre paréntesis.
Ahora vas a aprender a suprimir esos paréntesis en las expresiones con sumas y
restas. ASÍ, se reducen a lo que ya sabes. Se presentan cuatro casos .
•
SUMAR UN NÚMERO POSITNO
+ (+5)
i i
=-3 + 5 = +2
AÑADIR
•
= +5
+
, .,
8 + (+5)
~
~
.. +
~ .. .t '
.. .t ' +1
.. ,.t '
=
(-2) = -2
i i
GANAN C IA
AÑADIR
Ingresar una ganancia
es aumentar (ganar).
~
SUMAR UN NÚMERO NEGATNO
DEUDA
Ingresar una deuda
es disminuir (perder).
8 + (-2)
8 + 5 = 13
=
8- 2
=
6
+2
Para sumar un número entero, se quita el paréntesis y se deja el signo propio
del número: + (+a) = +a
+ (-a) =-a
o
(+2) + (-5) = = 2- 5 =-3
•
RESTAR UN NÚMERO POSITNO
- (+5)
i i
EXTRAER
•
RESTAR UN NÚMERO NEGATNO
= -5
- (-2)
= +2
i i
GANANCIA
Suprimir una ganancia
es dismin uir (perder).
13 - (+5) = 13 - 5 = 8
EXTRAER
DEUDA
Suprimir una deuda es
aumentar (ganar).
6 - (-2)
=
6 + 2 =8
Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se le pone al número el
signo contrario al que tenía:
-(+a)=-a
-(-a)=+a
Elerclclo resuello
Calcular:
• (+10) + (-3) = 10-3 =7
• (+5) - (+8) = 5 - 8 = -3
• (-8) + (- 4) = -8 - 4
• (+2) - (-6) = 2 + 6 = 8
=
-12
Opera y comprueba los resultados.
Quita paréntesis.
a) +(-1)
b) -(+4)
c) +(+8)
a) +(+8) - (+5)
b) -(+6) ­ (-2)
d) -(+7)
e) +(-10)
f) - (-6)
c) +(-2) + (-6)
d) +(+7) - (-3)
g) +(-11)
h)-(-13)
i) +(-15)
e) +(-9) - (+2)
f) -(+6) + (+4)
j) -(+16)
k) +(-9)
1) -(-7)
a) +3; b) -4; e) -8; d) +10; e) -11;
j) -2
S umas Vrestas dentro de un paréntesis
El paréntesis empaqueta, en un solo bloque, todo lo que va en él. Por eso, el signo
que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior.
Se dan dos casos .
• PARÉNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO
+(+3 - 6 + 5)
I
I
{
Medan
Me dan (+3)1 Me dan (-6) ~ +(+3) + (-6) + (+5) = 3 - 6 + 5 Me dan (+5)
Los signos finales son los mismos que tenían los sumandos dentro del paréntesis.
PARÉNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO
-(+8 - 6 - 5)
I
I
Me qui ta n
-[(-8) + (-10) + (-3)] =
{
Me quitan (+8)1 Me quitan (-6) ~ -(+8) - (-6) - (-5) = -8 + 6 + 5 Me quitan (-5)
Los signos finales son los contrarios a los que había dentro del paréntesis.
= -[-8 - 10 - 3] = 8 + 10 + 3 = +21
• Al quitar un paréntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos
(restandos) interiores quedan como estaban.
3. Suma y resta de números posici­
vos y negativos.
Eierci~Jo
• Al quitar un paréntesis precedido del signo -, cada uno de los signos de los
sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto.
reSJJ ello
Operar la expresión siguiente:
Podemos resolverla de dos formas diferentes:
12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)]
a) Operar dentro de cada paréntesis, empezando por los más pequeños.
12- [8- (7-10) + (2-6)] = 12- [8-(-3) + (-4)] =
= 12 - [8 + 3 - 4] = 12 - [+7] = 12 - 7 = 5
b) Quitar paréntesis, empezando por los más pequeños, y después operar.
12 - [8 - (7 - 10) + (2 - 6)] = 12 - [8 -7 + 10 + 2 - 6] =
= 12-8+7-10-2+6=
= (12 + 7 + 6) - (8 + 10 + 2) = 25 - 20 = 5
ACtiVidades
Quita paréntesis, calcula, y comprueba el resultado.
Resuelve por dos métodos diferentes.
a) +(5 + 3)
b) +(-6 ­ 3)
c) -(8 + 15)
a) 5 - (9 ­ 3)
b) 7 + (2 ­ 8)
d) -(-2 ­ 4)
e) +(9 ­ 7 - 2)
f) +(1 - 8 + 3)
c) 12+(-3+ 10)
d)15-(8+11)
g) -(-6 + 5 - 7)
h) -(7 ­ 5 + 4)
i) +(-3 - 1 - 4)
e)+(9-10)-2
f) -(7
g) (5 + 8) - (7 + 6)
h) (16 - 9) - (10 -7)
a) +8; b) -9; e) -23; d) +6,' e) O; j) -4; g) +8; h) -6; i) -8
+
4) + 14
ctlvidades
Repite los ejercicios de la actividad anterior, operando
en primer lugar dentro del paréntesis, como se hace en
el ejemplo.
Quita los paréntesis. a) +(+2)
b) +(-8)
c) -(+ 4)
d) -(-9)
e) -(+5)
0+(-12)
g) +(-14)
h) +(+15)
i)-(+25)
15 - (+3 - 8)
=
16 + 5
=
b)8+(+3)
c) 10-(+8)
d) 15 - (-6)
e) 13-(+9)
f)9+(-1)
g) 2 - (+8) h)3-(-5)
i) 4 + (-10) j) 10 - (+ 16)
k) 15-(+25)
1) 30 - (-12)
• (5 - 12) - (8 - 6)
Suprime los paréntesis y después opera, como en el
ejemplo.
=
-14 + 12
=
+5
= 20
Calcula quitando primero los paréntesis, como en el
ejemplo.
21
a) 12+(+4)
• -(+14) - (-12)
= 15
(-5)
Comprueba que obtienes los mismos resultados que
eliminando primero los paréntesis.
Quita el paréntesis y calcula igual que se ha hecho en
el ejemplo.
• 16 - (-5)
= 15 -
b) +(-5) + (-3)
c) +(-6) - (+8)
d) -(-7) + (-10) e) -(-3) - (-5)
0-(-2) - (+6) g) +(-7) - (-3)
h) -(-5) + (+4) i) +(-12) + (+10)
j) -(+6) - (+8)
12 - 8 + 6
= 11 -
20
= -9
a) (7 - 4) + (9 - 5)
b) (2 + 6) + (5 - 8)
c) (5 - 9) + (2 - 12)
d) (7 + 3) - (5 + 4)
e)(8-12)-(2-5)
f)(10-7)-(-2-6)
g) -(8 + 4) + (5 - 9)
h) -(6 - 2) - (7 - 9)
1 Repite los ejercicios de la actividad anterior, operando
en primer lugar dentro de los paréntesis, como se hace
en este ejemplo:
-2
a) +(+7) + (+6)
=5 -
• (5 - 12) - (8 - 6)
= (-7) -
(+2)
= -7 -
2
= -9
Y comprueba que obtienes los mismos resultados.
elto
Operar: 4 - [5 - (8 + 3)] 4 - [5 - (8 + 3)] = 4 - [5 - (+l1)J =
Calcula.
= 4 - [5 - 11] = 4 - [-6] =
= 4 + 6 = 10
a) 18 + (+12)
b)22-(+15)
c) 35 - (-15)
d) 30 + (-18)
e) -24 - (-20)
f)-15-(+15)
Calcula.
g) -(+22) - 16
h) -(-27) - 30
a) 6 + [5 + (7 + 2)J
b) 8 + [4 - (3 + 5) J
i) +(-25) - 24
j) -(+36) + 26
c) 10 - [6 + (2 + 7)]
d) 15-[2-(6-10)J
k) -(+12) - (+13)
1) +(-1 6) + (-14)
e) 15-[10-(8+4)]
012-[7-(2-10)]
g) (-6) + [5 + (2-12)]
h) (-7) - [3 - (4 - 9)]
Quita primero el paréntesis, como en el ejemplo, y
después calcula.
• 15 - (+3 - 8)
=
15 - 3 + 8 = 23 - 3
=
20 1
Calcula.
a) (2 - 10) + [5 - (8 + 2) J
a) 12 + (+ 3 - 5)
b) 14 + (+12 - 10)
b) (12-3)-[1-(2-6)]
c) 6 - (9 - 7)
d) 15 - (2 - 9)
c) [9 - (+5)] + [7 + (-10)]
e) 11 - (-6 + 3)
f) 10-(-7-5)
d) [10 - (-2)] - [5 - (+12)J
g) 13 + (-8 + 2)
h) 17 + (-5 - 9)
e) [8 - (6 + 4)] - (5 - 7)
i) 8 + (-8 + 8)
j) 9 - (-3 - 10) 0[1+(6-9)J-(8-12)
Ulliplicación
v d-visión de números enleros ulliplicación de números enteros
Para multiplicar números enteros actuaremos igual que para multiplicar núme­
ros naturales, pero ahora, además, hemos de preocuparnos del signo.
•
PRODUCTO DE DOS NÚMEROS POSITIVOS
Si obtengo 3 ingresos de 5 € ,
+( +5) + (+ 5) + (+ 5)
=
gano 15 € .
5+5+5
=
r
INGRESO
+5 €
+ 15
INGREso
+5 €
+5 €
(+3) . (+5) = +15
•
INGRESO
PRODUCTO DE UN NÚMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO
Si me llegan 3 facturas de 5 € ,
pierdo 15 € .
+(-5) + (-5) + (-5) = -5 - 5 - 5 = -15 (+3) . (-5) = -15 •
PRODUCTO DE UN NÚMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO
Si me anulan 3 ingresos de 5 € ,
-(+5) - (+5) - (+5)
= -5
pierdo 15 € .
- 5- 5
= -15
(-3) . (+5) = -15 •
PRODUCTO DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Si me anulan 3 facturas de 5 € ,
gano 15 € .
-(-5) - (-5) - (-5) = +5 + 5 + 5
=
+15 (-3) . (-5) = + 15 nen cuenla
~.ua
multiplicar eres enceros:
Para automatizar la multiplicación de enteros, aplica la siguiente regla que te
permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar.
-2) . (-3) , .
(-5) = (+6) . (-5) =
=
-30 len: Al multiplicar dos números enteros:
-2) . (-3) . (-5) = (-2) . (+15) =
I
I
=
~
REGLA DE LOS SIGNOS
-30
multiplicación de enteros cum­
le la propiedad asociativa.
• Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado
final es positivo.
• Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado final
es negativo.
}
}
(+) . (+) = +
(-) . (-) = +
(+). (-)=­
(-).(+)=
ivisión de números enteros
4. Multiplícación y división de nú­
meros enteros.
Igual que en la multiplicación, lo único nuevo que necesitas aprender para divi­
dir enteros es la forma de calcular el signo del cociente. Con lo que ya sabes del
producto, es fácil averiguar ese signo:
(+4) . (+5)
=
+20 ~ (+20): (+4) = +5 ~ Más entre más, más.
(-4) . (-5) = +20 ~ (+20): (-4) = -5 ~ Más entre menos, menos.
T en en cuenta
No es lo mismo ...
(+4) . (-5) = -20
[(-60) : (+6)] : (-2)
"-../
/
e:
(-20): (+4)
SIGNOS
IGUALES
V
que...
-5 ~ Menos entre más, menos.
(-20) : (-5) = +4 ~ Menos entre menos, más.
[-10] : (-2)
+5
=
(+): (+)= + }
(-) : (-) = +
La regla de los signos para la división
SIG N O S } (+) : (-)
coincide con la del producto.
DIFERENTES (_): (+)
(-60) : [(+6) : (-2)]
'""-../
[-60] :"-../
(-3)
=­
=_
.. Ejemplos
+20
(-12) : (+4)
La división de enteros no es asocia­
=
-3 (+30) : (-5) =-6 (+18) : (+9) = +2 (-15) : (-3) = +5 tiva.
Ten en cuenta que el cociente de dos números enteros no siempre es entero.
(+15): (-4) ~ No tiene solución entera.
O peraCiones combinadas
En las expresiones con números enteros, igual que con las de números naturales,
hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones.
En las expresiones con números enteros hemos de atender:
• Primero, a los paréntesis.
• Después, a la multiplicación y a la división.
• Por último, a la suma y a la resta.
Eiercic lo resuelto
Operar la expresión siguiente:
15 - 3· [6 - (-12) : (+4)]
1
15 - 3· [6 - (-12) : (+4)]
~
11
15-3·[6-(-3)]
11
~
15 - 3 . [+9]
1
~
15 - 27
V
-12
15-3 · [6-(-12): (+4)] = 15-3· [6-(-3)] =
= 15-3· [+9] = 15-27 =-12
Ilvidades
Escribe en forma de producto las siguientes expresiones: o Calcula. a) + (-7) + (-7) + (-7) a) 5 . (-4) + 2 . (-3) b) -(+3) - (+3) - (+3) - (+3) b) 20 : (-5) - 8 : (+2) e) + (+2) + (+2) + (+2) e) 2· (-8)-3· (-7)-4. (+3) d) -(-3) - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) d) 6 : (+2) + 5 . (-3) - 12 : (-4) e) +(-20) + (-20) + (-20) + (-20) Opera. Calcula estos productos: a) (-8) . (+2) + (-5) . (-3) a) 3 . (-2)
b)4·(+5)
e) 8 . (-6) d) -5 . (+3)
g) (-4) . (+7)
e) -2 . (-4)
h) (+2) . (+6)
f) -6· (+3) i) (-5) . (-7) j) (+3) . (-8)
k) (-9) . (-3)
1) (-6) . (+4) O
e) (-7) . O
=
-18
= +35
e) (-2) . (-9) + (-24) : (-3) - (-6) . (-4) d) (+27) : (-3) - (+3) . (-5) - (-6) . (-2) [El Elerclclo
Copia y completa el factor desconocido. a) (-6) .
b) (+40) : (-8) - (-30) : (+6) r suelto
b) (+8) . 0=-24 (-2) . [(-5) + (-4)]
d) (+15) . 0=+60 ""(-2) . [-5"" - 4]/
Calcula el cociente entero, si existe. a) (-8) : (+2)
b) (+20) : (-10)
e) (-12) : (-4) d) (-4) : (+3)
e) (+20) : (-7)
f) (-1) : (+6) g) (-15) : (-3)
h) (+32) : (+8)
i) (-36) : (+9) j) (+42) : (-7)
k) (-48) : (-8)
1) (+54) : (+6) '"(-2) . V
[-9J "'-/ +18 (-2) . [(-5) + (-4)] = (-2) . [-5 - 4] = =
(-2) . [-9] = +18 Escribe: a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero. Calcula como en el ejercicio resuelto anterior.
b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero. a) (-3) . [(-2) + (-4)]
b) (+4) . [(-5) + (+2)J
Calcula. e) (+6) : [(+5) - (+7)J
d) (-20) : [(-6) - (-2)J
e) [(-8) + (+7)] . (-3)
f) [(-9) + (-3)] : (+6)
a) (+3) . (-5) . (+2)
b) (-4) . (-1) . (+6) e) (-2) . (-7) . (-2)
d) (+5) . (-4) . (-3) Opera.
a) [(+80) : (-8)] : (-5)
b) [(-70) : (-2)] : (-7)
e) (+50) : [(-30) : (+6)]
d) (-40) : [(+24) : (+3)]
18 - (-4) . [2 - (+6)]
=
= 18- (-4) · [2-6] = 18-(-4)· [-4] =
= 18 - (+ 16) = 18 - 16 = +2
Ito
1 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
[(+8) . (-3)] : (-6)
--­
[(+8)· (-3)] : (-6)
~: (-6)
[-24]
=
= [-24] : (-6) = +4
a) 19 - (-3) . [5 - (+8)]
1
e) 12 - [13 - (-7)] : (-5)
Opera como en el ejercicio resuelto anterior.
d) 10 - (+20) : [7 + (-3)J
a) [(+6) . (-4)] : (-3)
b) [(-15) . (-2)] : (+6)
e) (-2) . (5 - 7) - (-3) . (8 - 6)
e) (-5) . [(+12) : (-3)J
d) [(-5) . (+12)] : (-3)
f) (9 - 6) . (-2) + (13 + 3) : (-4)
~
b) 12 + (-5) . [8 + (-9)]
Olencias v raíces de números enleros Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de facco[;::;
iguales. Ahora aplicaremos este concepco a los números enteros.
R ecuerda
,1 ·
a· a· ... . a = a n ~ EXl'ONENTE
~ ~BASE
P
olencias de números positivos
Una potencia de base positiva es siempre un número positivo.
(+2)3 = (+2) . (+2) . (+2)
b)n = a n . b n
(a :
b)n = a n : b n
a m : a"
aO
=am ­
+8
(+5)2
=
(+5) . (+5)
=
+25
P
ulencias de números negativos
Ten en cuenta
(a .
=
Al multiplicar reiteradamente un número negacivo por sí mismo, vamos obtenien­
do, alternativamente, resultados positivos y negativos. Observa:
EXPONENTE PAR
EXPON ENTE IMPAR
(_2)° = 1
(-2)1=-2
n
= (-2) . (-2) = +4
(_2)3 = (-2) . (-2) . (-2) =-8
(_2) 4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16 (_2)5 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32
(_2)2
= 1, para a *- O
Al elevar un número negativo a una potencia:
} (-a) número par
• Si el exponente es impar, el re­
sultado es negativo. } (-a) número impar ~ negativo positivo
R aíz cuadrada de un número enlero
R ecuerda
{;; =
~
• Si el exponence es par, el resulta­
do es positivo.
b
H
b2 = a
Recuerda el significado de la raiz cuadrada y observa estos ejemplos:
<
• ..[;9 =
+3 porque (+3)2 = 9 }
2
-3 porque (-3) = 9
Tiene dos soluciones enteras.
• ~ ~ No tiene solución encera.
(_3)2
=
9 }
(_4)2 = 16
·0
-4 < ~ < -3
~ No existe, ya que el cuadrado de un número nunca es negativo.
~-9 = x
H
x2
= -9 ~ imposible
• La raiz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones, que no
siempre son números enteros.
• La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.
:::.ale ula.
Calcula como en el ejercicio resuelto anterior.
(+2)5
b) (_2)6
c) (-5)3
a) (_4)8: (_4)5
b) (+6)7: (+6)5
-.: (+3)4
e) (_3)4
f) (+6)2 c) (+3) 10: (-3)6
d) (-8)5: (+8)3
; (+10) 5
h) (-10)5
i) (-4)3 e) (-15)4: (+ 15)4
f) (+12)3: (-12) 2
:!.
C al cula mentalmenre.
O!
Resuelve. c) (_I)30
b) (_1) 29
(-1 )28
d) (_1)31 a) [(_2)4. (-2)6J : (+2)8
b) [(+3)4. (-3) 3J : (_3)6
C alcula. 1 (-10) 3
b) (+10)0
c) (-10)2
c) (+5)8: [(-5) 2. (-5)4J dI (-10)4
e) (+10) 6
f) (-10) 6 d) (-7)7: [(_7) 4 . (-7)3J
C alcula como en los ejemplos y observa las diferencias.
1 Escribe las dos soluciones enteras, si existen.
= (-3) . (-3) = +9
(_3)2
-32 = -3 . 3
=
-9
a) (_2)4
b) _2 4 d) (_2)3
e) _2 3 g) (-5) 2
h) _52
j) (-3)3
k) -3 3
33 -
= (_1)3 = -1
43 =
b) ~
c) -V(+4)
d) -V (-4)
e) -V ( +36)
f)
g) -V (+64)
h) -V (-8I)
i) -V(+100)
{H9)
ro Eierclclo r suelto
{20---7 {
Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia.
(3 - 4)3
a) ~
}
-fiO < +5
< -fiO <-4
(±4)2 = 16 (no llega)
+4 <
(± 5)2 = 25 (se pasa)
-5
Las dos raíces cuadradas de 20 están comprendidas,
una, entre 4 y 5 y, la otra, entre -5 y -4.
(3 - 4)3"* 3 3 _4 3
27 - 64 = -37
Resuelve, como en el ejercicio resuelto anrerior, si es que existen soluciones. {GlO)
b) -V(-12)
c)~
d) -V( -55)
e)-V(+72)
f) -V(-1I0) a)
Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propie­ dades: a m . b m = (a · b) m y a m : b m = (a: b)m
• (-5)3. (_2)3 = [(-5) . (_2)]3 = (+10)3 = +1000 (-12)6: (_6)6 = [(-12) : (_6)]6 = (+2)6 = +64 a) (_2)5. (+5)5
b) (+4)3. (-5) 3
-V 36 + 64 = -V 100 = 10 } c) (_6)4: (+3)4
d) (-5)1 : (+5)1
~ + -V 64 = 6 + 8 = 14 e) (-15)4: (-5)4
f) (+32)5: (-16) 5 -V 36 + 64
1
IJEierciCiO r
Recordar que a m : a n
= am- n
y calcular. "#
{36 + (64
Calcula como en el ejercicio resuelto anterior, si exis­
ten , y observa las diferencias.
(-S)?: (+5)4 = [_(+ 5)7J : (+5)4 = _[(+5)7: (+5)4] =
b) -V 100 - 36
fu + -J9
y -flOO - (36
=_[(+5)7- 4J =_[(+5) 3] =-[+125J =-125 c) -V16 - 25 Y
fu - {25
(-7) 5: (_7)3
=
(-7) 5 - 3 = (_7)2 = +49 a) ..J 1 6 + 9 y
iercicios v problemas l1 uma ti resta
(] I conjunto li.
Orden ti representación
1 0 00 Quita paréntesis.
1D eo
Expresa con la notación de los números enteros,
como se hace en el ejemplo:
Antonio gana 15 €
buzoneando propaganda.
+(+15)
= +15
a) A Rosa le llega una factura de teléfono de 57 € .
a) +(-7)
b) - (-2)
c) -(+8)
d) -( +1)
e) +(+11)
f) +(-14)
g) -[-(-5 )]
h) -[+(-9)]
i) -[-(+2)]
a) 9 - 4
b) 4 - 9
c) 10- 8
d) 8 - 9
e) 11 - 7
f)7-11
g)5-11
h) 3 - 7
i) 1 - 6
j) 10 - 12
k) 11 - 15
1) 14 - 20
8 0 00 Calcula.
b) Por no hacer la tarea, pierdo los dos positivos que te­
nía en Matemáticas.
e) He resuelto un problema complicado. El profesor
me quita los dos negativos que tenía.
2 CCO
Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes
números:
b) -9 a) +6
e)
°
9 0 00 Halla el valor de estas expresiones:
e) -13
d) +8
3 0 '=0 Copia y completa.
a) 1-11 = .. .
b)I+51= .. ·
e) 101 = ...
d) 1-71 = .. .
e) 1+121 = .. .
f) 1- 151 = ...
4 ~ QO
I
-20
I
I
~
I ::¡::;:::::¡::. I
O
I
"'-1
i
~
I
~
I =t==
b) -4 +7
c)-1+9
d) -7 + 2 e) -8 + 5
f)-10+8
g)-12+5 h)-15+6
i)-15 + 14
a) -1 - 1
b) -1 - 2
e) -2 - 3
d) -2 - 5
e) -4 - 3
f) -7 - 1
g) -6 - 6
h)-10-2
i) -3 - 12
10 O
¿Qué número corresponde a cada letra?:
[¡J
a)-2+6 11
O Opera.
00 0 Calcula.
a) +2 - 7 + 5
b)+12-5-8
e) 13 - 9 + 5 - 7
=::J Ordena de menor a mayor.
5
d) 6 - 8 - 6 + 5 + 4 - 6
a) +6, +2,0, +4,-7,+3
e) -3 - 5 + 2 - 1 - 7 + 4
°
b) -7, -2, 0,-1,-5,-9
f) -8 - 7 + 2 + 9 - 1 + 18
e) -4,0, +6, -8, +3, -5
6 ::JC=
[Q
Escribe un número entero para cada movimien­
en la recta:
--
A
12 00 0 Quita paréntesis y opera.
a) (+3) - (+8)
b) (-9) + (-6)
B
~
I
I
I
I
I
I
e
e) (-7) - (-7) - (+7) d) (-11 ) + (+8) - (-6) e) (+15) - (-12) - (+11) + (-16) N
M
t
K
+I
f) (-3) - (-2) - (+4) + (-7) + (+8) g) (+11) - (+7) + (-13) - (-20) + (-11)
::::J O O Escribe una expresión que refleje los movimien­
tos encadenados en cada recta y halla el resultado :
a)
"-
T
IPARTj.9A
11
1
18 0 00 Recuerda la regla de los signos y multiplica.
al
1-1111111
FI~
b)
1
1
1
I
1
1
~PAR11D~
1/
1
I
1
11
I
FIN
rn . '-c Eierciclo resuelto
Calcular: 11 - (5 - 8 - 6 + 3) Podemos operar antes o después de quitar los paréntesis: • 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - (5 + 3 - 8 - 6) =
= 11 - (8 - 14) = 11 - (-6) = 11 + 6 = 17
• 11 - (5 - 8 - 6 + 3) = 11 - 5 + 8 + 6 - 3 = = 11 + 8 + 6 - 5 - 3 = 25 - 8 = 17 5 ::::JOO
b) (-6) . (-9)
(+7) . (-8)
e) (+5) . (+11)
d) (+5) . (-12)
e) (-3) . (+20)
f) (-5) . (-15)
19 O O O
Calcula.
a) (-5) . (+2) . (-3)
b) (-4) . (-1) . (-7)
e) (+4) . (+5) . (-2)
d) (+6) . (-3) . (-1)
20 0 00 Recuerda la regla de los signos y divide.
a) (+24) : (-8)
b) (-140) : (+7)
e) (-130) : (-13)
d) (+77) : (-7)
e) (-18) : (-1)
f) (-156) : (-13)
Eil _OD Ejercicio
resuelto
(+48) : [(-6) . (+4)]
~
[(+48) : (-6)] . (+4)
~
~
(+48) : (-24)
Calcula.
~
a)13-(6+5)
-2 b) 8 - (6 + 5)
el (4 + 8) - (3 - 9)
d) 10 + (8 - 15 + 2 - 6)
e) 12 - (7 + 11 - 14 - 8)
f) (6 - 12 + 2) - (11 - 4 + 2 - 5)
:::J::J Ejercicio
resuelto
[(+2) + (-12)] - [(3 -7) - (7 - 2)] =
= [(+2) + (-12)] - [(-4) - (+5)] =
= [2 - 12] - [-4 - 5] = [-10] - [ - 9] = -10 + 9 =-1
if1
[iJ Ultipllcación V división
00 Calcula.
a) (5 - 7) - [(-3) + (-6)]
b) (-8) + [(+7) - (-4) + (-5)]
e) (+9) - [(+3) - (3 - 12) - (+8)]
d) [(+6) - (-8)] - [(-4) - (-10)]
e) [(2 - 8) + (5 - 7)] - [(-9 + 6) - (-5 + 7)]
/
(-8) . (+4)
~
-32
(+48) : [(-6) . (+4)] =
[(+48) : (-6)] . (+4) =
= (+48) : [-24] =-2
= [-8] . (+4) = -32
22 0 00 Opera como en el ejercicio resuelto anterior. a) (-18) : [(+6) . (-3)]
b) [(-18) : (+6)] . (-3) e) (+54) : [(-6) : (+3)]
d) [(+54) : (-6)] : (+3)
EE _ ~O Elerclclo
resuelto
6 . 5 - 4 . 7 - 28 : 4 + 36 : 9 -----=--------~
~ ~
30 - 28 - 7 + 4
~
34 - 35 'V -1
6 . 5 - 4 . 7 - 28 : 4 + 36 : 9 = 30 - 28 - 7 + 4 =
= 34 - 35 = - 1
24 o o o Efectúa como en el ejercicio resuelto anterior.
a) 2 . 7 - 3·4 - 2·3
b) 30 : 6 - 42: 7 - 27: 9
e) 3 . 5 - 4 . 6 + 5 . 4 - 6 . 5
d) 5 . 4 - 28 : 4 - 3 . 3
iercicios v problemas rn . -o Eierclcio re nelto
Calcular: (-3) . (-4) - (+2) . (-9) - ( -7) . (-S)
(-3) . (-4) - (+2) . (-9) - (-7) . (-5)
~
~
L-----­
(+12) - (-lS) - (+35)
~
I
/
12+1S-35
V
/
EIiJ _ =c Ejerclclo resuelto
(+12) - (+2) . [(-3) - (-8)] =
= (+12) - (+2) . [-3 + S]
= (+12) - (+ 10)
=
=
(+12) - (+2) . [+5] =
12 - 10 = +2
30 000 Calcula, paso a paso, como en el ejercicio re­
suel to anterior.
30 - 35
V
-5
a) (-3) . [(-9) - (-7)]
b) 2S : [(-4) + (-3)]
(-3) . (-4) - (+2) . (-9) - (-7) . (-5) =
e) [(-9) - (+6)] : (-5)
= (+12) - (-lS) - (+35) = 12 + 18 - 35 =
d)(-11)-(-2) ·[15-(+11)] ­
=30-35=-5
e) (+5) - (-lS): [(+9) - (+15)]
­
'"-__
f) (-4) . [(-6) - (-S)J - (+3) . [(-11) + (+7)]
26 00 0 Resuelve explicando el proceso, igual que en el
g) [(+5) - (+2)] : [(-S) + (-3) - (-10)]
ejercicio resuelto anterior.
31 000 Opera.
a) 16 + (-5) . (+4)
b) 20 - (-6) . (- 4)
a) S + (4 - 9 + 7) . 2 + 4 . (3 - S + 4)
e) (-2) . (-5) + (+4) . (-3)
b) 4 . [(+5) + (-7)]- (-3) . [7 - (+3)]
d) (-S) . (+2) - (+5) . (-4)
e) (-3) . (+11) - [(-6) + (-S) - (-2)] . (+2)
e) 10 + (-4) . (+2) - (+6)
d) (-6) . [(-7) + (+3) - (7 + 6 - 14)]- (+7) . (+3)
f) (-5) - (+4) . (-3) - (-S)
g) 14 - (+5) . (-4) + (-6) . (+3) + (-S)
h) (+4) . (-6) - (-15) - (+2) . (-7) - (+12)
I] otencias
V
raíces
32 0 00 Calcula:
21 00 0 Calcula como en el ejemplo.
(-4) . (2 - 7) = (-4) . (-S) = +20
a)3·(3-5)
b)4·(S-6)
e) 5 . (S - 12)
d) (-2) . (7 - 3)
e) (-4) . (6 - 10)
f) (-5)· (2 -9)
g) 16: (1 - 5)
h) (-35) : (9 - 2)
i) (-14) : (5 + 2)
j) (2 - S) : 3
k) (5 + 7) : (-4)
1) (12- 4): (-2)
28 000 Opera estas expresiones:
a) El cuadrado de (-S).
b) El cuadrado de (-20).
e) El cubo de (-S).
d ) El cubo de (-20).
33 D OC Halla las potencias siguientes: a) (+1)10
b) (_1)10
e) (-1)1 d) (_4)4
e) (+S)2
f) (-9)2
g) (-10)1
h) (+9)3
i) (-3)5
a) (_3)3
b) (+3)3
e) -3 3 d) (_3)4
e) (+3)4
f) _3 4
34 00 0 Calcula. a) 35 + 7· (6 - 11)
b) 60 : (S - 14) + 12
35 000 Averigua el valor de x en cada caso: e) (9 - 13 - 6 + 9) . (5 - 11 + 7 - 4)
a) x 3 = -125
d) (6 + 2 - 9 - 15) : (7 - 12 + 3 - 6)
e)
e) -(S + 3 -10) · [(5 -7): (13 -15)]
e) (_x)4 = SI
xII
= -1
b) (_x)3 = -125 d)(-x)II=-1 f) x 3 = -1 000 1
. - - <~
36 000 Calcula, usando las propiedades de las potencias.
a) (_5)4 . (_2)4
b) (_4)4. (-5)4
c) (-18)3: (_6)3
d) (+35) 3 : (_7)3
e) [(-5)3]2: (-5)5
f) [(+8) 4J3 : (-8) 10
31 00 0 Opera estas expresiones:
43 000 Un día de invierno amaneció a dos grados bajo
cero. A las doce del mediodía la temperatura había su­
bido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subió 3 gra­
dos más. Desde las cinco a medianoche bajó 5 grados,
y de medianoche al alba, bajó 6 grados más. ¿A qué
temperatura amaneció el segundo día?
44 0
a) (+12) 3 : (-12)3
b) (-8)9: (_8) 8
c) [(-5)4. (-5)3J : (+5)5
d) (_6) 7: [(+6)2. (+6)3J
00 Un buzo que hace trabajos en una obra subma­
rina se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el
nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes:
e) [(-2)1 : (-2)4J : (_2)3
f) (_2)7: [(_2)4: (-2)3J
a) Baja 20 metros para dejar material.
38 0 00 Halla, si existe, el resultado exacto o aproximado.
a) ~(+121)
b) ~(-121)
c) ~(+225)
d) ~(+250)
e) ~(-250)
f) ~ (+400)
g) ~(-9 00)
h) ~(+1 000)
i) ~(+10000)
b) Baja 12 metros más para hacer una soldadura.
c) Sube 8 metros para reparar una tubería.
d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma.
¿Cuántos metros ha subido en su último desplaza­
miento hasta la plataforma?
45 0 0 0 Alejandro Magno, uno de los más grandes gene­
os números negativos
en la calculadora
rales de la historia, nació en 356 a.e. y murió en 323 a.e.
¿A qué edad murió ? ¿Cuántos años hace de eso?
, • .:I n Eiercicio resuelto
Escribir el número -13 en la pantalla de una calcu­
ladora.
Q
20
~
--7 1_'_: 1 SEPTIEMBRE
• Con las teclas de memoria: 13 @~
--7 1
b) -12
':3 1 c) -328
--7 Pérdidas de 2475 €
mensuales.
--7 Ganancias de 8230 €
mensuales.
--7 Ganancias de 1 800 € .
OCfUBRE-DICIEMBRE
--7 Pérdidas de 3 170 €
mensuales.
¿Cuál fue el balance final del año?
40 00 0 Utilizando los procedimientos del ejercicio re­
suelto anterior, escribe en la pantalla de tu calculadora:
a) -3
ENERO-1vlAYO
JUNIO-AGOSTO
• Por medio de una resta: 7
46 DO O El empresario de un parque acuático hace este re­
sumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año:
d) -1 000
41 00 0 Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el
saldo que ten ía el 6 de noviembre, sabiendo que el 15 de
octubre se cerró con un saldo de 250 € .
10 00 Realiza con la calculadora las operaciones siguientes:
BANCO KOKO
---
a) 26 - 50
b) -126 - 84 r­
r­
c) (-43) . (-15) -
d) 1 035 : (-45)
-
roble mas
2 000 En una industria de congelados, la temperatura
en la nave de envasado es de 12 oC, yen el interior del
almacén frigorífico, de 15 oC bajo cero. ¿Cuál es la di­
ferencia de temperatura entre la nave y la cámara?
-
-
-
FECHA
16· X
EXTRACTO DE MOVIMIENTOS
nO de cuenta................................ ,. ",
H
D
CONCEPTO
150 €
ótracción cajero
25· X
2€
31 ·X
1284 €
Devoluci6n comisi6n
Abono nómina
2· Xl
84 €
Gasto tarjeta comercio
3 - Xl
100€
Extracción cajC(Q
3· Xl
572 €
Préstamo hipotecario
5· Xl
65 €
Recib o luz
'9 -i k . -~
I
,
-
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-l
-
1..
esarrolla tus competencias
ee e infórmate
LoS cuadrados mágicos
La mente humana además de utilizar los números como herramienta
para el desarrollo científico y tecnológico, ha ideado múltiples formas
de jugar con ellos. Un ejemplo son los cuadrados mágicos, que consis­
ten en distribuciones cuadradas de números ordenados de forma que la
suma de los elementos de cualquier fila, columna o diagonal es siempre
la misma.
Los cuadrados mágicos han aparecido desde tiempos remotos, en las
más diversas culturas, como puedes apreciar en este cuadrado chino, el
más antiguo que se conoce, de dimensiones 3 X 3:
6
8
--. 7
5
3
2
9
4
• Comprueba que en el cuadrado de arriba,
filas, columnas y diagonales suman 33.
• Construye un cuadrado mágico de 3 X 3 con los
números enteros comprendidos entre el --4 y el +4.
Ayuda: ¿Cuánto valdrá la suma de cada línea?
nvestiga En este cuadrado mágico que aparece en el grabado "Melancolía" de Alberto Durero, to­
das las líneas suman 34:
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
Busca en él más grupos de cuatro números con la
mIsma suma. ¡Comprobarás que es doblemente
mágico!
xprésate evos cuadrados
DadOS
- ':-crva la ilustración, comprueba que todos los cuadra­
_ . son mágicos y describe cómo se han obtenido.
- 6 4 26
8
-3
1
--4
Sara y Abel tiran dos dados idénticos.
- 5 - 6 5
2
3
O
- 2 - 1 4
7 6 - 7
40 1 -2 31
7 22 25 16
19 10 13 28
4 37 34 -5
Explica por qué Sara tiene más posibilidades de ga­
nar que Abe!.
utoevaluación: reflexiona sobre tu aprendizaje
:Crees que utilizas correctamente los NÚMEROS POSITIVOS
''- NEGATIVOS para expresar situaciones cotidianas?
5. Autoevaluación.
¿Sabes MULTIPLICAR
enteros?
¿Sabes DIVIDIR
enteros?
¿Conoces cuál es el CONJUNTO Z y cuáles son sus elementos? ¿Sabes resolver expresiones
con OPERACIONES COMBINADAS?
¿Sabes REPRESENTAR números enteros en la recta?
;Sabes ORDENAR números
enteros?
¿Sabes SUMAR YRESTAR números
positivos y negativos?
¿Sabes resolver expresiones con su­
mas, restas y PARÉNTESIS?