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TEMA 0: REPASO DE NÚMEROS.
Vamos a repasar cómo se hacen las operaciones básicas con los
distintos números que seguro has estudiado en secundaria:
Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al
resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8 (dos positivos da positivo)
(−3) + (−5) = −8 (dos negativos da negativo)
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le
restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor
absoluto.
−3+5=2;
3 + (−5) = −2 ;
3 −5 = −2
(cuando cada uno es de un signo el signo del resultado depende del mayor)
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como
valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene
de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = −10
(−2) · 5 = −10
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores
absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
Potencia de números enteros
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo
valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de
la aplicación de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
Propiedades
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · a n = am+n
(−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
4. División de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
am : a n = am — n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 — 2 = (−2)3 = −8
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los
exponentes.
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 33 = (−2)3 = −8
Potencias de exponente entero negativo
Un número elevado a −1, es el inverso de dicho número.
Operaciones combinadas. Jerarquía de las operaciones
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º. Calcular las potencias y raíces.
3º. Efectuar los productos y cocientes.
4º. Realizar las sumas y restas.
Operaciones combinadas
1. Sin paréntesis
1.1 Sumas y diferencias.
9−7+5+2−6+8−4=
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
=9−7+5+2−6+8−4=7
1.2 Sumas, restas y productos.
3·2−5+4·3−8+5·2=
Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las
dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
2. Con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Con paréntesis y corchetes
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2=
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos.
= 83
Ejercicio de operaciones combinadas
14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =
Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =
Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =
14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =
La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los
términos que contenga.
Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de
signo a todo los términos que contenga.
14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en otras
equivalentes que tengan el mismo denominador. Para ello:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
2º Este denominador común, se divide por cada uno de los denominadores,
multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
12 = 22 · 3
9 = 32
m.c.m.(3, 12, 9) = 22 ·32 = 36
Ordenar fracciones
Fracciones con igual denominador
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor
numerador.
Fracciones con igual numerador
De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor
denominador.
Con numeradores y denominadores distintos
En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.
Es menor la que tiene menor numerador.
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o
se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
Operaciones combinadas con fracciones
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Ejemplo:
2−
3
5
2
+
5 3
6 1
− − ∙
8 4
5 3
4
∙
1
2
3
: 5−
6
=
5
Primero operamos los paréntesis. En las restas calculamos el mínimo común
múltiplo y el producto lo hacemos directamente.
10 3
−
5 5
2
5 6
6
+ − −
8 8
15
4
1
∙
2
3
:
25 6
−
=
5 5
Acabamos las tres restas.
7
5
2
−1
6
+
−
8
15
4
1
∙
2
3
:
19
=
5
Calculamos las potencias y ya no escribimos los paréntesis.(Se puede simplificar la
tercera fracción para evitar que los números sean muy altos).
49
−1
1296 1 19
+
−
∙ :
=
25
8
52625 8
5
Realizamos el producto y lo simplificamos.
49
−1
1296
19
+
−
:
=
25
8
421000
5
49
−1
6
19
+
−
:
=
25
8
1875
5
Realizamos las operaciones del corchete. Para ello calculamos el mínimo común
múltiplo de 25, 8 y 1875 que es 15000.
29400 − 1875 − 48 19
:
=
15000
5
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
27477 19
27477 19 137385
9159
:
=
:
=
=
15000
5
15000 5
285000 19000
Fracción generatriz
Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción,
llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado
sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el
número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número
formado por tantos nueves como cifras tenga el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el
número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no
periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras
tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no
periódica.
Números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de
dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por
.
Representación de números racionales
Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales:
1.-Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.
2.-Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que
deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.
3.-Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y
trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del
segmento auxiliar.
En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.