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Unidad 1
números
naturales,
enteros y
fraccionarios
2º ESO
1
2
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Concepto de número entero: diferenciación entre número
entero, natural y fraccionario.
Representación gráfica y ordenación.
Valor absoluto de un número entero.
Suma de números enteros.
Resta de números enteros.
Suma y resta combinadas.
Multiplicación y división de número números enteros.
Operaciones combinadas.
Fracciones y porcentajes.
Fracciones equivalentes.
Sumas y restas de fracciones.
Multiplicaciones de fracciones.
Divisiones de fracciones.
Operaciones combinadas con fracciones.
3
Números enteros




El conjunto de los números enteros está
formado por los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero.
Z = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Se dividen en tres partes: enteros positivos o
números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros
positivos, se considera a los números
naturales son un subconjunto de los números
enteros.
4
Representación gráfica de
números enteros
5
Valor absoluto de un número
entero

El valor absoluto de un número entero es el
número natural que resulta al suprimir su signo.
|−a| = a

|a| = a
Se utiliza para poder medir distancias:
Ejemplo: Si me encuentro en el piso -5 y voy al piso 4, cuál es
la distancia que los separa?
|-5| = 5
|4| = 4
4+5 = 9
La distancia que los separa es de 9 pisos.
6
Ejercicio
Halla el valor absoluto de:
a) -4 =

b)
+5 =
c)
-13 =
d)
+27 =
e)
-1 =
f)
+18 =
7
Criterios para ordenar los
números enteros




Todo número negativo es menor que cero.
−7 < 0
Todo número positivo es mayor que cero.
7>0
De dos enteros negativos es mayor el que
tiene menor valor absoluto.
−7 >− 10
|−7| < |−10|
De los enteros positivos, es mayor el que tiene
mayor valor absoluto.
10 > 7
|10| > |7|
8
Ejercicio
 Compara
a)
+7 y +3
b)
-2 y -5
c)
+5 y -3
estos números enteros:
9
Suma y resta de números
enteros

Si los sumandos son del mismo signo, se suman los
valores absolutos y al resultado se le pone el signo
común.
3+5=8
(−3) + (−5) = − 8

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los
valores absolutos (al mayor le restamos el menor)
y al resultado se le pone el signo del número de
mayor valor absoluto.
−3+5=2
3 + (−5) = − 2
10
ejercicios

a)
Resuelve:
(+7)+(+6)=
b) (+6)+(-7)=
c) (+6)-(+7)=
d) (+6)-(-7)=
e) (+12)+(+25)=
f) (-7)-(-11)=
mismo signo:
|+6| + |+7| = 6+7= 13
distinto signo:
|+6| - |-7| = 6 - 7= -1
11
g) (+10)+(-9)=
h) (-21)+(-17)=
i)
(+24)+(-7)=
j) (+31)+(-16)=
k) (-9)+(+9)=
l) (+31)+(+11)=
12
Operaciones combinadas de
suma y resta

Para sumar y restar varios números sumamos y
restamos los números en el orden en que
aparecen.

(-3)+(8-4)-(-4+3) = se puede solucionar de dos
formas:
a) quitamos paréntesis:
= -3+8-4+4-3 = 2
b) Solucionamos paréntesis:
= -3+(4)-(-1)= -3+4+1= 2
13
Ejercicios
a)
-11+8-6-7+9=
b)
3-8+12-15-1+10-4=
c)
-(4-9+3)+(11-8-7)+(-15)=
d)
(+3)-(4+7-9)-(-19+3-10)+(-2)=
14
e) (-3) +(+11)+(+8)+(-5)+(-4)=
f) (+4)+(-4)+(-12)+(+2)+(-5)=
g) (-4)-(-4)-(+12)+(-2)+(+5)=
h) (-5)+(-14)+(+10)+(-15)+(+23)+(-11)=
15
Multiplicación y división de
números enteros


La multiplicación de varios números enteros
es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de los valores absolutos
y, como signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.
La división de dos números enteros es igual al
valor absoluto del cociente de los valores
absolutos entre el dividendo y el divisor, y
tiene de signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.
16
Regla de los signos
17
Ejemplos
a)
(+3)·(+5)= +15
b)
(+3)·(-5)= -15
c)
(-3)·(+5)= -15
d)
(-3)·(-5)= +15
18
Ejercicios
a)
(-3)·(+2)=
e) (+12)·(-6)=
b)
(+5)·(-4)=
f) (-21):(+7)=
a)
(-5)·(-7)=
g) (-49):(-7)=
b)
(-1)·(+5)· (-2)=
h) (-36):(-6)=
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Operaciones combinadas
Cuando hablamos de operaciones combinadas
estamos hablando de un ejercicio que incluya varias
de las operaciones que hemos visto hasta ahora, es
decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para
ello, debemos recordar el orden de preferencia de
dichas operaciones:
1º.- Multiplicación y división
2º.- Sumas y restas
Además, siempre que haya paréntesis y corchetes
debemos resolverlos primero, teniendo en cuenta que
dentro de ellos debemos seguir respetando ese
mismo orden de preferencia.
20
Ejemplo:
(-12) : 3 + (14 - 3 · 7) ·2 - 6 : (-3) =
Primero resolvemos el
paréntesis,
= (-12) : 3 + (14 - 21) ·2 - 6 : (-3) =
dentro del paréntesis
efectuamos primero la multiplicación,
= (-12) : 3 + (-7) ·2 -6 : (-3) =
ahora resolvemos la
multiplicación y las dos divisiones,
= -4 + (-14) - (-2) =
por último, eliminamos paréntesis,
= -4 - 14 + 2 =
y resolvemos.
= -18 + 2 = -16
21
Ejercicios
a) –5 · (-2) · 8 - 4 + 6 · (-2) =
b) 6 – 9 + 8 · 5 – 2 · 4 – 9 =
c) 4 – 5 · 3 + 6 ·(-4) : 8 – 9 =
d)
e) -15 + (4 - 6 · 2) + [9 · 2 - 6 : (-3)] - 7=
f) -[12 + 6 ·(-3) : (-9)] + 3 · (-4) =
g) (-8 · 5 + 3 · 7) - 13 + 4 · (-2) : (-8) + 9 =
h) 21 - 5 · 3 + (-2) · [(+16) : (-4) - 6 + 9] =
22
i) (-5)*(16:4)=
j) (-24 : 3) * (-9)=
k) (-28)*4 =
(-7)*(-4)
l) (32 : (-4)) * (-6) =
8*(-12 : -4)
m) -(-6) + (-12)*(-15 : (-5)) =
(-20:4)*(-3) -5
23
Descomposición en factores
primos
 Un
número entero se puede expresar de
forma única como producto de distintos
números primos elevados a potencias. A
esta expresión se le llama
descomposición en factores primos del
número.
Ejemplo:
descompón 12 en factores primos:
12 = 2·2·3 = 22·3
24
Mínimo común múltiplo
(m.c.m.)

Es el menor de todos múltiplos comunes a
varios números, excluido el cero.
1. Se descomponen los números en factores
primos
2. Se toman los factores comunes y no
comunes con mayor exponente.
Ejemplo: Hallar el m. c. m. de: 72, 108 y 60.
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080
25
Máximo común divisor
(m.c.d.)

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el
mayor número que divide a todos exactamente.
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo: Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
m. c. d. (12, 36) = 12
26
Ejercicios
 Calcula
el mcm y el mcd de:
a)
8, 20 y 42
b)
18,45 y 96
27
Problema
1.- Un faro se enciende cada 12 segundos,
otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de la tarde los tres
coinciden.
Averigua las veces que volverán a coincidir
en los cinco minutos siguientes.
28
Respuesta
12 = 22 · 3
18 = 2· 32
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h.
29
Problema
 En
una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas
capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su
contenido se quiere envasar en cierto
número de garrafas iguales. Calcular las
capacidades máximas de estas garrafas
para que en ellas se pueden envasar el vino
contenido en cada uno de los toneles, y el
número de garrafas que se necesitan.
30
Respuesta
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115
garrafas.
Problema
 Luís
viaja a Barcelona cada 15 días y su
hermana Marta lo hace cada 20 días.
¿Cuándo coincidirán de nuevo en
Barcelona si la última vez que
coincidieron en esta ciudad fue el 2 de
octubre?
31
32
Respuesta
15= 3·5
20 = 22·5
mcm (15,20)= 60
Coinciden cada 60 días, es decir, el 1 de
diciembre.
Fracciones y
porcentajes
33
34
Fracciones
Una fracción es una expresión de la forma a/b , donde a
y b son dos números enteros, llamados respectivamente
numerador (a) y denominador (b), con la condición de
que el denominador no puede ser igual a cero.
Una fracción expresa un valor respecto a un total al que
llamamos unidad. En ese caso, el denominador b expresa
las partes en las que se divide dicha unidad y el
numerador a, el número de partes que se toman.
Ejemplo:
si tenemos la fracción 3/5, dividimos la unidad en 5
partes y tomamos 3
numerador es menor que el
denominador se le llama fracción propia.
Si tenemos una fracción, por ejemplo 7/6, cuyo
numerador es mayor que el denominador se llama
fracción impropia.
35
Representación gráfica de
fracciones
36
Fracción como operador
Una fracción a/b puede actuar como
operador de un número.
Para calcular su valor se multiplica el
numerador por el número, y el resultado se
divide entre el denominador.
Ejemplo:
¿Cuánto son los 3/5 de 7500 €?
Ejercicios
 Calcula
como el ejemplo:
a)
4/7 de 504 kg
b)
15/24 de 360€
c)
2/13 de 650 km
37
38

También podemos encontrar el contrario, de una parte
encontrar el total:
Ejemplo: Los 3/8 de una tarta pesan 420 g. ¿Cuánto pesa la
tarta?
3/8 del total = 420 g
Nos puede ayudar un dibujo a resolverlo:
420 g.
En este caso procedemos a la inversa; multiplicamos por el
denominador y dividimos por el numerador:
420· 8 / 3 =
3360 /3
= 1120 g
Ejercicio:
Si los 2/7 de un depósito de agua son 240 litros, ¿cuál será la
capacidad total del depósito?
39
Porcentajes:
 Un
porcentaje es usar como operador
una fracción con denominador 100.
Ejemplo: Calcula el 25% de 7500 sandías
25% de 7500 sandías =
25
25  7500 187500
de 7500 sandías 

 1875 sandías
100
100
100
Ejemplo: Si el 20% de un grupo de personas
son 240. ¿Cuántas había en total?
20% del total =
20
del total  240 personas
100
40
Ejercicios
Calcula:
10 % de 2500 =
10 % de 250 =
24 % de 4000 =
32 % de 5000 =
20 % de 750 =
40 % de 500 =
16 % de 1000 =
70 % de 370 =
46% de 2000 =
180 % de 20 =
41
2.- Calcula :
25 % de 456 =
65 % de 48 =
48 % de 42,8 =
73 % de 1850 =
5,5 % de 5,5 =
160 % de 150 =
3.- En el aparcamiento de unos grandes
almacenes hay 420 coches, de los que el
35 % son blancos.
¿Cuántos coches hay no blancos?
42
5.- En una ciudad de 23 500 habitantes, el 68% están
contentos con la gestión municipal. ¿Cuántos
ciudadanos son?
6.- Por haber ayudado a mi hermano en un trabajo, me da el
12% de los 50 € que ha cobrado.
¿Cuánto dinero recibiré?
7.- Pedro posee el 51% de las acciones de un negocio. ¿Qué
cantidad le corresponde si los
beneficios han sido de 74 500 €?
8.- Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos
docenas de pasteles y yo me he comido 9.
¿Qué porcentaje del total me he comido?
43
9.- De 475 hombres encuestados solamente
76 declaran saber planchar. ¿Qué
porcentaje de hombres reconocen saber
planchar?
10.- El 24% de los habitantes de un pueblo
tienen menos de 30 años. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo si hay 90 jóvenes
menores de 30 años?
11.- ¿Cuánto me costará un abrigo de 360
euros si me hacen una rebaja del 20%?
44
Fracciones equivalentes
 Es
el caso de expresar una misma porción
de unidad con dos fracciones diferentes,
por ejemplo 3/4 y 6/8
¿Cómo lo comprobamos?
a
c
y
son equivalentes si a · d = b · c
b
d
45
Ejercicio
24
6
y
36
9
75
45
y
89
61
12
144
y
25
300
46
Amplificación y simplificación
de fracciones
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto
de extremos es igual al producto de medios.
a/b = c/d
a y d son los extremos; b y c, los medios.

Ejemplo: Calcula si son equivalentes las fracciones:
4/6 y 8/12
4 · 12 = 6 · 8

48 = 48
Sí
Si se multiplica o divide el numerador y denominador
de una fracción por un número entero, distinto de
cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.
Al segundo caso le llamamos simplificar.
47
Jerarquía de las operaciones
Primero operamos con las productos y números
mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el
segundo, simplificamos en el tercero y operamos en
el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos
y simplificamos el resultado.
48
Ejemplo:
49
Ejercicios para repasar
Saca factor común y resuelve:
a)
6. 5 + 42 + 6 . 3 – 6 . 4 =
b)
72 – 24 + 48 – 12 =
1.
2. Calcula el valor de las expresiones:
a) 24 – 6 . 2 + 8 : 4 =
b) 5 . (6 + 9 . 7) – 3 . (7 . 8 – 4 . 3) =
c) (21 – 4 . 3) . 5 + 6 . (9 – 4) =
d) (18 – 4) . 2 + 12 – 5 . 6 =
e) 36 : (9 – 5) + 4 =
50
a)
3/5 + 1/7 + 3/10
½ - 2/5
b)
[7/9 * 2/3] : [1/4 –1/3]
[ ¼ + 1/6] –1/5
c)
1 + [(2/3 +1/6) : ¾]
4/3 – 2
d)
(2/3*5/6* 7/8) -1
4/3 +5/6
51
 EJERCICIOS
OPTATIVAS.docx