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Matemáticas
edebé
3
ESO
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
1
Números racionales
COMPETENCIAS BÁSICAS
Competencia matemática
• Realizar cálculos con números racionales en diferentes situaciones.
• Utilizar el cálculo mental como herramienta para
agilizar las operaciones aritméticas.
Competencia en comunicación lingüística
• Organizar la información e integrarla con los
conocimientos propios.
Competencia para aprender a aprender
• Utilizar de forma eficiente recursos, técnicas y
estrategias para nuevos aprendizajes y garantizar su
eficacia.
CONTENIDOS
1. Fracciones
1.1. Fracciones equivalentes
2. El conjunto de los números racionales
2.1. Concepto de número racional
2.2. Representación y ordenación de los números racionales
2.3. Números racionales y números decimales
3. Operaciones con números racionales
3.1. Suma, resta, multiplicación y división
3.2. Potenciación y radicación
3.3. Operaciones combinadas
4. Porcentajes
6
Unidad 1
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD
• Los números naturales son los números que utilizamos para
contar, y forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que representamos por la letra ⺞
⺞ : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
• Dos números naturales son primos entre sí cuando su único divisor común es 1.
• Para calcular el M.C.D. de dos o más números se multiplican
los factores primos comunes a dichos números elevados
al menor exponente.
• Para calcular el m.c.m. de dos o más números se multiplican
los factores primos comunes y no comunes a dichos números elevados al máximo exponente.
• El conjunto de los números enteros se representa por la
letra ⺪ y está representado por los números naturales precedidos de signo y el 0.
⺪ : {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}
• Una fracción es la expresión de una división entre dos números, el numerador y el denominador.
Así, 1 : 5 = 1
5
En general las películas de cine se graban a 24 fotogramas por segundo,
o lo que es lo mismo, en un segundo, se graban 24 imágenes, que
luego proyectadas logran generar la sensación de movimiento en la
pantalla. ¿Cuántos segundos dura un fotograma? ¿En un minuto,
cuántos fotogramas hay?
— En el cine mudo la frecuencia de grabación era de unos 17 fotogramas por segundo. En este caso ¿cuántos fotogramas hay en un
minuto?
Cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico.
Decimales limitados: −3,9; 4,25; 0,832…
Decimales
ilimitados
periódicos
Puros: 0, 23 …
…
Mixtos: 9, 7415
Números racionales
7
1. Fracciones
Los números enteros, positivos y negativos, no bastan para expresar cantidades
que se presentan habitualmente. Así por ejemplo, para repartir un litro de naranjada entre cinco amigos debe efectuarse la división 1 : 5 que puede expre1
sarse mediante la fracción .
5
Una fracción es toda expresión de la forma a en la que a y b son números
b
enteros, siendo b ≠ 0.
Toda fracción consta de dos términos:
Numerador
Denominador
a
b
Una fracción puede interpretarse de tres formas distintas:
FRACCIÓN COMO PARTE
DE UN TODO O UNIDAD
FRACCIÓN COMO DIVISIÓN
ENTRE DOS ENTEROS
FRACCIÓN COMO RAZÓN
DE MEDIDA
A
B
C
Cuando decimos que hemos estado un cuarto
de hora esperando, significa que hemos dividido la hora en 4 partes y el tiempo de espera
corresponde a una de estas partes.
Para repartir 2 L de naranjada entre cinco amigos efectuamos la división 2 : 5.
2:5=
D
3
La longitud de AB es de la longi5
tud de CD.
2
= 0, 4 L
5
Las fracciones pueden clasificarse en:
• Fracciones propias: fracciones menores que la unidad.
1
3
RECUERDA
Las fracciones, igual que los números enteros, pueden ser positivas o negativas.
• Fracciones iguales a la unidad:
Toda fracción positiva puede expresarse
como el cociente de dos números enteros,
ambos positivos o ambos negativos.
+9
−9
9
=
=
+16 −16 16
Toda fracción negativa puede expresarse
como el cociente de dos números enteros,
uno de ellos positivo y el otro negativo.
−2
2
2
=
=−
3
−3
3
8
Unidad 1
3
=1 →
3
• Fracciones impropias: fracciones mayores que la unidad
4
3
→ 1 unidad +
1
3
Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma parecida a como representamos los números enteros.
–1
–
3
5
0
1
4
1
1.1. Fracciones equivalentes
Dos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad y verifican
que el producto en cruz de sus términos da el mismo resultado.
Dos fracciones, positivas o negativas, son
equivalentes si representan el mismo punto sobre la recta.
a
y c son equivalentes si se cumple: a ⋅ d = b ⋅ c
b
d
Las fracciones
Para obtener una fracción equivalente a una dada podemos proceder de dos
maneras a partir de la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:
Multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número entero distinto de 0.
·3
24
8
36
12
·3
FÍJATE
–
2
3
–
4
6
1
3
0
–1
+1
2
6
Dividimos el numerador y el denominador por un mismo número entero distinto de 0.
:2
4
8
6
12
:2
Si dividimos, conseguimos simplificar la fracción. Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible.
Una fracción se llama irreducible si el numerador y el denominador son números primos entre sí.
Veamos los diferentes procedimientos para calcular la fracción irreducible equivalente a una dada.
Dividimos sucesivamente el numerador Descomponemos el numerador y el denomiy el denominador entre divisores co- nador en factores primos.
munes de ambos hasta obtener la fracDividimos el numerador y el denominador por
ción irreducible.
los factores comunes.
1050 105 35 5
=
=
=
1260 126 42 6
:10
:3
c)
8 y 34
28 119
e)
72 y 42
168 98
■ Fracciones equivalentes
Calculamos el M.C.D. de los términos de la fracción.
Dividimos el numerador y el denominador por
su M.C.D.
3. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreducibles
equivalentes.
−24 105 42 −342 173 360 −188
,
, ,
,
,
,
36 540 18 −285 252 480 −705
— Explica qué procedimiento has utilizado.
ACTIVIDADES
a) 15 y 21
35 49
24
36
1050 1050 : 210 5
=
=
1260 1260 : 210 6
:7
2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.
8
12
M.C.D. (1050, 1260) = 210
1050
2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅5⋅ 7
5
=
=
1260
2 ⋅2⋅ 3 ⋅3⋅ 5 ⋅ 7
6
1. Se deben repartir 2 panes y 4 salchichas a partes iguales enCB tre 3 comensales. ¿Cómo efectuarías el reparto?
4
6
4. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fracciob) 6 y 8
82 109
d) 72 y 102
42 63
f ) 35 y 60
28 48
nes irreducibles correspondientes, ¿puedes determinar a
partir de éstas si las fracciones iniciales son equivalentes?
Justifica tu respuesta.
Números racionales
9
2. El conjunto de los números
racionales
Ya conoces el conjunto de los números naturales ⺞ y el de los números enteros ⺪. Vamos a definir un nuevo conjunto que englobe a las fracciones.
FÍJATE
Hemos visto que todas las fracciones equivalentes representan el mismo punto sobre la recta.
Así pues, a cada número racional le corresponde un único punto sobre la recta.
2.1. Concepto de número racional
Dada una fracción cualquiera, podemos calcular infinitas fracciones equivalentes.
2=4=6
3 6 9
0
1
FRACCIÓN
FRACCIONES EQUIVALENTES
12
18
2 4 6 −10
, , ,
...
3 6 9 −15
21
14
−3 3 −6 18
, , ,
...
2 −2 4 −12
−
El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un
número racional.
Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen2 4 6
tante de dicho número. Así, las fracciones , , ... representan el mismo nú3 6 9
mero racional.
El representante canónico de un número racional es la fracción irreducible
de denominador positivo, representante de ese número.
Así:
Número racional
FÍJATE
Los números enteros son un caso particular de números racionales cuyo representante canónico tiene denominador 1.
ACTIVIDADES
a=
10
⎧ 2 4 6 −10 12 ⎫
, ... ⎬
⎨ , , ,
⎩ 3 6 9 −15 18 ⎭
→
2
3
⎧ −3 3 −6 18 ⎫
, ,
... ⎬
⎨ ,
⎩ 2 −2 4 −12 ⎭
→
−3
2
Aunque podemos representar un número racional mediante cualquiera de las
fracciones que lo forman, es habitual utilizar el representante canónico.
El conjunto de los números racionales
se designa mediante la letra ⺡.
Este conjunto incluye al de los números enteros ⺪ y, por tanto, al de los números naturales ⺞.
a
1
5. Determina el representante canónico de cada uno de los siguientes números racionales.
8 1032 30 3 −54 33
,
, , ,
,
4 36 25 12 180 −187
Unidad 1
Representante canónico
6. ¿Cuántos números racionales diferentes hay
en esta serie?
−120 32 288 150 14 88
, ,
,
, ,
36 20 180 −45 26 55
2.2. Representación y ordenación de los
números racionales
RECUERDA
Para dividir un segmento en partes iguales podemos recurrir al método de Tales:
Para representar un número racional sobre la recta seguimos el siguiente procedimiento:
— Consideramos el representante canónico del número racional.
— Efectuamos la división entera del numerador entre el denominador. El cociente de esta división determina los dos números enteros que son extremos
del segmento donde se situará el número racional.
— Dividimos el segmento determinado por estos dos números enteros en
tantas partes como indica el denominador de la fracción y tomamos tantas
partes como indica el resto de la división.
— Dibujamos el segmento a y trazamos
desde uno de sus extremos una semirrecta. Sobre ésta situamos consecutivamente un mismo segmento b de longitud arbitraria tantas veces como divisiones deseemos realizar.
— Unimos el extremo libre del último segmento b con el extremo libre del segmento a y, a continuación, trazamos proyecciones paralelas desde los extremos
de cada segmento b.
b
b
3
4
–
3
5
–
10
4
–
10 = 5 ;
–
2
4
b
5
1
1
2
0
3
4
1
–1
–
3
5
–3
0
–2
10
–
4
b
2
2
–1
a
–2 y –3
0
@ Accede a la página www.youtube.com/
watch?v=G6sNHZNMM5o dónde encontrarás un video explicativo de como
dividir un segmento en partes iguales
utilizando el método de Tales.
Observa que si el número racional es positivo, quedará situado a la derecha
del 0 y, si es negativo, a la izquierda.
Al ordenar dos números racionales, representándolos sobre la recta y observando
sus posiciones relativas podremos compararlos.
Podemos comparar números racionales sin necesidad de representarlos sobre
la recta.
Para comparar números racionales de distinto denominador determinamos primero sus representantes canónicos, los
reducimos a común denominador y
comparamos las fracciones obtenidas.
Si dos fracciones tienen el mismo denominador positivo, es mayor la que tiene
el mayor numerador.
a c
c
a
Si está situado a la derecha de , se verifica > .
b d
d
b
–1
– 3
4
0
1
2
3
4
Comparación de números
racionales
+1
3 1
3
> >0>−
4 2
4
Así:
5 −12 −7 4
,
, ,
6 5 3 7
8. Ordena de mayor a menor estos números racionales.
1,
11 5 −2 4 −3
, , , ,
10 6 3 5 2
3
>
6
5
pues
20
15
>
18
15
9. Escribe cinco números racionales comprendidos entre
1 2
y .
3 3
Indicación: puedes tener en cuenta que la semisuma de dos
números (el resultado de su suma dividido entre 2) siempre
será igual a un número comprendido entre ambos y situado
en el punto medio del segmento que determinan.
Números racionales
ACTIVIDADES
7. Representa gráficamente estos números racionales.
4
11
2.3. Números racionales y números decimales
Todo número racional puede expresarse mediante una fracción y ésta,
a su vez, como un número decimal.
⎧ 2 −2 4 6 8 ⎫
2
, , , ,... ⎬ → → 0, 6666666666...
⎨ ,
3
3
6
9
12
3
−
⎩
⎭
@ Si accedes a la página http://descartes.cni
ce.mecd.es/3_eso/Fraccio nes_decima
les_porcentajes/Fraccion es_4.htm podrás
utilizar un applet para averiguar cuántos decimales, como máximo, forman el período
del número decimal correspondiente a una
fracción de denominador 11.
Todo número racional puede expresarse mediante el número decimal que
resulta de dividir el numerador entre el denominador de uno cualquiera de
sus representantes.
A todas las fracciones equivalentes de una misma fracción les corresponde el
mismo número decimal.
Expresión decimal de un número racional
Al buscar la expresión decimal de un número racional a pueden darse los sib
guientes casos:
El resto de la división a : b es 0 después de sacar una o varias cifras decimales.
77
55
220
00
1,4
29
4
10
20
0
7,25
Obtenemos un número decimal
limitado.
1,4; 7,25
El resto de la división a : b nunca es 0, por más decimales que saquemos.
Puesto que el resto debe ser menor que el divisor, llegará un momento en que se repetirá y,
por tanto, las cifras del cociente también se repetirán.
15
11
40
70
40
70
4
19
1,3636...
6
10
40
40
4
3,166...
Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico.
Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un número decimal ilimitado periódico puro.
Si el período no empieza inmediatamente después de la coma, es un número decimal ilimitado periódico mixto.
3,166... → 3,16
1,3636... → 1, 36
(
En un número decimal ilimitado y periódico las cifras que llevan el signo
piten, es decir, las que forman el período.
son las que se re-
Así, podemos clasificar los números racionales como sigue:
ACTIVIDADES
Números racionales
12
10. Escribe los siguientes números decimales indicando
cuál es su período y clasifícalos según sean periódicos puros o mixtos.
21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454...,
0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....
Unidad 1
冦
Decimales limitados
Decimales ilimitados
冦
Periódicos puros
Periódicos mixtos
11. Clasifica en limitados e ilimitados los siguientes números deci
; 1, 425; 2,143
;;. 0,42; 21,53; −0, 4 .
males: 2, 424242...; 3, 25
— Clasifica en puros o mixtos los números decimales ilimitados
periódicos.
Expresión fraccionaria de un número racional
FÍJATE
Acabamos de ver que todo número racional es un número decimal limitado o
ilimitado periódico.
77
= 1, 4
55
29
= 7, 25
4
)
15
= 1, 36
11
)
19
= 3,16
6
El conjunto de los números racionales ⺡ es
la unión del conjunto de los números decimales limitados y el de los ilimitados y periódicos.
La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limitado o ilimitado periódico es un número racional.
La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.
— Llamamos x a la fracción
generatriz:
x = 1,75
— Multiplicamos la expresión de x por la potencia
de 10 necesaria para eliminar la coma:
100 x = 175
— Despejamos x y simplificamos la fracción:
Halla la fracción generatriz del número
)
decimal periódico puro 16,45 .
— Llamamos x a la fracción generatriz:
)
x = 16, 45
— Multiplicamos la expresión de x por
la potencia de 10 necesaria para que
la coma quede justo después del
primer período:
100 x = 1 645, 4 545…
— A la expresión obtenida le restamos
la expresión inicial:
100 x = 1645,4545...
−x=
175 7
x =
=
100 4
Así: 1, 75 =
7
4
EJEMPLO 3
Halla la fracción generatriz
del número decimal limitado 1,75.
EJEMPLO 2
EJEMPLO 1
El número racional correspondiente al decimal dado será aquel que tenga dicha
fracción como representante canónico.
16,4545...
100 x − x = 1629
Halla la fracción generatriz del número de)
cimal periódico mixto 0,46 .
— Llamamos x a la fracción generatriz:
)
x = 0, 46
— Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma
quede justo después del primer período, y por la potencia de 10 necesaria para
que la coma quede justo antes del primer
período:
100 x = 46, 6666...
10 x = 4, 6666...
— Restamos las dos expresiones obtenidas:
100 x = 46, 6666...
−10 x = 4, 6666...
99 x = 1629
— Despejamos x y simplificamos la
fracción:
1629 181
x =
=
99
11
) 181
Así: 16, 45 =
11
100 x − 10 x = 42
90 x = 42
— Despejamos x y simplificamos la fracción:
x =
42
7
=
90 15
)
7
Así: 0, 46 =
15
12. Halla la expresión decimal de estos números racionales.
13 2 4 −5 4 −2 11
, , , , , ,
11 7 13 6 −4 −5 9
13. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales.
)
)
)
)
)
)
)
2,036; 75, 012 ; 9,99; 9, 07632 ; 1, 203 ; 0, 016 ; 0, 9 ; 21, 45 ; 0, 436
— ¿Qué sucede cuando el número es periódico puro de período 9?
Números racionales
ACTIVIDADES
Para comprobar que la fracción obtenida es la correcta, sólo tenemos que dividir su numerador entre su denominador.
13
Las fracciones en
la calculadora
Algunas calculadoras científicas están
preparadas para operar con números racionales en forma fraccionaria. Son las
que disponen de la tecla a b/c
Observa cómo efectuamos la operación
1 2
+ =
2 5
1
a b/c
2
+
2
a b/c
5 EXE
3. Operaciones con números
racionales
Hemos visto que un número racional está formado por una fracción y todas
sus equivalentes. Para sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales, tomaremos representantes de estos números y operaremos como si se tratase
de fracciones.
3.1. Suma, resta, multiplicación y división
Observa cómo sumamos los siguientes números racionales:
6
8
+
10 24
Comprueba si la calculadora ha obtenido el resultado correcto.
+
6
3
9
=
=
10
5
15
=
5
8
1
=
=
15
24
3
14
15
— Escogemos un representante de cada número racional. Podemos elegir cualRECUERDA
Reducir fracciones a mínimo común denominador significa hallar unas nuevas
fracciones equivalentes a las primeras cuyo
denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.
quiera; ahora bien, para agilizar el cálculo es aconsejable utilizar los representantes canónicos, 3 y 1 .
5 3
3 1
+
5 3
— Sumamos estas fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a mínimo
común denominador.
3 1 9
5 14
+ =
+
=
5 3 15 15 15
En el caso de 3 y 1 tenemos:
3
5
m.c.m. (3, 5) = 15
15 : 5 = 3;
3⋅3
9
=
5⋅3
15
15 : 3 = 5;
1⋅ 5
5
=
3⋅5
15
El resultado de la suma es el número racional del cual 14 es un representante.
15
3 1 14
+ =
5 3 15
Análogamente, para restar, multiplicar o dividir números racionales, operamos
también con representantes de cada uno de ellos, generalmente los canónicos por sencillez. Observa los ejemplos.
20 4
−
25 6
7 10
•
⋅
21 25
15 6
•
:
7 15
•
@ Si accedes a la página www.homeschool
math.net/worksheets/fraction_calcula
tor.php podrás utilizar un applet para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.
14
Unidad 1
→
→
→
4 2 12 10
2
− =
−
=
5 3 15 15 15
2
1 2
⋅ =
3 5 15
15 2 15 5 75
: =
⋅ =
7 5 7 2 14
Para operar con números racionales se escoge un representante de cada uno
y se efectúa la operación correspondiente.
Propiedades de la suma y de la multiplicación
La suma y la multiplicación de números racionales tienen una serie de propiedades, algunas de ellas similares a las que estudiaste para los números enteros. Obsérvalas a continuación.
PROPIEDADES DE LA SUMA
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía.
• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los factores,
el resultado no varía.
a c
c a
+ = +
b d d b
a c
c a
⋅ = ⋅
b d d b
• Propiedad asociativa. En una suma de varios sumandos, el resultado no depende de cómo se agrupen.
• Propiedad asociativa. En un producto de varios factores, el
resultado no depende de cómo se agrupen.
⎛ a c ⎞ e a ⎛ c e⎞
⎜⎝ b + d ⎟⎠ + f = b + ⎜⎝ d + f ⎟⎠
⎛a c⎞ e a
⎜⎝ b ⋅ d ⎟⎠ ⋅ f = b
⎛ c e⎞
⋅⎜ ⋅ ⎟
⎝d f⎠
• Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, pues
al sumar 0 a cualquier número racional el resultado es el mismo número.
• Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, pues al multiplicar por 1 cualquier número racional el resultado es el mismo número.
a 0 a
+ =
b 1 b
a 1 a
⋅ =
b 1 b
a
• Elemento opuesto. Dado cualquier número racional , existe
b
otro número racional llamado el opuesto, −a , que sumado a
b
él da el elemento neutro.
• Elemento inverso. Dado cualquier número racional distinto de
0, a (a ≠ 0), existe otro número racional llamado el inverso,
b b
, que multiplicado por él da el elemento unidad.
a
a b 1
⋅ =
b a 1
a −a 0
+
=
b
b
b
• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Para multiplicar un número racional por una suma de números racionales, podemos multiplicar el número racional por cada uno de los sumandos y sumar los resultados obtenidos.
a
b
⎛ c e⎞ a c a e
⋅⎜ + ⎟ = ⋅ + ⋅
⎝d f⎠ b d b f
dades de las operaciones con números racionales que aparecen en esta página.
15. Calcula:
CB
16. Calcula:
CB
a) 2 −
−1 2
+
3 5
b) −2 ⋅ 3 ⋅ 5
3 4 6
a)
24 −30
+
48
90
c) −2 ⋅ 6
5 5
17. Halla el opuesto de cada uno de los números racionales si-
b)
3
5
−
20 12
d) 3 : 21
7 5
−3 5 1 12 −4
, , ,
,
4 −2 2 −17 9
guientes.
Números racionales
ACTIVIDADES
14. Comprueba mediante ejemplos cada una de las propie-
15
3.2. Potenciación y radicación
En algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de números
racionales iguales, como la siguiente:
cuatro veces
2 2 2 2
⋅ ⋅ ⋅
5 5 5 5
4
⎛ 2⎞
Este producto puede expresarse como ⎜ 5 ⎟ , y es la potencia de base el
⎝ ⎠
RECUERDA
2
y exponente el número natural 4.
5
Para calcular la potencia de un número racional, calcularemos la potencia de uno
de sus representantes, generalmente el canónico por sencillez.
número racional
n veces
n
⎛ a⎞
a a
a an
=
⋅
⋅
⋅
=
...
⎜⎝ b ⎟⎠
b b
b bn
1
a− n = n
a
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
−n
⎛ b⎞
=⎜ ⎟
⎝ a⎠
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
n
=
an
bn
n
Así, por ejemplo:
4
⎛ 2⎞
24
16
=
=
⎜⎝ 5 ⎟⎠
4
625
5
Si el exponente de la potencia es un número entero negativo, podemos transformarla en otra de exponente positivo. Observa:
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
−n
=
⎛ b⎞
=⎜ ⎟
n
⎝ a⎠
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
1
n
Las operaciones con potencias de base un número racional y exponente un
número entero se efectúan de manera similar a las operaciones con potencias
de base una fracción y exponente un número entero.
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS
DE LA MISMA BASE
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
m
n
⎛ a⎞
⎛ a⎞
⋅⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
b
⎝ ⎠
⎝ b⎠
DIVISIÓN DE POTENCIAS
DE LA MISMA BASE
m+ n
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠
POTENCIA DE UNA POTENCIA
n
ACTIVIDADES
m⋅n
⎛⎛ a⎞m⎞
⎛ a⎞
⎜⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜⎝ ⎝ b ⎠ ⎟⎠
⎝ b⎠
16
m
n
⎛ a⎞
⎛ a⎞
:⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
b
⎝ ⎠
⎝ b⎠
m− n
POTENCIA DE UN PRODUCTO
n
3
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
a) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠
Unidad 1
5
POTENCIA DE EXPONENTE 0
1
⎛ a⎞
⎜⎝ b ⎟⎠ = 1 ( a ≠ 0)
0
⎛ a⎞
a
⎜⎝ b ⎟⎠ = b
8
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
b) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
3
n
POTENCIA DE EXPONENTE 1
18. Efectúa:
CB
n
⎛a c⎞
⎛ a⎞ ⎛ c ⎞
⎜⎝ b ⋅ d ⎟⎠ = ⎜⎝ b ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ d ⎟⎠
⎛1 1
c) ⎜ ⋅ ⋅
⎝3 5
3⎞
4 ⎟⎠
4
⎛ 1⎞
d) ⎜ ⎟
⎝ 4⎠
−3
Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es buscar otro número que
elevado al cuadrado sea igual al primero.
FÍJATE
2
c
a
=
si y sólo si ⎛ a ⎞ = c
⎜⎝ b ⎟⎠
d b
d
Así, por ejemplo:
n
Índice
del radical
c a
=
d b
Radicando Raíz
2
⎛ 2⎞
4
4 2
= pues ⎜ ⎟ =
9
⎝ 3⎠
9 3
Podemos también calcular la raíz enésima de un número racional: es el número racional que elevado a la potencia enésima es igual al primero.
n
n
⎛ a⎞
c
a
c
= si y sólo si ⎜ ⎟ =
d b
d
⎝ b⎠
Una raíz de un número racional puede tener un resultado, dos o ninguno según la paridad del índice y el signo del radicando.
3
Raíz
343 7
=
729 9
3
−343 −7
=
729
9
4
±2
16
=
81
3
4
−16
=?
81
Impar
Par
Par
Signo del radicando
+
−
+
−
Número de raíces
Una (positiva)
Una (negativa)
Dos (positiva y negativa)
No tiene.
144
Efectúa: a)
121
b) 3
8
−
125
c) 5
100000
32
a) El índice es par y el signo del radicando positivo, luego
tendrá dos raíces, una positiva y otra negativa:
EJEMPLO 5
Impar
EJEMPLO 4
Paridad del índice
Ordena de menor a mayor estos números racionales.
0
⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞
⎜⎝ 16 ⎟⎠ , ⎜⎝ 32 ⎟⎠
1,
b) El índice es impar y el signo del radicando negativo,
luego tendrá una raíz negativa:
⎛ 2⎞
8
2
8
= − pues ⎜ − ⎟ = −
125
5
125
⎝ 5⎠
Finalmente los ordenamos de menor a mayor.
4
a)
−27
64
b)
−16
25
c)
4
1
81
d)
0
20. Ordena de menor a mayor estos números racionales
5
32
243
3
3
125 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 12 ⎞
−
,
,
512 ⎜⎝ 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 15 ⎟⎠
−2
3
⎛ 3 ⎞ ⎛ 54 ⎞
, ⎜− ⎟ , ⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 72 ⎠
1
Números racionales
ACTIVIDADES
19. Efectúa si es posible, razonando tu respuesta:
1
⎛ 11 ⎞ ⎛ 5 ⎞
40
25 ⎛ 3 ⎞
=+
<⎜ ⎟ <⎜ ⎟ <⎜ ⎟
128
256 ⎝ 4 ⎠
⎝ 32 ⎠ ⎝ 16 ⎠
5
100000
⎛ 10 ⎞
100000
= 5 pues ⎜ ⎟ = 55 = 3125 =
32
32
⎝ 2⎠
3
11 81 5 5
,
, ,
32 256 16 16
256 88 81 80 80
,
,
,
,
256 256 256 256 256
b) El índice es impar y el signo del radicando positivo,
luego tendrá una raíz positiva:
5
25
256
Reducimos a mínimo común denominador los representantes canónicos.
3
−
4
⎛ 3 ⎞ 40
,⎜ ⎟ ,
,+
⎝ 4 ⎠ 128
Hallamos el representante canónico de cada uno de los
números racionales.
2
2
144
12
⎛ 12 ⎞
⎛ 12 ⎞
144
=±
pues ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ =
121
11
121
⎝ 11⎠
⎝ 11⎠
3
1
17
3.3. Operaciones combinadas
Un consejo
A medida que efectúes las operaciones,
simplifica siempre que te sea posible.
De este modo, utilizarás números menores y, por lo tanto, las operaciones te
resultarán más sencillas.
Al igual que con las fracciones, con los números racionales podemos efectuar
operaciones combinadas. Éstas se rigen por las mismas normas de prioridad
establecidas en los demás conjuntos numéricos:
— Resolución de paréntesis.
— Operación de potencias y raíces.
— Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.
— Sumas y restas.
RECUERDA
a
b = a : c = a⋅d
c b d b⋅c
d
EJEMPLO 6
Observa en los siguientes ejemplos cómo efectuar operaciones combinadas con
números racionales.
Efectúa:
4
3
⎛ 2 1⎞ 1
⋅⎜ + ⎟ −
⎝ 7 4⎠ 5
⎛ 2 4⎞
:⎜ − ⎟
⎝ 3 5⎠
Resolvemos, en primer lugar, los paréntesis y después el resto de las operaciones teniendo en cuenta su prioridad.
Un consejo
Es recomendable en fracciones donde tenemos operaciones en el numerador y el
denominador, resolver por separado
los dos términos obteniendo así una fracción más sencilla.
De este modo evitarás efectuar muchas
operaciones a la vez y cometerás menos errores.
EJEMPLO 7
1 15
4 8 + 7 1 10 − 12 4 15 1 −2
4 15
+
⋅
=
⋅
− :
= ⋅
− :
=
⋅
3 28
5
15
3 28 5 15
5 2
3 28
5 3 10 + 21 31
= + =
=
7 2
14
14
1
1 1− 2
+
Efectúa: 4 3 3
+
3 2 5
— Primero efectuamos por separado las operaciones que aparecen en el numerador y el denominador del segundo miembro:
1−
1 1
=
;
2 2
3 3 21
+ =
2 5 10
— Reescribimos la operación combinada sustituyendo las operaciones del numerador y del denominador por los valores hallados.
1
1
1−
1
1
2
2
+
=
+
4 3 3
4
21
+
3 2 5
3 10
— Resolvemos las diferentes operaciones teniendo en cuenta su prioridad
1
1
3 1 ⋅ 10
3
5
63 + 20 83
2
+
= +
= +
=
=
4
21 4 2 ⋅ 21 4 21
84
84
3 10
18
Unidad 1
EJEMPLO 8
2
⎛ 5⎞
3 1 7
⎜⎝ 6 ⎟⎠ + 2 ⋅ 4 − 18
Efectúa:
1 4 5 1
: − ⋅
2 3 2 2
— Efectuamos las operaciones del numerador y del denominador teniendo en cuenta su prioridad.
— Resolvemos sustituyendo numerador y denominador por
las fracciones obtenidas:
2
⎛ 5⎞
3 1
7
25 3
7
50 + 27 − 28 49
=
⎜⎝ 6 ⎟⎠ + 2 ⋅ 4 − 18 = 36 + 8 − 18 =
72
72
49
7
1
72 = − 49 ⋅ 8 = − 7
−7
9
72 ⋅ 7
1
9
8
EJEMPLO 9
1 4 5 1 3 5 3 − 10 −7
: − ⋅ = − =
=
2 3 2 2 8 4
8
8
⎛
1⎞
⎜⎝ 2 + 16 ⎟⎠
Efectúa:
⎛ 4 8⎞
⋅⎜ + ⎟
⎝ 3 9⎠
2
⎛ 1 5⎞
⎜⎝ 2 − 4 ⎟⎠
1+
⎛ 1 3⎞ 1
⎜⎝ 3 + 8 ⎟⎠ : 2
— Efectuamos las operaciones del numerador y del denominador teniendo en
cuenta su prioridad.
11
5
⎛
1 ⎞ ⎛ 4 8⎞
33 20
11 5 55
⋅
=
⋅ =
⎜⎝ 2 + 16 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 3 + 9 ⎟⎠ =
9 3 4 3 12
4 16
2
2
⎛ 1 5⎞
⎛ 3⎞
9
⎜⎝ 2 − 4 ⎟⎠ = ⎜⎝ − 4 ⎟⎠ = 16
⎛ 1 3 ⎞ 1 17 1 17
⎜⎝ 3 + 8 ⎟⎠ : 2 = 24 : 2 = 12
— Resolvemos sustituyendo numerador y denominador por las fracciones obtenidas.
9
9 ⋅ 12 3
27 68 + 27 95
1 + 16 = 1 +
= 1+
=
=
17
68
68
68
4 16 ⋅ 17
12
55 11
17
12 = 55 ⋅ 68 = 11 ⋅ 17 = 187
95 3 12 ⋅ 95 19 3 ⋅ 19
57
68
⎛
⎜⎝ 2 −
1 ⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 1 1⎞ 3
⋅
−
+
−
:
=
a)
b)
4 ⎜⎝ 3 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 5 ⎟⎠ 5
1
6
3⎞ 1
3 4 ⎛
⋅
+ ⋅ 2+
4 ⎟⎠ 5
2 3 ⎜⎝
c)
2
7
:
3
3⎞ 3
:
5 ⎟⎠ 2
⎛ 3 1⎞
⎜⎝ 4 − 2 ⎟⎠
d)
1 3
−
2 4
4
⎛
1 4
3⎞
+1
3 + ⋅ + 2⎜1 + ⎟
3
2
3
2
⎝
⎠
e)
5
3
+
2+
8
4
:
22. Efectúa:
3 5 3 ⎛
1⎞
: − ⋅ 1− ⎟ + 2
4 8 2 ⎜⎝
3⎠
a)
1 4 3 3
⋅ + :
4 5 5 10
⎛ 3 4⎞
3 3
⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠ ⋅ 2 + 5 : 2
b)
4
+2:2
3
3−
c)
⎛
3 2
1⎞
⋅ + 2⎜1 − ⎟
4 5
2⎠
⎝
4 3 3
2: + :
3 2 5
ACTIVIDADES
21. Efectúa:
1
2
2−
1
1−
d)
3
2
⎛
15 7
3⎞
⋅ + 4 ⎜1 − ⎟
14 5
2⎠
⎝
1+
23. Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para comprobar los resultados de las actividades 21 y 22.
@
Números racionales
19
RECUERDA
Un porcentaje es una proporción expresada como una cantidad de cada 100 unidades. Así pues, podemos expresarla como
una expresión fraccionaria con denominador 100 o como una expresión decimal:
15
15% =
= 0,15
100
4. Porcentajes
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad basta multiplicar dicha cantidad por el número decimal que representa el porcentaje:
15 % de 60 = 60 · 0,15 = 9
Aumento o disminución porcentual
Es habitual, en la vida cotidiana, expresar descuentos, incrementos salariales o
impuestos mediante porcentajes.
EJEMPLO 10
Para calcular el aumento (o disminución) porcentual de una cantidad basta
con multiplicar dicha cantidad por la unidad aumentada (o disminuida) con el
aumento (o disminución) porcentual expresado en forma decimal.
Decidimos comprar un sofá cuyo precio inicial es de 920 ∑ y tiene un descuento del 12 % . Para transportarlo, contratamos un transportista cuya tarifa base es de 80 ∑ con un recargo del 15 % para trayectos superiores a 50 km. ¿Cuánto nos costará en total la compra y el transporte del sofá si nuestra vivienda se encuentra a 60 km?
— El precio del sofá tiene un descuento del 12 %, así pues restaremos la expresión 1 − 0,12 = 0,88; 920 · 0,88 = 809,6 ∑
decimal del porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:
— El transporte tiene un recargo del del 15 %, así pues la expresión decimal del
1 + 0,15 = 1,15; 80 · 1,15 = 92 ∑
porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:
EJEMPLO 11
Total
901,6 ∑
Compramos unas acciones por valor de 800∑. El primer mes suben un 30 % y el segundo vuelven a subir un 10 % más . Calcula el
precio de las acciones al segundo mes. ¿Qué tanto por ciento de subida representa?
1.r mes: aumento del 30 % : 800 · 1,3 = 1 040;
2.º mes: aumento del 10 % : 1040 · 1,1 = 1 144
El aumento de las acciones ha sido: 1 144 − 800 = 344
344
⋅ 100 = 43 %
800
El precio de las acciones es de 1 144 ∑ que representa un aumento del 43 % de su valor inicial.
FÍJATE
ACTIVIDADES
Para calcular el tanto por ciento equivalente
de aumento o disminución de porcentajes
encadenados basta multiplicar los aumentos o disminuciones sucesivas.
20
En el ejemplo 11:
En el ejemplo 11 hemos aplicado los porcentajes encadenados que son varios
aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos aplicados a una cantidad.
Interés simple
Otra aplicación muy utilizada a nivel económico es el interés simple.
El interés simple es la cantidad que produce un capital durante un período de
tiempo con un aumento porcentual determinado (llamado tipo de interés).
I=c·i·t
1,1 · 1,3 = 1,43 (43 % de aumento)
(c = capital, i = interés en forma decimal, t = tiempo en años)
24. Calcula el precio final de un artículo cuyo precio es 31,75 ∑
si se le aplica un aumento de un 16 % de IVA .
Unidad 1
25. Calcula el interés que producen 2 000 ∑ si nos ofrecen
un interés del 5 % anual durante 8 años.
ACTIVIDADES RESUELTAS
En un estadio se va a celebrar un concierto. Si el primer día se vende 1 de las entradas, el se4
gundo día 2 del resto, y aún quedan 17 100 entradas en taquilla, ¿cuál es la capacidad del
5
estadio?
Comprensión del enunciado
Vuelve a leer atentamente el enunciado y haz un esquema con los
datos del problema.
9
de las entra20
das, o bien 17 100. Si llamamos x a la capacidad del estadio:
Después del segundo día quedan por vender
9
⋅ x = 17100
20
Primer día
1
4
Ejecución del plan de resolución
— Despejamos el valor de x.
x =
Segundo día
2
5
Revisión del resultado y
del proceso seguido
17100
Planificación de la resolución
La capacidad del estadio es de 38 000 personas.
Comprobamos el resultado completando la tabla de datos.
— Construimos la siguiente tabla de datos.
ENTRADAS VENDIDAS
Primer
día
Segundo
día
FALTAN POR VENDER
1
1−
4
2
5
⋅
3
4
=
6
20
=
17 100 ⋅ 20
= 38 000
9
3
3
10
4
−
1
4
3
10
=
=
4−1
4
15 − 6
20
=
=
3
ENTRADAS VENDIDAS
Primer
día
4
9
20
1
Si el primero recibe de lo que recibe el segundo; y el se2
1
gundo, de lo que obtiene el tercero, ¿cuánto dinero ten2
drá cada hermano al final?
27. Dos amigas van a comerse una pizza cuando una de ellas
dice:
4
2
5
⋅ 38000 = 9 500
38 000 − 9 500 = 28 500
⋅ 28500 = 11400
28 500 − 11 400 = 17 100
28. Entre las 3 partes y las 2 partes de un número existe una
5
diferencia de 44.
7
¿Cuál es ese número?
29. Si a la sexta parte de los 2 de un número se agregan los 3
5
3
3
3
y se sustrae la tercera parte de sus , se obtiene 1226.
7
8
Halla dicho número.
ACTIVIDADES
26. Tres hermanos se reparten un premio de 350 ∑.
Segundo
día
1
FALTAN POR VENDER
de sus
«Tomaré la mitad de la cuarta parte de lo que quede después
de que tú hayas cogido tres cuartas partes de la mitad».
30. Si pongo la primera cifra de un número de cuatro cifras
— Determina la fracción de pizza que cogerá cada una en
ese momento.
en último lugar, obtengo un segundo número que es los
del primero.
— ¿Qué fracción de la pizza quedará para más adelante?
Determina el número.
Números racionales
21
SÍNTESIS
Fracción 1
Fracciones
equivalentes
tiene infinitas
2
con denominador
cien representa un
Porcentaje
pueden
expresarse como
permiten definir
NÚMERO 3
RACIONAL
también se
expresa como
Número
decimal
5
se utilizan
sus
Representantes
4
para
realizar
Operaciones
1 Una fracción es toda expresión de la forma a en la que a y b son números
b
enteros, siendo b ≠ 0.
2 Las fracciones a y c son equivalentes si se cumple:
b
d
a⋅d=b⋅c
Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador son números primos entre sí.
3 El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un nú-
mero racional.
4 Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen-
tante de dicho número.
La fracción irreducible de denominador positivo que es representante de un
número racional se llama representante canónico de dicho número.
22
Unidad 1
5 Todo número racional puede expre-
sarse mediante el número decimal
que resulta de dividir el numerador
entre el denominador de uno cualquiera de sus representantes.
Todo número racional es un número decimal limitado, ilimitado
periódico puro o ilimitado periódico mixto. Del mismo modo,
todo número decimal limitado o
ilimitado y periódico es un número racional.
La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado
y periódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.
41. Halla la expresión decimal de estos números racionales.
Fracciones
R
16 −28 3 22 −54 125
,
, , ,
,
5 6 −4 9 27 4
31. ¿Cómo se representa matemáticamente una fracción?
R
— Di qué indican los dos términos de una fracción.
32. De una finca de 63 hectáreas deseamos obtener 294 parcelas de la misma extensión. ¿Cuántas hectáreas tendrá cada
parcela? Expresa el resultado en forma de fracción.
33. Escribe una fracción equivalente a 9 con denominador 20.
R
12
— ¿Puedes hallar una fracción equivalente con denominador 5?
42. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
4 , 23427
4 , 23427
; 4 , 23427
4,23427; 4 , 23427 ; 4 , 23427
;
;
.
43. Clasifica estos números decimales en limitados o ilimitados:
3,25; 2,111...; 71,34567812; 54,2373737...; 0,7777...; 12,1515;
102,393939...; 0,0020202...
— De los números decimales ilimitados, di cuáles son periódicos puros y cuáles son periódicos mixtos.
34. Simplifica las siguientes fracciones.
R
a)
35.
360
420
b)
42
75
c)
−150
84
ACTIVIDADES
1
d)
−1026
855
15
Demuestra de tres maneras distintas que las fracciones
12
10
y
son equivalentes.
8
44. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números
R
; 5, 12
;
; 9, 346
; decimales: 7, 6; 0, 019; 3, 4 ; 2, 9; 27, 41
3, 29
; 0, 3463
.
2, 116
Operaciones con números racionales
El conjunto de los números racionales
36. Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional».
37. Determina el representante canónico de estos números
45. Calcula:
R
⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 7 ⎞
a) ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 15 ⎠
⎛ 2 ⎞ ⎡⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤
b) − ⎜ − ⎟ − ⎢⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎥ +
⎝ 9 ⎠ ⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦
⎛ 1⎞
⎜⎝ − 9 ⎟⎠
racionales.
15 28 18 75 12
,
,
,
,
20 30 21 20 16
— ¿Por qué acostumbran a utilizarse los representantes canónicos y no otros?
⎡
c) ⎢ ⎛ − 2 ⎞ − ⎛ − 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠
5+
mal ilimitado no periódico? Justifica tu respuesta.
39. ¿Las fracciones −14 y 70 son representantes de un mis35
−175
cionales.
−7
1 12
6
3
, − ,
,
, −
4
5 5 23
1
afirmativo, determina su representante canónico.
40. Representa sobre la recta numérica los números racionaR
les siguientes.
−15 3 −2 16
, , ,
20 7 5 12
— Escríbelos ordenados de mayor a menor.
5 1 1 3 3 7 7
,
− ,
⋅ ,
:
4 2 3 5 2 4 8
47. Halla el opuesto y el inverso de los siguientes números ra-
mo número racional? En caso
— Di si las fracciones consideradas son equivalentes.
⎛ 5⎞ ⎛ 2⎞
: ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟
⎝ 6⎠ ⎝ 9⎠
46. Calcula mentalmente:
38. ¿Puedes hallar la fracción generatriz de un número deciR
⎛ 1⎞ ⎤
⋅ ⎜− ⎟⎥
⎝ 7⎠ ⎦
48. Expresa en forma de una sola potencia:
4
6
a) ⎛ 7 ⎞ ⋅ ⎛ 7 ⎞ ⋅ ⎛ 7 ⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠
b)
⎡⎛ 3 ⎞ 3 ⎤
⎢⎜ − ⎟ ⎥
⎢⎝ 5 ⎠ ⎥
⎣
⎦
4
c) ⎛ 3 ⎞
⎜⎝ 7 ⎟⎠
6
12
⎛ 3⎞
: ⎜− ⎟
⎝ 7⎠
3
7
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
d) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
4
Números racionales
23
ACTIVIDADES
1
49. Calcula:
a)
3
⎛ 8⎞
⎜⎝ − 27 ⎟⎠
56. ¿Durante cuánto tiempo ha estado depositado un capital de
5500 ∑ al 8 % si ha producido un interés de 1100 ∑ ?
784
7921
b)
Problemas
50. Halla la fracción resultante.
1
3
a)
3
2+
5
1−
57. Un reloj atrasa 3 de hora en una semana. ¿Cuánto atrasa-
1
−1
b) 1 − 2 ⋅ 4
1
2+
5
4
rá en cuatro días? ¿Y en un mes?
58. Un comerciante vende los 2 de una pieza de tela. Al día
9
1
1
de pieza por la mañana y por la tar6
2
de. Determina la fracción de tela vendida y la que le queda
— Usa la calculadora para expresar los resultados en forma decimal y comprobar que son correctos.
siguiente, vende
51. Resuelve:
por vender.
3
⎛
20 14 2 4
1⎞
⎛ 1⎞
1 ⎛ 2⎞
⋅
− : + 2⎜1 + ⎟
⋅ ⎜− ⎟ + 1− ⎜− ⎟
2 ⎠ c)
⎝
a) 21 5 3 9
4 ⎝ 3⎠
⎝ 2⎠
1
1+
1
1+
2
2
2 ⎛ 3⎞
−
3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
−
d) 2 3
+ −1
3 2
⎞
⎛ 3 5⎞ 2 ⎛ 4
2 ⎜ − ⎟ : ⎜ + 1⎟
⎠
⎝ 4 2⎠ 3 ⎝ 5
b) ⎡
⎛
1⎞
1⎞ ⎤ ⎛
⎢1 − 2 ⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ 1 − ⎟
2
4
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
@
3 9
+
2 4
2
⎛ 2⎞
9
⎜⎝ 3 ⎟⎠ + 4
1+
A
A
parte del depósito quedó llena?
60. Un tren inicia su trayecto con un grupo reducido de viajeros. En la segunda estación el número de personas que
sube es dos quintos de las que había inicialmente. En la tercera baja la tercera parte de los que hay en el tren. En la
cuarta se apean 2 personas, y quedan finalmente 12 viajeros en el tren.
— Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para
comprobar los resultados obtenidos.
52. Efectúa las siguientes operaciones utilizando fracciones generatrices.
a) 2, 3 + 3,125
b) 2, 7 − 3, 5
c) 3, 5 ⋅ 5, 6
d) 0, 6 + 5, 4 : 1, 3 + 3, 6
(
)(
8
de su capacidad per15
1
1
dió de su contenido. Más tarde se añadió del total, pero
3
2
perdió la mitad de la parte que contenía al principio. ¿Qué
59. Un depósito de agua que contenía
a) ¿Cuántas personas había al iniciar el trayecto?
b) ¿Cuántas personas han utilizado este servicio?
61. Un tangram está formado por cinco triángulos, un cuadraA
do y un trapecio que pueden acoplarse de diferentes maneras para construir figuras geométricas distintas.
)
53. Calcula:
A
1
1
+ 0, 25 − : 0, 3
a) 2
4
0, 6 : 0, 9
b)
2
1
: 2, 51
+ 0, 5
3, 24
: 2, 3
1
1+
2
3
5
4
54. En período de rebajas una tienda de ropa aplica un 20 %
6
de descuento en todos sus artículos ¿Cuánto deberemos pagar por un pantalón y una camiseta que antes costaban 55 ∑
y 25 ∑ respectivamente?
7
55. En marzo el precio de la gasolina era de 92 céntimos de euro.
a) ¿Qué fracción del tangram representa cada una de las piezas que lo componen?
En mayo subió un 5 %, en julio volvió a subir un 10 % y en
septiembre bajó un 3 %. ¿ Cuánto pagamos en septiembre
si llenamos el coche con 40 L de gasolina?
@
24
Unidad 1
— Si accedes a la página www.gasofa.es encontrarás
una gráfica con la evolución de los precios de la gasolina en los últimos meses.
b) ¿Qué fracción del tangram está coloreada?
@
— Si accedes a la página http://nlvm.usu.edu/en/nav/fra
mes_asid_112_g_2_t_1.html encontrarás un tangram
interactivo que puede ayudarte a realizar la actividad.
62. Halla la fracción irreducible equivalente y la expresión de-
a)
cimal de estas fracciones.
3 21 109 10 51 35
,
,
,
,
,
28 14 240 6 300 49
b) −
Para saber la expresión decimal que obtendremos a partir
de un número racional, descompon en factores primos los
denominadores de las fracciones irreducibles y completa
la tabla.
FACTORES DEL DENOMINADOR
Limitada
Ni ............. ni .............
Periódica pura
............., ............. o ambos, junto a
otros.
Periódica mixta
63. Extrae factor común en cada una de las expresiones siguientes.
c)
b) 2 x 2 + 3 x + 1
5
5
5
d) 2 a + b + 3 a + b
7
4
6 2 2
4 3
y + y+
y
15
5
25
e)
7
−9
×
21 6
f)
7
3
×
−5 6, 3
69. Saca fuera de la raíz el máximo de factores posibles:
a)
1260
6300
b)
5
15552
−
6250
c)
3
125
−1458
2
d)
4
⎛ 25 ⎞
⎜⎝ 16 ⎟⎠
e)
5
⎛ 180 ⎞
⎜⎝ 288 ⎟⎠
3
(
)
(
que corresponda:
)
3
⎛ x⎞ ⎤
:⎜ ⎟ ⎥
⎝ 2⎠ ⎥
⎦
−2
⎡⎛ 2 ⎞ 2
: ⎢⎜ ⎟
⎢⎝ x ⎠
⎣
3
⎛ x⎞ ⎤
⋅⎜ ⎟ ⎥
⎝ 2⎠ ⎥
⎦
a) ⎛ 3 ⎞ ·⎛ −9 ⎞
⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠
3
⎛ 1⎞
·⎜ ⎟
⎝ 3⎠
5
c) ⎛ 8 ⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠
6
5
⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞
·⎜ ⎟ : ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
6
64. Expresa en forma de una única potencia, si x ≠ 0:
8
2
— Calcula el valor de la expresión si x = 5.
65. Escribe la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales:
)
)
)
)
)
)
−3, 28 , 0, 573 , −0, 08 , 103, 82 , 10, 01 , 2,27, −11, 053 ,
)
)
)
7,1139 , −3, 9 , 5, 87 .
Indica cuáles de ellos son puros y cuales son mixtos.
66. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
6 −7 5 6
8
10 8
7
, − ,
, , , − , − , .
5 6 6 5
7
9 9
6
67. Realiza las siguientes operaciones usando número deciA
5 2, 6
:
3 13
−5 10
:
1, 2 −6
70. Calcula y expresa el resultado en la fracción irreducible
a) 2 a2 + 2 a + 2 a3
3
7
3
−5
c)
2, 3 10
+
5
2, 5
d)
EXPRESIÓN DECIMAL
............., ............. o ambos.
⎛ 2⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ x⎠
5
1
−
21 2,1
ACTIVIDADES
68. Calcula:
Más a fondo
⎡⎛ 2 ⎞ 3
⎢⎜ ⎟
⎢⎝ x ⎠
⎣
1
males y comprobando el resultado luego con sus correspondientes fracciones generatrices:
)
)
)
)
a) 5, 217 + 2, 21
c) 13, 6 − 7, 26
)
)
)
)
b) 1, 278 − 2, 078
d) −3, 09 − 2, 01
b) ⎛ 7 ⎞ : ⎛ −7 ⎞
⎜⎝ −5 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠
9
⎡⎛ 6 ⎞ 3 ⎤ ⎡⎛ 6 ⎞ 2 ⎤
d) ⎢⎜ ⎟ ⎥ : ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎝ 5 ⎠ ⎥ ⎢⎝ 5 ⎠ ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
7
9
71. Calcula:
3 2 ⎛ 3 4⎞
+ ⋅
−
4 7 ⎜⎝ 2 5 ⎟⎠
a)
⎛1
⎞
⎛
1⎞
⎜⎝ 3 + 5⎟⎠ − 2 ⋅ ⎜⎝ 1 + 3 ⎟⎠
b)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 10 5 ⎞
⎜⎝ 5 ⎟⎠ − ⎜⎝ 3 : 9 ⎟⎠
2
⎛ 1⎞
⎛ 3⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠ − ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎡2
⎞⎤
1 ⎛1
⋅ ⎜ + 3⎟ ⎥
⎢ −
⎠⎦
c) ⎣ 5 14 ⎝ 2
⎛ 3 2⎞
5−⎜ + ⎟
⎝ 5 3⎠
2
2
72. Calcula:
a) 2 +
)
)
5
− 3, 08 + 0, 25
3
)
)
5
,
13
⋅
2
,
15
b)
2
c) 5 −
d)
2, 5
2
+
3
1, 5
)
1, 3
−2
+5−
1, 3
2
)
1, 2
1−
3
Números racionales
25
INVESTIGA
responde a las siguientes cuestiones:
73. En la vida cotidiana las lentes tienen multitud de aplicaciones.
@ Se utilizan en gafas y lentes de contacto para corregir defectos visuales, pero también en cámaras fotográficas, en telescopios o en microscopios para observar objetos lejanos o
pequeños.
a) Escribe la definición de dioptría.
b) ¿Como es una lente cuyas dioptrías son negativas? ¿y
si son positivas?
c) Escribe la relación que existe entre las dioptrías y la
distancia focal.
d) ¿Cuántas dioptrías tiene una lente cuya distancia focal
es de 4 m? ¿Y si la distancia focal es de 25 cm?
e) Una lente de 5 dioptrías ¿qué distancia focal tiene? ¿Y
de − 0,20 dioptrías?
Al unir dos lentes delgadas podemos obtener otra
lente cuya distancia focal es:
Una de las unidades que caracterizan las lentes son las dioptrías, cuya magnitud depende fundamentalmente de la geometría de la lente.
1 1 1
= +
f
f1 f2
Con la ayuda de los siguientes enlaces:
siendo f1 y f2 la distancia focal de las dos lentes delgadas.
http://diccionario.babylon.com/Dioptria
http://es.wikipedia.org/wiki/Dioptria
f ) ¿Cuál será la distancia focal de una lente formada por
una lente de distancia focal 3 m y otra de distancia focal 30 cm? ¿Cuántas dioptrías tendrá?
EVALUACIÓN
http://www.academiaminas.com/formulas/FISICA/OPTI
CA/optica_geometrica.htm
1
Elige la fracción equivalente a
a) −
2
75
180
Simplifica la fracción
ducible.
3
b) −
−5
.
12
90
180
6
c)
150
180
⎛ 1⎞
⎜⎝ 4 ⎟⎠
5
Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 3,145
b) 2,116
c) 0, 083
Calcula:
CB
a) 2 −
3 3
+
2 4
b)
5 −1 3
⋅
:
4 2 −2
— Expresa el resultado en forma decimal y en forma de
porcentaje.
Unidad 1
4
⎛ 1⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 4⎠
b) ⎛ 1 ⋅ 5 ⎞
⎜⎝ 2 4 ⎟⎠
7
3
36
169
c)
2
d)
4
16
1296
Calcula:
⎛ 3 1⎞
⎜⎝ 4 − 2 ⎟⎠
1 3
−
2 4
3 5 2 5
, , − , 2 6
3 3
4
26
a)
240
hasta llegar a una fracción irre−260
Ordena de menor a mayor estos números racionales.
Efectúa:
4
+1
3
5
+
8
:
3
L de agua se han llenado ocho vasos iguales.
2
CB ¿Cuál es la capacidad de cada vaso?
8
Con
9
Un padre dispone en su testamento que el hijo mayor
3
CB herede 4 de lo que herede el mediano y éste,
de lo
2
3
que reciba el pequeño. Si al morir, el padre tenía un capital de 23 580 ∑, ¿cuánto dinero heredará cada hermano?
CRÓNICA MATEMÁTICA
Los hindúes indicaban las fracciones escribiendo el numerador sobre el denominador.
4
3
Los árabes adoptaron este sistema y le añadieron la barra horizontal. Así, se crearon los símbolos actuales.
4
—
3
Metales preciosos
La pureza del oro se mide en quilates. Cuando decimos que un objeto
de oro tiene 18 quilates, significa que de 24 partes del objeto, 18 son
de oro.
En cambio, para la plata lo habitual es medir la pureza en milésimas.
Cuando decimos que un objeto de plata es de 900 milésimas, significa que de 1 000 partes del objeto, 900 son de plata.
Cuadros mágicos
Demuestra tu ingenio
Observa con detenimiento esta demostración y encuentra el fallo lógico que lleva a una consecuencia evidentemente errónea.
Sean a y b dos números enteros que cumplen:
a b , es decir, 4 a = 6 b
=
6 4
La última igualdad puede transformarse sucesivamente en las siguientes:
14 a − 10 a = 21 b − 15 b
15 b − 10 a = 21 b − 14 a
5 (3 b − 2 a) = 7 (3 b − 2 a)
Y si ahora dividimos los dos miembros por 3 b − 2 a, queda:
5=7
En un cuadrado mágico todas las filas,
columnas y diagonales suman la misma cantidad.
Completa el siguiente cuadrado
mágico.
8
3
13
3
4
16
3
Conéctate a la siguiente página y amplía tus conocimientos sobre cuadrados
mágicos.
www.xtec.es/~bfiguera/curio
so7.html
Números racionales
27