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EJEMPLO DE COMBINATORIA
Destinado a apreciar las diferencias entre los distintos grupos que pueden formarse.
Se dispone de tres dados A, B y C, con caras numeradas del 1 al 6.
Problema 1.- Si los tres dados son exactamente iguales, blancos con números negros, ¿Cuántos
posibles grupos de resultados pueden formarse lanzando los tres dados a la vez con un
cubilete?.
Al ser los tres dados iguales y tirarse mezclados, dará igual el resultado A=1 B=2 C=4 que el
A=2, B=1 C=4, (el orden no importa) puesto que no se puede diferenciar entre los dados. Por
otra parte, puede ser que varios dados saquen el mismo número. Combinaciones con
repetición de 6 elementos (resultados 1 al 6) tomados de 3 en 3 (resultado dado A, resultado
dado B, resultado dado C).
𝐶𝑅(𝑚, 𝑛) = �
(𝑚 + 𝑛 − 1)!
8!
8∗7∗6
𝑚+𝑛−1
�=
=
=
= 8 ∗ 7 = 56
(𝑚
𝑛
3! ∗ 5!
3!
𝑛!
− 1)!
Problema 2.- El caso anterior, si sólo se admiten como válidos los resultados en que no salga
ningún número repetido.
De nuevo, dados iguales, mezclados, el orden no importa, pero se desechan los casos en que
se produzcan repeticiones. Combinaciones sin repetición de 6 elementos (resultados 1 al 6)
tomados de 3 en 3 (resultado dado A, resultado dado B, resultado dado C).
𝑚!
6!
6∗5∗4
𝑚
𝐶(𝑚, 𝑛) = � � =
=
=
= 5 ∗ 4 = 20
𝑛
(𝑚
𝑛!
− 𝑛)! 3! ∗ 3!
3!
Problema 3.- Los tres dados son de colores distintos (azul, verde, rojo), y se tiran mezclados,
pero se tiene en cuenta el color del dado. En este caso, no es lo mismo el resultado azul=1,
verde=2, rojo=4 que azul=2, verde=1, rojo=4, ya que se mira de qué color es el dado de cada
número. No es lo mismo, por tanto, 1-2-4 que 2-1-4. El orden de cada grupo cuenta. Se
consideran todos los casos, o sea se admite que puedan salir números repetidos. Por tanto,
variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.
𝑉𝑅(𝑚, 𝑛) = 𝑚𝑛 = 63 = 216
Problema 4.- Ahora, con los dados de colores, no se admite repetición de resultados, teniendo
que ser las tres cifras distintas. Variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.
𝑉(𝑚, 𝑛) =
𝑚!
6!
= = 6 ∗ 5 ∗ 4 = 120
(𝑚 − 𝑛)! 3!
Problema 5.- Si fueran seis dados de seis colores distintos, cada uno con seis resultados
posibles. Se admiten repeticiones de resultados numéricos.
Al ser de m en m, las variaciones se convierten en permutaciones; permutaciones con
repetición de 6 elementos.
𝑉𝑅(𝑚, 𝑚) = 𝑃(𝑚) = 𝑚𝑚 = 66 = 46.656
Problema 6.- Igual que el 5, pero no se admiten repeticiones de resultados.
Serían permutaciones de 6 elementos sin repetición.
𝑉(𝑚, 𝑚) = 𝑃(𝑚) = 6! = 720