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Profesora Farini, María Rosa
Resumen de Números Complejos
Definición:
Un número complejo z es un número escrito en la forma :
z = a + bi
donde a y b son números reales e i se denomina unidad imaginaria y
satisface la relación i2 = -1.
a es la parte real de z. Notación: a = Re(z).
b es la parte imaginaria de z. Notación: b = Im(z)
Ejemplo: si z = 2 -3i , Re(z) = 2 , Im(z) = -3
Igualdad entre números complejos
Sean z1 = a + bi, z2 = c + di
z1 = z2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) ∧ Im(z1) = Im(z)
Operaciones entre complejos escritos en forma binómica
Sean z1 = a + bi, z2 = c + di, k ∈ R
Suma:
z1 + z2 = (a + bi ) + ( c + di ) = (a +c) + (b+ d)i
Multiplicación:
z1. z2 = (a + bi ) .( c + di ) = a.(c + di) + bi.(c + di) =
= a.c + a.di + b.ci + b.di2 = a.c + a.di + b.ci - b.d (i2 =-1)
= ( a.c – b.d) + ( ad + bc )i
Producto por un escalar: k.z1 = k. (a + bi ) = k.a + k.bi
Ejemplo: z1 = 3 - 4i, z2 = -1 + 2i
z1 + z2 = (3 - 4i )+ (-1 + 2i ) = ( 3 – 1 ) + ( -4 + 2)i = 2 – 2i
z1 . z2 = (3 - 4i ).(-1 + 2i ) = -3 + 6i + 4i – 8i2 = -3 + 10i – 8(-1) = 5 + 10i
3. z1 = 3 . (3 - 4i ) = 9 – 12i
Conjugado de un número complejo
El conjugado de z = a + bi es el número complejo:
z = a - bi
1
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Módulo de un complejo: z
z = a + bi = a 2 + b 2
Ejemplo: z = 1 +2i , z = 12 + 2 2 = 5
Observación: z. z = (a + bi ).(a – bi) = a2 – abi +bai –b2i2 = a2 + b2 = z
Ejemplo: calcular
2
− 1 + 2i
3 + 4i
Para calcular el cociente de dos números complejos, debemos multiplicar el numerador
y el denominador por el conjugado del denominador.
− 1 + 2i
− 1 + 2i 3 − 4i 5 + 10i 5 + 10i 1 2
=
.
=
=
= + i
3 + 4i
3 + 4i 3 − 4i 9 + 16
25
5 5
Interpretación geométrica :
Cada número complejo z = a + bi corresponde a un punto en el plano. El eje
horizontal se llama eje real porque los puntos (a,0) corresponden a los números
reales. El eje vertical es el eje imaginario porque los puntos (o, b) en él,
corresponden a los números imaginarios puros de la forma 0+bi. El conjugado
de z es la imagen de z reflejada en el eje real. El valor absoluto de z es la
distancia de (a, b) al origen.
Eje imaginario
b
z = a+bi
a
Eje real
z = a-bi
2
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Potencia de la unidad imaginaria
in = i4.q + r = ir
donde r es el resto de dividir n por 4, ∀n ∈ N0
Ejemplo: i14 = i4.3 + 2 = i2 = -1
Forma Polar o trigonométrica
cos θ =
a
b
b
, sen θ = , tg θ =
a≠0
ρ
ρ
a
z = a + bi = ρ cos θ + ρ sen θ.i luego la forma trigonométrica de un número complejo
es:
z = ρ (cos θ + i.sen θ )
donde ρ = z = a + bi = a 2 + b 2 es el módulo de z y θ
se llama argumento de z.
Im z
z
z 
θ
Re z
Observación: la suma o la resta de cualquier entero múltiplo de 2π proporciona otro
argumento de z. Pero existe sólo un argumento θ que satisface 0 ≤ θ ≤ 2π y que se
conoce como argumento principal de z
Argumento principal de un número complejo:
Dado z = a + bi, z ≠ 0, el argumento principal de z es el ángulo θ que satisface:
a = ρ cos θ ∧ b= ρ sen θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π.
Ejemplo: Escribir los números complejos z = 1+ i y w = 1- 3 i en forma polar por
medio de su argumento principal.
ρ = z = 1 + i = 12 + 12 = 2 y tg θ =
1
π
= 1, luego θ =
y resulta:
1
4
3
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1+i=
2 . ( cos
π
π
+ i sen ).
4
4
ρ = w = 1 − 3i = 12 + (− 3 ) 2 = 4 = 2 y tg θ =
θ=-
− 3
= − 3 , luego
1
π
π
π
y resulta: 1− 3 i = 2.[cos (- )+ i sen(- )].
3
3
3
Operaciones en forma trigonométrica
Sean z1 = ρ1(cos θ1 + i.sen θ1) z2 = ρ2 (cos θ2 + i.sen θ2 )
Multiplicación: z1. z2 =ρ1.ρ2 [cos (θ1 + θ2 ) + i. sen ( θ1+ θ2 )]
z1 ρ 1
=
. [cos (θ1 - θ2 ) + i. sen ( θ1 - θ2 )], z2 ≠ 0
z2 ρ2
División:
Potenciación de exponente natural: zn = ρn [cos (nθ) + i. sen (nθ)] n ∈ N ( fórmula de
De Moivre )
Ejemplo: Realizar la multiplicación y el cociente de z = 1+ i y w = 1- 3 i en forma
polar.
π π
π π
(1+ i ). (1- 3 i ) = 2. 2 [cos ( - )+ i sen( - )].
4 3
4 3
= 2. 2 [cos (-
(1 + i )
π
π
)+ i sen(- )].
12
12
= …………………………………………
(1 - 3 i )
= ………………………………………….
Ejemplo: Calcular (1+ i ) 6
1+i =
2 . ( cos
(1+ i ) 6 = (
π
π
+ i sen ).
4
4
6
2 ) .( cos
6π
6π
3π
3π
+ i sen
) = 8. ( cos
+ i sen
)=
4
4
2
2
= 8. (0 + i.(-1)) = -8i
4
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Radicación en el conjunto de los números complejos
Sea z = ρ (cos θ + i.sen θ ) y n natural , entonces z tiene exactamente n raíces distintas
dadas por:
wk =
n
ρ [ cos (
θ + 2kπ
θ + 2kπ
) + isen (
)]
n
n
Para k = 0, 1, 2, ……., n-1
Nota:
Las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo no nulo pueden representarse
gráficamente como los vértices de un polígono regular inscripto en una circunferencia
de radio igual a
n
ρ.
Ejemplo: calcular y representar:
4
−1
n = 4 , k = 0, 1, 2, 3; z = -1 + 0i entonces ρ = 1 y θ = π
w0 = 4 1 [ cos (
w1 =
w2 =
w3 =
4
4
4
1 [ cos (
θ + 2.0.π
θ + 2.0.π
π
π
2
2
) + isen (
+ i sen =
) ] = cos
+
i
4
4
4
4
2
2
θ + 2.1.π
θ + 2.1.π
3.π
3.π
2
2
) + isen (
) ] = cos
+ i sen
= −
+
i
4
4
4
4
2
2
1 [ cos (
1 [ cos (
θ + 2.2.π
θ + 2.2.π
5.π
5.π
2
2
) ] = cos
−
i
) + isen (
+ i sen
=4
4
4
4
2
2
θ + 2.3.π
θ + 2.3.π
7.π
7.π
2
2
) + isen (
) ] = cos
+ i sen
=
−
i
4
4
4
4
2
2
Observación: estas cuatro raíces son los vértices de un cuadrado inscripto en una
circunferencia de radio uno ( las cuatro raíces tienen igual módulo y la diferencia
angular es de 90º.
y
W1
W0
2
x
y
W2
W3
1
21
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Calcular
ρ=
4
− 4 + 4i 3
(−4) 2 + (4 3 ) 2 = 64 = 8 ; cos θ =
− 4 −1
2.π
=
luego θ =
8
2
3
w0 = …………………………………………………………………………………………
w1 = ………………………………………………………………………………………….
w2 = …………………………………………………………………………………………
w3 = ………………………………………………………………………………………….
Fórmula exponencial de un número complejo
Fórmula de Euler : ei.θ = cos θ + i.sen θ
z = ρ. ei.θ
∀θ ∈ R, luego:
donde ρ es el módulo de z y θ es el argumento de z
Operaciones en forma exponencial:
Multiplicación: z1. z2 = ρ1.ρ2 e (θ1+θ 2 ).i .
División:
z1 ρ1 (θ1-θ 2 ).i
=
e
, z2 ≠ 0
z2 ρ2
Potenciación de exponente natural: zn = ρn e n.θ.i n ∈ N
Ejemplo:
Expresar e2+ i.π / 4 en la forma a + b.i
e2+ i.π / 4 = e2 . e i.π / 4 = e2. (cos
π
π
2
2
2
2
+ i sen ) = e2 (
+
i ) = e2
+ e2
i
4
4
2
2
2
2
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Logaritmo natural en el conjunto de los números complejos
Sea z = ρ. ei.θ, z ≠ 0
ln z = ln ρ + i(θ + 2.k.π), k∈ Z
donde ρ el el módulo de z y θ es el argumento de z
Observación: si k = 0 se denomina valor principal de z : ln z = ln ρ + iθ
Ejemplo:
Calcular ln (-1- i)
ρ=
2;θ=
5.π
5.π
, luego ln (-1- i) = ln 2 + i (
+ 2.k.π ) con k ∈ Z
4
4
El valor principal es ln (-1- i) = ln 2 +
5.π
i(k=0)
4
Gráfico de los resultados del ln (-1- i) :
y
21 π
4
13 π
4
5π
4
3π
4
2π
Valor principal
ln √2
x
Observación: los resultados del logaritmo natural de un número complejo tienen la
misma parte real igual al ln ρ, y resultan gráficamente puntos de una recta de ecuación
x = ln ρ. Si se le asigna valores al parámetro k, la distancia entre dos valores
consecutivos del ln z es constante e igual a 2π.
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Espacios vectoriales complejos
Ejemplos:
- ( C2 , + , C, ) es un espacio vectorial donde los elementos de C2 son pares de números
complejos, los escalares son números complejos.
- ( Cn , + , C, ) es un espacio vectorial donde los elementos de Cn son n-uplas de
números complejos, los escalares son números complejos.
- ( Cn x m , + , C, ) es un espacio vectorial donde los elementos de Cn x m son matrices
complejos, los escalares son números complejos.
Nota: Todo lo visto al estudiar espacios vectoriales con escalares reales se puede aplicar
en los espacios vectoriales con escalares complejos.
Por ejemplo:
0 −1 0


diagonalizar la matriz A =  1 0 0 
0 0 1


- Cálculo de los autovalores:
−λ
 A-λ.I = 1
0
−1
0
−λ
0 = (1- λ ).(1+ λ 2) = 0, y resultan: λ1 =1, λ2 =i, λ3 = -i
0 1− λ
La matriz es diagonalizable pues los tres autovalores son distintos.
- Cálculo de los autovectores:
0 −1 0  x 

  
λ1 =1 ⇒  1 0 0  .  y  = 1.
0 0 1  z 

  
x
0
 
 
−x−y=0
⇒ x = y ⇒ v1 =  0 
 y ⇒
x+y=0
z
1
 
 
0 −1 0  x 

  
λ2 = i ⇒  1 0 0  .  y  = i.
0 0 1  z 

  
x
 
 y ⇒
z
 
− i.x − y = 0
1
 
x − i.y = 0 ⇒ y = -ix, z = 0 ⇒ v 2 =  − i 
0
(1 − i)z = 0
 
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0 −1 0  x 

  
λ3 = -i ⇒  1 0 0  .  y  = -i.
0 0 1  z 

  
x
 
 y ⇒
z
 
i..x − y = 0
1
 
x + i.y = 0 ⇒ y = ix, z = 0 ⇒ v 3 =  i 
0
(1 + i).z = 0
 
0 1 1


P =  0 − i i  es la matriz que diagonaliza a la matriz A
 1 0 0


1 0 0 


D =  0 i 0  es la matriz diagonal
0 0 − i


donde D = P-1.A. P
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