Download ECUACIONES - IES LA BASÍLICA MATEMÁTICAS

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Ecuaciones
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ECUACIONES
E
n esta unidad repasaremos los procedimientos para hallar las soluciones, si existen, de ecuaciones de primer grado y de segundo grado,
completas o incompletas; así como, el planteamiento y la resolución de problemas utilizando estos tipos de ecuaciones. Además, abordaremos la resolución de ecuaciones bicuadradas mediante cambio de variable y la de ecuaciones polinómicas a partir de la factorización
de polinomios estudiada en la unidad anterior.
El uso apropiado del lenguaje algebraico es fundamental para desarrollar los contenidos de esta unidad. Los alumnos deben dominar la
traducción del contexto de los problemas al lenguaje matemático para aplicar la resolución de ecuaciones y poder determinar las soluciones.
Los contenidos de esta unidad se presentan partiendo de un problema o ejercicio sencillo, de esta forma podemos esperar que el propio
alumno lo resuelva y sería deseable que también fuera capaz de sacar sus propias conclusiones teóricas.
La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de
aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL)
Se desarrolla a lo largo de toda la unidad para plantear problemas de distintos tipos. Tiene especial importancia en la sección de Matemáticas
vivas, así como en la sección Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
La utilización del lenguaje algebraico se desarrolla lo largo de toda la unidad haciendo comprender a los alumnos su aplicación para resolver
problemas.
Competencia digital (CD)
Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
Está presente especialmente en las secciones de Matemáticas vivas y Cálculo mental.
Competencia aprender a aprender (CAA)
En toda la unidad se plantean los contenidos y las actividades apropiadas para que los alumnos construyan su propio conocimiento.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Identificar y resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
❚❚ Plantear ecuaciones de primer o segundo grado para resolver problemas.
❚❚ Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.
❚❚ Identificar y resolver ecuaciones bicuadradas.
❚❚ Resolver ecuaciones polinómicas mediante la factorización del polinomio correspondiente.
❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de ecuaciones.
❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando ecuaciones.
Unidades didácticas 96
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de
problemas relacionadas con el estudio de ecuaciones.
Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre ecuaciones
y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las ecuaciones pueden acceder a las lecciones 1160,
1171 y 1181 de la web www.mismates.es.
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
Contenidos
Ecuaciones de
primer grado
Criterios de evaluación
Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de
actividades del
libro del alumno
1. Identificar y resolver ecuaciones de primer
grado.
1.1. Identifica ecuaciones de primer grado
equivalentes.
2. Plantear ecuaciones de primer grado para
resolver problemas.
2.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de 6, 9
primer grado.
50-55
Matemáticas vivas
1-3
3. Identificar y resolver ecuaciones de
segundo grado.
3.1. Identifica ecuaciones de segundo grado
completas y sus soluciones.
4. Determinar, según el signo del
discriminante, el número de soluciones de
una ecuación de segundo grado.
4.1. Indica el número de soluciones de una
ecuación de segundo grado según el signo del
discriminante.
5. Plantear ecuaciones de segundo grado
para resolver problemas.
5.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de 18, 19
segundo grado.
63-65
69-78
Matemáticas vivas
1-3
Trabajo cooperativo
CM1, CM2
Ecuaciones de
segundo grado
incompletas
6. Identificar y resolver ecuaciones de
segundo grado incompletas.
6.1. Identifica ecuaciones de segundo grado
completas y sus soluciones.
21-28
60, 61, 68
CL
CMCT
CAA
CSIEE
Ecuaciones
bicuadradas
7. Identificar y resolver ecuaciones
bicuadradas.
7.1. Distingue y resuelve ecuaciones bicuadradas
completas e incompletas.
7.2. Resuelve problemas mediante ecuaciones
bicuadradas.
29-37
79-86
87-89
CL
CMCT
CAA
CSIEE
Resolución de
ecuaciones por
factorización
8. Resolver ecuaciones polinómicas
mediante la factorización del polinomio
correspondiente.
8.1. Factoriza polinomios para resolver
ecuaciones.
38-45
90-95
CL
CMCT
CD
CAA
CSIEE
Ecuaciones de
segundo grado
Unidades didácticas 97
1-5, 7, 8
46-49
Competencias
clave
10-12, 14, 16
17, 20
56-59
13, 15
62, 66, 67
CL
CMCT
CAA
CSIEE
CL
CMCT
CD
CAA
CSIEE
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
PARA EL PROFESOR
PARA EL ALUMNO
Presentación de la unidad
Ideas previas
Repasa lo que sabes
Actividades de Refuerzo
Actividades de Ampliación
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Gerolamo Cardano
1. Ecuaciones de primer grado
2.Ecuaciones de segundo grado
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Vídeo. Demostración de la fórmula de
las ecuaciones de segundo grado
3.Ecuaciones de segundo grado
incompletas
4.Ecuaciones bicuadradas
5.Resolución de ecuaciones por
factorización
MATERIAL COMPLEMENTARIO
Comprende y resuelve
problemas
Practica+
MisMates.es
Lecciones 1160, 1171 y 1181
de la web www.mismates.es
Vídeo. Resolución de ecuaciones por
factorización 1
Vídeo. Resolución de ecuaciones por
factorización 2
¿Qué tienes que saber?
• Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones de segundo grado
• Ecuaciones bicuadradas
• R esolución de ecuaciones por
factorización
Actividades finales
Actividades interactivas
Matemáticas vivas
Adivinanzas
• E xpresión de situaciones cotidianas
como ecuaciones
Trabajo cooperativo. Tarea
cuya estrategia es Cabezas juntas
numeradas, de Spencer Kagan
Avanza
Ecuaciones racionales
Cálculo mental
Estrategia para averiguar un número
UnidadesUnidades
didácticasdidácticas
98
Matemáticas
orientadas
a las enseñanzas
académicas
Matemáticas
orientadas
a las enseñanzas
académicas
3.º ESO 3.º ESO
Ecuaciones
4
Sugerencias didácticas
4
En esta unidad se repasarán las ecuaciones de primer y segundo grado estudiadas en cursos previos. En estas últimas
veremos cómo determinar el número de soluciones en función del signo del discriminante.
ECUACIONES
S
IDEAS PREVIA
con
❚ Operaciones
polinomios.
polinomio.
un
de
❚ Raíces
ables.
❚ Identidades not
de
❚ Factorización
polinomios.
Además, se introducirán las ecuaciones bicuadradas y las
polinómicas de grado mayor que dos de la forma P(x) = 0
en las que el polinomio admite una factorización como producto de polinomios de grado uno o dos con coeficientes
racionales.
El matemático griego Diofanto de Alejandría nació alrededor
del año 200 d. C., conocía las ecuaciones, aunque no las
escribía como lo hacemos en la actualidad. En su tumba pidió
que apareciera esta inscripción: Fui niño la sexta parte de mi
vida, me salió barba tras añadir una doceava parte. Me casé
después de que trascurriera una séptima parte más, y 5 años
más tarde nació mi hijo, quién vivió la mitad que yo y murió 4
años antes de que yo muriera.
Si queremos saber cuántos años vivió Diofanto debemos
x
x
x
x
resolver esta ecuación: +
+ + 5 + + 4 = x donde x
6 12 7
2
es el número de años.
Antes de comenzar la unidad, los alumnos deben manejar
con soltura las operaciones con polinomios, así como las
identidades notables y la regla de Ruffini.
REPASA LO QUE SABES
1. Expresa algebraicamente estas frases.
a) La suma de dos números consecutivos.
Como generalmente a los alumnos les resulta complicado
el planteamiento de problemas que pueden ser resueltos
con ecuaciones, es importante hacer hincapié en la transformación de enunciados al lenguaje algebraico.
b) El cuadrado de un número menos su doble.
c) La diferencia del triple de un número menos 2.
2. Comprueba que x = 1 y x = −1 son raíces del polinomio:
P(x) = x4 + x3 + 3x2 − x − 4
3. Desarrolla los cuadrados.
a) (x − 8)2
b) (2x + 1)2
c) (5x − 6)2
4. Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables.
a) x2 + 6x + 9
b) x2 − 8x + 16
c) 4x2 − 20x + 25
Contenido web. GEROLAMO CARDANO
5. Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que
tiene por raíces x = 5 y x = −6.
[
Matemáticas en el día a día
mac3e12
]
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso
TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se introduce la figura de Cardano
con algunos datos sobre su vida y su trabajo como matemático.
Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a
trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que
muestren un interés especial.
Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico
italiano, publicó en 1545 un libro que incluía las fórmulas que
permiten resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado, así
como las relaciones entre las soluciones de una ecuación y
sus coeficientes.
65
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1.Expresa algebraicamente estas frases.
a) La suma de dos números consecutivos.
b) El cuadrado de un número menos su doble.
c) La diferencia del triple de un número menos 2.
a) x + x + 1 = 2x + 1
b)x2 − 2x
c) 3x − 2
2.Comprueba que x = 1 y x = − 1 son raíces del polinomio:
P(x) = x4 + x3 + 3x2 − x − 4
P(1) = 1 + 1 + 3 − 1 − 4 = 0
P(−1) = 1 − 1 + 3 + 1 − 4 = 0
3.Desarrolla los cuadrados.
a) (x − 8)2
b)(2x + 1)2
c) (5x − 6)2
a) (x − 8)2 = x2 − 16x + 64
b) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
c) (5x − 6)2 = 25x2 − 60x + 36
4.Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables.
a) x2 + 6x + 9
b)x2 − 8 + 16
c) 4x2 − 20 + 25
a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) x2 − 8x + 16 = (x − 4)2
c) 4x2 − 20x + 25 = (2x − 5)2
5.Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que tiene por raíces x = 5 y x = −6.
Respuesta abierta, por ejemplo: P(x) = (x − 5)(x + 6) = x2 + x − 30
Unidades didácticas 99
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
1. Ecuaciones de primer grado
4
Aprenderás a…
●
●
●
Identificar ecuaciones de
primer grado equivalentes.
Resolver ecuaciones de
primer grado.
Plantear ecuaciones de
primer grado para resolver
problemas.
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1
Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a) 5x + 14 = 19
e) 5x + 12 = 17 + 10x
b) 3 + x = 4
f) 2x − 7 = 7x + 3
c) 2x − 3 = 17
g) 2x + 7 = 7x − 3
d) 5 − 2x = 21
h) 9 − 4x = 3x − 12
En una balanza, María ha
puesto varias bolas y piezas
hexagonales.
Al colocarlas en esta posición,
la balanza está equilibrada.
}
Resuelve esta ecuación de primer grado.
⎛ x − 1 2 x + 1 ⎞⎟ 1 ⎛ x 6 ⎞⎟ 1
⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟⎟ − (2 x + 10 )
4 ⎜⎜⎜
−
⎜⎝ 6
3 ⎟⎠ 3 ⎜⎜⎝ 2 5 ⎟⎠ 4
Solución
EJERCICIO RESUELTO
Si cada bola pesa 1 g, ¿cuál
es el peso de cada pieza
hexagonal?
EJERCICIO RESUELTO
}
Comprueba que x = 2 es la solución de la ecuación:
Eliminamos los paréntesis, simplificando si es posible:
2( x −1)
5x + 3 = 3x + 7
Para ello sustituimos x
en la ecuación por 2 y
verificamos que se cumple
la igualdad obtenida.
Al quitar 3 bolas de cada
platillo, la balanza permanece
en equilibrio.
5⋅2 + 3 = 3⋅2 + 7
10 + 3 = 6 + 7
13 = 13 ✓
−
2x − 2
3
4 (2 x + 1)
3
−
8x + 4
3
=
=
x
6
x
6
−
−
2
5x + 3 − 3 = 3x + 7 − 3
Comprueba que x = 3 es la solución de la ecuación:
4−
5x = 3x + 4
3
De la misma forma, si retiramos
3 piezas hexagonales de cada
platillo, la balanza también
continúa equilibrada.
x+3
En la ecuación:
5x − 3x = 3x + 4 − 3x
2x = 4
4
Finalmente, si quitamos la
mitad del contenido de cada
platillo, el equilibrio de la
balanza se mantiene.
En la ecuación:
=
5
−
−
x
2
x
2
−
5
−
2
5
2
Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su
mínimo común múltiplo: m.c.m. (3, 6, 5, 2) = 30
6
= 2+
Reducimos los términos semejantes:
−60x − 60 = −10x − 87
3
Finalmente, transponemos los términos y despejamos
para obtener la solución:
−60x + 10x = −87 + 60
−50x = −27 → x =
2
2
9 − 2x
Copia y empareja cada ecuación de la primera
columna con sus equivalentes.
3x − 1 = x + 7
2(x − 3) = 0
4x = 8
3x + 5 = 2
2x
2
5
20x − 20 − 80x − 40 = 5x − 12 − 15x − 75
En la ecuación:
Presta atención
3
Solución
Para resolver el problema, llamamos x a lo que pesa cada pieza hexagonal en gramos,
y planteamos esta ecuación: 5x + 3 = 3x + 7
Si sumamos o multiplicamos por
un mismo valor no nulo a los
dos miembros de una ecuación,
obtenemos otra ecuación
equivalente.
4
Actividades
Ecuaciones
4
5
2
x=2
Así, cada pieza hexagonal pesa 2 g.
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos miembros que puede
expresarse de la forma ax + b = 0, siendo:
6
❚ a y b, números reales conocidos, con a ≠ 0. Estos números son los coeficientes
de la ecuación.
x+2=4
x + 2 = 2x + 3
2(x − 1) = 6
2(x − 2) = 5 − x
x+2=5
2x + 7 = 11
4x + 5 = 1
2x + 5 = 13
Halla el valor de a de modo que cada par de
ecuaciones sean equivalentes.
a) 4x − 1 = x + 8
ax = 9
b) 5(x + 1) = 0
3x + 2 = a
c) 2x = 4
6x + a = 0
d) 2x + 8 = 18
a(x − 2) = 9
7
Halla la solución de las ecuaciones.
a)
b)
8
27
50
3
5
x+2=
3x + 2
5
−
x
3
c) 5 x +
−2
x +1
3
=
1
6
d) 5 −
2
5
=
x +1
6
x
2
=
−5
3
4
(2 x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
⎛x
2 ⎛⎜
1⎞
1 ⎟⎞ 2
⎟=
⎜ x + ⎟⎟⎟ − 5 ⎜⎜⎜ +
⎜⎝ 3 15 ⎟⎟⎠ 5
3 ⎜⎝⎜
2 ⎟⎠
Resuelve las ecuaciones de primer grado.
a) 3(x + 1) − 2 = 19
b) 2(x − 3) − (x + 1) = 0
c) 3 − 2(x + 5) = 7
d) 4(x + 3) = 1 + 3x
b)
1 ⎛⎜
1 ⎛⎜ 2 x − 3 x − 2 ⎞⎟
2 x − 7 ⎞⎟
⎟⎟ =
⎟⎟
+
⎜
⎜3 x − 4 −
3 ⎜⎜⎝ 6
3 ⎟⎠ 12 ⎜⎝⎜
3 ⎟⎠
c)
⎤
1 ⎡⎢
3
x + 1− ( x + 3) ⎥ + 1 = −2
⎥⎦
2 ⎢⎣
2
La edad de una madre es el triple que la de su hijo.
Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de
cada uno?
e)
⎛ x + 2 2 x −1⎞⎟ 1 ⎛ 3 x ⎞⎟ 1
⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟⎟ − ( x − 8 )
−
d) 5 ⎜⎜⎜
⎜⎝ 4
2 ⎟⎠ 5 ⎜⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 4
⎤ 1⎡ ⎛
1 ⎞ x + 1 ⎥⎤
1 ⎡⎢ 5( x + 1) 3
− ( x + 2) ⎥ = ⎢ 7 ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ +
⎥⎦ 8 ⎢⎣ ⎝
2 ⎢⎣
3
4
4⎠
2 ⎥⎦
DESAFÍO
❚ x, la incógnita, el valor desconocido.
b
Se denomina solución de la ecuación al único número, − , que, al sustituir x
a
por él verifica la igualdad.
9
Se dice que dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma
solución.
Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un
trabajador acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no
trabaje. Averigua cuántos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio.
Resuelve el problema para un mes de 30 días.
66
67
Sugerencias didácticas
Repasamos la resolución por parte de los alumnos de las
ecuaciones de primer grado. La transposición de términos
en las mismas se puede presentar a través de balanzas en
equilibrio, tal y como aparece en el texto, donde uno de
los platillos representará el miembro de la izquierda de la
ecuación y el otro el de la derecha.
Es fundamental que el alumno comprenda el concepto de
solución, por ello se proponen ejercicios en los cuales, sin
necesidad de resolver la ecuación, el estudiante podrá verificar si cierto número dado es o no solución de la misma.
Además, insistiremos en realizar la comprobación de que la
solución obtenida satisface la igualdad original.
Soluciones de las actividades
1 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a)5x + 14 = 19
c) 2x − 3 = 17
e)5x + 12 = 17 + 10x
g)2x + 7 = 7x − 3
b)3 + x = 4
d)5 − 2x = 21
f) 2x − 7 = 7x + 3
h)9 − 4x = 3x − 12
a)x = 1 b) x = 1 c) x = 10 d) x = −8 e) x = −1 f) x = −2 g) x = 2 h) x = 3
2 Comprueba que x = 3 es la solución de la ecuación: 4 −
x+3
= 2+
9 − 2x
6
3
3+3
9−6
= 2+
→ 4 −1 = 2 + 1 → 3 = 3
Sustituimos por 3 la incógnita y verificamos que se cumple la igualdad: 4 −
6
3
3 Copia y empareja cada ecuación de la primera columna con sus equivalentes.
3x − 1 = x + 7
2(x − 3) = 0
4x = 8
3x + 5 = 2
3x − 1 = x + 7 ↔2(x − 1) = 6
x+2=5
x + 2 = 4
2x + 7 = 11
3
+
x + 2 = 2x
4x + 5 = 1
2(x − 1) = 6
2(x − 2) = 5 − x2x + 5 = 13
↔2x + 5 = 13
2(x − 3) = 0
↔2(x − 2) = 5 − x ↔ x + 2 = 5
4x = 8
↔ x + 2 = 4
↔2x + 7 = 11
3x + 5 = 2
↔ x + 2 = 2x + 3
↔4x + 5 = 1
Unidades didácticas 100
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
4 Halla el valor de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes.
a)4x − 1 = x + 8
ax = 9
c) 2x = 4
6x + a = 0
b)5(x + 1) = 0
3x + 2 = a
d)2x + 8 = 18
(x − 2) = 9
a)a = 3
b)a = −1
c) a = −12
d)a = 3
5 Resuelve las ecuaciones de primer grado.
a)3(x + 1) − 2 = 19
b)2(x − 3) − (x + 1) = 0
c) 3 − 2(x + 5) = 7
d)4(x + 3) = 1 + 3x
a)x = 6
b)x = 7
c) x = −7
d)x = −11
6 La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de cada uno?
Llamamos x a los años que tiene el hijo, así su madre tiene 44 − x.
Si la edad de la madre es el triple: 44 − x = 3x → 4x = 44 → x = 11
El hijo tiene 11 años, y su madre, 33.
7 Halla la solución de las ecuaciones.
a)
3
5
x+2=
x
3
−4
b)
3x + 2
5
−
x +1
a)9x + 30 = 5x − 60 → 4x = −90 → x = −
3
45
2
b)18x + 12 − 10x − 10 = 5 → 8x = 3 → x =
3
8
=
1
6
c) 7 x +
2
5
=
x
2
− 3
d) 5 −
x +1
6
=
c)70x + 4 = 5x − 30 → 65x = −34 → x = −
3
(2 x + 7)
4
34
65
d)60 − 2x − 2 = 18x + 63 → 20x = −5 → x = −
1
4
8 Resuelve las siguientes ecuaciones.
⎛
1 ⎞⎟ 2
1⎞
2⎛
⎟⎟ = a) ⎜⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ − 5 ⎜⎜⎜ x +
⎝
3⎝
2⎠
15 ⎠ 5
2 x − 7 ⎞⎟
1 ⎛ 2 x − 3 x − 2 ⎞⎟
1 ⎛⎜
⎟⎟ =
⎟⎟ b) ⎜⎜⎜
+
⎜⎜ 3 x − 4 −
3⎝ 6
3 ⎠ 12 ⎝
3 ⎠
c)
a)
b)
⎛ x + 2 2 x −1⎞⎟ 1 ⎛ 3 x ⎞⎟ 1
⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟⎟ − ( x − 8 )
d) 5 ⎜⎜⎜
−
⎝ 4
2 ⎠ 5 ⎜⎝ 2 4 ⎠ 4
⎤
1⎡ ⎛
1 ⎞ x + 1⎥⎤
1 ⎡ 5( x + 1) 3
e) ⎢
− ( x + 2) ⎥ = ⎢ 7 ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ +
⎥⎦ 8 ⎢⎣ ⎝
2 ⎢⎣
3
4
4⎠
2 ⎥⎦
⎤
3
1 ⎢⎡
x + 1− ( x + 3) ⎥ + 1 = −2
⎥⎦
2 ⎢⎣
2
2
3
x+
1
3
2x − 3
18
c) x + 1−
−5x −
+
3
2
x −2
9
1
3
=
=
2
5
→
3x − 4
12
2
3
x −5x =
−
2x −7
36
2
5
→ 10x − 75x = 6 → −65x = 6 → x = −
6
65
→ 4x − 6 + 4x − 8 = 9x − 12 − 2x + 7 → 3x = 9 → x = 3
( x + 3) + 2 = −4 → 2x + 2 − 3x − 9 + 4 = −8 → x = 5
⎛ x + 2 2 x −1⎞⎟
⎟⎟ =
−
d) 100 ⎜⎜⎜
⎝ 4
2 ⎠
⎡ 5( x + 1) 3
⎤
− ( x + 2) ⎥
e) 4 ⎢⎢
⎥⎦
3
4
⎣
⎛3 x ⎞
18
4 ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ − 5( x − 8 ) → 25x + 50 − 100x + 50 = 6 − x − 5x + 40 → −69x = −54 → x =
⎝2 4⎠
23
⎛
⎞
1
x +1
20 x + 20
7 x +1
= 7 ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ +
→
− 3x − 6 = 7x − +
→
⎝
⎠
4
2
3
4
2
→ 80x + 80 − 36x − 72 = 84x − 21 + 6x + 6 → −46x = −23 → x =
1
2
Desafío
9 Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un trabajador
acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no trabaje. Averigua cuántos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio. Resuelve el problema para un mes de 30 días.
Llamamos x al número de días en los que trabaja en un mes, por tanto, no trabaja 30 − x.
Entonces: 7x − 4(30 − x) = 1 → 7x − 120 + 4x = 1 → 11x = 121 → x = 11 En un mes ha trabajado 11 días.
Unidades didácticas 101
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
2. Ecuaciones de segundo grado
4
Aprenderás a…
●
Identificar ecuaciones de
segundo grado.
●
Resolver ecuaciones de
segundo grado.
●
●
Plantear ecuaciones de
segundo grado para resolver
problemas.
Determinar, según el signo
del discriminante, el número
de soluciones de una
ecuación de segundo grado.
2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
10
Observa que:
x −2x −120 = 0
6 x2 +17 x +12 = 0
2
Si llamamos x a la longitud, en
metros, del lado del cuadrado,
tenemos que las dimensiones de
la parcela son: x y x + 4
Entonces: x(x + 4) = 96 → x2 + 4x − 96 = 0
x = 8 m y x + 4 = 12 m
Las soluciones de una ecuación de
segundo grado coinciden con las
raíces del polinomio de segundo
grado con la misma expresión.
Una ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la
forma ax2 + bx + c = 0, siendo:
Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado
x2 + mx − 24 = 0, si x = 3 es una de sus soluciones.
12
Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2 − 3x − 10 = 0
c) 2x2 − 6x + 4 = 0
b) x2 + x − 12 = 0
d) x2 + x − 42 = 0
13
Indica el número de soluciones de las ecuaciones de
segundo grado, sin resolverlas.
a) x2 − 6x + 9 = 0
c) 4x2 − 4x + 1 = 0
b) x2 + x + 1 = 0
d) x2 − 5x + 6 = 0
14
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas
soluciones sean 4 y 5.
15
Determina los valores de a para que x2 + ax + 4 = 0
tenga una única solución.
❚ a, b y c, números reales conocidos, con a ≠ 0, llamados coeficientes.
}
Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula:
−b ±
Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones
de segundo grado.
a) (x + 1)(x − 1) = 0
c) 3(x − 4)(x + 4) = 0
b) (2x + 3)(2x − 3) = 0
d) (4x − 5)(4x + 5) = 0
18
Si la suma de un número positivo y su cuadrado
es 756, ¿de qué número se trata?
EJERCICIO RESUELTO
b2 − 4 ac
Llamamos x a la longitud
del lado del cuadrado y
dibujamos sobre cada uno
de los lados un rectángulo
cuyos lados sean x y 1,
respectivamente.
1
1
x
x
1
x2 + 4x = 96 → x(x + 4) = 96
Encuentra la ecuación de segundo grado cuyo
coeficiente principal es 2, sabiendo que sus
soluciones son 1 y −3.
x +2
96 + 4 = 100 m2
Entonces: (x + 2)2 = 100
x +2
Resolvemos:
Como las soluciones de la ecuación de segundo grado
coinciden con las raíces del polinomio con el mismo
grado:
⎧ x = 10 − 2 = 8
⎪
1
x + 2 = ±10 → ⎪
⎨
⎪ x = −10 − 2 = −12
⎪
⎩
2
2x2 + bx + c = 2(x − 1)(x + 3) = 2x2 + 4x − 6
Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un
valor negativo, la solución del problema es 8 m.
2x2 + 4x − 6 = 0
❚ Al valor del radicando
b2 − 4ac lo llamamos
discriminante y lo
representamos por Δ.
4
Añadimos cuatro cuadrados
en las esquinas, completando
un nueva figura, es un
cuadrado de lado x + 2, cuya
superficie mide:
Así, la ecuación es:
❚ Utilizamos el signo ±
para indicar que la
fórmula puede tener dos
resultados.
x
El área de la figura que obtenemos mide:
Si el coeficiente principal es 2 entonces la ecuación es
de la forma:
2x2 + bx + c = 0
Lenguaje matemático
x
1
Solución
2a
Al aumentar en 4 m dos
lados paralelos de un
cuadrado, obtenemos
un rectángulo de 96 m2
de área. ¿Qué longitud
tiene
el
lado
del
cuadrado original?
Solución
EJERCICIO RESUELTO
❚ x, la incógnita, el valor desconocido.
x =
17
}
11
Aunque el valor −12 verifica la igualdad, no es una solución válida, ya que los lados
de un cuadrado no pueden tener una longitud negativa.
Por tanto, las dimensiones son:
4
3
yx =−3
2
x = −10 y x = 12
1
x = −2 y x = 2
x =2 yx =3
x =−
2x2 + 3x −2 = 0
x2 −5x + 6 = 0
¿Cuáles son las dimensiones de la
parcela?
(x − 8)(x + 12) = x2 + 4x − 96
a ( x − x1 )( x − x2 ) = ax 2 + bx + c
Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con
sus soluciones.
Martín
tiene
una
parcela
rectangular de 96 m2 que ha
separado en un cuadrado y un
rectángulo de 4 m de ancho.
Identificamos los coeficientes en la ecuación de segundo grado: a = 1, b = 4 y
c = −96, y la resolvemos:
4 + 20
x1 =
=8
4 ± 42 4 1 ( 96 )
4 ± 400
2
x =
=
4 20
2 1
2
= 12
x2 =
2
Presta atención
4
Actividades
Ecuaciones
16
19
Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación
3x2 + bx + c = 0, si 2 y −3 son sus soluciones.
Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que,
al aumentar la longitud de dos lados paralelos en
12 cm, obtenemos un rectángulo que tiene una
superficie de 364 cm2.
mac3e13
DESAFÍO
Para saber el número de soluciones reales de una ecuación de segundo grado nos
basta conocer el signo del valor del radicando:
20
❚ Si b2 − 4ac > 0 → tiene dos soluciones distintas.
❚ Si b2 − 4ac = 0 → solo tiene una solución.
❚ Si b2 − 4ac < 0 → no tiene solución.
Comprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifican
b
c
las relaciones de Cardano: x1 + x2 = −
y x1 ⋅ x2 =
a
a
68
69
Sugerencias didácticas
Tras repasar la resolución de ecuaciones de primer grado,
continuamos con el estudio de las de segundo grado. Comenzamos resolviendo un problema con una ecuación
completa.
En el último ejercicio resuelto podemos ver un método
geométrico para hallar la solución del primer problema
completando una figura cuadrada.
Insistiremos en que para conocer el número de soluciones
de la misma no es preciso resolverla, ya que basta con determinar el signo del discriminante.
Vídeo. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA
DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se muestra la demostración, paso a paso, de la fórmula que permite resolver ecuaciones de segundo grado. Puede reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue o proponer a los
alumnos que lo visualicen previamente para que alguno de ellos
pueda explicarlo a sus compañeros.
Como en la unidad anterior estudiamos el concepto de raíces de un polinomio, relacionándolo ahora con las soluciones de la ecuación que tiene la misma expresión que él.
Soluciones de las actividades
10 Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con sus soluciones.
2x2 + 3x −2 = 0
x2 −5 x + 6 = 0
x 2 −2 x −120 = 0
6 x2 +17 x +12 = 0
4
3
x =− yx =−3
2
x = −10 y x = 12
1
x = −2 y x = 2
x =2 yx =3
1
2x2 + 3x − 2 = 0
↔
x = −2 y x =
x2 − 5x + 6 = 0
↔
x=2yx=3
x2 − 2x − 120 = 0
↔
x = −10 y x = 12
6x2 + 17x + 12 = 0
↔
x =−
3
2
2
y x =−
4
3
11 Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado x2 + mx − 24 = 0, si x = 3 es una de sus soluciones.
Al ser x = 3 una de las soluciones tenemos que: 32 + 3m − 24 = 0 → 3m = 15 → m = 5
Unidades didácticas 102
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
12 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a)x2 − 3x − 10 = 0
b)x2 + x − 12 = 0
c) 2x2 − 6x + 4 = 0
d)x2 + x − 42 = 0
a)x1 = 5 y x2 = −2
b)x1 = 3 y x2 = −4
c) x1 = 1 y x2 = 2
d)x1 = 6 y x2 = −7
13 Indica el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, sin resolverlas.
a)x2 − 6x + 9 = 0
b)x2 + x + 1 = 0
c) 4x2 − 4x + 1 = 0
d)x2 − 5x + 6 = 0
a)∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.
c) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.
b)∆ = −3 < 0 → La ecuación no tiene solución.
d)∆ = 1 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
14 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 4 y 5.
Respuesta abierta, por ejemplo: (x − 4)(x − 5) = 0 ↔ x2 − 9x + 20 = 0
15 Determina los valores de a para que x2 + ax + 4 = 0 tenga una única solución.
La ecuación tiene una solución si ∆ = 0 → a2 − 16 = 0 → a = ±4
16 Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2 + bx + c = 0, si 2 y −3 son sus soluciones.
Si x = 2 es una solución: 3 ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 0 → c = −12 − 2b
Análogamente si x = −3: 3 ⋅ (−3)2 + b ⋅ (−3) + c = 0 → c = −27 + 3b
Luego: −12 − 2b = −27 + 3b → 5b = 15 → b = 3 → c = −18
17 Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones de segundo grado.
a)(x + 1)(x − 1) = 0
b)(2x + 3)(2x − 3) = 0
c) 3(x − 4)(x + 4) = 0
a)x1 = −1 y x2 = 1
b) x1 = −
3
2
y x2 =
3
2
d)(4x − 5)(4x + 5) = 0
c) x1 = 4 y x2 = −4
d) x1 =
5
4
y x2 = −
5
4
18 Si la suma de un número positivo y su cuadrado es 756, ¿de qué número se trata?
⎧⎪ x = 27
Llamamos x al número que buscamos: x2 + x = 756 → x2 + x − 756 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = −28
⎩ 2
Como tiene que ser positivo, el número es 27.
19 Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que, al aumentar la longitud de dos lados paralelos en 12 cm, obtenemos
un rectángulo que tiene una superficie de 364 cm2.
Llamamos x a la longitud del lado del cuadrado.
Si dibujamos sobre cada uno de los lados un rectángulo cuyos lados sean x y 3, respectivamente, el área de la figura que
obtenemos mide: x2 + 4 ⋅ 3x = 364 → x(x + 12) = 364
Añadimos cuatro cuadrados en las esquinas, completando una nueva figura, es un cuadrado de
lado x + 6, cuya superficie mide: 364 + 4 ⋅ 9 = 400
⎧⎪ x + 6 = 20 → x = 14
Entonces: (x + 6)2 = 400 → ⎪⎨
⎪⎪⎩ x + 6 = −20 → x = −26
Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un valor negativo, la única solución válida
es: 14 cm
El perímetro del cuadrado es: 4 ⋅ 14 = 56 cm
9
x
9
x2
9
9
x
Desafío
20 Comprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifican las relaciones
de Cardano: x1 + x2 = −
b
y x1 ⋅ x2 =
c
a
a
2
Si x1 y x2 son las soluciones de ax + bx + c = 0 entonces: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
a(x − x1)(x − x2) = a(x2 − x1x − x2x + x1 ⋅ x2) = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1 ⋅ x2
Entonces: b = − a(x1 + x2) → x1 + x2 = −
Unidades didácticas b
a
c = ax1 ⋅ x2 → x1 ⋅ x2 =
103
c
a
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
3. Ecuaciones de segundo grado incompletas
4
3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
INCOMPLETAS
Aprenderás a…
●
4
Actividades
Ecuaciones
Reconocer y resolver
ecuaciones de segundo grado
incompletas.
Patricia reta a Mercedes a encontrar algún número que, al elevarlo al cuadrado y
sumarle su triple, dé como resultado 0.
21
Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) x2 − 4x = 0
c) x2 + 5x = 0
b) 2x2 + 12x = 0
d) 3x2 − 7x = 0
22
Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x2 − 81 = 0
c) x2 + 1 = 0
b) 2x2 − 200 = 0
d) 9x2 − 4 = 0
23
Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0,01x2 − 9 = 0
c) 0,3x2 + 0,7x = 0
b) 0,2x2 − 0,8 = 0
d) 0,8x2 − 4x = 0
x2 + 3x = 0
Mercedes plantea la ecuación:
Es una ecuación de segundo grado incompleta. Para resolverla:
x(x + 3) = 0
1 Extraemos factor común:
Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores
debe ser igual a 0.
⎧
⎪
⎪x = 0
⎨
2 Resolvemos las ecuaciones:
⎪ x + 3 = 0 → x = −3
⎪
⎩
24
Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.
Mercedes devuelve el reto a Patricia y le pregunta si hay más de un número tal que,
al hallar el triple de su cuadrado y restarle 12, se obtenga un resultado igual a 0.
25
Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la
identidad notable.
3x2 − 12 = 0
Patricia piensa en la ecuación:
2
3x2 = 12 → x2 = 4
1 Despejamos la única incógnita:
26
Como x está elevado a 2, es decir, es una potencia de exponente par, hay
dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.
Para resolver ecuaciones de
segundo grado incompletas
también podemos utilizar
la fórmula para obtener las
soluciones de la ecuación
completa.
Patricia también da dos soluciones a Mercedes: los números 2 y −2.
Una ecuación de segundo grado incompleta es aquella en la que los
coeficientes b o c son nulos.
c) ( 4 x − 2 ) = 196
2
d) ( 2 x −1) = 4
Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.
a) Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.
b) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula,
entonces tiene dos soluciones no nulas.
x = ± 4 = ±2
2 Resolvemos la ecuación:
2
a) ( 2 x − 7 ) = 25
2
b) ( 3 x + 2 ) = 121
En este caso:
Presta atención
2
c) ( 2 x −1) = 5 − 4 x
2
d) ( 3 x − 2 ) = 1−12 x
a) 3x2 − 2x = x2 + 6x
2
b) ( x − 2 ) = 4 − 4 x
Mercedes puede dar dos soluciones a Patricia, los números 0 y −3.
EJERCICIO RESUELTO
❚ Si c = 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2 + bx = 0
}
• Se resuelve extrayendo factor común y resolviendo las ecuaciones dadas por
los factores.
Resuelve la ecuación:
x +1
Solución
2
−
( x − 1)2
4
−
1
6
=
x+2
3
−
( x − 2 )2
6
Eliminamos los denominadores, multiplicando la ecuación por su mínimo común
múltiplo: m.c.m. (2, 4, 6, 3, 6) = 12
• Siempre hay dos soluciones y una de ellas es igual a 0.
❚ Si b = 0, la ecuación es de la forma: ax2 + c = 0
2
2
6 ( x + 1) − 3( x −1) − 2 = 4 ( x + 2 ) − 2( x − 2 )
• Solo es necesario despejar la incógnita para resolverla.
Desarrollamos las identidades notables:
6 ( x + 1) − 3( x 2 − 2 x + 1) − 2 = 4 ( x + 2 ) − 2( x 2 − 4 x + 4 )
• Si a y c tienen distinto signo, la ecuación tiene dos soluciones; y si tienen el
mismo, no hay soluciones.
Quitamos los paréntesis:
❚ Si b = 0 y c = 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2 = 0
6x + 6 − 3x2 + 6x − 3 − 2 = 4x + 8 − 2x2 + 8x − 8
• La ecuación solo tiene una solución: x = 0
Reducimos los términos y resolvemos la ecuación:
1 − 3x2 = −2x2 → −x2 = −1 → x2 = 1 → x = ± 1 = ±1
EJERCICIO RESUELTO
}
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x − 50x = 0
27
b) −2x + 32 = 0
2
2
Comprueba que obtienes el mismo resultado si utilizas la fórmula.
⎧5 x = 0 → x = 0
⎪
a) 5 x ( x −10 ) = 0 → ⎪
⎨
⎪
⎪
⎩ x −10 = 0 → x = 10
Si utilizamos la fórmula resulta:
x =
50 ±
2500
2 5
=
50 ± 50
x1 = 10
10
x2 = 0
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) x 2 − 6 =
Solución
b) −2x + 32 = 0 → −2x = −32
2
2
b)
→ x 2 = 16 → x = ± 16 = ±4
x2
5
+
x
6
82 − x 2
c)
3
−4 +
x −2
3
=
x
2
−
14
3
( x + 5 )( x − 5 )
3
2
d)
( x −1)
2
+
x
3
−
+8 =
5
6
=
x +1
1(
3
4
−
7
12
5 − 2x)
Si utilizamos la fórmula resulta:
x =
0±
256
2 ( 2)
=
±16
4
x1 =
DESAFÍO
4
x2 = 4
28
Resuelve la ecuación: x(x − 2q) = p2 − q2
70
71
Sugerencias didácticas
En este epígrafe veremos que el método más eficaz para
resolver ecuaciones de segundo grado en las que el término
independiente es nulo consiste en extraer factor común y
reducir la ecuación a dos ecuaciones de primer grado. Observaremos que en tal caso x = 0 es siempre una de las
soluciones.
Sin embargo, si en la ecuación el coeficiente de x es nulo,
para resolverla podemos despejar la incógnita y extraer la
raíz cuadrada.
Como se comprueba en el primer ejercicio resuelto, en cualquiera de los casos anteriores la fórmula vista en el epígrafe
anterior es válida también para la resolución de este tipo de
ecuaciones.
Soluciones de las actividades
21 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a)x2 − 4x = 0b)
2x2 + 12x = 0c)
x2 + 5x = 0d)
3x2 − 7x = 0
a)x1 = 0 y x2 = 4
b)x1 = 0 y x2 = −6
c) x1 = 0 y x2 = −5
d)x1 = 0 y x2 =
7
3
22 Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a)x2 − 81 = 0
c)
x2 + 1 = 0
b)2x2 − 200 = 0
d)
9x2 − 4 = 0
a)x1 = 9 y x2 = −9
c) No tiene solución.
b)x1 = 10 y x2 = −10
d) x1 =
Unidades didácticas 104
2
3
y x2 = −
2
3
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
23 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a)0,01x2 − 9 = 0
c)
0,3x2 + 0,7x = 0
b)0,2x2 − 0,8 = 0
d)
0,8x2 − 4x = 0
a)x1 = 30 y x2 = −30
c) x1 = 0 y x2 = −
b)x1 = 2 y x2 = −2
d)x1 = 0 y x2 = 5
7
3
24 Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.
a)3x2 − 2x = x2 + 6x
c)
(2x − 1)2 = 5 − 4x
b)(x − 2)2 = 4 − 4x
d)
(3x − 2)2 = 1 − 12x
a)x1 = 0 y x2 = 4
c) x1 = 1 y x2 = −1
b)x = 0
d)No tiene solución.
25 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la identidad notable.
a)(2x − 7)2 = 25b)
(3x + 2)2 = 121c)
(4x − 2)2 = 196d)
(2x − 1)2 = 4
b)x1 = 0 y x2 =
a)x1 = 6 y x2 = 1
7
c) x1 = −3 y x2 = 4
3
26 Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.
d) x1 =
1
2
y x2 =
3
4
a)Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.
b)Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula, entonces tiene dos soluciones no nulas.
a)x2 + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que no tiene solución.
b)x2 − x = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que tiene una solución no nula, que es x1 = 1, pero también
tiene una solución nula x2 = 0.
27 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) x 2 − 6 =
b)
c)
x
2
5
+
x
6
82 − x 2
3
−4 +
x −2
( x + 5)( x − 5)
3
2
( x −1)
+
x
3
+8 =
5
=
x
2
−
x +1
4
14
3
−
7
12
1
(5 − 2 x )
3 6 3
2
a)3x2 − 18 = 82 − x2 → 4x2 = 100 → x2 = 25 → x = ±5
d)
−
=
b)6x2 + 5x − 120 + 10x − 20 = 15x − 140 → 6x2 = 0 → x = 0
⎪⎧⎪ x1 = 0
c)
+8 =
−
→ 4x − 100 + 96 = 3x + 3 − 7 → 4x − 3x = 0 → ⎪⎨
⎪⎪ x = 3
3
4
12
⎪⎪⎩ 2 4
x2 − 2 x + 1 x 5 5 − 2 x
d)
+ − =
→ 3x2 − 6x + 3 + 2x − 5 = 10 − 4x → 3x2 − 12 = 0 → x2 = 4 → x = ±2
2
3 6
3
x 2 − 25
x +1
7
2
2
Desafío
28 Resuelve la ecuación: x(x − 2q) = p2 − q2
⎧⎪ x = q + p
1
⎪⎪ x = q − p
⎩ 2
x2− 2qx + q2 = p2 → (x − q)2 = p2 → x − q = ± p → ⎪⎨
Unidades didácticas 105
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
4. Ecuaciones bicuadradas
4
Aprenderás a…
●
●
4
Actividades
Ecuaciones
4. ECUACIONES BICUADRADAS
Reconocer ecuaciones
bicuadradas.
Lucas está inventando ecuaciones y necesita saber cuáles son las soluciones de:
Calcular las soluciones de una
ecuación bicuadrada.
Se trata de ecuaciones de cuarto grado incompletas.
x − 16 = 0
4
y
x − 4x = 0
4
29
Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones bicuadradas.
a) x4 − 81 = 0
c) x4 − x2 = 0
b) x4 + 40 = 0
d) 3x4 − 27x2 = 0
30
Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a) x4 − 2x2 + 1 = 0
c) x4 + 5x2 − 6 = 0
b) x4 + 2x2 + 1 = 0
d) x4 − 125x2 + 484 = 0
31
Expresa estas ecuaciones como ecuaciones bicuadradas y resuélvelas.
2
Para resolverlas utilizamos procedimientos que usamos con las ecuaciones de
segundo grado incompletas.
x4 − 16 = 0
En la ecuación:
x4 = 16
1 Despejamos la única incógnita:
a) x 2 ( x 2 − 5 ) = ( 6 x + 20 )( 6 x − 20 )
Como x está elevado a 4, es decir, es una potencia de exponente par, hay
dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.
2
b) ( x + 5 )( x − 5 ) + ( x + 3 ) = x ( 6 −13 x − x 3 )
2
2
c) x ( x + 1)( x −1) = ( x − 2 ) + x ( x + 4 )
4
x = ± 16 = ±2
2 Resolvemos la ecuación:
Lucas podrá encontrar dos soluciones: 2 y −2.
32
Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
x4 − 4x2 = 0
En la ecuación:
2
x2
a) ( x 2 − 3 ) =
4
x2 ( x2 − 4 ) = 0
1 Extraemos factor común:
Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores
debe ser igual a 0.
⎧ x2 = 0 → x = 0
⎪
⎪
2 Resolvemos las ecuaciones:
⎨ 2
⎪ x − 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 4 = ±2
⎪
⎩
En este caso, obtendrá tres soluciones: 0, 2 y −2.
Después, Lucas quiere determinar las soluciones de estas otras ecuaciones:
x4 − 5x2 + 4 = 0
y
( x + 1)( x −1)
( x 2 + 3 )( x 2 − 3 )
1
=
6
3
⎞⎛ x
⎞
5 ⎛⎜ x
1( 4
2
⎟
⎜
)
x − 24 x + 80 = ⎜⎜ + 1⎟⎟⎜⎜ −1⎟⎟⎟
c)
⎟⎠⎜⎝ 2
⎟⎠
3 ⎜⎝ 2
12
b)
x4 − 3x2 − 4 = 0
Estas ecuaciones de cuarto grado son de la forma ax4 + bx2 + c = 0. Para
resolverlas, podemos realizar un cambio de variable con el que las transformamos
en ecuaciones de segundo grado mediante las propiedades de las potencias:
2
−
33
Los números 1 y 3 son soluciones de la ecuación bicuadrada: x4 − ax2 + b = 0
¿Cuáles son los valores de a y b?
34
¿Tiene alguna solución real una ecuación bicuadrada cuyos coeficientes son todos
iguales?
35
Escribe ecuaciones bicuadradas con 0, 1, 2, 3 y 4 soluciones, respectivamente.
2
p = x 2 → p2 = ( x 2 ) = x 4
x4 − 5x2 + 4 = 0
}
x4 − 3x2 − 4 = 0
Resuelve la ecuación: x6 − 35x3 + 216 = 0
Solución
1 Cambiamos la variable:
p − 5p + 4 = 0
1 Transformamos la ecuación mediante el cambio de variable: p = x3
p − 3p − 4 = 0
2
2
p2 − 35p + 216 = 0
2 Resolvemos la ecuación de segundo grado que obtenemos:
p=
5±
25
p1 = 4
16
p2 = 1
2
p=
3±
9 + 16
p1 = 4
2
p2 =
2 Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:
1
p=
3 Deshacemos el cambio de variable con cada solución:
⎧ x 2 = 4 → x = ± 4 = ±2
⎪
⎪
⎨
2
⎪
⎪
⎪
⎩ x = 1 → x = ± 1 = ±1
⎧
⎪
x 2 = 4 → x = ± 4 = ±2
⎪
⎨ 2
⎪
⎪
⎩ x = −1 → No tiene solución.
3
El número máximo de soluciones
reales de una ecuación coincide
con su grado.
1 225
864
2
=
35 ± 19
p1 = 27
2
x = 27 → x =
3
p2 = 8
27 = 3
3
x =8→ x =
3
8 =2
La ecuación tiene dos soluciones: 2 y 3.
Las soluciones de x − 3x − 4 = 0 son 2 y −2.
Presta atención
35 ±
3 Deshacemos el cambio de variable con cada solución:
Las soluciones de x4 − 5x2 + 4 = 0 son 2, −2, 1, −1.
4
ax4 + bx2 + c = 0
entonces x = −d también es una
solución.
EJERCICIO RESUELTO
Así, para resolver las ecuaciones:
Presta atención
Si x = d es una solución de la
ecuación bicuadrada:
2
36
Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado de la forma
ax4 + bx2 + c = 0, siendo a, b y c números reales conocidos y a ≠ 0.
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) x6 − 63x3 − 64 = 0
b) x8 − 80x4 − 81 = 0
c) x10 − 31x5 − 32 = 0
DESAFÍO
Para resolverlas, primero se pueden transformar con un cambio de variable:
p = x2 → ap2 + bp + c = 0
37
Después, se resuelve la ecuación de segundo grado, y por último, se deshace el
cambio para calcular las posibles soluciones.
Para cada par de números reales, a y b, se considera la ecuación bicuadrada: x 4 − ( a2 − b2 ) x 2 − a2 b2 = 0
Expresa las soluciones de la ecuación en función de los valores de a y de b.
72
73
Sugerencias didácticas
Introducimos la resolución de ecuaciones bicuadradas. En
primer lugar conviene resolver ecuaciones incompletas extrayendo factor común o despejando la incógnita, como ya
hicimos con las ecuaciones de segundo grado.
ta esta debemos sustituir los valores obtenidos en la igualdad que nos proporcionó el cambio de variable, esto es, se
debe deshacer el cambio, para así obtener las soluciones de
la ecuación de partida.
A continuación podemos resolver ecuaciones bicuadradas
completas. Podemos facilitar su resolución mediante un
cambio de variable de modo que la ecuación resultante sea
de segundo grado. Conviene insistir en que una vez resuel-
Parece interesante mostrar ecuaciones bicuadradas con 4,
3, 2, 1 y ninguna solución real, para que el alumno sea
consciente de que se pueden dar cualquiera de las cinco
situaciones anteriores.
Soluciones de las actividades
29 Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones bicuadradas.
a)x4 − 81 = 0b)
x4 + 40 = 0c)
x4 − x2 = 0d)
3x4 − 27x2 = 0
a)x1 = 3 y x2 = −3
c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −1
b)No tiene solución.
d)x1 = 0, x2 = 3 y x3 = −3
30 Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a)x4 − 2x2 + 1 = 0b)
x4 + 2x2 + 1 = 0
c) x4 + 5x2 − 6 = 0d)
x4 − 125x2 + 484 = 0
a)Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 − 2p + 1 = 0 → (p − 1)2 = 0 → p = 1 → x2 = 1 → x = ±1
b)Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 + 2p + 1 = 0 → (p + 1)2 = 0 → p = −1 → x2 = −1 → No tiene solución.
⎪⎧ p = 1 → x 2 = 1 → x = ±1
c) Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 + 5p − 6 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −6 → x 2 = −6 → No tiene solución.
⎩ 2
⎪⎧ p = 121 → x 2 = 121 → x = ±11
d)Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 − 125p + 484 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
⎩ 2
Unidades didácticas 106
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
31 Expresa estas ecuaciones como ecuaciones bicuadradas y resuélvelas.
a)x2(x2 − 5) = (6x + 20)(6x − 20)
b)(x + 5)(x − 5) + (x + 3)2 = x(6 − 13x − x3)
c) x2(x + 1)(x − 1) = (x − 2)2 + x(x + 4)
a)x4 − 5x2 = 36x2 − 400 → x4 − 41x2 + 400 = 0
⎪⎧ p = 25 → x 2 = 25 → x = ±5
p = x2 → p2 − 41p + 400 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
⎩ 2
b)x2 − 25 + x2 + 6x + 9 = 6x − 13x2 − x4 → x4 + 15x2 − 16 = 0
⎧⎪ p = 1 → x 2 = 1 → x = ±1
p = x2 → p2 + 15p − 16 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −16 → x 2 = −16 → No tiene solución.
⎩ 2
4
2
2
2
c) x − x = x − 4x + 4 + x + 4x → x4 − 3x2 − 4 = 0
⎧⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
p = x2 → p2 − 3p − 4 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
⎩ 2
32 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) ( x 2 − 3)2 =
b)
x2
4
( x + 1)( x −1)
2
−
( x 2 + 3)( x 2 − 3)
=
1
6
3
⎛
⎞
⎛
⎞
x
5 x
1 4
( x − 24 x 2 + 80 ) = ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟⎜⎜⎜ −1⎟⎟⎟
c)
⎟⎠⎝ 2
⎟⎠
3⎝ 2
12
a)4(x4 − 6x2 + 9) = x2 → 4x4 − 25x2 + 36 = 0
⎪⎧⎪ p1 = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
⎪
p = x2 → 4p2 − 25p + 36 = 0 → ⎨
⎪⎪ p = 9 → x 2 = 9 → x = ± 3
⎪⎪⎩ 2 4
4
2
2
4
x −1 x − 9 1
2
4
4
2
−
= → 3x − 3 − x + 9 = 2 → x − 3x − 4 = 0
b)
2
6
3
⎧⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
p = x2 → p2 − 3p − 4 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
⎩ 2
2
⎞
5⎛ x
1 4
( x − 24 x 2 + 80 ) = ⎜⎜⎜
−1⎟⎟⎟ → x4 − 24x2 + 80 = 5x2 − 20 → x4 − 29x2 + 100 = 0
c)
⎟⎠
3 ⎜⎝ 4
12
⎪⎧ p = 25 → x 2 = 25 → x = ±5
p = x2 → p2 − 29p + 100 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
⎩ 2
3 son soluciones de la ecuación bicuadrada: x4 − ax2 + b = 0
33 Los números 1 y
¿Cuáles son los valores de a y b?
Como x = 1 es una solución:
14 − a ⋅ 1 + b = 0 → b = a − 1
Así la ecuación es de la forma:
x4 − ax2 + a − 1 = 0
Como x = 3 también es una solución:
4
2
( 3 ) − a ( 3 ) + a −1 = 0 → 9 − 3a + a − 1 = 0 → a = 4
Entonces: b = 3
Unidades didácticas 107
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
34 ¿Tiene alguna solución real una ecuación bicuadrada cuyos coeficientes son todos iguales?
Consideramos la ecuación de la forma: ax4 + ax2 + a = 0 con un número real a no nulo.
Simplificando: x4 + x2 + 1 = 0
p = x2 → p2 + p + 1 = 0 → p =
−1±
1− 4
→ No tiene solución.
2
Luego la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales.
35 Escribe ecuaciones bicuadradas que tengan 0, 1, 2, 3 y 4 soluciones, respectivamente.
Respuesta abierta, por ejemplo:
❚❚ x4 + x2 + 1 = 0 no tiene soluciones.
❚❚ x4 = 0 tiene una única solución: x = 0
❚❚ x4 − 2x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones.
❚❚ x4 − x2 = 0 tiene tres soluciones.
❚❚ x4 − 5x2 + 4 = 0 tiene cuatro soluciones.
36 Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a)x6 − 63x3 − 64 = 0 b) x8 − 80x4 − 81 = 0 c) x10 − 31x5 − 32 = 0
⎧⎪ p = 64 → x 2 = 64 → x = ±8
→ ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
2
⎩ 2
⎧⎪ p = 81 → x 2 = 81 → x = ±9
80 ± 82
b)p = x4 → p2 − 80p − 81 = 0 → p =
→ ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
2
⎩ 2
⎧
⎪ p = 32 → x 2 = 32 → x = ± 32 = ±4 2
31± 33
c) p = x5 → p2 − 31p − 32 = 0 → p =
→ ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
2
⎩ 2
a)p = x3 → p2 − 63p − 64 = 0 → p =
63 ± 65
Desafío
37 Para cada par de números reales, a y b, se considera la ecuación bicuadrada: x4 − (a2 − b2)x2 − a2b2 = 0
Expresa las soluciones de la ecuación en función de los valores de a y de b.
p = x2 → p2− (a2 − b2)p − a2b2 = 0 → p =
=
a2 − b2 ±
a2 − b2 ±
a4 − 2a2 b2 − b4 + 4 a2 b2
2
( a2 − b2 )2 − 4 a2 b2
2
=
a2 − b2 ±
=
a4 + 2a2 b2 − b4
2
=
⎧⎪ p = a2 → x 2 = a2 → x = ± a
→ ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −b2 → x 2 = −b2
2
2
⎩ 2
❚❚ Si a > 0 y b ≠ 0 entonces las soluciones de la ecuación son los números: a y −a
=
a2 − b2 ±
( a2 + b2 )2
=
a2 − b2 ± ( a2 + b2 )
❚❚ Si a > 0 y b = 0 entonces las soluciones de la ecuación son los números: 0, a y −a
Unidades didácticas 108
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
5. Resolución de ecuaciones por factorización
4
5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
POR FACTORIZACIÓN
Aprenderás a…
●
4
Actividades
Ecuaciones
Resolver ecuaciones de la
forma P(x) = 0, donde P(x) es
un polinomio que se puede
factorizar.
38
Hemos visto que para resolver la ecuación x + 3x = 0 podemos factorizar el polinomio
P(x) = x2 + 3x e igualarlo a 0, es decir, x(x + 3) = 0.
Resuelve estas ecuaciones.
2
Como obtenemos un producto con resultado nulo, podemos afirmar que al menos
uno de los factores debe ser igual a 0, y resolvemos las ecuaciones de primer grado.
c) ( x 2 − x )( x + 2 ) = 0
d) x 4 ( x 2 − 25 ) = 0
39
Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones, factorizando previamente.
a) x2 − 14x + 49 = 0
d) x4 − 16 = 0
b) x2 − 144 = 0
e) 4x2 + 20x + 25 = 0
c) x2 + 18x + 81 = 0
f) 9x3 + 12x2 + 4x = 0
40
Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con su factorización. Teniendo en
cuenta esa factorización, resuelve las ecuaciones que se encuentran a continuación.
Del mismo modo, para hallar las soluciones de la ecuación:
x 5 + x 4 − 60 x 3 − 4 x 2 + 224 x = 0 → x ( x 2 − 4 )( x + 8 )( x − 7 ) = 0
a) ( x −12 )( x + 5 )( 2 x −10 ) = 0
b) ( x 2 − 9 )( x + 6 )( x −1) = 0
⎧
⎪
x =0
⎪
⎪
⎪ x 2 − 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 4 = ±2
⎪
Resolvemos estas ecuaciones: ⎨
⎪
x + 8 = 0 → x = −8
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩x −7 = 0 → x = 7
EJERCICIO RESUELTO
}
a) 2x2 + 3x − 2 = 0
b) x2 − 5x + 6 = 0
Resuelve por factorización las ecuaciones:
a) x2 − 12x + 35 = 0
(2x + 3)(3x + 4)
(x + 10)(x − 12)
(x + 2)(2x − 1)
(x − 2)(x − 3)
2x2 + 3x − 2
x2 − 5x + 6
x2 − 2x − 120
6x2 + 17x + 12
Así, las soluciones son los números −8, −2, 0, 2 y 7.
b) x3 + x2 − 145x + 143 = 0
41
Calcula, por factorización, las soluciones de estas ecuaciones.
a) x3 − 11x2 + 31x − 21 = 0
c) x3 − 22x2 + 89x − 68 = 0
b) x3 − 21x2 + 111x − 91 = 0
d) x3 + 3x2 − 25x + 21 = 0
42
Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.
a) x4 − 1 = 0
c) x6 − 13x4 + 36x2 = 0
b) x5 − 5x3 + 4x = 0
d) 2x5 − 200x = 0
43
Factoriza el polinomio P(x) y resuelve la ecuación P(x) = 0 en cada caso.
a) P(x) = x3 − 7x2 + 7x + 15
c) P(x) = x3 − x2 − 40x + 112
b) P(x) = x4 + 8x3 − 4x2 − 32x
d) P(x) = x3 − 3x2 − 16x − 12
Solución
a)
Recuerda
Las raíces enteras de un
polinomio son divisores de su
término independiente.
c) x2 − 2x − 120 = 0
d) 6x2 + 17x + 12 = 0
EJERCICIO RESUELTO
}
Resuelve por factorización la ecuación: x2 − 2x − 18 = 0
Solución
mac3e14
2
Como x 2 − 2 x + 1 = ( x −1) , podemos escribir la expresión algebraica como:
b)
2
x 2 − 2 x + 1 − 1 − 18 = x 2 − 2 x + 1− 19 = ( x −1) − ( 19 )
2
2
Factorizamos: ( x −1) − ( 19 ) = ( x −1+
2
19 )( x −1− 19 )
⎧ x −1+ 19 = 0 → x = 1− 19
⎪
Y resolvemos las ecuaciones: ⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩ x −1− 19 = 0 → x = 1+ 19
44
Resuelve por factorización estas ecuaciones.
a) x2 − 4x + 2 = 0
b) x2 + 2x − 4 = 0
DESAFÍO
45
mac3e15
Factoriza el polinomio P(x) = x10 − 55x8 + 1 023x6 − 7 645x4 + 21 076x2 − 14 400 y después, resuelve
la ecuación: P(x) = 0
74
75
Sugerencias didácticas
Es conveniente explicar que existen fórmulas para la resolución de las ecuaciones generales de grado tres y cuatro,
aunque no se estudian en esta unidad por su elevada complejidad.
Es conveniente también repasar la factorización de polinomios y la regla de Ruffini que aparecieron en la unidad anterior para realizar las actividades con más soltura.
Sin embargo, sí estudiaremos las ecuaciones de grado mayor o igual que dos cuyas soluciones son números enteros.
Vídeos. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
POR FACTORIZACIÓN 1 Y 2
Para completar la explicación del libro sobre la resolución de
ecuaciones se resuelve paso a paso el ejercicio propuesto con una
ecuación de segundo grado y otra de tercer grado.
Para resolver las ecuaciones polinómicas de la forma
P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio de grado mayor o igual
que dos, emplearemos la regla de Ruffini y cada vez que
encontremos una raíz x = a del polinomio P(x) lo factorizaremos como (x − a) ⋅ Q(x), de modo que el grado del polinomio Q(x) será una unidad menor que el de P(x).
Soluciones de las actividades
38 Resuelve estas ecuaciones.
a)(x − 12)(x + 5)(2x − 10) = 0
c) (x2 − x)(x + 2) = 0
b)(x2 − 9)(x + 6)(x − 1) = 0
d)
x4(x2 − 25) = 0
a)x1 = 12, x2 = −5 y x3 = 5
c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −2
b)x1 = −3, x2 = 3, x3 = −6 y x4 = 1
d)x1 = 0, x2 = −5 y x3 = 5
Unidades didácticas 109
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
39 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones, factorizando previamente.
a)x2 − 14x + 49 = 0
c)
x2 + 18x + 81 = 0
e) 4x2 + 20x + 25 = 0
b)x2 − 144 = 0
d)
x4 − 16 = 0
f) 9x3 + 12x2 + 4x = 0
a)(x − 7)2 = 0 → x = 7
d)(x2 + 4)(x − 2)(x + 2) = 0 → x1 = 2 y x2 = −2
b)(x − 12)(x + 12) = 0 → x1 = 12 y x2 = −12
e)(2x + 5)2 = 0 → x = −
c) (x + 9)2 = 0 → x = −9
f) x(3x + 2)2 = 0 → x1 = 0 y x2 = −
5
2
2
3
40 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con su factorización. Teniendo en cuenta esa factorización, resuelve las
ecuaciones que se encuentran a continuación.
2x2 + 3x − 2
x2 − 5x + 6
x2 − 2x − 120
6x2 + 17x + 12
a)2x2 + 3x − 2 = 0 → (x + 2)(2x − 1) = 0 → x1 = −2 y x2 =
(2x + 3)(3x + 4)
(x + 10)(x − 12)
(x + 2)(2x − 1)
(x − 2)(x − 3)
1
2
b)x − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x1 = 2 y x2 = 3
2
c) x2 − 2x − 120 = 0 → (x + 10)(x − 12) = 0 → x1 = −10 y x2 = 12
d)6x2 + 17x + 12 = 0 → (2x + 3)(3x + 4) = 0 → x1 = −
3
2
y x2 = −
4
3
41 Calcula, por factorización, las soluciones de estas ecuaciones.
a)x3 − 11x2 + 31x − 21 = 0
c) x3 − 22x2 + 89x − 68 = 0
b)x3 − 21x2 + 111x − 91 = 0
d)x3 + 3x2 − 25x + 21 = 0
a)(x − 1)(x − 3)(x − 7) = 0 → x1 = 1, x2 = 3 y x3 = 7
c) (x − 1)(x − 4)(x − 17) = 0 → x1 = 1, x2 = 4 y x3 = 17
b)(x − 1)(x − 7)(x − 13) = 0 → x1 = 1, x2 = 7 y x3 = 13
d)(x − 1)(x − 3)(x + 7) = 0 → x1 = 1, x2 = 3 y x3 = −7
42 Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.
a)x4 − 1 = 0
b)x5 − 5x3 + 4x = 0
c) x6 − 13x4 + 36x2 = 0
d)2x5 − 200x = 0
a)(x2 + 1)(x − 1)(x + 1) = 0 → x1 = 1 y x2 = −1
b)x(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) = 0 → x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2 y x5 = −2
c) x2(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0 → x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2, x4 = 3 y x5 = −3
d)x(x2 + 10)( x2 − 10) = 0 → x1 = 0, x2 = − 10 y x3 =
10
43 Factoriza el polinomio P(x) y resuelve la ecuación P(x) = 0 en cada caso.
a)P(x) = x3 − 7x2 + 7x + 15
c) P(x) = x3 − x2 − 40x + 112
b)P(x) = x4 + 8x3 − 4x2 − 32x
d)P(x) = x3 − 3x2 − 16x − 12
a)(x + 1)(x − 3)(x − 5) = 0 → x1 = −1, x2 = 3 y x3 = 5
b)x(x − 2)(x + 2)(x + 8) = 0 → x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2 y x4 = −8
c) (x − 4)2(x + 7) = 0 → x1 = 4 y x2 = −7
d)(x + 1)(x + 2)(x − 6) = 0 → x1 = −1, x2 = −2 y x3 = 6
44 Resuelve por factorización estas ecuaciones.
a)x2 − 4x + 2 = 0
b)x2 + 2x − 4 = 0
2
a)x2 − 4x + 4 − 2 = (x − 2)2 − 2 = ( x − 2)2 − ( 2 ) = ( x − 2 +
2
b)x2 + 2x + 1 − 5 = (x + 1)2 − 5 = ( x + 1) − ( 5 ) = ( x + 1+
2
2 )( x − 2 −
2 ) = 0 → x1 = 2 −
2 y x2 = 2 +
5 )( x + 1− 5 ) = 0 → x1 = −1− 5 y x2 = −1+
2
5
Desafío
45 Factoriza el polinomio P(x) = x10 − 55x8 + 1 023x6 − 7 645x4 + 21 076x2 − 14 400 y después, resuelve la ecuación: P(x) = 0
p = x2 → P(p) = p5 − 55p4 + 1 023p3 − 7 645p2 + 21 076p − 14 400 = (p − 1)(p − 4)(p − 9)(p − 16)(p − 25)
Deshaciendo el cambio de variable:
P(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4)(x − 5)(x + 5)
Las soluciones de la ecuación P(x) = 0 son los números: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5 y −5
Unidades didácticas 110
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
¿Qué tienes que saber?
?
¿QUÉ
4
Actividades
tienes que saber
Ecuaciones de primer grado
Ten en cuenta
Una ecuación de primer grado es
una igualdad de dos miembros que
puede expresarse de la forma:
ax + b = 0
donde a y b son números reales
conocidos, a ≠ 0, llamados
coeficientes de la ecuación, y x es la
incógnita, el valor desconocido.
46
Ecuaciones de primer grado
Resuelve la ecuación:
x −1
4
x +5
−
9
=
x −5
4
−
x +5
=
9
x −5
36
Ten en cuenta
ax2 + bx + c = 0
→ 9( x −1) − 4 ( x + 5) = x − 5
donde a, b y c son números
reales conocidos, a ≠ 0, llamados
coeficientes de la ecuación, y x es la
incógnita, el valor desconocido.
Las soluciones se pueden obtener
mediante la fórmula:
x =
−b ±
b2 − 4 ac
2a
47
48
Ecuaciones de segundo grado
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) 3x2 − 48 = 0
b) 5x2 + 35x = 0
c) x2 − 13x + 36 = 0
x2 = 16 → x = ±4
Resolvemos la ecuación:
49
5x2 + 35x = 0 → 5x(x + 7) = 0
b) Extraemos factor común:
Resolvemos las ecuaciones:
⎧
⎪
5x = 0 → x = 0
⎪
⎨
⎪ x + 7 = 0 → x = −7
⎪
⎩
x =
c) Aplicamos la fórmula:
13 ±
Ten en cuenta
ax4 + bx2 + c = 0
donde a, b y c son números reales
conocidos y a ≠ 0.
Para resolverlas podemos realizar
este cambio de variable:
2 1
=
13 ± 5
x1 = 9
2
x2 = 4
b)
Ecuaciones bicuadradas
1 Cambiamos la variable:
p = x 2 → p2 = ( x 2 ) = x 4
2 Escribimos la nueva ecuación:
p2 − 13p + 36 = 0
Ten en cuenta
13 ±
25
¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas
de modo que la tercera parte de lo que le corresponde
a la primera supere en 120 € a la mitad de lo que le
corresponde a la segunda?
Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y
sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de
sus lados.
0,2
+ 0,6 x =
1,69 − 0,52
Ecuaciones de segundo grado
56
4
5
−
3x
x+2
3
2
−
12 x −1
3
=
x
5
3
a) x ( 7x − 2 ) = 1
b) 3 x 2 − 5 x = ( 3x + 1)( 3x −1)
(2 x + 1)(2 x −1) x
c)
− = x2 − 5
4
3
d) x(3x − 8) = x2 + x + 1
−8
125
= 2+
−x =
3− x
10
15 x + 4
3
Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de
segundo grado.
−
57
Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo
grado.
a) x2 − 5x − 84 = 0
b) x2 − 18x + 77 = 0
c) x2 + 3x − 18 = 0
d) 6x2 + x − 15 = 0
58
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) (x − 8)(x + 4) = 13
2x + 3
2
Halla tres números enteros consecutivos cuya suma
sea 111.
51
¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la
edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero
hace 14 años la triplicaba?
b) ( 2x + 5 )( 2x − 5 ) − 6 = ( x − 7)2 + 25 x
c) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40
p=
4 Deshacemos el cambio de variable:
⎧ x 2 = 9 → x = ± 9 = ±3
⎪
⎪
⎨
2
⎪
⎪
⎪ x = 4 → x = ± 4 = ±2
⎩
2
55
p1 = 9
3 Resolvemos la ecuación:
p=x
Las soluciones de una ecuación
coinciden con las raíces del
polinomio con la misma expresión
algebraica.
2
0,3 x
50
Resuelve la ecuación: x4 − 13x2 + 36 = 0
2
¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años
tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?
54
Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de
primer grado.
a)
4 1 36
169
x+2=5
2x + 7 = 15
3x + 5 = 11
2x + 5 = 7
Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a) 0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)
b) 7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)
c)
Las ecuaciones bicuadradas son
ecuaciones de cuarto grado de la
forma:
53
2
Encuentra el valor del número a si x =
es solución
3
de la ecuación: a(x − 2) = x − a
c)
3x2 = 48 → x2 = 16
a) Despejamos la incógnita:
x+1=2
x=2
8(x − 1) = 16
2(x − 2) = 8 − x
6x − 1 = x + 9
2(x − 1) = 0
4x = 12
7x − 25 = 3
2 Resolvemos los paréntesis y reducimos los términos semejantes:
9x − 9 − 4x − 20 = x − 5 → 5x − 29 = x − 5
3 Transponemos los términos y despejamos: 5x − x = 29 − 5 → 4x = 24 → x = 6
Una ecuación de segundo grado es
una igualdad que puede expresarse
de la forma:
Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de
la primera columna con aquellas de las columnas
segunda y tercera que sean equivalentes a ella.
36
1 Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo:
m.c.m. (4, 9, 36) = 36
x −1
4
Finales
p2 = 4
59
Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el
producto de sus soluciones.
a) x2 − 2x − 13 = 0
b) x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 + 8x − 11 = 0
d) x2 + 9x + 5 = 0
60
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado
incompletas.
a) 9x2 + 3x = 0
b) x2 + 11x = 0
c) 5x2 − 10x = 0
d) 6x2 − 15x = 0
Resolución de ecuaciones por factorización
Resuelve por factorización la ecuación: 4x3 − 40x2 + 100x = 0
Sacamos factor común 4x:
4 x ( x 2 −10 x + 25 ) = 0
Reconocemos la identidad notable:
4 x ( x − 5) = 0
Resolvemos las ecuaciones dadas por cada factor:
⎧4 x = 0 → x = 0
⎪
⎪
⎨
2
⎪
⎪( x − 5 ) = 0 → x − 5 = 0 → x = 5
⎩
2
52
¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos
de dos en dos hay que dar tres saltos más que
subiéndolos de tres en tres?
76
77
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
❚❚ Calcular las soluciones de una ecuación bicuadrada.
❚❚ Obtener, por factorización, las soluciones enteras de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que dos.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
46 Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de la primera columna con aquellas de las columnas segunda y tercera
que sean equivalentes a ella.
6x − 1 = x + 9
2(x − 1) = 0
4x = 12
7x − 25 = 3
x+2=5
x + 1 = 2
2x + 7 = 15
x = 2
3x + 5 = 11
8(x − 1) = 16
2(x − 2) = 8 − x2x + 5 = 7
6x − 1 = x + 9
↔
x = 2
↔3x + 5 = 11
2(x − 1) = 0
↔
x + 1 = 2
↔2x + 5 = 7
4x = 12
↔8(x − 1) = 16
↔
7x − 25 = 3
↔2(x − 2) = 8 − x
↔2x + 7 = 15
Unidades didácticas x+2=5
111
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
47 Encuentra el valor del número a si x =
2
3
es solución de la ecuación: a(x − 2) = x − a
⎛2
⎞ 2
2a
2
a ⎜⎜⎜ − 2 ⎟⎟⎟ = − a →
− 2a = − a → 2a − 6a = 2 − 3a → a = −2
⎝3
⎠ 3
3
3
48 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.
a)0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)
b)7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)
0,3 x
+ 1,6 x = 1,69 − 0,52
c)
0,2
a) x =
13
b) x =
3
c) x =
21
8
5
62
49 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de primer grado.
a)
b)
c)
4
5
−
3x
x+2
3
2
−
12 x −1
=
x
5
3
−8
125
= 2+
−x =
3− x
10
15 x + 4
−
2x + 3
3
3
2
4
1
a) x = b)x = 7
c) x = −
5
6
50 Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 111.
Si x es el segundo de los números buscados, ordenados de menor a mayor, el anterior es x − 1, y el siguiente, x + 1.
En consecuencia: x − 1 + x + x + 1 = 111 → 3x = 111 → x = 37
Los tres números son: 36, 37 y 38
51 ¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero hace 14 años la
triplicaba?
Si x es la edad actual de la hija, expresada en años, la de su padre es 2x.
Sabemos que: 2x − 14 = 3(x − 14) → 2x − 14 = 3x − 42 → x = 28
Luego la hija tiene 28 años, y su padre, 56.
52 ¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos de dos en dos hay que dar tres saltos más que subiéndolos de tres
en tres?
Si x es el número de peldaños de la escalera se cumple que:
x
2
= 3+
x
3
→ 3x = 18 + 2x → x = 18
Por tanto la escalera tiene 18 peldaños.
53 ¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?
Si Emilio tiene ahora x años se cumple que: x + 4 = 3(x − 24) → x + 4 = 3x − 72 → x = 38
Luego Emilio tiene 38 años.
54 ¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas de modo que la tercera parte de lo que le corresponde a la primera
supere en 120 € a la mitad de lo que le corresponde a la segunda?
Llamamos x a la cantidad, expresada en euros, que le corresponde a la primera persona, por lo que a la segunda le corresponden: 2 400 − x
x
Unidades didácticas = 120 +
2 400 − x
→ 2x = 720 + 7 200 − 3x → 5x = 7 920 → x = 1 584
3
2
En consecuencia, la primera persona recibe 1 584 €, y la segunda: 2 400 − 1 584 = 816 €
Se cumple que:
112
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
55 Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de sus lados.
Como los perímetros difieren en 36 cm, las longitudes de los lados difieren en 9 cm.
Por tanto, si el lado del cuadrado pequeño mide x, el lado del cuadrado grande mide x + 9.
Entonces las áreas de los cuadrados miden (x + 9)2 y x2, respectivamente.
Así: x2 + 117 = (x + 9)2 → x2 + 117 = x2 + 18x + 81 → 18x = 36 → x = 2
En consecuencia los lados de estos cuadrados miden 2 y 11 cm, respectivamente.
56 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado.
a) x ( 7x − 2 ) = 1
b) 3 x 2 − 5 x = ( 3x + 1)( 3x −1)
c)
(2 x + 1)(2 x −1)
−
x
4
3
2
d)x(3x − 8) = x + x + 1
= x2 − 5
a)Se trata de la ecuación
7x 2 − 2 x −1 = 0 , que es de segundo grado.
b)3x2 − 5x = 3x2 − 1 → −5x = −1, que es de primer grado.
c)
4 x 2 −1
−
x
= x 2 − 5 → 12x2 − 3 − 4x = 12x2 − 60 → −4x = −57, que es de primer grado.
4
3
d)3x − 8x = x2 + x + 1→ 2x2 − 9x − 1 = 0, que es de segundo grado.
2
57 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado.
a)x2 − 5x − 84 = 0
c) x2 + 3x − 18 = 0
b)x2 − 18x + 77 = 0
d)6x2 + x − 15 = 0
a)x1 = 12 y x2 = −7
c) x1 = 3 y x2 = −6
b)x1 = 11 y x2 = 7
d) x1 =
3
2
y x2 = −
5
3
58 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a)(x − 8)(x + 4) = 13
b) ( 2x + 5 )( 2x − 5 ) − 6 = ( x − 7)2 + 25 x
c) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40
a)x1 = 9 y x2 = −5
b)x1 = 16 y x2 = −5
c) x1 = 4 y x2 = −4
59 Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el producto de sus soluciones.
a)x2 − 2x − 13 = 0
b)x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 + 8x − 11 = 0
d)x2 + 9x + 5 = 0
Denotamos s la suma de las soluciones y p su producto.
a)s = 2, p = −13
b)s = 12, p = 6
c) s = −8, p = −11
d)s = −9, p = 5
60 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a)9x2 + 3x = 0
c) 5x2 − 10x = 0
b)x2 + 11x = 0
d)6x2 − 15x = 0
1
a)x1 = 0 y x2 = − 3
c) x1 = 0 y x2 = 2
b)x1 = 0 y x2 = −11
d)x1 = 0 y x2 =
Unidades didácticas 113
5
2
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
4
Ecuaciones
Actividades
Ecuaciones
61
62
63
64
Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de
segundo grado incompletas.
a) x2 − 196 = 0
b) x2 + 3 = 0
c) 2x2 − 2 048 = 0
d) 4x2 − 36 = 0
x
Encuentra el valor del número a para que la ecuación
3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.
67
¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación
x2 − ax = 2 tenga una única solución?
Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas.
a) Si una ecuación de segundo grado incompleta
tiene una solución igual a 0, entonces también
tiene otra solución no nula.
b) Las soluciones de una ecuación de segundo grado
incompleta cumplen que o bien su suma o bien su
producto son iguales a 0.
La suma de los cuadrados de dos números naturales
consecutivos es 365. Calcula dichos números.
71
En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las
longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.
81
Halla las soluciones, si existen, de las siguientes
ecuaciones.
a)
b)
x–2
c) Área = 63 u2
82
x
x+5
83
84
73
74
x 2( x 2 + 1)
8
x4
2
=
3
2
El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área,
51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.
Encuentra dos números enteros impares consecutivos
cuyos cuadrados sumen 290.
76
Determina dos números enteros pares consecutivos
cuyos cuadrados sumen 164.
77
Halla un número entero de dos cifras cuyo producto
sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas
exceda en 2 a la de las unidades.
90
c) ( x 3 − x 2 )( x + 3 ) = 0
d) x 3 ( x 2 − 225 ) = 0
91
Halla, factorizando previamente, las soluciones de
estas ecuaciones.
a) x2 − 49 = 0
c) x2 + 32x + 256 = 0
b) x2 − 18x + 81 = 0
d) x2 − 196 = 0
92
Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0
93
Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones
de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0
Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones
de la ecuación.
94
Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0
− x −4 = 0
x4 + 2
Determina las soluciones, si existen, de estas
ecuaciones.
a) 2x6 − 3x3 + 1 = 0
b) x8 − 76x4 − 405 = 0
EJERCICIO RESUELTO
}
⎞2 ⎛
⎞2
⎛x
⎜⎜ + 3 ⎟⎟ − ⎜⎜ 5 x + 2 ⎟⎟ = 0
⎟⎠⎟
⎟⎠⎟
⎜⎝⎜ 3
⎜⎜⎝ 3
a) 5 x 2 = ( x 2 + 6 )( x 2 − 6 )
Solución
b) ( x 2 + 1)( 2 x 2 − 6 ) = 5 ( x 2 − 2 )
Expresamos la diferencia de cuadrados como producto
de una suma por una diferencia:
Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las
identidades notables.
⎡⎛ x
⎞ ⎛
⎞⎤ ⎡⎛
⎞ ⎛
⎞⎤
⎢ ⎜⎜ + 3 ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 5 x + 2 ⎟⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎜ x + 3 ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ 5 x + 2 ⎟⎟⎟ ⎥ = 0
⎢ ⎜⎜⎝ 3
⎟⎠ ⎜⎜⎝ 3
⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎜⎜⎝ 3
⎟⎠ ⎜⎜⎝ 3
⎟⎠ ⎥
⎣
⎦⎣
⎦
b) ( x 2 −1) −1 = 0
Simplificamos los factores:
Encuentra los valores del número a para los que la
ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos
soluciones.
Resolvemos las ecuaciones dadas por los factores:
2
86
⎛ 4x
⎞
(2 x + 5) ⎜⎜⎜ −
+ 1⎟⎟⎟ = 0
⎝ 3
⎠
Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones
sean: − 2 ,
La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y
la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad
más la cuarta parte de la longitud del lado del otro.
¿Cuánto miden dichos lados?
Halla las soluciones de la ecuación:
Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.
2
85
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) ( x − 7 )( x + 3 )( 2 x −16 ) = 0
b) ( x 2 − 25 )( x − 36 )( x 2 −1) = 0
a) ( x 2 + 1) = 4
Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de
área si la longitud de la base excede en 7 m a la de
la altura.
75
Resolución de ecuaciones
por factorización
2
x4 + x2
3 x2 + 1
−
=
2
5
10
3( x 4 −11) 2( x 4 − 60 )
d)
−
= 36
5
7
c)
x+2
78
13 cm
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas
soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación
x4 − 13x2 + 36 = 0.
x
Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo
producto sea −117.
70
Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a) x4 − 28x2 + 195 = 0
b) x4 + 3x2 + 4 = 0
c) x4 − 14x2 + 49 = 0
d) x4 + 4x2 − 4 = 0
e) x4 − 75x2 + 486 = 0
f) x4 + 10x2 + 25 = 0
80
b) Área = 88 u2
Halla un número natural si el cuadrado del siguiente
es igual a su doble más 37 unidades.
Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo
producto sea 480.
69
x +1
Determina, si existe, un número positivo que verifique
que el doble de su cuadrado menos la tercera parte
de su cuadrado es igual a 60.
66
79
4
Finales
Ecuaciones bicuadradas
Determina el valor de x en cada una de las siguientes
figuras de modo que su área sea la indicada en cada
caso.
a) Área = 78 u2
Indica el número de soluciones de estas ecuaciones
de segundo grado sin resolverlas.
a) 7x2 − 2x − 3 = 0
b) x2 − 14x + 49 = 0
c) x2 + 3x + 4 = 0
d) 11x2 + 3x − 7 = 0
e) 5x2 − 4x − 1 = 0
f) x2 − 2x + 1 = 0
g) x2 + 6x + 10 = 0
h) x2 + x − 1 = 0
65
68
72
2, −
3 y
2x + 5 = 0 → x = −
3
87
Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen
41, si el producto de sus cuadrados es 400.
88
¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es
4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?
89
¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una
ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones
distintas?
95
5
2
−
4x
3
+1= 0 → x =
3
4
Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.
2
2
a) ( 2 x + 5 ) − ( 4 x + 9 ) = 0
2
2
b) ( 0,7 x + 1,5 ) − ( 0,3 x + 0,7 ) = 0
2
2
⎛x
⎛x
⎟⎞
⎟⎞
c) ⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ − 7 ⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝ 2
⎜⎝ 3
⎠
⎠
78
79
61 Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.
a)x2 − 196 = 0
c) 2x2 − 2 048 = 0
b)x2 + 3 = 0
d)4x2 − 36 = 0
a)x1 = 14 y x2 = −14
c) x1 = 32 y x2 = −32
b)No tiene solución.
d)x1 = 3 y x2 = −3
62 Indica el número de soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin resolverlas.
a)7x2 − 2x − 3 = 0
e)5x2 − 4x − 1 = 0
b)x2 − 14x + 49 = 0
f) x2 − 2x + 1 = 0
c) x2 + 3x + 4 = 0
g)x2 + 6x + 10 = 0
d)11x2 + 3x − 7 = 0
h)x2 + x − 1 = 0
a)∆ = 88 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
e)∆ = 36 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
b)∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.
f) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.
c) ∆ = −7 < 0 → La ecuación no tiene solución.
g)∆ = −4 < 0 → La ecuación no tiene solución.
d)∆ = 317 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
h)∆ = 5 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.
63 Determina, si existe, un número positivo que verifique que el doble de su cuadrado menos la tercera parte de su cuadrado
es igual a 60.
Llamamos x al número buscado.
2
Este número debe cumplir que: 2 x −
x2
3
= 60 → 6x2 − x2 = 180 → 5x2 = 180 → x2 = 36 → x = ±6
El número positivo es 6.
Unidades didácticas 114
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
64 Halla un número natural si el cuadrado del siguiente es igual a su doble más 37 unidades.
Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1
Entonces: (x + 1)2 = 2x + 37 → x2 + 1 = 37 → x2 = 36 → x = ±6
El número natural es 6.
65 Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo producto sea 480.
Si x es uno de los números buscados, el otro es: 68 − x
Entonces: x(68 − x) = 480 → x2 − 68x + 480 = 0 → x1 = 60 y x2 = 8
Los números son 60 y 8.
66 Encuentra el valor del número a para que la ecuación 3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.
El discriminante ∆ = 36 − 12a ha de ser nulo, así que: a = 3
67 ¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación x2 − ax = 2 tenga una única solución?
Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante ha de ser nulo: ∆ = a2 + 8
Esto es imposible porque para todo valor del número real a la suma a2 + 8 es positiva, por tanto, no existe ningún número
que verifique esta condición.
68 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a)Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución igual a 0, entonces también tiene otra solución no
nula.
b)Las soluciones de una ecuación de segundo grado incompleta cumplen que o bien su suma o bien su producto son
iguales a 0.
a)La afirmación es falsa porque la ecuación incompleta de segundo grado x2 = 0 solo tiene la solución nula.
b)La afirmación es verdadera pues si una ecuación de segundo grado es incompleta entonces o bien una de sus soluciones es nula y en tal caso el producto de las soluciones es igual a 0, o bien sus soluciones son opuestas, en cuyo caso
su suma es nula.
69 Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo producto sea −117.
Si x es uno de los números buscados, el otro es: 4 − x
Entonces: x(4 − x) = −117 → x2 − 4x − 117 = 0 → x1 = 13 y x2 = −9
Los números son 13 y −9.
70 La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 365. Calcula dichos números.
Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1
Entonces: x2 + (x + 1)2 = 365 → x2 + x − 182 = 0 → x1 = 13 y x2 = −14
Para que sean dos números naturales consecutivos, las soluciones son: 13 y 14
71 En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.
Si las longitudes de los catetos difieren en 7 cm podemos escribirlas como:
xyx+7
Aplicando el teorema de Pitágoras: x2 + (x + 7)2 = 132
x2 + 7x − 60 = 0 → x1 = 5 y x2 = −12
13 cm
Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución
válida es 5.
Así, las longitudes de los catetos son: 5 y 12 cm
Unidades didácticas 115
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
72 Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras de modo que su área sea la indicada en cada caso.
a)Área = 78 u2
x +1
x
b)Área = 88 u
2
x
x–2
x+2
c) Área = 63 u2
x
x+5
x ( x + 1)
= 78 → x2 + x − 156 = 0 → x1 = 12 y x2 = −13
2
Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 12
a)Por ser rectángulo, el área del triángulo es:
( x + x + 2)( x − 2)
= 88 → x2 − x − 90 = 0 → x1 = 10 y x2 = −9
2
Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 10
b)El área del trapecio es:
x ( x + 5)
= 63 → x2 + 5x − 126 = 0 → x1 = 9 y x2 = −14
2
Como la longitud de las diagonales que ser un número positivo la única solución válida es: x = 9
c) El área del rombo es:
73 El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área, 51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.
Si uno de los lados del rectángulo mide x, el otro medirá: 20 − x
Entonces: x(20 − x) = 51 → x2 − 20x + 51 = 0 → x1 = 17 y x2 = 3
Luego los lados del rectángulo miden 17 m y 3 m.
74 Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de área si la longitud de la base excede en 7 m a la de la altura.
Llamamos x a la longitud de la altura del rectángulo. Entonces la base mide: x + 7
Entonces: x(x + 7) = 144 → x2 + 7x − 144 = 0 → x1 = 9 y x2 = −16
Como la longitud de la altura tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 9
Luego los lados del rectángulo miden 9 m y 16 m, y el perímetro: (9 + 16) ⋅ 2 = 50 m
Unidades didácticas 116
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
75 Encuentra dos números enteros impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 290.
Si 2x − 1 es un número impar, su consecutivo impar es: 2x + 1
Entonces: (2x − 1)2 + (2x + 1)2 = 290 → 8x2 − 288 = 0 → x2 = 36 → x = ±6
Así, los números buscados son 11 y 13, o bien, −13 y −11.
76 Determina dos números enteros pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 164.
Si 2x es un número par, su consecutivo par es: 2x + 2
Entonces: (2x)2 + (2x + 2)2 = 164 → x2 + x − 20 = 0 → x1 = 4 y x2 = −5
Así, los números buscados son 8 y 10, o bien, −10 y −8.
77 Halla un número entero de dos cifras cuyo producto sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas exceda en 2 a la de
las unidades.
Si x es la cifra de las unidades, la cifra de las decenas es: x + 2
Entonces: x(x + 2) = 24 → x2 + 2x − 24 = 0 → x1 = 4 y x2 = −6
Como la cifra de las unidades tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 4
Así, el número buscado es 64.
78 La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad más la cuarta
parte de la longitud del lado del otro. ¿Cuánto miden dichos lados?
Si x es la longitud, en metros, del lado del cuadrado mayor, la del menor es:
2
x
2
+
x
4
=
3x
4
⎛ 3 x ⎞⎟
9x
⎟ = 100 → x 2 +
La suma de las áreas es: x 2 + ⎜⎜⎜
= 100 → 25x2 = 1 600 → x2 = 64 → x = ±8
⎝ 4 ⎟⎠
16
Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 8
2
Por tanto, las longitudes de los lados de ambos cuadrados son: 8 m y 6 m
79 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a)x4 − 28x2 + 195 = 0
d)x4 + 4x2 − 4 = 0
b)x4 + 3x2 + 4 = 0
e)x4 − 75x2 + 486 = 0
c) x4 − 14x2 + 49 = 0
f) x4 + 10x2 + 25 = 0
a)Transformamos la ecuación: p = x2
⎪⎧⎪ p = 15 → x 2 = 15 → x = ± 15
p2 − 28p + 195 = 0 → ⎨ 1
⎪⎪ p = 13 → x 2 = 13 → x = ± 13
⎪⎩ 2
b)Transformamos la ecuación: p = x2
p2 + 3p + 4 = 0 → No tiene solución.
c) Transformamos la ecuación: p = x2
p2 − 14p + 49 = 0 → (p − 7)2 = 0 → p = 7 → x2 = 7 → x = ± 7
d)Transformamos la ecuación: p = x2
⎪⎧⎪ p = −2 + 2 2 → x 2 = −2 + 2 2 → x = ± −2 + 2 2
p2 + 4p − 4 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪
2
⎪⎩ p2 = −2 − 2 2 → x = −2 + 2 2 → No tiene solución.
e)Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪
⎪⎪
75 + 3 409
75 + 3 409
75 + 3 409
→ x2 =
→x =±
⎪⎪ p1 =
2
2
2
p2 − 75p + 486 = 0 → ⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪ p = 75 − 3 409 → x 2 = 75 − 3 409 → x = ± 75 − 3 409
⎪⎪⎩ 2
2
2
2
2
f) Transformamos la ecuación: p = x
p2 + 10p + 25 = 0 → No tiene solución.
Unidades didácticas 117
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
80 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0.
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
p2 − 13p + 36 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 9 → x 2 = 9 → x = ±3
⎩ 2
Las soluciones positivas son: 2 y 3
Una ecuación de segundo grado con estas soluciones es: (x − 2)(x − 3) = 0 → x2 − 5x + 6 = 0
81 Halla las soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
x 2 ( x 2 + 1)
8
x
4
2
3
=
2
− x2 − 4 = 0
x4 + 2
5
−
x4 + x2
2
4
d)
3( x −11)
=
4
−
3 x2 + 1
10
2( x − 60 )
5
a)x4 + x2 − 12 = 0
7
= 36
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 3 → x 2 = 3 → x = ± 3
p2 + p − 12 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −4 → x 2 = −4 → No tiene solución.
⎩ 2
b)x4 − 2x2 − 8 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
p2 − 2p − 8 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −2 → x 2 = −2 → No tiene solución.
⎩ 2
4
4
2
c) 2(x + 2) − 5(x + x ) = 3x2 + 1 → 3x4 + 8x2 − 3 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪
⎪⎪ p = 1 → x 2 = 1 → x = ± 1
1
2
3p + 8p − 3 = 0 → ⎪⎨
3
3
3
⎪⎪
2
⎪⎪⎩ p2 = −3 → x = −3 → No tiene solución.
4
d)21(x4 − 11) − 10(x4 − 60) = 1 260 → 11x4 − 891 = 0 → x4 = 81 → x = ± 81 = ±3
82 Determina las soluciones, si existen, de estas ecuaciones.
a)2x6 − 3x3 + 1 = 0
b)x8 − 76x4 − 405 = 0
a)Transformamos la ecuación: p = x3
⎪⎧ p = 2 → x 3 = 2 → x = 3 2
2p2 − 3p + 1 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 1 → x 3 = 1 → x = 1
⎩ 2
b)Transformamos la ecuación: p = x4
⎧⎪ p = 81 → x 4 = 81 → x = ±3
p2 − 76p − 405 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −5 → x 4 = −5 → No tiene solución.
⎩ 2
Unidades didácticas 118
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
83 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a)5x2 = (x2 + 6)(x2 − 6)
b)(x2 + 1)(2x2 − 6) = 5(x2 − 2)
a)x4 − 5x2 − 36 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 9 → x 2 = 9 → x = ±3
p2 − 5p − 36 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −4 → x 2 = −4 → No tiene solución.
⎩ 2
4
2
b)2x − 9x + 4 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
⎪⎪ 1
2p2 − 9p + 4 = 0 → ⎪⎨
1
1
1
⎪⎪ p2 = → x 2 = → x = ±
⎪⎪⎩
2
2
2
84 Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las identidades notables.
a)(x2 + 1)2 = 4
b)(x2 − 1)2 − 1 = 0
⎧⎪ x 2
a)(x2 + 1)2 = 4 → x 2 + 1 = ±2 → ⎪⎨
⎪⎪⎩ x 2
⎧⎪ x 2
b)(x2 − 1)2 = 1 → x 2 −1 = ±1 → ⎪⎨
⎪⎪ x 2
⎩
= 1 → x = ±1
= −3 → No tiene solución.
= 2→ x = ± 2
=0→ x =0
85 Encuentra los valores del número a para los que la ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos soluciones.
x 4 − ax 2 +
→ x2 =
a±
a2
4
=
a2 − 64
2
2
⎛
a⎞
a2 − 64
a
−16 → ⎜⎜⎜ x 2 − ⎟⎟⎟ =
→ x2 − = ±
⎝
⎠
2
2
4
4
a2
→x =±
a±
a2 − 64
2
→
a2 − 64
2
La ecuación tiene exactamente dos soluciones si a > 0 y si a2 − 64 = 0 → a = 8
86 Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones sean: − 2 ,
2, −
3 y
3
Respuesta abierta, por ejemplo: ( x + 2 )( x − 2 )( x + 3 )( x − 3 ) = 0 → x 4 − 5 x 2 + 6 = 0
87 Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen 41, si el producto de sus cuadrados es 400.
Si x es uno de los números buscados, el otro es: 41 − x2
Entonces: x2(41 − x2) = 400 → x4 − 41x2 + 400 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 25 → x 2 = 25 → x = ±5
p2 − 41p + 400 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 16 → x 2 = 16 → x = ±4
⎩ 2
Los dos números positivos son 4 y 5.
88 ¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es 4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?
Llamamos x al número que buscamos.
Entonces: x4 = 5x2 − 4 → x4 − 5x2 + 4 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎪⎧ p = 4 → x 2 = 4 → x = ±2
p2 − 5p + 4 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = 1 → x 2 = 1 → x = ±1
⎩ 2
El mayor número es 2.
Unidades didácticas 119
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
89 ¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones distintas?
Si una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones distintas cada par de ellas son opuestas. Por tanto, la suma de las
soluciones es nula.
90 Resuelve estas ecuaciones.
a)(x − 7)(x + 3)(2x − 16) = 0
c) (x3 − x2)(x + 3) = 0
b)(x2 − 25)(x − 36)(x2 − 1) = 0
d)x3(x2 − 225) = 0
a)x1 = 7, x2 = −3 y x3 = 8
b)x1 = −5, x2 = 5, x3 = 36, x4 = −1 y x5 = 1
c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −3
d)x1 = 0, x2 = −15 y x3 = 15
91 Halla, factorizando previamente, las soluciones de estas ecuaciones.
a)x2 − 49 = 0
c) x2 + 32x + 256 = 0
b)x2 − 18x + 81 = 0
d)x2 − 196 = 0
a)(x + 7)(x − 7) = 0 → x1 = −7 y x2 = 7
b)(x − 9)2 = 0 → x = 9
c) (x + 16)2 = 0 → x = −16
d)(x + 14)(x − 14) = 0 → x1 = −14 y x2 = 14
92 Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0
⎪⎧ x = 0
x(x4 − 15x2 − 16) = 0 → ⎪⎨ 4
⎪⎪⎩ x −15 x −16 = 0
Transformamos la ecuación: p = x2
⎧⎪ p = 16 → x 2 = 16 → x = ±4
p2 −15p − 16 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ p = −1 → x 2 = −1 → No tiene solución.
⎩ 2
93 Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0
Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones de la ecuación.
24 − 4 ⋅ 23 − 22 + 16 ⋅ 2 − 12 = 16 − 32 − 4 + 32 − 12 = 0
(−2)4 − 4(−2)3 − (−2)2 + 16(−2) − 12 = 16 + 32 − 4 − 32 − 12 = 0
Por estas pruebas sabemos que el polinomio x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 es divisible por x − 2 y por x + 2.
Factorizamos: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x − 3)
Así, las soluciones son los números 2, −2, 1 y 3.
94 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a)2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
b)x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0
a)(x − 1)(x + 1)(x + 2)(2x − 3) = 0 → x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2 y x 4 =
3
2
b)(x − 1) (x + 1)(x + 2) = 0 → x1 = 1, x2 = −1 y x3 = −2
2
95 Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.
2
2
⎛x
⎞⎟
⎛x
⎞⎟
⎜
⎜
c) ⎜ + 1⎟⎟⎟ − ⎜ − 7 ⎟⎟⎟ = 0
⎜⎝ 2
⎜⎝ 3
⎠
⎠
a)(2x + 5) − (4x + 9) = 0
2
2
b)(0,7x + 1,5)2 − (0,3x + 0,7)2 = 0
a)((2x + 5) + (4x + 9))((2x + 5) − (4x + 9)) = (6x + 14)(−2x − 4) = 0 → x1 = −
7
y x2 = −2
3
b)((0,7x + 1,5) + (0,3x + 0,7))((0,7x + 1,5) − (0,3x + 0,7)) = (x + 2,2)(0,4x + 0,8) = 0 → x1 = −2,2 y x2 = −2
⎞ ⎛x
⎞ ⎛x
⎛⎛ x
⎞ ⎞⎛ ⎛ x
⎞⎞ ⎛ 5 x
⎞⎛ x
⎞
36
− 6 ⎟⎟⎟⎜⎜⎜ + 8 ⎟⎟⎟ → x1 =
c) ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ − 7 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜ + 1⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ − 7 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜
y x2 = −48
⎠ ⎝3
⎠ ⎝3
⎝⎝ 2
⎠ ⎠⎝ ⎝ 2
⎠⎠ ⎝ 6
⎠⎝ 6
⎠
5
Unidades didácticas 120
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
Matemáticas vivas
4
MATEMÁTICAS VIVAS
Adivinanzas
RELACIONA
4
Para resolver una adivinanza común, basta a veces con jugar con las palabras.
2
Lee las tres adivinanzas siguientes.
de qué número se
o 10 al triple de un número; averigua
1. El número 50 se obtiene restand
trata.
s su terceos el mismo resultado que si sumamo
2. Si a un número le restamos 11, obtenem
estamos hablando?
ra y su séptima parte; ¿de qué número
o será 35
resultad
el
Lucía,
de los libros que tiene
3. Si sumas la tercera parte con la mitad
ejemplares. ¿Cuántos libros tiene Lucía?
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
Relaciona cada adivinanza con la ecuación que la resuelve.
a.
x
2
+
x
3
= 35
b. 3x − 10 = 50
c.
x
7
+
x
3
= x −11
REFLEXIONA
3
La familia de Pablo viaja en coche a la playa para pasar las vacaciones. Durante el viaje, el padre de Pablo
va contestando a sus preguntas con adivinanzas.
COMPRENDE
Las adivinanzas numéricas son las que podemos resolver mediante un procedimiento matemático que
nos lleve con certeza a la solución. Este procedimiento se inicia expresando el enunciado de la adivinanza
mediante una ecuación.
ADIVINANZA
Silvia les cuenta a sus amigas que la mitad de
su dinero más 5 € daría como resultado 15 €;
¿cuánto dinero tiene Silvia?
El doble del cuadrado de un número es igual
a 10 veces el número menos 12.
¿Cuál es ese número?
Juan tiene la sexta parte de la edad de su padre
y dentro de 12 años tendrá la tercera parte
de la edad de su padre.
¿Cuáles son las edades actuales de ambos?
1
Ecuación
x
+ 5 = 15
2
2x 2 = 10 x −12
a. ¿Se pueden expresar las adivinanzas del padre de Pablo en forma de ecuación?
b. ¿Cuáles son las soluciones a las preguntas de Pablo?
x
1
+12 = ( x +12)
6
3
MODELIZA
RESUELVE
O
TRABAJ IVO
RAT
COOPE
Fíjate en las ecuaciones planteadas para resolver las adivinanzas.
a. ¿Consideras que todas las ecuaciones están bien planteadas y se corresponden con la
adivinanza?
ARGUMENTA
b. ¿Tienen todas las ecuaciones una única solución? Si tu respuesta es negativa, indica cuál
de ellas tiene más de una solución.
COMUNICA
80
81
Adivinanzas
Sugerencias didácticas
Se hace necesario introducir estructuras creativas que faciliten la participación de los alumnos a través de retos que han de
superar, de esta manera conseguiremos actividades motivadoras. Utilizaremos las adivinanzas con este objetivo. Los alumnos
establecerán conexiones y serán capaces de formular algebraicamente situaciones numéricas.
En las actividades de comprensión deberán comunicar si el enunciado contextualizado se corresponde con la ecuación asociada y habrán de argumentar el número de soluciones que tienen cada una.
En las actividades de relación los alumnos utilizarán el lenguaje matemático para asignar a cada adivinanza una de las ecuaciones que se presentan.
Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno modelice varias adivinanzas y las resuelva.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa
es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos tendrán que expresar en forma de ecuación varias situaciones de la vida cotidiana.
Deberán redactar cada propuesta como una adivinanza y en formato de diapositiva. Formarán grupos de cuatro personas, y
se numerarán del 1 al 4, para pensar primero individualmente las propuestas y, después, llegar a un acuerdo entre los cuatro.
El profesor elegirá un número del 1 al 4 y el alumno que corresponda explicará la solución del equipo al resto de la clase.
Unidades didácticas 121
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
Soluciones de las actividades
Para resolver una adivinanza común, basta a veces con jugar con las palabras.
Comprende
Las adivinanzas numéricas son las que podemos resolver mediante un procedimiento matemático que nos lleve con certeza a
la solución. Este procedimiento se inicia expresando el enunciado de la adivinanza mediante una ecuación.
ADIVINANZA
Ecuación
Silvia les cuenta a sus amigas que la mitad de su dinero
más 5 € daría como resultado 15 €; ¿cuánto dinero
tiene Silvia?
x
2
El doble del cuadrado de un número es igual a 10 veces
el número menos 12.
+5 =1
2 x 2 = 10 x −12
¿Cuál es ese número?
Juan tiene la sexta parte de la edad de su padre y
dentro de 12 años tendrá la tercera parte de la edad de
su padre.
x
6
+ 12 =
1
3
( x + 12)
¿Cuáles son las edades actuales de ambos?
1 Fíjate en las ecuaciones planteadas para resolver las adivinanzas.
a)¿Consideras que todas las ecuaciones están bien planteadas y se corresponden con la adivinanza?
b)¿Tienen todas las ecuaciones una única solución? Si tu respuesta es negativa, indica cuál de ellas tiene más de una
solución.
a)Si están bien planteadas y se corresponden con las adivinanzas.
b)No todas tienen una única solución: la ecuación 2x2 − 10x + 12 = 0 es de segundo grado y tiene dos soluciones,
x1 = 2 y x2 = 3.
Relaciona
2 Lee las tres adivinanzas siguientes.
qué número se
10 al triple de un número; averigua de
1. El número 50 se obtiene restando
trata.
amos su terceenemos el mismo resultado que si sum
2. Si a un número le restamos 11, obt
estamos hablando?
ra y su séptima parte; ¿de qué número
ultado será 35
ad de los libros que tiene Lucía, el res
3. Si sumas la tercera parte con la mit
ía?
ejemplares. ¿Cuántos libros tiene Luc
Relaciona cada adivinanza con la ecuación que la resuelve.
a)
x
+
x
2 3
1)→ b) = 35 Unidades didácticas b)3x − 10 = 50
c)
x
+
x
7 3
3)→ a)
2)→ c)
122
= x −11
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
Reflexiona
3 La familia de Pablo viaja en coche a la playa para pasar las vacaciones. Durante el viaje, el padre de Pablo va contestando
a sus preguntas con adivinanzas.
a)¿Se pueden expresar las adivinanzas del padre de Pablo en forma de ecuación?
b)¿Cuáles son las soluciones a las preguntas de Pablo?
a)Sí, se pueden expresar con ecuaciones.
1)Para la primera pregunta de Pablo: si llamamos x a las horas que faltan para llegar, entonces: 110x = 165
2)Para la segunda: si el hijo pequeño tiene x años, el mayor tiene x + 2 y su padre, 3x, la ecuación es: 3x + x = 56
3)Para averiguar los precios de los cursos: si x es el precio del de kitesurf, el de surf cuesta 180 − x, entonces:
x2 + (180 − x)2 = 16 250
b)Las soluciones son:
1)x = 1,5 horas → Queda una hora y media para llegar.
2)x = 14 años tiene el hijo pequeño y 16 años el mayor.
3)La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones: x1 = 95 y x2 = 85
Como el curso de kitesurf es un poco más caro, su precio es 95 €, y el de surf cuesta 85 €.
Trabajo cooperativo
Respuesta abierta.
Unidades didácticas 123
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
Avanza. Ecuaciones racionales
4
Sugerencias didácticas
Ecuaciones
AVANZA
En esta sección se introducen las ecuaciones racionales.
Para su resolución se multiplicarán los dos miembros de la
ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales son aquellas en las que la incógnita aparece en el denominador.
x
4
1
Por ejemplo, una ecuación racional es:
+
=
x − 6 x − 2 x 2 − 8 x + 12
Para su resolución, descomponemos factorialmente los denominadores:
x−6
x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6)
x−2
Se deberá insistir en la necesidad de comprobar las soluciones obtenidas después de operar con las fracciones, pues
se ha de verificar que ninguna de ellas anula alguno de los
denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por su mínimo común múltiplo para eliminar denominadores:
m.c.m. ( x − 6, x − 2, x 2 − 8 x + 12 ) = x 2 − 8 x + 12 → x − 2 + x ( x − 6 ) = 4 → x − 2 + x 2 − 6 x = 4
⎪⎧ x = 6
= ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = −1
⎩ 2
Comprobamos que la solución x1 = 6 anula algunos denominadores de la ecuación que queremos resolver. Por
x
4
1
es: x = −1
tanto, la única solución de
+
=
2
x − 6 x − 2 x − 8 x + 12
2
Resolvemos la ecuación resultante: x − 5 x − 6 = 0 → x =
A1. Resuelve las ecuaciones racionales.
a)
b)
c)
d)
x +1
x −2
2
1− x
5
x
−
4
x
x −1
x
x −2
+
=
1
1
x
x −2
b) 1−
2
c)
x2 − x
x+2
2x
=
d)
x2 − 4
CÁLCULO MENTAL
=
2
a)
x −4
x−x
25 + 24
5±7
2
A2. Halla las soluciones de estas ecuaciones.
x −2
=
=
5±
+
8
3+ x
x +1
x −2
+
1
x 2 −1
+
x
=
En el ejemplo que se muestra aparece x = 6 como una de
estas soluciones que tenemos que desechar debido a que
anula uno de los denominadores de la ecuación de partida.
=2
x +1
x 2 −1
2
x −9
x −2
x +1
5
x −1
=
=
x+4
x2 − x − 2
4x
x2 + x − 2
Estrategia para AVERIGUAR UN NÚMERO
❚ Piensa un número positivo.
❚ Súmale 2.
❚ Eleva el resultado al cuadrado.
❚ Réstale ahora el cuádruplo del número siguiente al que pensaste al principio.
❚ Si me dices qué número has obtenido, yo averiguo el número que has pensado.
¿Cómo podemos saber qué número se había pensado?
Si este número es x, entonces:
Le sumamos 2:
x+2
Elevamos el resultado al cuadrado y obtenemos:
( x + 2 )2 = x 2 + 4 x + 4
Restamos el cuádruplo del número siguiente:
x 2 + 4 x + 4 − 4 ( x + 1) = x 2
Si calculamos la raíz cuadrada del número obtenido, el resultado es el número pensado.
CM1. Halla el número positivo que ha pensado Ana si, tras elevar al cuadrado el resultado de sumarle 3 y restar a la
cantidad resultante el séxtuplo del número de partida, obtuvo el número 58.
CM2. Inventa un procedimiento similar a los anteriores para averiguar el número que ha pensado otra persona.
82
Soluciones de las actividades
A1.Resuelve las ecuaciones racionales.
a)
b)
c)
d)
x +1
x −2
2
1− x
5
x
−
x
=
=
x −2
x −4
4
x − x2
x
x −1
+
=
1
1
2
x −x
=
2x
x −2 x + 2 x −4
a)(x + 1)(x − 4) = (x − 2)2 → x2 − 4x + x − 4 = x2 − 4x + 4 → x = 8
2
b)2(x − x2) = 4(1 − x) → 2x − 2x2 = 4 − 4x → 2x2 − 6x + 4 = 0 → x2 − 3x + 2 = 0 → x1 = 2 y x2 = 1
Comprobamos que x = 1 no es solución, pues anula los denominadores de la ecuación de partida. Por tanto, x = 2 es
la única solución de la ecuación.
c) 5(x − 1) − x2 = 1→ x2 − 5x + 6 = 0 → x1 = 2 y x2 = 3
d)x(x + 2) + x − 2 = 2x → x2 + x − 2 = 0 → x1 = 1 y x2 = −2
Comprobamos que x = −2 no es solución, pues anula dos de los denominadores de la ecuación. Por tanto, x = 1 es la
única solución.
Unidades didácticas 124
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
A2.Halla las soluciones de estas ecuaciones.
x
c)
d)
x +1
x −2
1
+
x
=2
x −2 x +1
8
x 2 −1
=
b) 1−
3+ x
x2 − 9
a)
+
+
x −2
x +1
5
=
=
x+4
2
x − x −2
4x
x −1 x −1 x + x − 2
a)x(x + 1) + x(x − 2) = 2(x − 2)(x + 1) → x2 + x + x2 − 2x = 2x2 + 2x − 4x − 4 → x = −4
2
2
b)x2 − 9 − 8(x − 3) = x2 − 1 → 8x = 16 → x = 2
c) (x + 1)2 + (x − 2)2 = x + 4 → x2 + 2x + 1 + x2 − 4x + 4 = x + 4 → 2x2 − 3x + 1 = 0 → x1 = 1 y x2 =
1
2
d)(x + 2) + 5(x + 1)(x + 2) = 4x(x + 1) → x + 2 + 5x2 + 15x + 10 = 4x2 + 4x → x2 + 12x + 12 = 0 → x = −6 ± 2 6
Cálculo mental. Estrategia para averiguar un número
Sugerencias didácticas
Como cierre de la unidad planteamos una estrategia de cálculo mental para hallar el número que ha pensado otra persona
basada en la traducción a lenguaje algebraico de las operaciones indicadas.
Soluciones de las actividades
CM1.Halla el número positivo que ha pensado Ana si, tras elevar al cuadrado el resultado de sumarle 3 y restar a la cantidad
resultante el séxtuplo del número de partida, obtuvo el número 58.
Si x es el número pensado por Ana: (x + 3)2 − 6x = 58 → x2 + 6x + 9 − 6x = 58 → x2 = 49 → x = ±7
Como el número es positivo, Ana pensó en el número 7.
CM2.Inventa un procedimiento similar a los anteriores para averiguar el número que ha pensado otra persona.
Respuesta abierta, por ejemplo: Si se pide a un amigo que:
P Piense un número positivo.
P Reste el doble a su cuadrado.
P Diga el número obtenido.
Para calcular el número pensado por el amigo podemos razonar como sigue:
❚ Si el número que pensó es x.
❚ Tras restarle el doble a su cuadrado se tiene: x2 − 2x = x2 − 2x + 1 − 1 = (x − 1)2 + 1
De modo que si extraemos la raíz cuadrada del número que resulta al sumar uno a la cantidad dada se obtiene el anterior del número que pensó.
Unidades didácticas 125
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4
Ecuaciones
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA A
1. La edad de un padre excede en 28 años a la de su hijo, y dentro de 4 años la edad del padre será el triple de la de su hijo.
¿Cuántos años tienen en la actualidad el padre y el hijo?
Si x es la edad actual del hijo, entonces la del padre es x + 28.
Como dentro de 4 años la edad del padre será el triple que la del hijo, entonces:
(x + 28) + 4 = 3(x + 4) → x + 32 = 3x + 12→ 2x = 20 → x = 10
El hijo tiene 10 años y el padre 38.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) ( x −1)2 − 4 ( x + 14 ) = 0 b) x 2 −
3x
4
=
5
8
a)Eliminamos los paréntesis: x − 2x + 1 − 4x − 56 = 0
2
⎪⎧ x = 11
Agrupamos los términos semejantes y resolvemos la ecuación: x 2 − 6 x − 55 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = −5
⎩ 2
3x 5
b)Simplificamos la ecuación: x 2 −
= → 8 x2 − 6 x = 5 → 8 x2 − 6 x − 5 = 0
4
8
⎧⎪
⎪⎪ x = 5
⎪ 1 4
Después, resolvemos la ecuación: 8 x 2 − 6 x − 5 = 0 → ⎪⎨
⎪⎪
1
⎪⎪ x2 = −
⎪⎩
2
3. ¿Cuál es la diferencia de dos números cuya suma vale 10 y cuyo producto es 24?
Si llamamos al primer número x, el segundo es: 10 − x
Como el producto es 24, la ecuación a resolver es: x(10 − x) = 24
Simplificamos y resolvemos la ecuación:
⎪⎧ x = 6
x (10 − x ) = 24 → 10 x − x 2 = 24 → x 2 −10 x + 24 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = 4
⎩ 2
De modo que la diferencia de los dos números es: x1 − x2 = 2
4. Calcula todas las soluciones reales de la ecuación: x4 − 8x2 + 16 = 0
Efectuamos un cambio de variable: p = x2
Así tenemos que resolver la ecuación p2 − 8p + 16 = 0 → (p − 4)2 = 0 → p = 4
Deshacemos el cambio de variable: x2 = 4 → x = ±2
5. ¿Cuáles son las soluciones reales de la ecuación: (x2 − 3x + 2)(x2 − 2x + 1)2(x2 + 1) = 0?
Como la ecuación a resolver es un producto de tres factores que es igual a cero podemos obtener las soluciones igualando
cada factor a cero, es decir:
⎪⎧ x = 2
x 2 − 3 x + 2 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = 1
⎩ 2
x2 − 2x + 1 = 0 → (x − 1)2 = 0 → x = 1
x2 + 1 = 0 → x2 = −1 → No tiene solución.
Unidades didácticas 126
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Ecuaciones
4
PROPUESTA DE EVALUACIÓN
PRUEBA B
1. Inés tiene 12 años y su madre 38. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la hija sea la mitad que la de la
madre?
Dentro de x años las edades de Inés y su madre serán, respectivamente, 12 + x y 38 + x.
La edad de la hija tiene que ser la mitad que la de la madre entonces: 38 + x = 2(12 + x)
Resolviendo la ecuación tenemos x = 14, así que han de transcurrir 14 años.
2. El producto de dos números naturales consecutivos es igual al quíntuplo del mayor, más el doble del menor, más dos. ¿De
qué números se trata?
Si un número es x, su consecutivo será x + 1.
Para calcularlos se ha de cumplir que: x(x + 1) = 5(x + 1) + 2x + 2
⎧⎪ x = −1
Simplificando se llega a la ecuación, x2 − 6x − 7 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = 7
⎩ 2
Como se tiene que cumplir que las soluciones sean naturales, los números son 7 y 8.
3. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
x2 − 2
+
x2 + x − 2
=
2x − 3
2
5
2
a)Simplificamos la ecuación:
4
b) ( x 2 + x ) = 16
2
2
5( x − 2) + 2( x + x − 2) = 5(2 x − 3)
Resolvemos la ecuación:
⎪⎧⎪
1
⎪ x1 =
7x −8x +1= 0 → ⎨
7
⎪⎪
⎪⎪⎩ x2 = 1
2
b)Simplificamos:
⎧⎪ x 2 + x + 2 = 0
x 2 + x = ± 4 16 = ±2 → ⎪⎨ 2
⎪⎪⎩ x + x − 2 = 0
La primera carece de soluciones reales ya que su discriminante es ∆ < −7 < 0.
Las soluciones de la segunda son:
⎧⎪ x = −2
x 2 + x − 2 = 0 → ⎪⎨ 1
⎪⎪ x = 1
⎩ 2
4. Calcula todas las soluciones reales de la ecuación x10 − 8x5 + 16 = 0
Efectuamos un cambio de variable: p = x5
Así tenemos que resolver la ecuación p2 − 8p + 16 = 0 → (p − 4)2 = 0 → p = 4
Deshacemos el cambio de variable: x 5 = 4 → x =
5
4
5. Resuelve la ecuación: x + x − 27x − 25x + 50 = 0
4
3
2
Para hallar las soluciones factorizamos el polinomio:
P(x) = x4 + x3 − 27x2 − 25x + 50 = (x − 1)(x + 2)(x − 5)(x + 5)
Luego las soluciones son: x1 = −5, x2 = −2, x3 = 1 y x4 = 5
Unidades didácticas 127
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO