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otencias y raíces
(Los dos matemáticos están en un cuarto de paredes blancas. Uno duerme mien­
tras otro espera de pie junto a una ventana.)
RAMANUJAN. (Recién despertado.) ¡Has venido!
¡Cómo no iba a venir a ver al
mejor m atemático y a mi mejor amigo!, que c a s u a lm e n t e son la
misma persona. ¿Cómo estás?
H a r d y . (Girándose hacia la cama.)
R a m a n u ja n . ¡Hambriento! Solo me dan verduras, fruta, pescado...
H a r d y . N o te quejes. Te están alim entando bien.
♦
R a m a n u ja n . (Entre toses.) No me dejan trabajar en mis cálculos.
Diccionario
H a r d y . Descansa. N ada de pensar, ni de calcular. P ara volver al
casualmente: que sucede de
manera inesperada,
trabajo, primero tienes que recuperarte. Los números esperan.
advierto: aviso con ligero tono
(Sacando su reloj de bolsillo y mostrándole los números de la esfera a
Ramanujan.) Todos... menos estos. ¡El tiempo vuela! Se ha acabado
de amenaza,
soso: sin gracia,
aportación: ayuda, participación
la hora de las visitas. (Coge el bastón.) Me voy a pelear por conseguir
otro taxi. M añana vendré antes para...
o contribución.
R a m a n u ja n . ¡Espera! Dime, ¿qué m atrícula tenía el taxi que te
trajo?
H a r d y . (Menea la cabeza y sonríe mientras escribe en un trozo de papel.) Eres
incorregible, R am anujan. Te a d v ie r t o que el número de la m atrí­
cula era de lo más aburrido, un número bien s o s o .
RAMANUJAN. (Lee el papel y sonríe.) ¿Soso? Ningún número es soso.
H a r d y . N o empieces con tus cálculos, tienes que descansar.
R a m a n u ja n . (Devolviendo a Hardy el papel con nuevas anotaciones.)
¿Acaso no sabías que es el número más pequeño que se puede escri­
bir, de dos m aneras distintas, como suma de dos cubos?
H a r d y . Querido am igo... Sospecho que mi mejor a p o r t a c ió n a
las M atem áticas será haber descubierto tu genialidad.
&
PONTE EN MARCHA
• Por la forma en que está escrito, ¿ante qué tipo de texto estás?
• ¿En qué lugar se desarrolla la escena?
• Localiza en el dibujo los cálculos de Ramanujan y averigua la
matrícula del taxi.
uadrado y el cubo de un número natural
El cuadrado de un número se calcula multiplicando ese número dos veces.
Para saber cuántos cuadrados hay en cada caso multiplicamos lado x lado:
22 = 2 x 2 = 4
32 = 3 x 3 = 9
Se lee dos elevado a dos o
dos elevado al cuadrado.
Se lee tres elevado a dos o
tres elevado al cuadrado.
El cuadrado de un número natural es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo.
El cubo de un número se calcula multiplicando ese número tres veces.
Para saber cuántos cubos hay en cada caso multiplicamos lado x lado x lado:
4—
23 = 2 X 2 X 2 = 8
Se lee dos elevado a tres o
dos elevado al cubo.
Se lee tres elevado a tres o
tres elevado al cubo.
El cubo de un número natural es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo tres veces.
Actividades
Completa la tabla en tu cuaderno.
producto
! se expresa
se lee
11 x 11
1
132
36 elevado
al cubo
Escribe los cuadrados y los cubos de los diez primeros números
naturales.
5
¿Cuáles de estas expresiones representan el cuadrado o el cubo
de un número? Calcula sus resultados.
43 + 43
71 X 71
65 + 65 + 65
26 X 26
14 X 14 X 14
19 X 19 X 19
Observa y contesta.
*
CALCULO MENTAL
Dividir números acabados
en ceros
600: 30 = 60 : 3 = 20
•¿Cuántos cuadrados hay en cada lado? ¿Y en total?
•Expresa el número total de cuadrados
mediante una operación.
80 : 20
400 : 50
90 : 30
200 : 40
•Expresa el número total de cuadrados de
forma abreviada.
250 : 50
2.700 : 90
350 : 70
1.500 : 30
•Explica si hay alguna relación entre cómo
se lee esa expresión y lo que representa.
Observa y contesta.
*
•¿Cuántos cubitos tiene en cada lado? ¿Y en total?
•Expresa el número total de cubitos mediante una operación.
•Expresa el número total de cubitos de forma abreviada.
•Explica si hay alguna relación entre cómo se lee esa expresión y
lo que representa.
*
Problemas
Román coloca baldosas blancas y negras en el suelo para formar
un tablero de ajedrez cuadrado con 8 piezas a cada lado.
¿Cuántas baldosas necesita en total? ¿Cuántas son de cada color?
Andrea quiere construir un gran cubo en el patio con 10 latas de
refresco a cada lado. ¿Cuántas latas necesita en total? Escribe la
operación de forma abreviada.
8. En un festival participaron 15 orquestas con 15 músicos cada
una. ¿Cuántos músicos se reunieron en total?
, ¡BIEN HECHO!
Lorena compra 6 paquetes de
6 envases de zumo cada uno.
¿Cuántos zumos compra en
total?
62 = 6 x 6 = 36
Compra 36 zumos en total.
r
Potencia de un número natural
La potencia de un número natural es una forma abreviada
de expresar un producto de factores iguales.
2 x 2 x 2 x 2 = 24
24 es una potencia.
Las potencias están formadas por una base y un exponente.
>
base: es el factor que se repite.
exponente: es el número de
veces que se repite el factor.
9 4 ^ -
24 se lee dos elevado a cuatro.
Para leer una potencia, nombramos el número de la base y el número del exponente separados por la expre­
sión elevado a.
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales.
Actividades
Completa la tabla en tu cuaderno.
\
producto
base
exponente
potencia
se lee
I-
9 elevado a 6
1
|7 X 7 X 7 X 7
J
48
|
3
1
10
10 Copla y relaciona estas palabras en tu cuaderno,
factores iguales
i
exponente
base
factor
¡
i
'
producto
potencia
Calcula estas potencias. Indica cuál es la base y cuál el expo­
nente.
5
Completa estas potencias.
2
= 32
I 4 = 81
3 = 125
7
=343
13 ¿Son ciertas estas igualdades? Corrige las que son incorrectas.
33 = 9
2 + 2 + 2=3x2
4 X 4 X 4 X 4 X 4 =
7 X 7 X 7 = 73
54
6 + 6 = 62
CALCULO MENTAL
Dividir números acabados
en ceros
4.000 : 200 = 40 : 2 = 20
8.000 : 4.000 = 8 :4 = 2
14 Observa estas igualdades y di qué significa la última potencia.
74 = 7 X 7 X 7 X 7
73 = 7 X 7 X 7
900:300
200:500
240:400
460:200
72 = 7 X 7
71 = ¿?
^
6.000 : 3.000
810:9.000
450 : 3.000
100:5.000
Piensa y compara estas potencias sin hacer operaciones. Explica
cómo lo has hecho.
16. Calcula el resultado de las potencias de la actividad anterior y
comprueba que tus respuestas eran correctas.
Problemas
Escribe en forma de potencia el
número de fichas que hay en un
parchís. ¿Cuántas hay?
J
Ramón reparte docenas de huevos en 12 supermercados. Si
envió 12 docenas a cada uno, ¿cuántas docenas de huevos
envió? ¿Cuántos huevos son en total?
Completa el árbol genealógico de tu familia y calcula, mediante
potencias, cuántos tatarabuelos tienes.
¡BIEN HECHO!
Una urbanización tiene 4 edifi­
cios de 4 plantas con 4 casas
de 4 habitaciones por planta.
¿Cuántas habitaciones hay en
total?
4 X 4 X 4 X 4 = 44 = 256
►Hay 256 habitaciones.
• • •
'• 'i
!• :
•• V •
r
Potencias de base 1 0
Podemos expresar la unidad seguida de ceros como una potencia de base 10.
1¡ H
n .
número
producto
potencia de base 10
1.000
10 x 10 x 10
103
10.000
10 x 10 x 10 x 10
104
100.000
10 x 10 x 10 x 10 x 10
105
1.000.000
10X10X10X10X10X10
106
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.
También podemos descomponer cualquier número en suma de potencias de base 10.
Por ejemplo:
216.854 = 200.000 + 10.000 + 6.000 + 800 + 50 + 4
216.854 = 2 x 100.000 + 1 x 10.000 + 6 x 1.000 + 8 x 100 + 5 x 10 + 4
216.854 = 2 X 105 + 1 X 104 + 6 X 103 + 8 X 102 + 5 X 10 + 4
Cualquier número se puede expresar como la suma de cifras por potencias de base 10.
Actividades
20 Expresa como potencias de base 10 y calcula los resultados.
' f i j i o x 10 x 10 x 10 x 105
M
10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10
I 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 ■> ; 1 0 x 1 0 x 1 0
Escribe estos números como potencias de base 10.
cien
mil millones
diez mil
diez mil millones
1 n cien mil
cien mil millones/cT\
5
Completa estas igualdades.
100 = 10"
... = 104
100.000 = 10
90
300
500.000
10.000
700.000.000
8.000.000
Descompon estas cantidades como suma de números por poten­
cias de base 10.
2.406 = 2 X 1.000 + 4 X 100 + 6 = 2 X ... + 4 X ... + 6
7.231
34.867
t
HUELLAS MATEMATICAS
Expresa estos números mediante potencias de base 10.
925.412
La notación científica es un
modo de expresar cantidades
grandes en otras más sencillas,
de manera que resulte más fácil
trabajar con ellas. Por ejemplo,
la distancia de la Tierra al Sol
es de 150.000.000 km aproxi­
madamente. En notación cien­
tífica sería 1,5 x 108.
Investiga más en:
www.e-sm.net/5MAT6
¿Qué número representa cada expresión?
2 X 104 + 4 X 103 + 3 X 102
8 X 103 + 6 X 102 + 7 X 10 + 5
3 x 1 05 + 8 x 1 04 + 9 x 1 03 + 6 x 1 02 + 4
26. Expresa estas cantidades como se indica en el ejemplo.
$
503 = 50 X 50 X 50 = 5 X 10 X 5 X 10 X 5 X 10 = 53 X 103
202
70
600
800
1105
Problemas
La distancia de la Tierra al Sol llega a ser de 151.800.000 km.
Exprésalo como suma de cifras por potencias de base 10.
Expresa estas cantidades con ayuda de potencias de base 10.
- El radio de la Tierra mide 6.370.000 m.
- La masa de la Tierra es aproximadamente 324.000 veces menor
que la del Sol.
- La distancia de la Luna a la Tierra es 384.000 km.
, ¡BIEN HECHO!
El cuerpo humano tiene unos
5.000.000 de glóbulos rojos en
una gota de sangre. Escríbelo
como producto de un número
por una potencia de base 10.
► 5 X 1.000.000 = 5 X 106
• • •
La raíz cuadrada. Raíz cuadrada aproximada
Para construir un cuadrado con un determinado número de cuadraditos, necesitamos saber cuántos cua­
dradlos habrá en cada lado.
Si queremos construir un cuadrado con 49 cuadraditos, buscamos un número que multiplicado por sí
mismo dé 49, es decir, el número cuyo cuadrado sea 49.
12 = 1
22 = 4
32 = 9
52 = 25
62 = 36
72 = 49
42 = 16
En cada lado habrá 7 cuadraditos.
El número cuyo cuadrado vale 49 es 7.
Decimos que la raíz cuadrada de 49 es 7.
VÁQ = 7
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado nos da el primero.
Si queremos formar un cuadrado con 40 cuadraditos, necesitamos calcular V3o.
( ] Como no hay ningún número que elevado al
cuadrado dé 40, aproximamos.
62 = 36
Q Buscamos otro número cuyo cuadrado
también esté próximo a 40.
72 = 49
62 < 40
40 < 72
1
mm
■■■■
■
m9
m
3
■
m
□□□L _ □
Hay 6 cuadraditos en cada lado. Sobran 4.
Hay 7 cuadraditos en cada lado. Faltan 9.
V Í0 < 7
6 < V Í0
►Como 6 < V40 < 7, entonces V Í0 es un número decimal comprendido entre 6 y 7.
Actividades
29. Copia y calcula las raíces cuadradas con la ayuda de los resulta­
dos de estos cuadrados.
42 = ...
V 4 9 = ...
•J j*
76
•
• •
•
72 =
...
V12T = ...
252 = ...
112 =...
V Í6 = ...
V §25= ...
30 Completa como en los ejemplos.
V 9 = 3, porque 32 = 9
V4 =
V Í9 = 7, porque 72 = 49
v c := 9
v c := 6
V25 =
5
PARA PENSAR
Completa en tu cuaderno.
Escribe los números que faltan en tu cuaderno.
V§6 = ...
V f0 0 = ...
V§4 = ...
v C 7=5
v C7=2
VT7=4
Averigua entre qué dos números naturales se encuentran estas
raíces cuadradas.
*
|d
i.
| d -------- 1 <f-------
I ^ 2 I |\^ Ó 6 | | V44 \¿ \ V fb ^ | V Í0
V§3
Escribe todos los números que tengan su raíz cuadrada entre
-i¡^ 5 y 6. Explica cómo lo has hecho.
34. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1? ¿Crees que existe algún otro
número cuya raíz cuadrada sea él mismo?
Problemas
En la clase de Susana quieren exponer 25 dibujos colocados en
forma de cuadrado. ¿Es posible? ¿Cuántos dibujos tienen que
poner en cada lado?
3ti Pedro tiene entre 30 y 40 fotografías de sus amigos. Cuando
añada la suya podrá form ar un cuadrado con ellas en su habita­
ción. ¿Cuántas fotografías tiene?
¿Es posible colocar las 30 postales de Verónica formando un cua­
drado? Si se colocan formando el mayor cuadrado posible,
¿cuántas postales pondrá a cada lado? ¿Cuántas sobran?
, ¡BIEN HECHO!
Para embaldosar una habita­
ción, Álex coloca 64 baldosas
formando un cuadrado. ¿Cuán­
tas baldosas pone en cada
lado?
V§4 = 8 porque 82 = 64
Mario tiene que ordenar en una bandeja cuadrada más de
70 bombones y menos de 90. Si después de colocarlos le sobran
7, ¿cuántos bombones colocó?
► Pone 8 baldosas en cada
lado.
A C TIV ID A D E S
R esu elve p ro b lem as
E s tu d ia r c a s o s m á s s e n c illo s
Si elevamos 9 a 24, ¿en qué número termina el resultado?
Comprende
el enunciado
Calculamos las primeras potencias de base 9.
91
9
92
81
93
94
95
96
729
6.561
59.049
531.441
Comprueba que el resultado de 924 no cabe en la pantalla de la cal­
culadora.
Resuelve
Estudiamos la terminación de las primeras potencias de base 9 para
ver si encontramos alguna regularidad.
potencia
terminación
91
9
92 T
1
94
1
93
9
95
9
96
1
Observa que solo hay dos terminaciones, 9 y 1, que se van alter­
nando.
• Buscamos la relación que hay entre los exponentes de las potencias
que tienen la misma terminación.
exponente
terminación
1
9
2
1
3
9
4
1
5
9
6
1
Si el exponente es un número impar la terminación es 9; si es par, la
terminación es 1.
Solución
Comprueba
la solución
El resultado de 924termina en 1, porque 24 es par.
Comprueba de nuevo con la calculadora que la última cifra de las pri­
meras potencias de 9 genera la serie 9 - 1 - 9 - 1 - 9...
Practica
¿En qué cifra termina el resultado de 957? ¿Y de 9166?
40 Utiliza la calculadora para hallar las primeras potencias de base 3 y completa la tabla en tu cuaderno.
potencia
31
32
33
34
35
36
37
38
terminación
• ¿Qué regularidades observas en las terminaciones? ¿En qué número acaba 312?
' ^ ' A p r e n d e a a p ren d er
Organiza la información
Copia y completa en tu cuaderno.
POTENCIAS Y RAÍCES
potencias de base 10
potencias
— 2 x 2 x 2 x 2 = ...
— exacta
oOI
II
103 = ...
V Í9 = ... , porque ...2 = 49
N
4
ii
o.&■
— 1 0 ^ 100
raíces cuadradas
/
— aproximada
— 22 —►2 al cuadrado
-
62 = 36
37.000 = 30.000 + 7.000 =
72 = 49
— 23 -► ...
= 3 X 10.000 + 7 X 1.000 =
36 < 40 < 49
— 26 — ...
= 3 X ... + 7 X ...
6 < V Í0 < 7
Repasa
Inventa una frase con estas palabras.
Copia y completa.
producto
VOCABULARIO
potencia
base
exponente
5
3
3
5
74
abreviar: reducir o hacer más corto.
9X 9
descomponer: separar un todo en las partes
que lo forman.
Escribe en forma de potencia.
7X7X7
15 X 15 X 15 X 15
Indica la base y el exponente de estas potencias,
y escribe cómo se leen.
v.
85
112
49. En una papelería hay 9 cajas de 10 lotes de
10 paquetes con una decena de lápices.
¿Cuántos lápices hay en total?
X
29
5 1°
46
Escribe en forma de producto y calcula el resultado.
103
105
109
107
48 En un torneo de balonmano compiten 7 equipos
de 7 jugadores. Si se necesita una camiseta por
jugador, ¿cuántas hacen falta?
102
50 ¿Cómo puede Tomás organizar sus minerales de
manera que formen un cuadrado?
Descompon estos números como suma de poten­
cias de base 10.
27.143
49.012
5 2 1.78 4
• • •
•* • WV •.
C T Ü Ü P U 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Recuerda lo anterior
Calcula el término que falta en cada caso.
60 Completa en tu cuaderno.
... - 2 4 .8 3 5 = 76.406
8.746 + ... + 15.371 = 4 7 .3 0 0
64.831 -
V 9 = ...
V i o o = ...
v C 7 = 11
V 6 4 = ...
V § 6 = ...
v
r .
=
i
... = 9.235
61 En una excursión viajan 637 niños en autobuses de
54 plazas. ¿Cuántos autobuses han necesitado?
¿Cuántos van completos?
52 Resuelve la división y comprueba el resultado.
33 .4 33 : 325
• ¿Cuál es el resto mayor que puedes obtener?
53 Representa estos números en la recta numérica y
redondéalos a la décima.
6,54
6,08
6,97
6,19
6,48
¿Cuánto cuestan las manzanas? Si Iván paga
con un billete de 5 € , ¿cuánto le devolverán?
1
1 kg
„
1,68 €
6,23
54 Ordena los productos de menor a mayor.
95,2 X 2 1,6
¿Cuántas cajas hay en total, si cada una pesa
1,75 kg?
60,51 X 34
n
38 0 ,9 4 X 5,4
6 78,9 X 3,03
Averigua los cocientes de estas fracciones.
3
_5_
4
20
21
14
z
49
35
8
56 Divide.
100,1 : 1,43
83,0 70 : 1,8
Indica si estos números son primos o compuestos.
17
23
24 -
27
49
Calcula el mínimo común múltiplo de estos
números.
6 y 15
4, 6 y 9
Señala la base y el exponente de estas potencias,
y calcula su valor.
92
36
44
27
53
En la clase de Domingo hay entre 10 y 20 alum­
nos. Se pueden agrupar en tríos o en parejas,
pero no en grupos de 9. ¿Cuántos alumnos son?
El equipo de atletismo de Diana quiere desfilar en
la inauguración de la competición formando un
cuadrado. ¿Pueden? ¿Cuántos podrían desfilar
como máximo?
Pon a prueba tus competencias
O
ANIMACION A LA LECTURA
La profesora de Elena coloca el corcho para compartir.
Consiste en un tablón donde un alumno pincha dos fichas, una por cada uno de sus libros
preferidos. Otro alumno puede pedirle uno de los libros para leerlo. Cuando lo termine, pon­
drá a su vez dos fichas de otros dos libros que, por supuesto, deberá compartir con los dos
compañeros que se los pidan.
O
O
Comprende
Observa este diagrama que representa las fichas de los primeros turnos de prés­
tamo.
O
Dibuja la parte del esquema que corresponde a cada una de estas operaciones.
22= 2 x 2 = 4
21 = 2
23 = 2 x 2 x 2 = 8
Relaciona
Calcula cuántas fichas aparecerán en el corcho en el siguiente turno de préstamos.
Razona
Cuando el corcho se completa hay un total de 62 fichas de libros.
¿Cuántos turnos de préstamo ha habido?
Si hasta entonces han participado alumnos distintos, ¿cuántos alumnos han pin­
chado fichas en el corcho?
• ¿Sabrías decir cuál es el mínimo número de alumnos de la clase de Elena?
r
Autoevaluación de la unidad 5
o
'