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Departamento de Ciencias – 3º E.S.O.
MATEMÁTICAS 2011-2012
TRABAJO DE RECUPERACIÓN DE 3º E.S.O
1. De un depósito de 90 litros se sacaron las dos terceras partes, y al día siguiente, la mitad de lo que
se había dejado. ¿Qué cantidad de agua queda todavía?
36
18 15
,
,
.
45 40 144
2.
Simplifica las siguientes fracciones hasta llegar a su forma irreducible:
3.
A continuación tienes varias fracciones. Represéntalas en forma numérica o gráfica. Ordénalas de
mayor a menor.
4.
5.
Expresa en forma de fracción los siguientes números: 1,66666…, 2,232323… y 7,0898989…
Juan, Ana, Pedro y María quieren hacer una donación a una ONG de ayuda al Tercer Mundo. Juan da
los dos tercios de sus ahorros, Ana, las tres quintas partes de los suyos; Pedro, la mitad de lo que
tiene, y María, cinco octavos de lo que había ahorrado.
Si todos tenían el mismo dinero guardado, ordénalos de más a menos generoso. ¿Podría haber dado
alguno las seis quintas partes de su dinero? ¿Por qué?
1 2 3 1
+ − ⋅ =
3 5 4 2
6.
Calcula:
7.
 2 1  1 1  1 3  6
Calcula:  +  ⋅  −  +  +  : =
3 4 2 3 6 4 5
8.
Juan estimó que la altura de una casa era de 12 metros. Tras preguntar al propietario, este le dijo que
solamente medía 10,85 metros. ¿Qué error absoluto y relativo cometió Juan en su estimación? ¿Fue
un error por exceso o por defecto?
9.
Luis ha comprado 8 kilogramos de melocotones para hacer mermelada. Al pelarlos y deshuesarlos
pierde la cuarta parte de su peso. Después añade la tercera parte de lo que pesa en ese momento de
azúcar y lo pone a cocer al baño María todo junto. Si lo deja cocer hasta que se reduce a la cuarta
parte, ¿qué cantidad de mermelada obtendrá?
10. Representa el número
13 en la recta de los números reales.
11. Opera y simplifica el resultado de la siguiente operación.
2 4 ⋅ 2 −1 ⋅ 2 3
⋅ 22
25 ⋅ 2−3
( )
−3
8 ⋅ 2 2 ⋅ 16 −2 4
⋅2 =
32 ⋅ 4 3
⋅ 24 =
12. Calcula por tanteo e indica el número de soluciones que tendrán los siguientes radicales.
a)
4
625
b)
3
343
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13. Calcula el área y la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado
14.
3 centímetros.
Extrae todos los factores que puedas fuera del signo radical.
3
a)
15.
1080
4
b)
83
Resuelve la siguiente operación.
3
16 + 3 3 128 − 23 54 −
16.
(
3
)
250 − 3 432 =
Expresa en notación científica las siguientes cantidades.
a)
23 560 087 488 910 219
c)
670 000
b)
0,000 000 000 000 289
d)
0,43
–5
9
17. El tamaño de una célula es de 10 metros, y la longitud del Ecuador, del orden de 10 centímetros.
¿Cuántas células serán necesarias para dar la vuelta al planeta por su círculo máximo?
18. Resuelve las siguientes raíces siempre que sea posible.
−9
a)
b)
3
c)
−8
d)
5
−32
4
−16
19. Calcula k en cada caso.
a)
4
256 = k
b)
3
k =2
c)
k
81 = 3
20. Calcula las siguientes operaciones.
a)
3
1331
b)
3
5
1
1
1024
5
c)
10 ⋅ 40
d) 256 4
2
21. Sea el polinomio P(x) = 5x + 3x – 2 + x – 6x.
a)
b)
c)
d)
e)
¿Está ordenado? Si no es así, ordena los monomios que lo componen de mayor a menor grado.
¿Falta algún término? ¿Cuál?
¿Cuál es el grado del polinomio?
¿Cuál es el término de mayor coeficiente?
¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?
2
2
2 2
22. Sea el polinomio Q(x, y) = 2xy + 4x y – x y + 3 – 5xy.
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el grado del polinomio?
¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?
¿Qué grado tiene el término de coeficiente 3?
Halla el valor numérico para x = –1 e y = 2.
2
23. Sean P(x) = 3x – 2x + 1 y Q(x) = x - 3. Halla:
a)
b)
c)
d)
P(x) + Q(x)
P(x) – Q(x)
P(x) · Q(x)
El cociente y el resto de P(x) : Q(x), utilizando la regla de Ruffini.
24. Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado.
“La mitad del resultado de sumarle al triple de un número cinco unidades.”
25. Resuelve las siguientes ecuaciones:
5x – 2 + 3x = 2x + 4
4(x – 2) – 2(x – 1) = 0
26. Si al quíntuplo de un número le quitas su doble, obtienes su cuádruplo. ¿Cuál es el número?
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27. Miguel tiene cinco años más que su hermano Antonio, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años,
entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Cuál es la edad de cada uno?
28. En un campeonato de varios centros de Secundaria, los equipos suman tres puntos por cada partido
ganado, un punto si empatan y cero en caso de perder. Un equipo ha jugado 10 partidos, y de ellos
ha empatado 2. ¿Cuántos partidos ha ganado si tiene 20 puntos? ¿Cuántos ha perdido?
29. Se tienen los valores x = 0 e y = –1. ¿Son una solución de cada uno de los siguientes sistemas?
a)
{2xx−−yy==11
b)
{32xx −+ 22yy == 22
30. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas.
a)
{2xx+−yy==51
b)
{2(x +x y− 3)= 5= y − 2
31. Resuelve por igualación los siguientes sistemas.
a)
{2(x =x −3(1)y =+ 2)y
b)
{2xx−−yy==49
32. Resuelve por reducción los siguientes sistemas.
{23xx +− yy == 87
a)
b)
y

2 x − = 0

2
 3 x + y = 7
Resuelve gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.
33.
3 x − y = 0

x = y + 2
34. Juan y su hermano Luis juntan su dinero para hacer un regalo a su madre. Juan tiene 21 euros más
que Luis y juntos tienen 37 euros. ¿Qué cantidad tenía cada uno?
35. Se dispone de café de dos tipos: A y B. Un kilogramo de café de tipo A cuesta 9 euros, mientras que
uno de tipo B cuesta 6 euros. Si se desea obtener 10 kilogramos de mezcla en la que cada kilogramo
cueste 8,40 euros, ¿qué cantidad debemos mezclar de cada tipo?
36 En la clase de Pedro venden bocadillos en el recreo a fin de reunir dinero para el viaje de fin de curso.
Un día venden 30 bocadillos de chorizo y 10 de jamón, y obtienen 70 euros; al día siguiente venden
25 de chorizo y 15 de jamón, y obtienen 65 euros. ¿Cuál es el precio de cada bocadillo?
37. ¿Sabes reconocer los coeficientes a, b, c de una ecuación de segundo grado? En cada una de las
siguientes ecuaciones, encuentra los valores de a, b y c, y resuelve.
a) x2 – 9x + 8 = 0
b) –x2 + 10x – 9 = 0
c) x2 – 4 = 0
2
38. Calcula el valor de m para que x = 2 sea solución de la ecuación x – mx + 6 = 0.
39. Resuelve la siguiente ecuación.
( x − 1)2
2
=
x ( 2x − 3 )
4
40. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2 + 4x – 5 = 0
b)
x2 – 3x + 2 = 0
41. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando el método más apropiado.
a) –x2 + 8x = –9
b) –x2 + 8x = 0
c)–x2 + 9 = 0
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42. Resuelve las siguientes ecuaciones.
(x + 1) 2 x
=
8
2
a)
b) (x – 2)2 – (x + 2)2 = (x + 3)(x – 3)
43. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es dicho número?
44. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Halla sus dimensiones si un lado mide 2 cm menos que el
otro.
45. Un triángulo rectángulo tiene de perímetro 24 metros, y la longitud de un cateto es igual a 3/4 del
otro. Halla sus lados.
46. Encuentra dos números sabiendo que suman 18 unidades y su producto es 77.
47. Calcula los valores de los tres primeros términos de la sucesión que tiene por término general
2n + 1
.
an =
2n − 1
48.Indica si los siguientes conjuntos de números son o no sucesiones, progresiones aritméticas o
geométricas y por qué.
a)
3, 12, 21, 30, 39…
1 1 1 1
, , , ...
8 7 6 5
b)
c)
13, –13, 13, –13…
1 1 3 9
, , , ...
6 2 2 2
d)
e)
2, 1276, –34, 0…
49. Halla el término general de las siguientes sucesiones.
a) 5, 7, 9, 11, 13, 15…
1 1 1 1 1 1
, , , , , ...
2 3 4 5 6 7
b)
c) 1, –2, 4, –8, 16…
50. El primer término de una progresión aritmética es 22, y su diferencia, –3. Calcula su término general,
el término que ocupa el lugar décimo y el lugar que ocupa el término que vale –26.
51. Escribe cuatro números entre 5 y 8 de forma que los seis números formen una progresión aritmética
52. Resuelve los siguientes problemas a partir de las fórmulas de las progresiones aritméticas.
a)
La suma de los n primeros números naturales es 861. Calcula el valor de n.
b)
Un pozo tiene una profundidad de 750 metros. Se sabe que por cada 30 metros que se profundice en él,
la temperatura aumenta en 1 ºC. Halla la temperatura que hay en el punto más profundo del pozo
sabiendo que la de la superficie es de 18 ºC.
53. El primer término de una progresión geométrica es 5, y su razón, –2. Calcula su término general, el
término que ocupa el lugar sexto y la suma de sus seis primeros términos.
54. Una niña ha construida un triángulo con piezas de madera. En la fila de abajo ha puesto 12 piezas,
una al lado de otra; en la de encima 11; en la de encima de esta, 10, y así sucesivamente, reduciendo
una pieza cada vez. ¿Cuántas piezas habrá colocado en total cuando acabe el triángulo?
55. Escribe tres números entre 1 y 81 de forma que los cinco números formen una progresión
geométrica y calcula la suma de todos ellos.
56. Para cada una de las parejas de magnitudes, indica si son directamente proporcionales,
inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas:
a)
b)
c)
d)
Las horas que tardan en pintar una pared y el número de pintores que lo hacen.
El dinero que se deposita en un banco y los intereses anuales que produce.
Los volúmenes que ocupan 10 kilogramos de ciertas sustancias y sus densidades.
La edad y el peso de los gatos.
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57. Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones.
45 9
15 + x 12
=
=
x
2
35
7
13 + x 5
=
12
3
58. En cada uno de los siguientes casos, indica si las magnitudes que se incluyen son directamente
proporcionales, inversamente proporcionales o ninguna de las dos cosas. En el caso de que sean
directamente proporcionales, indica su razón de proporcionalidad, y en el caso de que sean
inversamente proporcionales, indica el valor de su constante de proporcionalidad.
Volumen de agua salada
(dm3)
Masa (kg)
10
25
45
50
100
10,27
25,675
46,215
51,35
102,7
Tiempo que se tarda en recorrer un
trayecto (h)
Velocidad constante (km/h)
8
7,5
6
4,8
30
32
40
50
10
4
20
8
Magnitud A
Magnitud B
12
4,8
15
7
59. Calcula:
a) De los 450 alumnos que hay en un centro escolar, 105 han votado a Javier como representante del Consejo
escolar. ¿Qué porcentaje de alumnos han votado a Javier?
b) En una bolsa hay 20 bolas blancas, un 20% más de bolas rojas que de blancas y un 10% más de bolas
negras que de blancas. ¿Cuántas bolas hay en total? ¿Qué porcentaje representan las bolas negras del
total?
60.Sabiendo que el agua al congelarse aumenta su volumen en un 9%, calcula el volumen de 2,5
decímetros cúbicos de agua líquida después de congelarlos.
61. ¿Cuánto deberá marcar el precio de un pantalón sabiendo que he pagado 23,80 euros después de
haberme hecho una rebaja del 15%?
62. ¿En qué porcentaje ha aumentado la población de un país en el último año sabiendo que ha pasado
de 1.525.000 habitantes a 1.578.375?
63. El Ayuntamiento de una localidad quiere repartir 1.875 euros para comprar libros destinados a las
bibliotecas de tres centros escolares. Indica la cantidad que corresponderá a cada uno de los
centros si se quiere hacer el reparto de forma proporcional al número de alumnos, que son 350, 400
y 500, respectivamente.
64. Una empresa reparte la cantidad de 11.840 euros de beneficios entre sus 3 empleados. Decide
hacerlo de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado al trabajo. El número
de faltas es de 8, 10 y 12. Calcula la cantidad que corresponde a cada uno.
65. Con 12,50 euros se pueden comprar 10 bolsas de patatas. Calcula el número de bolsas de patatas
que se pueden comprar con 16,25 euros.
66. Calcula el valor del ángulo A en las siguientes figuras
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67. Se desea construir un patio con forma de triángulo equilátero de 10 metros de lado e instalar en él un
sumidero que diste lo mismo de cada una de las esquinas. ¿En qué punto lo haremos? ¿A qué
distancia de cada esquina estará?
68. Calcula el lado de un rombo sabiendo que las diagonales miden 6 y 8 centímetros.
69. Con una escalera de 13 metros, Juan consigue alcanzar la copa de un árbol. Si
la base de la escalera se encuentra a 5 metros del tronco del árbol, ¿cuál es la
altura de este?
70. Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 centímetros de radio.
71. Calcula el área de un rectángulo semejante a otro cuyos lados miden 12 y 20 centímetros, siendo 2 la
razón de semejanza.
72. Calcula las áreas lateral y total de un cono cuyo radio de la base mide 5 centímetros, y su altura, 12.
73. Un arquitecto desea rematar una torre con un tejado con forma de pirámide cuadrangular que quiere
recubrir de un material especial. Si la torre tiene planta cuadrangular con 8 metros de lado y la altura
del tejado debe ser de 12 metros, ¿cuántos metros cuadrados de material necesitará?
74. Se desea diseñar botes de conserva de forma que su altura sea de 12 centímetros, y su capacidad, de
350 mililitros. ¿Cuál debe ser el radio de la base?
75. Se desea poner loseta en el suelo de una habitación que tiene las dimensiones que se detallan.
Si 1 metro cuadrado de loseta cuesta 15 euros, ¿cuánto hay que gastar para
enlosar la habitación? Si además instalamos un rodapié que cuesta 8,50
euros por metro, ¿cuánto pagaremos en total?
76. Dibuja la figura homóloga de la del cuadrilátero de vértices A, B, C y D de la
figura mediante una simetría axial de eje la recta e.
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77. Dibuja la figura homóloga de la del cuadrilátero de vértices A, B, C y D
de la figura mediante una simetría central de eje el punto O.
78. Dibuja la figura homóloga de la del cuadrilátero de vértices A, B, C y D de la figura mediante una
traslación de vector (7, -5).
r r r r
79. Halla las coordenadas de los vectores u , v , a y b .
uuur
80. Calcula las coordenadas del vector AB sabiendo que A ( −2, 3 ) y B ( −1, 4 ) .
uuuur
81. Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que AB ( −2, 4 ) y B ( 0, − 3 ) .
82. Calcula las coordenadas de los extremos del homólogo del segmento AB después de haberle
r
aplicado una traslación de vector guía u ( −2, 1) y sabiendo que A ( −2, 3 ) y B ( −1, 0 ) .
83. Al aplicar al punto A una simetría axial respecto del eje de ordenadas, primero, y una traslación de
r
vector guía u ( 2, − 3 ) se ha transformado en el punto A′ ( 5, 4 ) . Calcula las coordenadas de A.
84. Indica si los siguientes elementos tienen una simetría axial, una simetría central, las dos simetrías o
no tienen ninguna simetría.
a) Un hexágono regular.
b) La letra A
c) La letra S.
d) El número 4.
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85. Se ha realizado una simetría respecto del punto O a la figura. ¿Existe un
giro que lleve una figura a la otra?
86. Indica cuál es el dominio y el recorrido de la función, en qué
intervalo es creciente y en qué punto tiene un máximo.
87. Suponiendo que el precio de un litro de gasolina sea de 1,20 euros:
a)
b)
c)
d)
e)
Haz una tabla de valores que relacione litros y coste.
Escribe la función asociada.
Representa la función.
Si un coche tiene un depósito de forma cúbica de 2,5 decímetros de arista, ¿cuánto dinero costará
llenarlo?
¿Cuántos litros repostó un conductor que gastó 44,50 euros?
88. Juan se ha comprado un coche que le ha costado 15.540 euros. ¿Cuándo deberá venderlo si quiere
obtener al menos 6.000 euros y sabe que sufre una depreciación de un 15% cada año?
89. El número de asistentes a un torneo de
tenis durante los cinco días que duró viene
dado por la siguiente tabla. Haz la
representación gráfica. ¿Podemos unir los
puntos? ¿Cuál será el recorrido de la
función?
Día
N.º de
asistentes
1
2
3
4
5
650
600
1.100
1.800
2.500
90. A medida que ascendemos, la temperatura desciende un grado cada 200 metros. La temperatura
media a nivel del mar en una región es de 16 ºC. ¿En qué intervalo de altitudes será más probable
encontrar una determinada flor cuya temperatura óptima de crecimiento es de 7 ºC? Haz la tabla de
valores y la gráfica. ¿Cuál es la variable independiente?
91. Representa la función y =
3
x + 5 . Estudia su continuidad, crecimiento y decrecimiento. Di cuál es su
2
dominio.
92. Un obrero tiene un sueldo fijo de 600 euros y por cada hora extra trabajada de más cobra 50 euros
hasta un máximo de 6 horas extras. Expresa la función de forma analítica, represéntala y di cuáles
son la pendiente y la ordenada en el origen.
93. Un peregrino apunta los kilómetros andados cada hora tal y como se ve en la tabla de valores.
Representa la función teniendo en cuenta
que los seis primeros kilómetros los hizo
1
2
3
4
Horas
en coche. Di cuál es la pendiente y a qué
distancia del punto de partida se
4
8
12
16
Kilómetros
encontrará a las 9 horas de salir.
5
20
94. Halla la expresión analítica que relaciona las variables de la tabla de valores.
x
2
3
4
5
y
9
14
19
24
95. Di si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales, o no guardan ningún tipo
de proporcionalidad entre sí.
a)
El perímetro y el área de una figura.
b)
El número de obreros y el tiempo empleado en terminar una obra.
c)
La distancia que separa dos ciudades y el tiempo que se tarda en recorrerla.