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Desigualdades Usando Multiplicación y División C ONCEPT 1 Desigualdades Usando Multiplicación y División Objetivos de Aprendizaje • Resolver una desigualdad usando la multiplicación. • Resolver una Desigualdad usando la división. • Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo. Introducción En esta sección, consideramos problemas donde encontramos la solución de una desigualdad multiplicando o dividiendo ambos lados de la desigualdad por un número. Resolver una Desigualdad Usando la Multiplicación Considera el problema Para encontrar la solución multiplicamos ambos lados por 5. Obtenemos x ≤3 5 x 5 · ≤ 3.5 5 x ≤ 15 La respuesta de una desigualdad puede ser expresada en cuatro diferentes formas: 1. Notación de desigualdad La respuesta es expresada simplemente como x < 15. 2. Notación de Conjunto La respuesta es {x|x < 15}. Tú lees esto como “el conjunto de todos los valores de x, tal que x es un número real menor que 15”. 3. Notación de Intervalo Usa corchetes para indicar el rango de valores en la solución. Corchetes cerrados o cuadrados “[” y “]” indican que el número junto al corchete está incluido en el conjunto de solución. Paréntesis “(” y “)” indican que el número junto al corchete no está incluido en el conjunto de solución. La notación de intervalo también usa el concepto de infinito ∞ e infinito negativo −∞. La solución en notación de intervalo para nuestro problema es (−∞, 15). 4. Solución gráfica muestra la solución en la recta numérica de los reales. Un círculo lleno en un número indica que el número está incluido en el conjunto de solución. Mientras un círculo vacío indica que el número no está incluido en el conjunto. Para nuestro ejemplo, el gráfico de la solución está dibujado aquí. 1 www.ck12.org Ejemplo 1 a) [-4, 6) dice que la solución son todos los números entre -4 y 6 incluyendo -4 y 6. b) (8, 24) dice que la solución son todos los números entre 8 y 24 pero no incluye los números 8 y 24. c) [3, 12] dice que la solución son todos los números entre 3 y 12, incluyendo 3 pero sin incluir 12. d) (-10) dice que la solución son todos los números mayores que -10, sin incluir -10. e) ( , ) dice que la solución son todos los números reales. Resolver una Desigualdad Usando la División 2x ≥ 15 2x 12 ≥ 2 2 x≥6 Considera el problema. Para encontrar la solución multiplicamos ambos lados por 2. Obtenemos. Vamos a escribir la solución en las cuatro diferentes notaciones que acabas de aprender: Notación de Desigualdad x≥6 Notación de Conjunto x|x ≥ 6 Notación de Intervalo [6, ∞) Solución gráfica Multiplicar y Dividir una Desigualdad por un Número Negativo Resolvemos una desigualdad en una forma similar a la que resolvemos ecuaciones. Podemos sumar o restar números en ambos lados de la desigualdad. Podemos también multiplicar o dividir números positivos en ambos lados de una desigualdad sin cambiar la solución. Algo diferente pasa si multiplicamos o dividimos por números negativos. En este caso, el signo de la desigualdad cambia su dirección. Por ejemplo, para resolver −3x < 9 Dividimos ambos lados por –3. El signo de la desigualdad cambia desde <a >porque dividimos por un número 9 negativo. −3x −3 > −3 x > −3 Podemos explicar porque pasa esto con un simple ejemplo. Sabemos que dos es menor que tres, entonces podemos escribir la desigualdad. 2<3 Si multiplicamos ambos números por -1 obtenemos -2 y -3, pero sabemos que -2 es mayor que -3. 2 www.ck12.org Concept 1. Desigualdades Usando Multiplicación y División −2 > −3 Tú ves que multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo causó que el signo de la desigualdad cambiara su dirección. Esto también ocurre si dividimos por un número negativo. Ejemplo 2 Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y notación de intervalo. a) 4x < 24 b) −9x ≥ − 53 c) −5x ≤ 21 d) 12 > −30 Solución: a) 4x < 24 4x 24 < 4 4 x < 6 o (∞, 6) Respuesta Problema original. Dividir ambos lados por 4. Simplificar. b) Problema original. Dividir ambos lados por − 9. Simplificar. −3 5 1 −9 −3 ≤ · Dirección de la desigualdad cambia −9 5 −93 1 1 x≥ o , ∞ Respuesta 15 15 − 9x c) Problema original. Dividir ambos lados por − 5. Simplificar. −5x ≤ 21 21 −5x ≥ Dirección de la desigualdad cambia −5 −5 21 21 x≥− o , ∞ Respuesta 5 5 d) Problema original. Dividir ambos lados por 12. Simplificar. 12x > −30 12x −30 > 12 12 5 −5 x>− o , ∞ Respuesta 5 2 Ejemplo 3 Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en solución gráfica. a) b) x 2 > 40 x −3 ≤ −12 3 www.ck12.org c) d) x 3 25 < 2 x −7 ≥ 9 Solución a) Problema original Multiplicar ambos lados por 2. Simplificar. x > 40 2 x 2 · > 40 · 2 La dirección de la desigualdad NO cambia 2 x > −80 Respuesta b) Problema original Multiplicar ambos lados por − 3. Simplificar. x ≤ −12 −3 x ≥ −12 · (−3) La dirección de la desigualdad cambia −3 · −3 x ≥ 36 Respuesta c) Problema original Multiplicar ambos lados por 25. Simplificar. 3 x < 25 2 x 3 < · 25 La dirección de desigualdad NO cambia 25 · 25 2 75 x< or x < 37.5 Respuesta 2 d) Problema original Multiplicar ambos lados por − 7. Simplificar. x ≥9 −7 x −7 · ≤ 9 · (−7) La dirección de la desigualdad cambia −7 x ≤ −63 Respuesta Resumen de la Lección • Existen cuatro maneras para representar una desigualdad: 1. Notación de desigualdad x ≥ 2 2. Notación de Conjunto x ≥ 2 4 www.ck12.org Concept 1. Desigualdades Usando Multiplicación y División 3. Notación de Intervalo [2, ∞) Corchetes cerrados “[” y “]” significan incluso, paréntesis “(” y “)” significa exclusivo. 4. Solución gráfica • Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo, tú necesitas revertir la desigualdad. Ejercicios de Repaso Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y solución gráfica. 1. 3x ≤ 6 3 2. 5x > − 10 3. −10x > 250 x 4. −7 ≥ −5 Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de intervalo. 5. 9x > − 43 > x 6. − 15 >≤ 5 7. 620x > 2400 x 7 8. 20 ≥ − 40 Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de conjunto. 9. −0.5x ≤ 7.5 10. 75x ≥ 125 x > − 10 11. −3 9 x 12. −15 <8 Respuestas 1. x ≤ 2 o 2. x > − 32 o 3. x < −25 o 4. x ≤ 35 o 5 www.ck12.org 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 6 1 1 x > − 12 o − 12 ,∞ x ≥ −75 o [−75, ∞) x < 3.9 o (−∞, 3.9) x ≥ − 27 o − 72 , ∞ x ≥ −15 o {x es un número real | x ≥ −15} x ≥ 53 o {x es un número real | x ≥ 35 10 x < − 10 3 o {x es un número real | x < − 3 x > −120 o {x es un número real | x > −120}