Download Desigualdades Usando Multiplicación y División - cK-12

Desigualdades Usando
Multiplicación y División
Say Thanks to the Authors
Click http://www.ck12.org/saythanks
(No sign in required)
To access a customizable version of this book, as well as other
interactive content, visit www.ck12.org
CK-12 Foundation is a non-profit organization with a mission to
reduce the cost of textbook materials for the K-12 market both
in the U.S. and worldwide. Using an open-content, web-based
collaborative model termed the FlexBook®, CK-12 intends to
pioneer the generation and distribution of high-quality educational
content that will serve both as core text as well as provide an
adaptive environment for learning, powered through the FlexBook
Platform®.
Copyright © 2012 CK-12 Foundation, www.ck12.org
The names “CK-12” and “CK12” and associated logos and the
terms “FlexBook®” and “FlexBook Platform®” (collectively
“CK-12 Marks”) are trademarks and service marks of CK-12
Foundation and are protected by federal, state, and international
laws.
Any form of reproduction of this book in any format or medium,
in whole or in sections must include the referral attribution link
http://www.ck12.org/saythanks (placed in a visible location) in
addition to the following terms.
Except as otherwise noted, all CK-12 Content (including
CK-12 Curriculum Material) is made available to Users
in accordance with the Creative Commons Attribution/NonCommercial/Share Alike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA) License
(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/), as amended
and updated by Creative Commons from time to time (the “CC
License”), which is incorporated herein by this reference.
Complete terms can be found at http://www.ck12.org/terms.
Printed: March 11, 2013
www.ck12.org
Concept 1. Desigualdades Usando Multiplicación y División
C ONCEPT
1
Desigualdades Usando
Multiplicación y División
Objetivos de Aprendizaje
• Resolver una desigualdad usando la multiplicación.
• Resolver una Desigualdad usando la división.
• Multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo.
Introducción
En esta sección, consideramos problemas donde encontramos la solución de una desigualdad multiplicando o
dividiendo ambos lados de la desigualdad por un número.
Resolver una Desigualdad Usando la Multiplicación
Considera el problema
Para encontrar la solución multiplicamos ambos lados por 5.
Obtenemos
x
≤3
5
x
5 · ≤ 3.5
5
x ≤ 15
La respuesta de una desigualdad puede ser expresada en cuatro diferentes formas:
1. Notación de desigualdad La respuesta es expresada simplemente como x < 15.
2. Notación de Conjunto La respuesta es {x|x < 15}. Tú lees esto como “el conjunto de todos los valores de x, tal
que x es un número real menor que 15”.
3. Notación de Intervalo Usa corchetes para indicar el rango de valores en la solución.
Corchetes cerrados o cuadrados “[” y “]” indican que el número junto al corchete está incluido en el conjunto de
solución.
Paréntesis “(” y “)” indican que el número junto al corchete no está incluido en el conjunto de solución.
La notación de intervalo también usa el concepto de infinito ∞ e infinito negativo −∞.
La solución en notación de intervalo para nuestro problema es (−∞, 15).
4. Solución gráfica muestra la solución en la recta numérica de los reales. Un círculo lleno en un número indica que
el número está incluido en el conjunto de solución. Mientras un círculo vacío indica que el número no está incluido
en el conjunto. Para nuestro ejemplo, el gráfico de la solución está dibujado aquí.
1
www.ck12.org
Ejemplo 1
a) [-4, 6) dice que la solución son todos los números entre -4 y 6 incluyendo -4 y 6.
b) (8, 24) dice que la solución son todos los números entre 8 y 24 pero no incluye los números 8 y 24.
c) [3, 12] dice que la solución son todos los números entre 3 y 12, incluyendo 3 pero sin incluir 12.
d) (-10) dice que la solución son todos los números mayores que -10, sin incluir -10.
e) ( , ) dice que la solución son todos los números reales.
Resolver una Desigualdad Usando la División
2x ≥ 15
2x 12
≥
2
2
x≥6
Considera el problema.
Para encontrar la solución multiplicamos ambos lados por 2.
Obtenemos.
Vamos a escribir la solución en las cuatro diferentes notaciones que acabas de aprender:
Notación de Desigualdad
x≥6
Notación de Conjunto
x|x ≥ 6
Notación de Intervalo
[6, ∞)
Solución gráfica
Multiplicar y Dividir una Desigualdad por un Número Negativo
Resolvemos una desigualdad en una forma similar a la que resolvemos ecuaciones. Podemos sumar o restar números
en ambos lados de la desigualdad. Podemos también multiplicar o dividir números positivos en ambos lados de una
desigualdad sin cambiar la solución.
Algo diferente pasa si multiplicamos o dividimos por números negativos. En este caso, el signo de la desigualdad
cambia su dirección.
Por ejemplo, para resolver −3x < 9
Dividimos ambos lados por –3. El signo de la desigualdad cambia desde <a >porque dividimos por un número
9
negativo. −3x
−3 > −3
x > −3
Podemos explicar porque pasa esto con un simple ejemplo. Sabemos que dos es menor que tres, entonces podemos
escribir la desigualdad.
2<3
Si multiplicamos ambos números por -1 obtenemos -2 y -3, pero sabemos que -2 es mayor que -3.
2
www.ck12.org
Concept 1. Desigualdades Usando Multiplicación y División
−2 > −3
Tú ves que multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo causó que el signo de la desigualdad
cambiara su dirección. Esto también ocurre si dividimos por un número negativo.
Ejemplo 2
Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y notación de intervalo.
a) 4x < 24
b) −9x ≥ − 53
c) −5x ≤ 21
d) 12 > −30
Solución:
a)
4x < 24
4x 24
<
4
4
x < 6 o (∞, 6) Respuesta
Problema original.
Dividir ambos lados por 4.
Simplificar.
b)
Problema original.
Dividir ambos lados por − 9.
Simplificar.
−3
5
1
−9 −3
≤
· Dirección de la desigualdad cambia
−9
5 −93
1
1
x≥
o
, ∞ Respuesta
15
15
− 9x
c)
Problema original.
Dividir ambos lados por − 5.
Simplificar.
−5x ≤ 21
21
−5x
≥
Dirección de la desigualdad cambia
−5
−5
21
21
x≥− o
, ∞ Respuesta
5
5
d)
Problema original.
Dividir ambos lados por 12.
Simplificar.
12x > −30
12x −30
>
12
12 5
−5
x>− o
, ∞ Respuesta
5
2
Ejemplo 3
Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en solución gráfica.
a)
b)
x
2 > 40
x
−3 ≤ −12
3
www.ck12.org
c)
d)
x
3
25 < 2
x
−7 ≥ 9
Solución
a)
Problema original
Multiplicar ambos lados por 2.
Simplificar.
x
> 40
2
x
2 · > 40 · 2 La dirección de la desigualdad NO cambia
2
x > −80 Respuesta
b)
Problema original
Multiplicar ambos lados por − 3.
Simplificar.
x
≤ −12
−3
x
≥ −12 · (−3) La dirección de la desigualdad cambia
−3 ·
−3
x ≥ 36 Respuesta
c)
Problema original
Multiplicar ambos lados por 25.
Simplificar.
3
x
<
25 2
x
3
< · 25 La dirección de desigualdad NO cambia
25 ·
25 2
75
x<
or x < 37.5 Respuesta
2
d)
Problema original
Multiplicar ambos lados por − 7.
Simplificar.
x
≥9
−7
x
−7 ·
≤ 9 · (−7) La dirección de la desigualdad cambia
−7
x ≤ −63 Respuesta
Resumen de la Lección
• Existen cuatro maneras para representar una desigualdad:
1. Notación de desigualdad x ≥ 2
2. Notación de Conjunto x ≥ 2
4
www.ck12.org
Concept 1. Desigualdades Usando Multiplicación y División
3. Notación de Intervalo [2, ∞)
Corchetes cerrados “[” y “]” significan incluso, paréntesis “(” y “)” significa exclusivo.
4. Solución gráfica
• Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo, tú necesitas
revertir la desigualdad.
Ejercicios de Repaso
Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y solución gráfica.
1. 3x ≤ 6
3
2. 5x > − 10
3. −10x > 250
x
4. −7
≥ −5
Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de intervalo.
5. 9x > − 43 >
x
6. − 15
>≤ 5
7. 620x > 2400
x
7
8. 20
≥ − 40
Resolver cada desigualdad. Dar la solución en notación de desigualdad y en notación de conjunto.
9. −0.5x ≤ 7.5
10. 75x ≥ 125
x
> − 10
11. −3
9
x
12. −15
<8
Respuestas
1. x ≤ 2 o
2. x > − 32 o
3. x < −25 o
4. x ≤ 35 o
5
www.ck12.org
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
6
1
1
x > − 12
o − 12
,∞
x ≥ −75 o [−75, ∞)
x < 3.9 o (−∞,
3.9)
x ≥ − 27 o − 72 , ∞
x ≥ −15 o {x es un número real | x ≥ −15}
x ≥ 53 o {x es un número real | x ≥ 35
10
x < − 10
3 o {x es un número real | x < − 3
x > −120 o {x es un número real | x > −120}