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EJERCICIOS
1. Dada una población finita que tiene cinco elementos A, B, C, D y E
seleccione 10 muestras aleatorias simples de tamaño 2.
a) Enumere las 10 muestras empezando con AB, AC y así en lo
sucesivo.
AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.
b) Usando el muestreo aleatorio simple, ¿Cuál es la probabilidad que
tiene cada muestra de tamaño 2 de ser seleccionada? 1/10
c) Si el número aleatorio 1 corresponde a A, el número 2 corresponde
a B y así en lo sucesivo. Enliste la muestra aleatoria de tamaño 2
que será seleccionada al usar los números aleatorios 8 0 5 7 5 3 2.
8
0
5
7
5
3
No hay muestra
No hay muestra
Es la “E”
No hay muestra
Es la “E” pero ya no se puede usar de nuevo
Es la “C”
Es la “B” pero ya está la muestra, y solo se
2
piden 2
La muestra es:
EyC
63271
88547
55957
46276
55363
69393
13186
17726
36520
81628
84649
63291
70502
06426
20711
41990
72452
37042
53766
90585
32001
62606
10078
91561
13091
59986
09896
57243
87453
07449
92785
29431
28652
64465
36100
48968
11618
53225
24771
55609
70538
36618
40318
52875
58955
96293
64324
28073
46145
98112
71744
95436
83865
44790
34835
49902
88190
56836
05550
39254
75215
12613
03655
59935
29430
77191
76298
57099
15987
53122
37203
46354
85389
24177
53959
51102
79115
09911
67122
15290
58447
04588
78351
30157
56835
75498
75055
05915
49801
70165
25860
26678
10528
46962
16025
64516
72157
50324
15294
79607
15141
08303
19761
45573
76616
42048
38733
47327
82242
37636
49539
43915
37140
11082
45406
55204
89334
09925
67342
84299
51530
67248
14500
10061
52244
TABLA 7.1.
1
80714
01041
66535
84358
67191
30378
81290
18518
29520
02421
74240
26488
57051
66762
78484
73417
33938
89773
77592
53310
37069
20135
15562
98124
63303
58683
20030
40102
21625
12777
87618
89541
92222
69753
98063
03466
41116
48393
94477
31639
83920
95567
41335
57651
67380
40261
49804
64165
75732
10413
93108
63754
26646
16999
21861
26933
70290
55201
72602
89641
49292
64531
91322
02494
52009
69468
29380
96244
95508
84249
61374
09226
06125
00815
63839
13554
08459
60147
13385
68689
40640
40113
27340
23756
64953
36401
56827
25653
88215
18873
74972
75906
29002
80033
25348
05815
64419
71353
83452
74762
79945
28364
15702
22782
03263
16281
08243
10493
54935
99337
45525
30825
06543
27191
96927
38712
91807
46453
69828
04332
06714
29457
77669
97355
50289
EJERCICIOS
3. Fortune publicó datos sobre ventas, valor del activo, valor del mercado y
ganancias por acción de las 500 corporaciones industriales más grandes de
Estados Unidos (Fortune 500, 2003). Suponga que usted desea seleccionar
una muestra aleatoria simple de 10 corporaciones de la lista Fortune 500.
Use los tres últimos dígitos de la columna 9 de la tabla 7.1 empezando con
554. Leyendo hacia abajo por esa columna, identifique los números de las
10 corporaciones que se tomarán para la muestra.
13554
08459
60147
13385
68689
40640
40113
27340
23756
64953
36401
56827
25653
88215
18873
74972
75906
29002
80033
25348
Las muestras son:
459, 147, 385, 113, 340, 401, 215, 2, 33 y 348
5. Una organización de estudiantes desean estimar la proporción de
estudiantes que están a favor de una disposición de la escuela. Se cuenta
con una lista con los nombres y direcciones de los 645 estudiantes inscritos
el presente trimestre. Tomando números aleatorios de tres dígitos del
renglón 10 de la tabla 7.1 y avanzando por ese renglón de izquierda a
derecha, determine los 10 primeros estudiantes que serán seleccionados
usando un muestreo aleatorio simple. Los números aleatorios de tres
dígitos empiezan con 816, 283 y 610.
81628
02421
36100
98063
39254
89641
56835
64953
37636
99337
Las muestras son: 283, 610, 39, 254, 568,
353, 602, 421, 638 y 164
7. Suponga que se va a tomar una muestra aleatoria simple de 12 de los 372
médicos de una determinada ciudad. Una organización médica le
proporciona los nombres de los médicos. De la tabla 7.1 use la columna
ocho de los números aleatorios de cinco dígitos para determinar cuáles
serán los 12 médicos para la muestra. Ignore los primeros dos dígitos de
cada grupo de cinco dígitos de números aleatorios. Este proceso empieza
con el número aleatorio108 y continúa descendiendo por la columna de
números aleatorios.
93108
63754
26646
16999
21861
26933
70290
55201
72602
89641
49292
64531
91322
02494
52009
69468
29380
96244
95508
84249
61374
09226
06125
00815
63839
Las muestras son: 108, 290, 201,
292,322, 9, 244, 249, 226, 125, 147 y 113.
(Las últimas dos muestras las tomé de la columna 9 en orden descendiente ya que no
eran suficientes las de la columna 8).
2
EJERCICIOS
9. The Wall Street Journal proporciona el valor activo neto, el rendimiento
porcentual en lo que va del año y el rendimiento porcentual en tres años
de 555 fondos mutualistas (The Wall Street Journal, 25 de abril del
2003). Suponga que se va a usar una muestra aleatoria simple de 12 de
estos 555 fondos mutualistas para un estudio acerca de su tamaño y
desempeño. Use la cuarta columna de los números aleatorios en la tabla
7.1 empezando con el número 51102, para seleccionar la muestra
aleatoria simple de 12 fondos mutualistas. Empiece con el fondo 102 y
use los últimos tres dígitos de cada renglón de la cuarta columna para el
proceso de selección. ¿Cuáles son los números de los 12 fondos
mutualistas en esta muestra aleatoria simple?
51102
79115
09911
67122
15290
58447
04588
78351
30157
56835
75498
75055
05915
49801
70165
25860
26678
10528
46962
16025
Las muestras son:
102, 115, 122, 290, 447, 351, 157, 498, 55,
165, 528 y 25.
3
<
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos en donde todos los
individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una
muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la
misma probabilidad de ser elegidas. Los métodos de muestreo probabilístico son:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Es el método donde la muestra es seleccionada de manera que cada elemento o
individuo de la población tiene las mismas posibilidades de que se le incluya.
Es la técnica de muestreo aleatorio más básica y conforma la base de todas las demás
técnicas de muestreo. En el muestreo aleatorio simple, la n se utiliza para
representar el tamaño de la muestra y la N para representar el tamaño de la
población. El proceso de muestreo dependerá si la población es finita (con un
número fijo de la población) o infinita (no es posible determinar un número).
Las muestras se seleccionan con reemplazo o sin reemplazo. El muestreo con
reemplazo se da cuando tras seleccionar una muestra, se devuelve a la población,
donde tiene la misma probabilidad de resultar seleccionado de nuevo. El muestreo
sin reemplazo es cuando una vez seleccionada una muestra esta no se podrá
seleccionar de nuevo. Aunque el muestreo con reemplazo es una forma válida de
identificar una muestra aleatoria simple, el muestreo sin reemplazo es el
procedimiento más usado.
Procedimiento:
1) Definir la población de estudio.
2) Asignar un número a cada individuo de la población
3) Determinar el tamaño de muestra óptimo o para el estudio.
4) Seleccionar la(s) muestra(s) de manera sistemática por medio de algún medio
mecánico (Tablas de números aleatorios, bolas dentro de una bolsa, números
aleatorios generados con una calculadora, etc.)
5) Y se eligen tantos individuos como sea necesario para completar el tamaño de
muestra que necesitamos.
Ejemplo:
Para obtener una muestra de alumnos de una escuela para aplicarles una encuesta,
lo primero que se hace es enumerar a todo el alumnado. Se obtiene una lista de los
alumnos matriculados y se le asigna un número a cada uno en orden alfabético y
ascendente. Suponiendo que el total de alumnos es de 700 se utilizan los números
001, 002, 003,...,700. Se determina el tamaño de muestra, en este caso es de tamaño
75. Enseguida se utiliza una tabla de números aleatorios formando números de tres
dígitos aceptando como unidad de análisis muestral a todos aquellos que estén
comprendidos entre el 001 y el 700.
4
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO.
Es el método donde una población se divide en subgrupos denominados estratos
y se selecciona al azar una muestra de cada estrato.
Un estrato se define mediante algunas características comunes como son el sexo, la
población, la edad, la profesión entre otras que puede decidir la persona que hace la
muestra. Este método es más eficiente que el muestreo aleatorio simple y
sistemático, porque garantiza el hecho de que cada grupo se encuentre representado
en la muestra. El valor del muestreo aleatorio estratificado depende de qué tan
homogéneos sean los elementos dentro de cada estrato, es decir que entre más
parecidos sean entre sí, es mejor.
La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina
afijación, y puede ser de diferentes tipos:
1) Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos
muéstrales.
2) Afijación Proporcional: Cada estrato se encuentra representado en la muestra
en proporción exacta al tamaño de la población total.
3) Afijación Óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados,
de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca
aplicación ya que no se suele conocer la desviación.
Procedimiento:
Los pasos para seleccionar una muestra proporcionalmente estratificada son:
1)
2)
3)
4)
Definir la población de estudio.
Determinar el tamaño de muestra requerido.
Establecer los estratos o subgrupos.
Determinar la frecuencia relativa del muestreo de cada estrato, dividiendo el
tamaño del estrato entre el tamaño de la población de estudio.
5) Multiplicar la frecuencia relativa del muestreo de cada estrato por el tamaño
de la muestra total, para obtener de cada estrato la cantidad de individuos
que se integrarán a dicha muestra.
6) Seleccionar y extraer de cada estrato la cantidad de individuos que formaran
parte de la muestra total aplicando el procedimiento de muestreo aleatorio
simple.
5
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
Ejemplo:
Si se tiene que seleccionar una muestra de 20 personas, de una comunidad de 500
habitantes, con el fin de hacerles una encuesta sobre los servicios de salud que
reciben. Los habitantes están repartidos en 5 colonias, en donde el tamaño de
cada estrato es:
Estrato
1
2
3
4
5
Colonia
San Miguel
San Rafael
San Vicente
San Marcos
San Pedro
TOTAL
÷
Tamaño
Frecuencia
Relativa
No. de muestras por
estrato
100
150
050
125
075
500
0.20
0.30
0.10
0.25
0.15
1.00
8
12
4
10
6
40
×
Los habitantes de cada colonia están registrados y se les asignará un número, por
ejemplo, en el estrato 1 hay 100 habitantes entonces se numerará de 001 a 100, en el
estrato 2 hay 150 y se numerará de 001 a 150 y así sucesivamente se hará con los
demás estratos. Y del tamaño de cada estrato se sacaran el número de muestras que
se obtuvieron, por medio del método de muestreo aleatorio simple con la tabla de
números aleatorios siguiente.
58 144 147
114 116
70
5
94
40
26 135
9
16 129
71
68
5 150
53
22 126 149
50 146 104
87
36
55 148 141
81 144 112
99
36 107 104 145
95
43
33 144
41 122
62
25
58
76
29
49 108
67
34
88
38 129
41 113
39 139 128
55
17
16 105 116
96
45
86
71
131
68
61
80
27 121
69
42
35
9 116 108
2 145
69 109
6 144
95
137 106
35
15
83 126
42
79
52 118 110
33
2
73
3
8 149 111
98
4 101
96 129
13 116
51
39
94
19
52
4
11
31 146
30 131 140
72 105 144
39
2
88
60
59 132
51
94 118
40
68
9
49 121
11
47
62
9
16
64 103
Del estrato 1 (1 a 100) se tomarán las 8 muestras de la fila 1 de izquierda a derecha
Las muestras son: 58, 94, 40, 26, 9, 2, 16 y 42
Del estrato 2 (1 a 150) se tomarán las 12 muestras de la fila 2 de izquierda a derecha
Las muestras son: 114, 116, 79,50, 146, 104, 87, 33, 83, 126, 71 y 68
Del estrato 3 (1 a 50) se tomarán las 4 muestras de la fila 3 de izquierda a derecha
Las muestras son: 5, 36, 43 y 39
Del estrato 4 (1 a 125) se tomarán las 10 muestras de la fila 4 de izquierda a derecha
Las muestras son: 52, 118, 110, 33, 15, 25, 58, 76, 29 y 49
Del estrato 5 (1 a 75) se tomarán las 6 muestras de la fila 5 de izquierda a derecha
Las muestras son: 41, 39, 55, 17, 16 y 45
6
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO.
Es el método donde se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente
se elige cada k-ésimo miembro de la población.
Para realizar muestreos en poblaciones muy grandes, el método de muestreo
aleatorio simple resulta complicado y difícil para aplicar, en estos casos se utiliza el
muestreo sistemático. En una muestra sistemática, los N elementos de la población
se dividen en n grupos de k elementos. Un k-ésimo caso representa el intervalo de
selección de unidades de análisis que serán integradas a la muestra, se obtiene
mediante la expresión:
k=
El resultado de k se redondea al entero más cercano. Este procedimiento se hace más
sencillo porque en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Y
porque es fácil si al igual que el muestreo aleatorio simple, se tienen enumerados
todos los elementos de la población, o si de lo contrario no se tienen enumerados de
todos modos se puede realizar pero se debe observar el orden físico de los
elementos de la población. Cuando el orden físico de la población se relaciona con la
característica de la población no se debe aplicar el muestreo aleatorio sistemático. El
riesgo de este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la
población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad
constante podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población.
Procedimiento:
1) Definir la población de estudio.
2) Determinar el tamaño de muestra requerido.
3) Se calcula la muestra sistemática dividiendo la población entre el tamaño de
la muestra.
4) El valor de k es el intervalo de selección que indica cada k de veces que un
elemento de la población se integrará a la muestra (en el caso de no estar
enumerados los elementos). Y también es el intervalo de selección del cual se
escogerá un número aleatoriamente dentro de este intervalo (en caso de que
los elementos estén enumerados), y de ahí se parte para seleccionar las
muestras en los demás grupos o intervalos de selección.
Ejemplo:
Cuando los elementos no están enumerados. Si se va a probar una muestra de 50 de
una población de 500 pelotas, k =
, k=10. Ya que ninguna pelota tiene un número
específico, este intervalo de selección indica que cada 10 decima pelota que
contemos se integrará a la muestra. La primera muestra es la décima pelota que
7
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
saquemos de una bolsa, la segunda muestra es la vigésima, la tercera la trigésima y
así de diez en diez hasta completar las 50 muestras que se piden.
Cuando los elementos están numerados. Si la población se compone de una lista de
cheques pre numerados N=800 y se quiere extraer una muestra sistemática de n=40,
se aplica la formula k = , k =
,
k =20. De este intervalo selecciona un número
aleatorio entre 1 y 20, y se incluye cada vigésimo elemento tras la primera selección
de la muestra. Supongamos que el primer número seleccionado es 8, sus selecciones
subsiguientes son 28, 48, 68, 88, 108, 128, 148, 168, 188, 208, 228, 248, 268, 288,
308, 328, 348, 368, 388, 408, 428, 448, 468, 488, 508, 528, 548, 568, 588, 608, 628,
648, 668, 688, 708, 728, 748, 768 y 788.
MUESTREO POR CONGLOMERADOS.
Es el método donde una población se divide en conglomerados partir de los
límites naturales geográficos o de otra clase. A continuación se seleccionan los
conglomerados al azar y se toma una muestra de forma aleatoria de uno de los
elementos de cada grupo.
En una muestra de conglomerados, se divide N elementos de la población en varios
grupos de tal manera que cada uno sea representativo de toda la población. Este
procedimiento tiende a proporcionar mejores resultados cuando los elementos
dentro de los conglomerados no son semejantes. Lo ideal es que cada conglomerado
sea una representación, a pequeña escala, de la población. Se aplica en el muestreo
de áreas, en la que los conglomerados son manzanas, ciudades, distritos electorales,
países, etc. En este tipo de muestreo es imprescindible diferenciar entre unidad de
análisis entendida como quiénes va a ser medidos y unidad muestral que se refiere al
conglomerado a través del cual se logra el acceso a la unidad de análisis.
Procedimiento:
1) Dividir la población en conglomerados.
2) Seleccionar al azar el número de conglomerados que desee.
3) Tomar una muestra aleatoria simple de uno de los elementos de cada
conglomerado.
Ejemplo:
Si se va a realizar una encuesta sobre las políticas y leyes del municipio, se podría
dividir el municipio en distritos, por ejemplo en 13 distritos, de esos tres se toma al
azar el 4, 5, 9 y 11, y solo concentrándonos en estos distritos, tomamos una muestra
aleatoria de habitantes de cada uno de esos distritos, para entrevistarlos.
8
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO.
MUESTREO DE CONVENIENCIA.
Es el método no probalístico en el que la selección de los elementos para la
muestra es de acuerdo con la conveniencia.
Los elementos se incluyen en la muestra sin que haya una probabilidad
previamente especificada o conocida de que sean incluidos en la muestra.
Ejemplo:
Un profesor que realiza una investigación en una universidad puede usar
estudiantes voluntarios para que constituyan la muestra, ¿existe alguna razón? Sí,
los tiene al alcance y participarán como sujetos a un costo bajo o sin ningún costo.
De manera similar, un inspector puede muestrear un cargamento de naranjas
seleccionando al azar naranjas de varias de las cajas. Marcar una naranja y usar un
método probalístico de muestreo puede no resultar práctico.
Tiene la ventaja de ser relativamente fáciles, pero es imposible evaluar la “bondad”
de la muestra en términos de su representatividad de la población. Y puede dar o
no buenos resultados. Pero no tiene un fundamento.
MUESTREO SUBJETIVO.
Es el método no probalístico en el que la selección de los elementos para la
muestra es de acuerdo con la opinión de la persona que hace el estudio.
Este método suele ser una manera fácil de seleccionar una muestra. Sin embargo la
calidad de los resultados muéstrales depende de la persona que selecciona la
muestra. Se debe tener mucho cuidado al hacer inferencias acerca de las
poblaciones a partir de muestreos subjetivos.
Ejemplo:
Un reportero puede seleccionar dos o tres senadores considerando que estos
senadores reflejan la opinión general de todos los senadores.
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BIBLIOGRAFÍA
Anderson, D. R., D. J. Sweeney y T. A. Williams. (2008). Estadística para la
administración y la economía. (10a Ed). México: CENGAGE Learning. 260-262.
Levine, D. M., T. C. Krehbiel y M. L. Berenson. (2006). Estadística para la
administración. (4ta Ed). México: Pearson Prentice Hall. 221.
Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadística aplicada a los
negocios y a la economía. (13a Ed). México: McGraw-Hill. 262, 265, 266.
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